多元函数的极值

xy
( x , y ) = − 3,
f yy ( x , y ) = 6 y 。
（ 1）在驻点（ 0， 0）处，
A= f
xx
( 0, 0) = 0, B = f
xy
( 0, 0) = −3, C = f
yy
( 0, 0) = 0 ，
∵ AC − B 2 = −9 < 0 , ∴函数 f ( x , y ) 在点（ 0， 0）无极值。
F ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λϕ ( x , y , z ) ，
⎧ Fx = 0 ⎪ ⎪Fy = 0 （2）解方程组 ⎨ ， ⎪ Fz = 0 ⎪ϕ ( x , y , z ) = 0 ⎩
得可能极值点 ( x0 , y0 , z0 ) 。
⎧ f x + λϕ x = 0 ⎪ ⎪ f y + λϕ x = 0 即⎨ ， ⎪ f z + λϕ z = 0 ⎪ϕ ( x , y , z ) = 0 ⎩
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例 2.求函数 z = ( x 2 + y 2 − 2 x ) 2 在圆域 D = {( x , y ) x 2 + y 2 ≤ 2 x } 的最大值和最小值。
∂z = 2( x 2 + y 2 − 2 x ) ⋅ ( 2 x − 2) = 0 ， 解： ∂x ∂z = 2( x 2 + y 2 − 2 x ) ⋅ 2 y = 0 ， ∂y
5
4.求函数 z = f ( x , y ) 的极值的步骤
（1）求偏导数 f x ， f y ， f xx ， f xy ， f yy ；
⎧ ⎪ f x ( x, y) = 0 （2）解方程组 ⎨ ，求出一切驻点； ⎪ ⎩ f y ( x, y) = 0
（3）对于每一驻点 ( x0 , y0 ) ，求出 A = f xx ( x0 , y0 ) ，
例如，点 (0 , 0) 为 函数 z = xy 的驻点，但不是极值点。4
3．定理 2（极值存在的充分条件）
设函数 z = f ( x , y ) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内具有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) = 0 ， f x ( x0 , y0 ) = 0 ， 记 f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ， f yy ( x0 , y0 ) = C ，则
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（ 2）在驻点（ 1， 1）处，
A = f xx (1, 1) = 6, B = f xy (1, 1) = −3, C = f
yy
(1, 1) = 6 ，
∵ AC − B 2 = −9 + 36 = 27 > 0 , 且 A > 0 ， ∴函数 f ( x , y ) 在点（ 1， 1）有极小值 f (1, 1) = −1 。
7.2
多元函数的极值
一、极值
1．二元函数的极值的定义
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于点 ( x 0 , y 0 ) 的点 ( x , y ) ，如果都适合不 等式 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ，则称函数在点 ( x 0 , y 0 ) 有极大值
f ( x 0 , y 0 ) ；如果都适合不等式 f ( x , y ) > f ( x 0 , y 0 ) ，则称
函数在点 ( x 0 , y 0 ) 有极小值 f ( x 0 , y 0 ) 。极大值和极小值统 称为极值，使函数取得极值的点 ( x 0 , y 0 ) 称为极值点。
2
z
函数 f ( x , y ) = x 2 + y 2 在 点 (0, 0) 处有极小值 f (0, 0) = 0 。
解之，得 x = y = 3 2 ，
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∵函数 A 在定义域 D = {( x , y ) x > 0, y > 0} 内只有唯一的 驻点 ( 3 2 , 3 2 ) ，又由问题的实际意义可知,函数 A 在定 义域 D 内一定有最小值，
2 ∴当水箱的长和宽均为 2m ，高为 3 3 = 3 2m 时， 2⋅ 2
ϕy ϕx ∂z ∂z =− =− ， ， ϕz ∂y ∂x ϕz
13
将 z = z ( x , y ) 代入 u = f ( x , y , z ) 得 u = f ( x , y , z ( x , y )) ， fz ∂u ∂z = f x + fz ⋅ = f x − ⋅ϕ x ， ∂x ∂x ϕz fz ∂z ∂u = f y + fz ⋅ = f y − ⋅ϕ y ， ∂y ∂y ϕz
⎧max V = xyz ( x > 0, y > 0, z > 0) ⎨ 2 + + = 2 xy 2 yz 2 xz a ⎩
