大一下高等数学期末试题_精确答案

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。

A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中，收敛的是（）。

A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为（）。

A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。

A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。

7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。

8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。

9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。

10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。

12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。

13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。

A) 2 B) 7 C) 9 D) 11答案：B) 72. 函数f(x) = 3x + 4 和 g(x) = 2x - 1，求f(x)与g(x)的交点横坐标。

A) -3/5 B) 0 C) 5/7 D) 1/2答案：A) -3/53. 设a为非零实数，若函数f(x) = x^2 + ax + a 的图像经过点(-1, 4)，求a的值。

A) -1 B) 1 C) 2 D) -2答案：C) 24. 设方程x^2 - kx + 1 = 0只有一个实根，求k的取值范围。

A) (-∞, 1) B) (0, 1] C) [0, ∞) D) [1/4, ∞)答案：D) [1/4, ∞)5. 函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点(1, 3)，且在x = 2处取得最小值0.求a、b、c的值。

A) a = 1, b = 2, c = 0 B) a = 2, b = -3, c = 2 C) a = 1, b = -2, c = 3 D) a = -1, b = 2, c = 3答案：C) a = 1, b = -2, c = 3二、计算题1. 求不定积分∫(sinx + cosx)dx。

答案： -cosx + sinx + C（C为常数）2. 设函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值点。

答案：极小值点为x = 1，极大值点为x = 33. 设函数y = ln(3x + 1)，求其反函数。

答案：y = e^x / 3 - 1/34. 已知曲线y = e^x的斜率为1/2，求曲线上点的坐标。

答案：(ln2, 2)5. 设函数f(x) = √(2x + 1)，求f'(1)的值。

答案：1/2三、证明题1. 证明函数y = x^3 - 3x + 2在x = 1处有一个零点。

一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y yA x y+ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x xy y C y ydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21200cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21000cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰4． 4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = .2．交 换ln 1(,)exI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,zy ∂∂.2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。

A. 0B. -1C. -4D. 12. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，求a_5。

A. 10B. 11C. 12D. 133. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是：A. eB. 1C. 2D. 34. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/46. 已知f(x)=2x-1，求f'(2)的值。

A. 3B. 2C. 1D. 07. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,7)8. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 19. 若f(x)在[a,b]上连续，且∫(a到b) f(x) dx = 0，则f(x)在[a,b]上：A. 恒等于0B. 至少有一个零点C. 恒为正D. 恒为负10. 函数y=ln(x)的原函数是：A. x-1C. x^2D. xln(x) - x + C二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是________。

12. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的解是________。

13. 已知∫(0到1) x dx = 1/2，那么∫(1到2) x dx =________。

14. 函数f(x)=x^2+1的二阶导数是________。

15. 利用导数求函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4在x=2时的切线方程是________。

16. 函数y=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。

17. 定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的值是________。

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩a (A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知则的值为（ ）.(3)2,f '=0(3)(3)lim2h f h f h →--(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若在处不连续,则在该点处( ).()f x 0x x =()f x (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方(0,1)(,)x y 23x 程为 .2. （3分） .1241(sin )x x x dx -+=⎰3. （3分） = .201lim sinx x x→4. （3分） 的极大值为 .3223y x x =-三、计算题（共42分）1.（6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2.（6分）设求y =.y '3.（6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4.（6分）求其中3(1),f x dx -⎰,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5.（6分）设函数由方程所确定,求()y f x =0cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰.dy 6.（6分）设求2()sin ,f x dx x C =+⎰(23).f x dx +⎰7.（6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1.（7分）设且求(ln )1,f x x '=+(0)1,f =().f x 2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x x 周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.3232419y x x x =-+-4.（7分）求函数上的最小值和最大值.y x =+[5,1]-五、证明题(6分)设在区间上连续,证明()f x ''[,]a b 1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 123 0;4 0.31;y x =+2;3三、 1 解 原式 5分25lim3x x xx→⋅=1分53=2解2分2ln ln ln(1),2xy x ==-+4分21221xy x '∴=-+3 解 原式 3分221ln(1)(1)2x d x =++⎰2分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰1分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+4解 令则2分1,x t -=1分321()()f x dx f t dt -=⎰⎰1分1211(1)1cos t tdt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++1分21e e =-+5两边求导得2分cos 0,yey x '⋅+= 1分cos y xy e'=-1分cos sin 1xx =-2分cos sin 1xdy dx x ∴=-6解2分1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 4分21sin(23)2x C =++7解 原式= 4分23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=2分32e 四、1 解 令则3分ln ,xt =,()1,t t x e f t e '==+=2分()(1)t f t e dt =+⎰.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=1分().x f x x e ∴=+2解3分222cos x V xdx πππ-=⎰2分2202cos xdx ππ=⎰2分2.2π=3解1分23624,66,y x x y x '''=-+=-令得1分0,y ''= 1.x =当时, 当时,2分1x -∞<<0;y ''<1x <<+∞0,y ''>为拐点,1分(1,3)∴该点处的切线为2分321(1).yx =+-4解2分1y '=-=令得1分0,y '=3.4x =2分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭最小值为最大值为2分∴(5)5y -=-+35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭五、证明1分()()()()()()bbaax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()ba x ab df x =--+⎰1分 {}[2()]()2()bba a x ab f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰移项即得所证. 1分。

