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第2课时 集合的表示学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点).知识点 集合的表示方法 (1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }. (2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 【预习评价】(1)集合{x ∈N *|x －4<2}的另一种表示形式是( ) A.{0，1，2，3，4} B.{0，1，2，3，4，5} C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4，5}(2)方程x 2－1＝8的解集用列举法表示为________.解析 (1)由x －4<2得x <6，又x ∈N *，故x 的值为1，2，3，4，5，用列举法表示为{1，2，3，4，5}.(2)由x 2－1＝8得x 2＝9，即x ＝±3，故其解集用列举法表示为{－3，3}. 答案 (1)D (2){－3，3}题型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0的解集.解 (1)因为15的正约数为1，3，5，15， 所以所求集合可表示为{1，3，5，15}.(2)因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10， 所以所求集合可表示为{2，4，6，8，10}.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0.所以所求集合可表示为{(－3，0)}. 规律方法 用列举法表示集合的三个注意点(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性. (2)当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便.(3)搞清集合中元素是有限个还是无限个是选择恰当的表示方法的关键. 【训练1】 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的偶数组成的集合； (2)24与36的公约数组成的集合；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集.解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4，0，2，4}. (2){1，2，3，4，6，12}.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴所求集合可表示为{(1，1)}.(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数组成的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}.【迁移1】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点组成的集合.”解 位于第二象限的点(x ，y )的横坐标为负，纵坐标为正，即x <0，y >0，故第二象限的点组成的集合为{(x ，y )|x <0，y >0}.【迁移2】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)组成的集合.”解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}.规律方法 用描述法表示集合的注意点 (1)“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ； (2)“竖线”不可省略；(3)p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一集合用描述法表示可以不唯一. 题型三 集合表示方法的综合应用【例3】 (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________. (2)集合A ＝{x ∈R |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x ∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x ＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N . 综上可知A ＝{－2，2，4，5}. 答案 {－2，2，4，5} (2)解 ①当k ＝0时， 原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}； ②当k ≠0时，∵集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根. ∴Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4， ∴A ＝{4}.综上可知，实数k 的值为0或1. 当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}.规律方法 1.识别集合的两个步骤：一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集； 二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性). 2.方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的个数在涉及ax 2＋bx ＋c ＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a 是否为0，当a ＝0时，方程为bx ＋c ＝0，再分b 是否为0两种情况讨论其根的个数；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数. 【训练2】 用列举法表示下列集合. (1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }. 解 (1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2，符合题意， 所以A ＝{2，5，6}.(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以B ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}.课堂达标1.用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A.{1，1} B.{1}C.{x ＝1}D.{x 2－2x ＋1＝0}解析 集合{x |x 2－2x ＋1＝0}实质是方程x 2－2x ＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B. 答案 B2.下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{3，2}，N ＝{(3，2)}解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3，2}＝{2，3}. 答案 B3.设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，9}，x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A.1 B.2 C.3D.9解析 比较A 和B 中的元素可知x ＝2. 答案 B4.大于3并且小于10的整数组成的集合用描述法表示为________.解析 设该数为x ，由题意得3<x <10，且x ∈Z ，故集合是：{x |3<x <10，x ∈Z }. 答案 {x |3<x <10，x ∈Z } 5.选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合.解 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1，0，1，2，3，共有7个元素，则用列举法表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}.(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2.(3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}.课堂小结1.集合表示的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则； (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.基础过关1.下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{0} B.{y |y 2＝0} C.{x |x ＝0}D.{x ＝0}解析 A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即方程“x ＝0”.故选D. 答案 D2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( )A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，而D 不是集合表示的描述法的正确形式，排除D. 答案 C3.下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A.{x 2－x ＝0}B.{y |y 2－y ＝0}C.{x |y ＝x 2－x }D.{y |y ＝x 2－x }解析 选项A 中的集合只有一个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是方程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}，故选B ；选项C ，D 中的集合中都有无数多个元素. 答案 B4.－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________. 解析 由题意可知(－5)2－a ×(－5)－5＝0，得a ＝－4，故方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2，即{x |x 2－4x －a ＝0}＝{2}，则其所有元素和为2. 答案 25.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 为________.解析 由题知，a ∈A ，a ∈B ，所以a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即a 为(2，5). 答案 (2，5)6.用适当的方法表示下列集合： (1)16与24的公约数组成的集合； (2)不等式3x －5>0的解构成的集合.解 (1)16与24的公约数组成的集合为{1，2，4，8}.(2)不等式3x －5>0的解集为{x |3x －5>0}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >53.7.设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3，1}，试用列举法表示集合B .解 将y ＝x 2－ax ＋b 代入集合A 中的方程并整理得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.因为A ＝{－3，1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两根为－3，1.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3.所以y ＝x 2＋3x －3.将y ＝x 2＋3x －3，a ＝－3代入集合B 中的方程并整理得x 2＋6x －3＝0， 解得x ＝－3±23，所以B ＝{－3－23，－3＋23}.能力提升8.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…可表示为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋12n ，n ∈N *B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋3n ，n ∈N * C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1n，n ∈N * D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋1n，n ∈N * 解析 ∵3＝31，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n ，则分子为2n ＋1，且n ∈N *，∴集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ＋1n，n ∈N *. 答案 D9.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)组成的集合是( )A.{－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}B.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}C.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y <0}D.{(x ，y )|－2≤x <0或－2≤y ≤0}解析 由阴影知，－2≤x ≤0且－2≤y ≤0，∴集合{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}表示阴影部分的点组成的集合. 答案 B10.若集合A ＝{－2，2，3，4}，集合B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B ＝________.解析 当t ＝－2，2，3，4时，x ＝4，4，9，16，故集合B ＝{4，9，16}. 答案 {4，9，16}11.定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －23<0，则集合A －B ＝________.解析 易知A ＝{x |x >－12}，B ＝{x |x <2}，故A －B ＝{x |x ≥2}.答案 {x |x ≥2}12.用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合.解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}. (2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，故 ①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2，0，2}.13.(选做题)已知集合S 满足若a ∈S ，则11－a ∈S .请解答下列问题：(1)求证：若a ∈S ，则1－1a∈S ；(2)在集合S 中，元素能否只有一个？若能，把它求出来，若不能，请说明理由. (1)证明 由题意可知a ≠1且a ≠0，由11－a ∈S ，得11－11－a∈S ， 即11－11－a ＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S . ∴若a ∈S ，则1－1a∈S .(2)解 集合S 中的元素不能只有一个.理由如下： 令a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0. ∵Δ＝(－1)2－4<0，∴此方程无实数解，∴a ≠11－a.因此集合S中不可能只有一个元素.。
