高二【数学(人教A版)】《数学归纳法》【教案匹配版】最新国家级中小学课程全高清

教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用：数学归纳法是数列知识的深入与拓展，是证明与正整数有关问题的有力工具，是高中数学的一种重要证明方法。

通过学习，能提高学生的抽象思维能力，培养学生科学探索的创新精神。

2、教学目标1）知识与技能：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学问题；进一步提高学生的猜想归纳能力和创新能力，体会类比、归纳的数学思想。

2）过程与方法：创设积极思考、大胆质疑的课堂情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，通过合作探究，体会从猜想到证明的数学方法。

3）情感态度价值观：通过对数学归纳法的学习，感受到数学来源于生活而又高于生活，养成勤于思考、善于观察的学习习惯。

3、教学重难点1）教学重点：对数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法步骤的掌握。

2）教学难点：数学归纳法中对递推思想的理解。

二、学情分析1、学生的知识与能力储备：作为高二的学生已经学习了数列与推理证明，基本掌握了归纳推理，具备了一定的观察、归纳、猜想的能力。

2、学生可能遇到的困难：（1）学生初学时容易忽视归纳奠基的验证。

（2）学生难以理解第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明，以及如何利用归纳假设证明。

三、教法分析：新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。

结合本节课的内容，我主要采用小组合作探究的形式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。

四、教学过程1、 创设情境情境一：：数列{}n a ，已知11=a ，n n n a a a +=+11（⋅⋅⋅=3,2,1n ），试求出4,32,,a a a 并求出{}n a 的通项。

生：回答并归纳通项na n 1= 师：根据前四项可以归纳结果，它对后续的项是否成立则需要证明，当n 比较小时可以逐一验证，当n 比较大或者证明n 取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，我们需要另辟心径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。

数学归纳法教学目标：（1）通过实例及合作探究，了解数学归纳法的产生过程，并理解数学归纳法的原 理与实质；（2）掌握数学归纳法证明问题的三个步骤，初步会用“数学归纳法”证明与自然 数有关的简单命题；（3）通过数学归纳法进一步反思归纳法的思想，并理解数学归纳法的核心—递推 思想。

（4）通过师生、生生的互动交流过程，从各层次认识所学问题和方法的本质，享 受这个过程所带来的各种认识和收获，在学习交流中不断提高辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力. 为下一步的学习奠定良好的基础。

教学重点：数学归纳法的原理及步骤教学难点：数学归纳法中递推思想的理解教 具：多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、复习回顾，引入新课：从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字了。

第一天先生教给他个“一”字。

第二天先生又教了个“二”字。

第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。

果然这天教了个“三”字。

于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推就可以了。

从此，他决定不再去上学了，父母问他为何不去上学，他自豪地说：“我都学会了”。

父母要他写出自己的名字“万百千”，你能猜想出他会怎么去写自己的名字吗？让学生通过故事分析出归纳推理得到的结论是不可靠的。

我们知道对于数列{a n }，已知a 1＝1，且11n n na a a ＋＝＋（n ＝1，2，3…）通过对n ＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为1n a n＝，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立．二、 创设情境 合作探究 ：【创设情景】同学们都见过或玩过多米诺骨牌游戏，（播放多米诺骨牌录像）大家想一下满足怎样的条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：(1) 第 块骨牌倒下； (2) 任意 的两块骨牌， 块倒下一定导致 倒下。

高中数学 第二章《2.2.3数学归纳法（1）》教案 新人教A 版选修2-2 教学目标知识与技能：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；过程与方法: 掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点: 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学难点: 用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 教学过程:学生探究过程：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-， 自然数平方和公式2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．怎样证明一个与自然数有关的命题呢？讨论以下两个问题的解决方案：（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时， 5221+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131，f （10）=151，… f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ,多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．数学运用例1．用数学归纳法证明：等差数列{}n a 中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-．①证：（1）当1n =时，等式左边1a =，等式右边110a d a =+⨯=，等式①成立．（2）假设当n k =时等式①成立，即1(1)k a a k d =+-，那么，当1n k =+时，有111(1)[(1)1]k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=+--．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式①都成立．变式：用数学归纳法证明：等比数列{}n a 中，1a 为首项，q 为公比，则通项公式为11n n a a q -=． 例2．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=．证：（1）当1n =时，等式左边1=，等式右边1=，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=，那么，当1n k =+时，有135(21)[2(1)1]k k +++⋅⋅⋅+-++- 222[2(1)1]21(1)k k k k k =++-=++=+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2），可知对任何*n N ∈，等式都成立．例3．用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=． 证：（1）当1n =时，211=，1(11)(211)16⨯+⨯⨯+=，结论成立． （2）假设n k =时，结论成立，即2222(1)(21)1236k k k k +++++⋅⋅⋅+=， 那么。

§数学归纳法〔第一课时〕银川二中马丽欣【教学目标】知识与技能：1了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;2掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；3培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想．过程与方法:1创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与开展过程;2通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜测、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;3通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力情感、态度与价值观；1通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；2通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；3通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用。

【教学难点】数学归纳法中递推的思想的理解，初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法。

【教学过程】一、教学引入引入“归纳法〞其实我们在得出结论的过程中，并没有一一考察这个通项公式对所有自然数都成立，也就是说，我们采用的是不完全归纳法。

那么这个结论正确吗〔正确〕那如何证明这个结论呢象这样一个一个地验证下去，行不行我们的人生有限，而自然数集无限，此法绝对不行!那到底如何证明这个结论对于所有的自然数都成立呢二、启发、探究课题1、多米诺骨牌游戏〔多媒体展示〕问：要使骨牌全部倒下，必须具备这样一个条件：板书如果前一块倒了，它就一定能推倒下一块!是不是保证这一点就够了呢结论：要使骨牌全部倒下，必须具备两个条件1第一块一定要倒!2假设前一块第K块倒了，它就一定能推倒下一块第K1块! 我们不妨将前一块记为第K块，那么它的下一块就是第K1块。

现在大家一起来验证一下，有了这两个条件的保证，是否就能使所有骨牌从第一块开始全部倒下由条件1 ，第一块倒已成事实，这样一来，条件2中的假设第一块K=1倒就有了根底，也就能使它的下一块，也就是第二块也倒下，接下来，又可在条件2中取K=2，第三块也必倒，……这样依次传递相推即递推下去，所有的骨牌就都可倒下。

4.4 数学归纳法 教学设计 课程基本信息学科数学 年级 高二 学期 秋季课题 4.4 数学归纳法教学目标1.了解数学归纳法原理，会用数学归纳法原理证明一些简单的与正整数有关的命题；2．通过对多米诺骨牌全部倒下的条件的类比和迁移，归纳得到数学数学归纳法的两个步骤，提高学生数学表达能力和推理论证能力；3.体会从特殊到一般、无穷到有限的辩证思维过程，发展数学抽象素养．教学重难点教学重点：数学归纳法原理的理解及简单应用．教学难点： 理解数学归纳法中两个步骤的作用．教学过程一、创设情境，问题导入问题1 (1)对于一切n ∈N *，n 2＋n ＋11是质数吗?(2)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)，它的通项公式是a n ＝1n 吗? 给n 赋值计算，写出你的猜想，并试着证明你的猜想．师生活动 对于(1)，学生一般会令n ＝1，2，3，4，5…，得12＋1＋11＝13，22＋2＋11＝17，32＋3＋11＝23，42＋4＋11＝31，52＋5＋11＝41…，于是猜想对于一切n ∈N *，n 2＋n ＋11是质数成立．对于(2)令n ＝1，2，3…，由a 1＝1⇒a 2＝12⇒a 3＝13 ⇒a 4＝14 …，于是猜想a n ＝1n成立． 追问1 这两个猜想一定成立吗?师生活动 教师引导学生认识到，题(1) 中，若令n ＝10，得102＋10＋11＝121＝112， 所以猜想不成立．对于(2)，即使举不出反例， 但是通过不完全归纳得到的结论，也不能说明对于任意n ∈N *，都成立．追问2 如果(2)的结论是成立的，如何证明它呢?设计意图 通过设置具体问题，发现运用现有的方法不能证明涉及一切自然数都成立的命题，从而需要研究新的证明方法，引发学习新知识的必要性．同时让学生看到，用不完全归纳得到的结论不一定成立．二、经验提炼，探究规律问题2 题(2)中，由a 1＝1⇒a 2＝12⇒a 3＝13 ⇒a 4＝14…，这是一个无穷步骤的问题，我们能否通过有限的步骤来解决这一无穷的问题呢?师生活动 教师引导学生思考，因为n ∈N *，，我们要达到证明的目的，必须用有限的步骤完成．这就需要我们思考，怎样将“无限”转化为“有限”，通过有限步骤，证明n ∈N *，时，命题成立．追问 你在学过的知识里，有将“无限”转化为“有限”的实例吗?你认为什么能够实现 这样的转化?师生活动 学生回顾，教师适时引导，立体几何中，直线与平面的垂直的定义为：如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直．直线与平面垂直的判定定理为：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直．其定义是“无限”，判定则是“有限”．之所以能够实现转化，是因为一个平面可以由两条相交直线确定，所以一条直线与两条相交直线垂直就能保证直线与平面垂直．设计意图 类比无限到有限的转化，实现知识的迁移．情景 观看多米诺骨牌游戏视频，思考以下问题：问题3 要想保证骨牌全部倒下去，需要具备哪些条件呢?师生活动 教师组织学生重复观看视频，引导学生讨论交流归纳，得到骨牌要全部倒下去，需要具备两个条件：①第一块骨牌要倒下；②如果某一张骨牌倒下，要能保证它的后一张骨牌也倒下(用数学语言表述：如果第k 张倒下，则要使第k ＋1张也倒下)．设计意图 通过“多米诺骨牌”视频游戏，引导学生理解从有限递推到到无穷所需满足的两个条件，逐渐实现问题情景数学化的过渡；同时体会方法的探究过程是来源于生活实践，并接受实践的经验．三、类比分析，形成原理问题4 你认为上述题（2）猜想，与多米诺骨牌有相似性吗?请你完成下表．师生活动 学生合作完成下表：多米诺骨牌题（2）解答 条件一：第一块牌倒下；步骤一：证明n ＝1时，a 1＝1，结论成立； 条件二：任意一块牌倒下，它的后一块牌也倒下(如果第k 张倒下，则要使第k ＋1张也倒下)．步骤二：如果n ＝k 时结论成立，即a k ＝1k， 那么有a k ＋1＝1k ＋1，即n ＝k ＋1时结论也成立． 结果：所有骨牌都倒下． 结果：结论对一切正整数n 都成立．设计意图 通过对多米诺骨牌全部倒下的两个条件的类比分析，得到完成题（2）解答过程应有的两个主要步骤，实现了知识的迁移．追问1 你能完成上述a k ＝1k a k ＋1＝1k ＋1的证明吗? 师生活动 学生独立完成．如果n ＝k ，即a k ＝1k成立，那么有 a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k ＝1k ＋1， 即n ＝k ＋1时a k ＋1＝1k ＋1也成立． 追问2 如何解释题（2）猜想的合理性?师生活动 由学生解释，由n ＝1时，a 1＝1成立，根据步骤二的证明过程知道，就可以得到n ＝2时，a 2＝12成立；由n ＝2时，a 2＝12成立，就可以得到n ＝3时，a 3＝13成立；…… 所以，对于任意的n ∈N *，a n ＝1n成立． 设计意图 由多米诺骨牌全部倒下的条件分析，迁移到对数学命题的证明过程探究，得到了证明方法．既体现了知识来源于实践，又通过由猜想到理性分析，培养学生的逻辑推理能力．设计问题追问，也为原理归纳作好铺垫．问题5 从题（2）猜想的解答过程中，你能归纳出证明一个与正整数n 有关的命题的一般步骤吗?师生活动 师生共同归纳，证明与一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：这种证明方法叫做数学归纳法．师生活动 师生共同理解数学归纳法原理：对于一个与正整数有关的命题，如果①当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1，2等)时结论正确；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确，那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．追问1 数学归纳法的适用范围是什么?追问2 如果n 取的第一个数是5，那么结论又是什么?追问3 第二步证明过程中的条件和结论分别是什么?追问4两个步骤中是否可以省略一个?为什么?设计意图 ：教师引导学生归纳数学归纳法的一般步骤及其数学归纳法原理的形式化表达．然后设置问题串，抓住学生思维的起点，逐层剖析，让学生真正理解数学归纳法的第一步是证明奠基性，第二步是证明递推性，这样既突破了难点，又突出了重点．四、数学应用，评析强化例题 用数学归纳法证明12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *) 师生活动 教师引导学生规范表达，运用数学归纳法证明与正整数n 有关的命题． 证明：(1)当n ＝1时，12 ＝1×2×36 ，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6， 那么，当n ＝k ＋1时，有12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 结论：对一切正整数 n ，命题都成两者缺一不可! 归纳递推归纳奠基（1）验证：当 n ＝ 1 时， 命题成立； (2)证明：假设当 n ＝ k 时命题成立，那么当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立；＝(k＋1)(2k2＋k＋6k＋6)6＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)6＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)6＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]6所以当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对任何n∈N*，等式都成立．巩固练习观察下列命题及运用数学归纳法的证明过程，谈谈你的理解：(1)设n∈N*，求证：2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1．证明假设当n＝k时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么，当n＝k＋1时，有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，等式成立．因此，当n∈N*时，等式2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1成立．(2)证明：当n∈N*时，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．证明①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，有1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝(1＋2k＋1) (k＋1)2＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时，等式成立．因此，对于当n∈N*时，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．设计意图：通过例题展示对数学归纳法的理解应用及规范书写，既强调了学生的主体地位，又突出了教学的针对性．通过巩固练习辨析，强化理解两个主要步骤缺一不可：(1)证明奠基性，(2)证明递推性．帮助学生进一步深刻理解数学归纳法的本质．五、课堂巩固，总结提升本节课我们发现、归纳、运用了一种新的方法－数学归纳法，通过以下问题谈谈你的收获与体会．（1）数学归纳法能够解决哪一类问题?（2）数学归纳法证明命题的步骤有哪些?（3）我们是怎么发现和归纳出这种方法的?设计意图通过以问题形式进行总结，既梳理数学归纳法的内容，又提炼了数学归纳法的发生发展过程及其蕴含的思想方法．附：数学归纳法的发展历程数学归纳法从萌芽到应用，有着悠久的历史，凝聚了众多中外数学家的精力和智慧。

数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：归纳→猜想→证明。

三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。

（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。

【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-能被9整除。

法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。

②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。

【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。

例2：数列{a n }中，1n na a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=（1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。

说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +,(1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式；（2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有 ①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。