大一第二教期下数期终考查之阳早格格创做一、单项采用题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2.　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是共阶无贫小，但是不是等价无贫小；（B ）()()x x αβ与是等价无贫小；（C ）()x α是比()x β下阶的无贫小； （D ）()x β是比()x α下阶的无贫小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 正在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必正在0x =处博得极大值； （B ）函数()F x 必正在0x =处博得极小值；（C ）函数()F x 正在0x =处不极值，但是面(0,(0))F 为直线()y F x =的拐面；（D ）函数()F x 正在0x =处不极值，面(0,(0))F 也不是直线()y F x =的拐面.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、挖空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解问题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由圆程sin()1x ye xy ++=决定，供'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连绝，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 供'()g x 并计划'()g x 正在=0x 处的连绝性.10. 供微分圆程2ln xy y x x '+=谦脚=-1(1)9y 的解. 四、 解问题（本大题10分）11. 已知上半仄里内一直线)0()(≥=x x y y ，过面(,)01，且直线上任一面M x y (,)00处切线斜率数值上等于此直线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成里积的2倍与该面纵坐标之战，供此直线圆程.五、解问题（本大题10分）12. 过坐标本面做直线x y ln =的切线，该切线与直线x y ln =及x 轴围成仄里图形D.(1) 供D 的里积A ；(2) 供D 绕直线x = e 转动一周所得转动体的体积V .六、说明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 正在[]0,1上连绝且单调递减，说明对于任性的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 正在[]π,0上连绝，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .说明：正在()π,0内起码存留二个分歧的面21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(） 解问一、单项采用题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、挖空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e. 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解问题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：圆程二边供导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 正在=0x 处连绝.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、 解问题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此圆程闭于x 供导得y y y '+=''2特性圆程：022=--r r 解出特性根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代进初初条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所供直线圆程为：x x e e y 23132+=-五、解问题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切面为)ln ,(00x x ，切线圆程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过本面，解出e x =0，进而切线圆程为：x e y 1=则仄里图形里积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=直线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得转动体体积为V 2D 绕直线x = e 转动一周所得转动体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、说明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.说明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：构制辅帮函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其谦脚正在],0[π上连绝，正在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F 由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存留),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .正在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗我定理，知存留),0(1ξξ∈战),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】院(系)另寸___________ 班级___________ 学号 _______________ 姓名_________________ 成绩_____________、填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上.)r r r r r1、已知向量a、b满足a b o， a 2，b 2，则a b __________ .32、设z xln(xy)，贝H ----- _____________ .x y3、曲面x2 y2 z 9在点(1,2, 4)处的切平面方程为_________________________________________ .4、设f (x)是周期为2的周期函数，它在［,)上的表达式为f(x) x，贝U f (x)的傅里叶级数在x 3处收敛于____________ ，在x 处收敛于_________ .5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则Jx y)ds __________ .※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程一…,并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级. 、解下列各题：(本题共5小题，每小题7分，满分35分)2x2 3y2 z29 亠 _1、求曲线 2 2 2 在点M o (1, 1,2)处的切线及法平面方程.z 3x y2 2 2 22、求由曲面z 2x 2y及z 6 x y所围成的立体体积.n 13、判定级数(1)n ln 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?n 1 n2x z z4、设z f (xy, ) sin y，其中f具有二阶连续偏导数，求，•y x x y5、计算曲面积分dS,其中是球面x2 y2 z2 a2被平面z h (0 h a)截出的顶部.三、(本题满分9分)抛物面z x y被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.四、(本题满分10分)计算曲线积分L(e x siny m)dx (e x cosy mx)dy,其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点0(0,0)的上半圆周x2 y2 ax (a 0).五、(本题满分10分)n求幕级数的收敛域及和函数.n 13n n六、(本题满分10分)计算曲面积分| 2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy,其中为曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.七、(本题满分6分)设f (x)为连续函数，f(0) a , F(t) [z f(x2 y2 z2)]dv，其中t 是由曲面z •, —y2tF(t)与z t2x2y2所围成的闭区域，求limt 0备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。