构造 Lagrange 函数 F ( x , y , z , λ ) = xyz + λ ( 2 xy + 2 yz + 2 xz − a 2 ) ，
⎧ Fx = yz + 2λ ( y + z ) = 0 ⎪ ⎪ F y = xz + 2λ ( x + z ) = 0 令 ⎨ ⎪ Fz = xy + 2λ ( x + y ) = 0 ⎪ F = 2 xy + 2 yz + 2 xz − a 2 = 0 ⎩ λ
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⎧ f x + λϕ x = 0 ⎪ fz ⎪ f y + λϕ x = 0 = λ ，方程组可改写为 ⎨ 令− ϕz ⎪ f z + λϕ z = 0 ⎪ϕ ( x , y , z ) = 0 ⎩
从这个方程组解出 x0 , y0 , z 0 , λ ，其中 ( x0 , y0 , z0 ) 即为可能极值点。这种方法叫做拉格朗日乘数法。
上面方程组表示了函数
F ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λϕ ( x , y , z )
函数 F ( x , y , z , λ ) 称为拉格朗 的四个一阶偏导数等于 0： 日函数， 数 λ 称为拉格朗日乘数。
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3．用拉格朗日乘数法求条件极值的步骤
（1） 构造 Lagrange 函数：
a ∴函数 V 在驻点处取得最大值，即当长、宽、高均为 时， 6
长方体有最大体积：Vmax
6 3 = a 。 36
19
例 5．在旋转椭球面 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1 上，求距离平面
2 x + y − z = 6 的最近点和最远点。
例 6．在椭球面 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4 的位于第一卦限部分上 求一点，使得在此点的切平面与三个坐标面所围成的 三棱锥的体积最小。
x
函数 f ( x , y ) = a 2 − x 2 − y 2 在 点 (0, 0) 处有极大值 f ( 0, 0) = a 。
o
z
y
o x
二元函数极值的概念可推广到 n 元函数 。
3
y
2．定理 1（极值存在的必要条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点
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注： （1）若由问题的实际意义知必存在条件极值，且只有 唯一的驻点，则该驻点即为所求的极值点。 （2）拉格朗日乘数法可推广到自变量多于三个而约束 条件多于一个的情形。
例如：求函数 u = f ( x , y, z , t ) 在约束条件 ϕ ( x , y, z , t ) = 0 ，
ψ ( x , y, z , t ) = 0 下的极值，可构造辅助函数
8
二、最大值及最小值
有界闭区域 D 上连续的函数一定有最大值和最小值。若使 函数取得最大值或最小值的点在区域 D 的内部，则这个点必然 是函数驻点，或者是一阶偏导数中至少有一个不存在的点，然 而最大值和最小值也可能在该区域的边界上取得。
因此，求有界闭区域 D 上二元函数的最大值和最小值 时，首先要求出函数在 D 内的驻点、一阶偏导数不存在的点 处的函数值及该函数在 D 的边界上的最大值和最小值，比较 这些值，其中最大者就是该函数在 D 上的最大值，最小者就是 该函数在 D 上的最小值。
B = f xy ( x0 , y0 ) ， C = f yy ( x0 , y0 ) 的值；
（4）定出 AC − B 2 的符号，按定理 2 的结论判定 出 f ( x0 , y0 ) 是否是极值、是极大值还是极小值。
6
例 1．求函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy 的极值。
f ( x , y ) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：
（1）当 AC − B 2 > 0 时有极值， 且 A < 0 时有极大值 ，当 A > 0 时有极小值 ； （2）当 AC − B 2 < 0 时没有极值； （3）当 AC − B 2 = 0 时可能有极值，也可能没有极值。
( x0 , y0 ) 处有极值，则必有 f x ( x 0 , y0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 ) = 0 。
定理 1 可推广到 n 元函数 。
同时满足 f x ( x0 , y0 ) = 0 ， f y ( x0 , y0 ) = 0 的点 ( x0 , y0 ) 称为函数 z = f ( x , y ) 的驻点。 ⎯ ⎯→ 注意： 可导函数的极值点 驻点 ← ⎯⎯
2 ⎧ = − 3y = 0 ⎧x = 0 ( , ) 3 f x y x ⎧x = 1 ⎪ x ⇒⎨ 解： ⎨ 和 ⎨ ， 2 ⎪ ⎩y =1 ⎩ f y ( x, y) = 3 y − 3 x = 0 ⎩ y = 0