2020版高考数学一轮复习课后限时集训25平面向量的基本定理及坐标表示文含解析北师大版

考点规范练25　平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.向量a =(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3),A 选项中e 1=0,C,D 选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B .2.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则=( )λμA.2B.4C.D.1214a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A (1,-1),B (6,2),C (5,-1).所以a ==(-1,1),b ==(6,2),c ==(-1,-3).AO OB BC ∵c =λa +μb ,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),∴解得{-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,{λ=-2,μ=-12,∴=4.λμ3.已知平面向量a =(1,-2),b =(2,m ),且a ∥b ,则3a +2b =( )A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)a ∥b ,所以m+4=0,所以m=-4.所以b =(2,-4).所以3a +2b =(7,-14).4.在▱ABCD 中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC 与BD 相交于点M ,则=( )AD AB AM A. B. C. D.(-12,-6)(-12,6)(12,-6)(12,6)▱ABCD 中,有,所以)=(-1,12)=,故选B .AC =AB +AD ,AM =12AC AM =12(AB +AD 12(-12,6)5.在△ABC 中,点P 在BC 上,且=2,点Q 是AC 的中点.若=(4,3),=(1,5),则等于( )BP PC PA PQ BC A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21),=3=3(2)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).BC PC PQ ‒PA PQ PA6.已知平面直角坐标系内的两个向量a =(1,2),b =(m ,3m-2),且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c =λa +μb (λ,μ为实数),则m 的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)c 都可以唯一地表示成c =λa +μb (λ,μ为实数),所以a ,b 一定不共线,所以3m-2-2m ≠0,解得m ≠2,所以m 的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D .7.若平面内两个向量a =(2cos θ,1)与b =(1,cos θ)共线,则cos 2θ等于( )A. B.1 C.-1 D.012a =(2cos θ,1)与b =(1,cos θ)共线,知2cos θ·cos θ-1×1=0,所以2cos 2θ-1=0,所以cos 2θ=0,故选D .8.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=,且|OC|=2.π4若=λ+μ,则λ+μ=( )OC OA OB A.2 B. C.2 D.4222|OC|=2,∠AOC=,C 为坐标平面第一象限内一点,所以C ().π42,2又因为=λ+μ,OC OA OB 所以()=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ).2,2所以λ=μ=,所以λ+μ=2.229.已知平面内有三点A (0,-3),B (3,3),C (x ,-1),且,则x 的值为 .AB ∥AC,得=(3,6),=(x ,2).AB AC ∵,∴6x-6=0,解得x=1.AB ∥AC 10.若平面向量a ,b 满足|a +b |=1,a +b 平行于x 轴,b =(2,-1),则a=.-1,1)或(-3,1)|a +b |=1,a+b 平行于x 轴,得a +b =(1,0)或a +b =(-1,0),则a =(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a =(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).11.如图,在▱ABCD 中,M ,N 分别为DC ,BC 的中点.已知=c ,=d ,则= ,AM AN AB AD = .(用c ,d 表示) d -c )　(2c -d )23设=a ,=b .因为M ,N 分别为DC ,BC 的中点,所以b ,a .AB AD BN =12DM =12又所以{c =b +12a ,d =a +12b ,{a =23(2d -c ),b =23(2c -d ),即(2d -c ),(2c -d ).AB =23AD =23二、能力提升12.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且=3,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合).若=x BC CD AO +(1-x ),则x 的取值范围是( )AB AC A. B. C. D.(0,12)(0,13)(-12,0)(-13,0),设,其中1<λ<,BO BC 43则+λ+λ()AO =AB +BO =AB BC =AB AC ‒AB =(1-λ)+λ.AB AC 又=x +(1-x ),且不共线,AO AB AC AB ,A C 于是有x=1-λ∈,(-13,0)即x 的取值范围是.(-13,0)13.若α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( )A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)a 在基底p ,q 下的坐标为(-2,2),∴a =-2p +2q =(2,4).令a =x m +y n =(-x+y ,x+2y ),则解得{-x +y =2,x +2y =4,{x =0,y =2.14.如图,在△OAB 中,P 为线段AB 上的一点,=x +y ,且=2,则( )OP OA OB BP PA A.x=,y=2313B.x=,y=1323C.x=,y=1434D.x=,y=3414又=2所以)=,OP =OB +BP BP PA O =OB +23BA =OB +23(OA ‒OB 23OA +13OB 所以x=,y=.231315.在Rt △ABC 中,∠A=90°,点D 是边BC 上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμAB AC AD AB AC 取得最大值时,||的值为( )AD A. B.3 C. D.7252125因为=λ+μ,而D ,B ,C 三点共线,AD AB AC 所以λ+μ=1,所以λμ≤,(λ+μ2)2=14当且仅当λ=μ=时取等号,此时,12AD =12AB +12AC 所以D 是线段BC 的中点,所以||=|=.故选C .AD 12|BC 5216.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对的边,且3a +4b +5c =0,则a ∶b ∶c=　. BC CA AB∶15∶123a +4b 5c =0,BC CA AB ∴3a ()+4b +5c =0.BA +AC CA AB∴(3a-5c )+(3a-4b )=0.BA AC 在△ABC 中,∵不共线,BA ,AC ∴解得{3a =5c ,3a =4b ,{c =35a ,b =34a .∴a ∶b ∶c=a ∶a ∶a=20∶15∶12.3435三、高考预测17.已知向量a =(m ,2m-1),b =(1,-2),若a ∥b ,则|4a +2b |= . 35向量a =(m ,2m-1),b =(1,-2),且a ∥b ,∴-2m=2m-1,解得m=,∴a =,14(14,-12)∴4a +2b =(3,-6),∴|4a +2b |==3.32+(-6)25。