大一高等数学期末考试一试卷一、选择题（共12 分）1.（ 3 分）若 f ( x)2e x , x 0,为连续函数 , 则a的值为 ().a x, x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12.（ 3 分）已知f(3) 2, 则lim f (3 h) f (3) 的值为（）.h02h(A)1 (B)3 (C)-1(D)1 23.（ 3 分）定积分212xdx 的值为（）.cos2(A)0 (B)-2 (C)1(D)24.（3分）若f (x)在x x0处不连续,则 f ( x) 在该点处().(A)必不行导 (B) 必定可导 (C) 可能可导 (D) 必无极限二、填空题（共 12 分）1．（3 分）平面上过点(0,1) ，且在任意一点 ( x, y) 处的切线斜率为 3x2的曲线方程为.2.（ 31x4 sin x) dx.分）( x213.（ 3分） lim x2 sin1=.x0x4.（ 3分） y2x33x2的极大值为.三、计算题（共42 分）1.（ 6x ln(15x).分）求 limsin 3x2x02.（6 分）设ye xx2, 求 y .13.（ 6分）求不定积分x ln(1 x2 )dx.x 4.（ 63f ( x 1)dx, 此中f (x) 1, x 1,分）求cosxe x1,x 1.5. （ 6 分）设函数 yy x f ( x) 由方程e t dtcostdt 0 所确立 , 求 dy.6. （ 6 分）设 f ( x)dxsin x 2 C, 求 f (2 x 3)dx.3 n7. （ 6 分）求极限 lim 1 .2nn四、解答题（共 28 分）1. （ 7 分）设 f (ln x) 1 x, 且 f (0)1, 求 f ( x). 2. （ 7 分）求由曲线 ycos x2x与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周2所得旋转体的体积 .3. （ 7 分）求曲线 y x 3 3x 2 24x 19 在拐点处的切线方程 .4. （ 7 分）求函数 yx1 x 在 [ 5,1] 上的最小值和最大值 .五、证明题 (6 分)设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 证明b b a1 bf (x)dx[ f (a) f (b)]( x a)( x b) f ( x) dx.a22 a标准答案一、 1 B;2C; 3D; 4 A.二、 1y x31;22 ;3 0;40.3三、 1解 原式limx5x 5 分x 03x 251 分32 解Q ln y lne x x ln( x 2 1),2 分x 2 12y e x[12x] 4 分x 21 2x 2 13 解原式1ln(1 x 2 ) d (1 x 2 )3 分21[(12)ln(12 (12) 12xdx]2xx )xx 22 分1[(1 x 2 )ln(1 x 2 )x 2 ] C1 分24解令 x1 t, 则2 分320 f ( x)dx1 f (t )dt1t2 t11 costdt1 (e 1)dt0 [ e tt ]12e 2 e 15两边求导得 eyy cosx 0,cosxQ ye ycosxsin x 1dycosx dxsin x 16 解f (2 x 3) dx1 f (2 x2 1sin(2 x 3)2 C21 分1 分1 分 1 分2 分1 分1 分2 分3)d(2 x 2)2 分4 分32 n 37 解原式 = lim3 24 分1n2n3= e22 分四、 1 解令 ln xt, 则 xe t ,f (t) 1 e t ,3 分f (t )(1 e t )dt = t e tC.2 分Q f (0)1, C 0,2 分f (x) xe x .1 分2 解V x2 23 分cos xdx222cos 2 xdx2 分2.2 分23 解 y3x 2 6x 24, y6x 6,1 分令 y 0, 得 x 1.1 分当x 1时 , y0; 当 1 x时 , y0,2 分(1,3) 为拐点 ,1 分该点处的切线为 y 3 21(x 1).2 分4 解 y 11x2 1 x 1, 2 分2 12 1 x令 y0, 得 x3 . 1 分4y( 5)56,2.55,y3 5, y(1) 1,2 分44最小值为 y(5)56, 最大值为 y35 . 2 分44五、证明ba)( x b) f(x) ba)( x b) df ( x)1 分(x( xaabb[( x a)( x b) f (x)] aaf ( x)[2 x ( a b)dx1分ba [2 x (a b)df ( x)1分[2 x (a b)] f ( x)(b a)[ f ( a) f (b)]移项即得所证 .b ba2 a f ( x)dx1分b2 a f ( x)dx,1分1分。

大一下学期高等数学期末考试试题及答案院（系）别班级 学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ⋅= ．2、设ln()z x xy =,则32zx y ∂=∂∂ ．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题,每小题7分,满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰,其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰,其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数,(0)f a =,222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z =与z =,求 30()lim t F t t+→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

大一第二学期高数期末考试之阿布丰王创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则. 6.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.6e . 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =。