误差理论与数据处理 第九章回归分析

湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：误差理论与数据处理课程代码：06018（理论）第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《误差理论与数据处理》课程是高等教育自学考试光机电一体化工程专业的一门沟通课程，是一门基础性很强的课程，理论严密、系统完整、逻辑性很强，也是工科学生的一门方法论课程。

没有测量就没有科学。

人类进行的科学研究和生产实践中都离不开测量，由于测量结果中存在误差是必然的和普遍的现象，误差的存在使得测量结果的可靠性和可信赖度大打折扣，甚至使测量试验结果丧失应有的意义和价值。

在当今的信息技术时代，任何科学试验和生产实践所获得的大量数据信息，必须经过合理的数据处理并给出科学的评价才有其实际价值。

《误差理论与数据处理》课程研究误差存在的一般规律、分析误差的影响因素和产生原因、减小误差对测量结果的影响、以及科学实验和工程实际中常用静态测量数据和动态测量数据的各种常用处理方法。

二、课程目标与基本要求课程目标：使学员系统地掌握误差理论与数据处理的基本概念、理论与方法，并且能够灵活进行误差分析、测量结果评价和试验数据处理，具有较强的分析问题与解决问题的能力。

基本要求：通过学习，学员应能正确理解有关测量、误差、精度、显著性检验等基本概念和它们之间的内在联系，正确理解和应用误差理论与数据处理的基本定律和公式，如：贝赛尔公式、随机误差标准差合成公式、随机误差极限差合成公式、最小二乘法原理、正归方程、回归方程等，能运用所学知识正确确定测量方案并解决一些简单的误差合成与分配问题。

三、与本专业其它课程的关系本课程的先修课程主要有：高等数学、概率论与数理统计、大学物理、矩阵代数、检测理论、工程测试技术、过程控制与自动化仪表、信号与系统等。

本课程的重点内容包括：误差的基本性质与误差处理、误差的合成与分配、测量不确定度、线性参数的最小二乘估计、回归分析、动态测试数据处理基本方法、动态测量误差及其评定等。

学好本课程，将为本专业后续专业课程的学习打下基础。

生物实验教学中的数据处理方法在生物实验教学中，数据处理方法是至关重要的一环。

准确、合理地处理实验数据，可以帮助我们获得准确的结果，并对实验结果进行深入的分析与解释。

在本文中，我们将讨论几种常见的生物实验数据处理方法。

一、平均值与标准差的计算在实验过程中，我们通常进行多次重复实验以提高实验结果的可靠性。

在进行数据处理时，我们首先计算实验数据的平均值和标准差。

平均值可以反映实验数据的集中趋势，而标准差则可以反映数据的离散程度。

通过计算平均值和标准差，我们可以对实验数据进行初步的分析。

二、误差分析与数据修正在实验中，我们常常会遇到各种误差，如仪器误差、人为误差等。

这些误差可能会对实验数据产生影响，从而影响实验结果的准确性。

因此，我们需要进行误差分析，并对数据进行修正。

误差分析可以通过计算相对误差或绝对误差来进行。

相对误差是指测量值与理论值之间的差异的比值，而绝对误差则是指测量值与理论值之间的差异的绝对值。

通过分析误差的来源和大小，我们可以找出误差产生的原因，并采取相应的措施进行数据修正。

三、相关性分析在一些实验中，我们希望研究不同变量之间的相关性。

为了了解变量之间的相关关系，我们可以利用相关系数进行相关性分析。

相关系数是反映两个变量之间相关程度的统计指标。

常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

皮尔逊相关系数适用于两个符合正态分布的连续变量之间的相关性分析，而斯皮尔曼相关系数则适用于两个有序变量之间的相关性分析。

通过相关性分析，我们可以了解变量之间的相关性，并进一步分析它们之间的因果关系。

四、方差分析方差分析是一种常用的多组数据比较方法。

通过方差分析，我们可以判断不同处理组之间的差异是否显著。

方差分析的基本思想是比较组内差异与组间差异的大小。

如果组间差异显著大于组内差异，则说明不同处理组之间存在显著差异。

方差分析可以帮助我们确定不同处理对实验结果的影响程度，并进行进一步的统计分析。

五、回归分析回归分析是通过建立数学模型来描述变量之间的关系。

误差理论与数据处理答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－＝（mm ）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 ，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。

1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。

1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

误差理论与数据处理知识总结1、1研究误差的意义1、1、1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1、2误差的基本概念1、2、1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1、2、2绝对误差：某量值的测得值之差。

1、2、3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1、2、4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。

1、2、5误差来源：1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差1、2、6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1、2、7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1、2、8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1、2、9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1、3精度1、3、1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1、3、2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1、4有效数字与数据运算1、4、1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

1、4、2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

误差回归分析的概念误差回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

它通过对自变量和因变量之间的误差进行建模，对数据进行分析和预测。

误差回归分析广泛应用于各个领域，如经济学、社会科学、环境科学等。

在误差回归分析中，我们通常假设因变量与自变量之间的关系是线性的。

我们希望通过建立一个线性模型，来解释因变量的变异，并利用模型来预测因变量的值。

在误差回归分析中，我们用自变量x 的值来解释因变量y 的值。

我们希望找到一个线性关系，即y = β0 + β1x + ε，其中β0 是截距，β1 是斜率，ε是误差项。

误差项表示了我们无法解释的因素对因变量的影响，也被称为随机项。

误差项是误差回归分析的核心。

它包含了影响因变量的其他因素，如忽略的变量、测量误差等。

通过将这些无法解释的因素纳入到误差项中，我们可以更准确地描述自变量与因变量之间的关系。

误差回归分析的目标是通过最小化误差项的平方和来估计模型参数。

具体而言，我们希望找到一组参数β0 和β1，使得误差项的平方和最小化。

这一过程被称为最小二乘法。

最小二乘法的思想是通过找到使得误差项最小的参数，使得模型的拟合效果尽可能好。

具体而言，我们通过计算残差的平方和来评估模型的拟合效果，然后通过最小化残差的平方和来选择最佳的参数。

误差回归分析涉及到估计参数、检验假设和进行预测。

首先，我们通过使用最小二乘法来估计模型参数。

估计出的参数可以用于解释因变量和自变量之间的关系。

其次，我们可以使用假设检验来判断模型参数的显著性。

如果某个参数的p 值小于某个显著性水平，我们可以拒绝该参数为零的假设，即该参数对因变量具有显著影响。

最后，我们可以使用模型来进行预测。

通过将自变量的值代入到模型中，我们可以得到对因变量的预测值。

误差回归分析还有一些前提条件需要满足。

首先，误差项应该是独立同分布的。

这意味着误差项的分布应当具有相同的方差和均值。

其次，误差项应该服从正态分布。

这样可以确保我们对模型参数的估计是有效的。

《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

误差理论及数据处理方法
随机误差是随机变动引起的测量值的波动性，它是由于测量仪器的精
度限制、环境的扰动和测量过程中人为的不确定性等因素导致的。

随机误
差可以通过多次重复测量来进行评估和控制。

数据处理方法是指对测量结果和数据进行分析和处理的一系列数学和
统计方法。

在数据处理中，常用的方法包括均值、标准差、标准误差、回
归分析、方差分析等。

均值是对一组测量结果进行描述和统计的一种方法，它可以表示这组
测量结果的中心位置。

均值的计算公式是将所有测量值相加并除以总个数。

标准差是对一组测量结果的离散程度进行评估的一种方法，它可以表
示这组测量结果的分散程度。

标准差的计算公式是对每个测量值与均值之
差的平方进行加总后再除以总个数，再开方。

标准误差是对均值的不确定性进行估计的一种方法，它可以表示对同
一组测量结果重复测量所得均值的波动程度。

标准误差的计算公式是将标
准差除以该组测量结果的总个数再开方。

回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。

通过
分析自变量（独立变量）和因变量（依赖变量）之间的关系，可以建立一
个回归方程，从而预测未知因变量的值。

方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计方法。

方差分析可以通过计算组间变异与组内变异比例的F值，来判断不同样本
均值之间是否存在显著性差异。

误差理论和数据处理方法在科学研究和实验中具有重要意义。

通过对误差进行合理评估，并使用合适的数据处理方法，可以提高测量结果和数据的准确性和可靠性，进而确保科学研究的可信度和可重复性。