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2.1.2 函数的表示方法(二)
【学习要求】
1.进一步掌握求函数解析式的方法；
2.了解分段函数的定义，会求分段函数的定义域、值域；
3.学会运用函数图象来研究分段函数．
【学法指导】
通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．
2.分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的
并 集(填“并”或“交”)．
3.分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎样的解析式表示这一函数关系？为解决这一问题，本节我们就来学习分段函数．
探究点一 待定系数法求函数解析式
问题1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？
答： 若已知函数的类型，可用待定系数法求解．
问题2 用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？
答：由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．
例1 设二次函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
分析： 由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理．
解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)．
由f(x ＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x ＝2对称．
∴－b 2a
＝2，即b ＝－4a.① 又图象过点(0,3)，∴c＝3.②
由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，
即x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10.
即b 2－2ac ＝10a 2.③
由①②③解得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.
∴f(x)＝x 2－4x ＋3.
小结： 已知f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax ＋b (a≠0)；已知f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝k x
(k≠0)；已知f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，②顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a≠0)；
③双根式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0)．
跟踪训练1 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求函数f(x)的解析式．
解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，
由f(0)＝0知c ＝0.∴f(x)＝ax 2＋bx.
又f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，
∴a(x＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.
即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.
故2a ＋b ＝b ＋1且a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12
， ∴f(x)＝12x 2＋12
x. 探究点二 消去法求函数解析式
导引 有些求函数解析式的题目，已知条件为一方程，在方程中同时含有f(x)与f(－x)或f(x)与f(1x
)，那么如何
求函数的解析式？
问题1 在一个等式中同时含有f(x)与f(－x)能不能求出函数的解析式？为什么？
答： 不能．因为把f(x)与f(－x)分别看作未知数，那么这个等式相当于一个二元方程，而一个二元方程求不出唯一的解．
问题2 仅仅利用“导引”中的条件，求不出函数的解析式，那么如何创造条件来求出解析式？
答： 根据已知条件构造出含有f(x)与f(－x)的另一个方程，采用解方程组的方法消去不需要的函数式，从而得到f(x)的表达式，此种方法称为消去法．
例2 已知函数y ＝f(x)满足af(x)＋bf ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝cx ，x≠0，其中a 、b 、c 都是非零常数，a≠±b，求函数y ＝f(x)的解析式．
解： 在已知等式中，将x 换成1x ，得af ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋bf(x)＝c x ， 把它与原条件式子联立，得af(x)＋bf ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝cx.① af ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋bf(x)＝c x ② ①×a－②×b 得(a 2－b 2)f(x)＝c ⎝
⎛⎭⎪⎫ax －b x ， ∵a≠±b，
∴f(x)＝c a 2－b 2⎝
⎛⎭⎪⎫ax －b x (x≠0)． 小结： 消去法适用于自变量的互为倒数，如f(x)、f(1x
)；互为相反数，如f(x)、f(－x)，通过对称代换构造出另一个方程，解方程组即得f(x)的解析式．
跟踪训练2 设f(x)满足关系式f(x)＋2f(－x)＝3x ，求f(x)．
解： ∵f(x)＋2f(－x)＝3x.①
∴f(－x)＋2f(x)＝－3x.②
①②联立得：f(x)＝－3x.
探究点三 分段函数
问题1 作函数的图象通常分哪几步？
答： 通常分三步，即列表、描点、连线．
例3 已知一个函数y ＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y ＝
x ，当x∈(1,2]时，对应法则为y ＝2－x ，试用解析法与图象法分别表示这个函数．
解： 已知的函数用解析法可表示为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x∈[0，1]2－x ，x∈1，2] 用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图：
小结： (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域；(2)要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心还是虚心；(3)要掌握常见函数图象的特征；(4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 解：由题意得函数的解析式如下： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，0 问题2 在例3和跟踪训练3中，我们得到的函数解析式是分段表达的，这样的函数就是分段函数，那么如何定义分段函数？ 答： 在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 例4 在某地投寄外埠平信，每封信不超过20 g 付邮资80分，超过20 g 不超过40 g 付邮资160分，超过40 g 不超
