第三章 流体动力学

§3-2 流体运动中的基本概念
§3-3 流体流动的连续性方程 §3-4 伯努利能量方程 §3-5 恒定流动量方程
§3-6 恒定流动的动量矩方程
§3-7 相似原理与量纲分析
§3—1 流体运动的描述方法
1. 流场的概念：
流体流动占据的空间称为流场。
2. 流体力学的主要任务：
研究流场中的流动。
3. 两种研究两种方法：
三. 迹线和流线
• 拉格朗日法中位移
• 迹线是流体
质点运动的轨 迹，是与拉格 朗日观点相对 应的概念。
表达式
r r(a, b, c, t )
即为迹线的参数方 程。
t 是变数，a,b,c 是
参数。
• 在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数
x,y,z 成为 t 的函数，所以迹线的微分方程为
总结：流线特征 1.恒定流中，流线与迹线重合 2.流线上任一点的切线方向即该点的流速矢量方向 3.恒定流时，流线的形状和位置不随时间改变
4.流线的疏密反应了速度的大小
四. 均匀流、非均匀流；渐变流、急变流
速度等物理量是否与 空间坐标无关？
均匀流 非均匀流
• 判别：
均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的 流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。
圆管的水力半径为：R h
Rh 矩形的水力半径为：
A
d
4
A ab 2 (a b )
A a2 a 4a 4
正方形的水力半径： Rh
• 通过流场中某曲面 A 的流速通量
称为流量，记为 Qv ，它的物理意 义是单位时间穿过该曲面的流体 体积，所以也称为 体积流量 ，单 位为 m3/s .
• 用欧拉观点对质量守恒原
理的描述：连续介质的运动 必须维持质点的连续性，即 质点间不能发生空隙。因此， 净流入控制体的流体质量必 等于控制体内因流体密度变 化而增加的质量。
第三章 流体动力学
流体动力学研究的主要问题是流速和压强 在空间的分布。两者之中，流速更加重要。 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的 方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
本章建立描述流体运动规律的三个基本方 程连续方程、伯努利方程和动量方程。
第三章 流体动力学
§3-1 流体运动的描述方法
d r u[ x(t ), y(t ), z (t ), t ] d t
dx dy dz dt ux [x (t ), y (t ), z (t ), t ] uy [x (t ), y (t ), z (t ), t ] uz [x (t ), y (t ), z (t ), t ]
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
§3-2 流体运动中的基本概念
一. 恒定流、非恒定流
•
•
若流场中各空间点上的 任何运动要素均不随时间 变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。
恒定流中，所有物 理量的欧拉表达式中 将不包含时间，它们 只是空间位置坐标的 函数，时变导数为零。
uz 0 0 z
大展弦比机翼绕流
u0 y o x
u0 y o x
z
柱坐标系中的轴对称流动：
u r u r (r , z, t ) u 0 u u (r , z, t ) z z
u 0 0
液体在圆截面管道中的流动 r

o 子午面
z
• 一维流动 流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动
例如，恒定流的 流速场：
u u( x, y, z)
u 0 度为零，但位变加速 t 度可以不为零。
• 恒定流的时变加速
a 恒定流
b 非恒定流
•
流 动 是 否恒定与所 选取的参考 坐标系有关 , 因此是相对 的概念。
二. 流动按空间维数的分类
一维流动
二维流动
平面流动 轴对称流动
三维流动
分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。 射流 总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口 的流动。
六. 流量和断面平均流速
湿周：总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称为湿
周，用符号 表示
水力半径 R ：过流断面面积 A 与湿润周长 x 的 比值 。 R h
d 2 d
4
A
（ x 、 y 、 z 、 t ）称 为欧拉变量。
u x u x x、y、z、t u y = u y x、y、z、t u z = u z x、y、z、t
x,y,z,t 为 欧 拉 变 量 ，
•
欧拉法是流场法， 以固定空间为研究对 象。
(x,y,z) 是 空 间 点 （ 场 点）。流速 u 是在 t 时 刻占据 (x,y,z) 的那个流
（a、b、c、t）称为拉格朗日变量 特点：追踪流体质点的运动； 优点：可以直接运用理论力学中早已建立的质点或 质点系动力学来进行分析。 缺点：但是这样的描述方法过于复杂，实际上难于 实现.
流场
欧拉法
风 机 风速超标？ 比赛场地
运 动 场
用“流速场”这个概念来描述流体的运动。它 表示流速在流场中的分布和随时间的变化。这就是 欧拉法。
x x ( a , b, c , t ) y y ( a , b, c , t ) z z ( a , b, c , t )
2 x x a、b、c、t u x x a、b、c、t ux ax t t 2 t t 2 u y a、b、c、t y a 、 b 、 c 、 t y y ay = uy = 2 t t t t 2 z z a、b、c、t a uz = z a、b、c、t z uz = 2 t t t t
是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程
和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微 分方程求解容易。
3. 在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。
基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中方便。
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点
位置坐标（x, y, z），它是 t 的函数。给定初始时刻质点的位 置坐标，就可以积分得到迹线。
• 流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲
线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。 流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布 情况就得到了形象化的描绘。
• 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和
一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便 分析处理。
• 二维流动
流场与某一空间 坐标变量无关，且沿该坐标 方向无速度分量的流动。
直角系中的平面流动：
ux ux ( x , y , t ) uy uy ( x , y , t ) u 0 z
即拉格朗日法和欧拉法。
描述流体运动的困难
离散 质点系
流体
刚体
质点间 的约束 质点数
无 N个
弱 无穷
强
无穷
离散 质点系
流体
刚体
编号，逐点 描述 3N个自由度
困难： 无穷多质点 有变形 不易显示
六个自由 度运动
一. 拉格朗日法
沿用固体力学的方法，把流场中流体看作是无数连 续的质点所组成的质点系，如果能对每一质点的运 动进行描述，那么整个流动就被完全确定了。
（a，b，c） t＝0
经过时间t
t＝t x（a，b，c，t） y（a，b，c，t） z（a，b，c，t）
•
拉格朗日法是以流体 质点为对象，以流体质 点在某一时间t时的坐 标a、b、c为变量组成 函数
(a,b,c,t) 是拉格朗日变量， (a,b,c,)称为拉格朗日坐标，不 同的(a,b,c,)代表不同的质点。
均匀流
非均匀流
• 例如，以下的流动
是均匀流：
y a z o
ux ux ( y) , u y uz 0
ux
x
• 应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动
u const
相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任 何方向不变。后者是均匀流的一个特例。
Байду номын сангаас •
在实际流动中，经 常会见到均匀流，如 等截面的长直管道内 的流动、断面形状不 变，且水深不变的长 直渠道内的流动等。
• 根据流线的定义，
可以推断：除非流 速为零或无穷大处， 流线不能相交，也 不能转折。
• 在非恒定流情况下，流
线一般会随时间变化。在 恒定流情况下，流线不随 时间变，流体质点将沿着 流线走，迹线与流线重合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观 点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速 度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。 即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍 是完全不同的概念。
不与流线重合的封闭 曲线L，在同一时刻 过 L上每一点作流线， 由这些流线围成的管 状曲面称为流管。
L
流管
流线
•根据流管的定义易知，在
• 与流线一样，
流管是瞬时概 念。 对应瞬时，流体不可能通 过流管表面流出或流入。
• 过水断面
与流动方向正交的流管的横断面
• 过水断面为面积微元
的流管叫元流管，其 中的流动称为元流。
•
恒定均匀流的时变加速度 和位变加速度都为零，即流 体质点的惯性力为零，将作 匀速直线运动。若总流为均 匀流，其过水断面是平面。 这些均匀流的运动学特性， 将给以后处理相关的动力学 问题带来便利，因此在分析 流动时，特别关注流动是否 为均匀流的判别。