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：平面向量基本定理及坐标表示（含解析）一、【知识精讲】1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[微点提醒]1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、【典例精练】考点一平面向量基本定理及其应用例1在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________. 【答案】13.【解析】因为OC →＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13. 【解法小结】 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1) (2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________.(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4【答案】 （1）－3；(2)D【解析】（1）∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，。

第二节 平面向量基本定理及坐标表示[考纲要求]1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．突破点一 平面向量基本定理[基本知识]如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BE ―→等于________．答案：b －12a2．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：03．设e 1，e 2是平面内一组基底，且a ＝e 1＋2 e 2，b ＝－e 1＋e 2，则2a －b ＝________. 答案：3 e 1＋3 e 2[典例感悟]1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝⎛⎭⎫23AB ―→＋23 AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C. 2．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．解析：因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→， 又CM ―→＝t CP ―→＝t (AP ―→－AC ―→)＝t ⎝⎛⎭⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→. 故⎩⎨⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎨⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案：34[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45解析：选D 因为AB ―→＝AN ―→＋NB ―→＝AN ―→＋CN ―→＝AN ―→＋(CA ―→＋AN ―→)＝2AN ―→＋CM ―→＋MA ―→＝2AN ―→－14AB ―→－AM ―→，所以AB ―→＝85AN ―→－45AM ―→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.2．如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2，②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.突破点二 平面向量的坐标表示[基本知识]1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力]1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________. 答案：(5,2)2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝________.解析：设C (x ，y )，则AC ―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－64．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________. 解析：设C (x ，y )，则BC ―→＝(x ＋3，y －2)＝(2,4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6，即C (－1,6)． 由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0,5)， 所以BD ―→＝(0＋3,5－2)＝(3,3)． 答案：(3,3)[全析考法]考法一 平面向量的坐标运算[例1] (1)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫－12，－5 D.⎝⎛⎭⎫12，－5[解析] (1)因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．(2)因为在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，所以CO ―→＝－AO ―→＝－12(AD ―→＋AB ―→)＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故选C. [答案] (1)D (2)C [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考法二 平面向量共线的坐标表示[例2] (2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标． [解] (1)a ＋k c ＝(3＋4k ,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2,4)，| d －c |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3. ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)． [方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[集训冲关]1.[考法一]如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9,8) B ．(－7，－4) C ．(7,4)D ．(－9，－8)解析：选B a －2b ＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B.2.[考法二]已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( ) A ．b ＝(2，－2) B ．b ＝(－2,2) C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)解析：选A (2，－2)＝2(1，－1)，b ＝2a ，故选A.3.[考法一]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________. 解析：因为a ＋b ＝(5,2m )≠0，所以由(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0得2|a |－|b |＝0，所以|b |＝2|a |，所以42＋m 2＝212＋m 2，解得m ＝±2. 答案：±24.[考法二 ]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.解析：由a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，得m a －n b ＝(m ＋2n ,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，由m a －n b 与2a ＋b 共线，可得7(m ＋2n )＝0，则mn ＝－2.答案：－2[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2 e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4 e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.2．(2019·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a ＝(1，m )，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b )＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b )∥c ，∴－1×3－x ＝0，∴x ＝－3.故选C.4．(2019·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4.5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝⎛⎭⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝23a ＋ 13b .故选B.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则| c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴| c |＝9＋9＝32，故选B. 2．(2019·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( ) A.13 B ．－13C.79D ．－79解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选C.若AC―→4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B.5．(2019·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AP ―→，∴PC ―→＝2AP ―→，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13b sin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b 3sin C )＝S △ABC －29×3S △ABC ＝13S △ABC ，∴△PQR 与△ABC 的面积比为1∶3.故选B. 6．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3 m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ,3 m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3 m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．7．(2019·淮南一模)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233解析：选D 如图．AC ―→＝1y AN ―→，AB ―→＝1x AM ―→，又∵AG ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，∴AG ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )·⎝⎛⎭⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( ) A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：选D 由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→ (λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→ (μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμ·OB ―→(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________. 解析：a ＋b ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6)11.如图，在△ABC 中，已知43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→，点P 在线段BN 上，若AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，则实数λ的值为________．解析：43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→可化为AN ―→＝13NC ―→，即AN ―→＝14AC ―→，因为AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，所以AP ―→＝λAB ―→＋34AN ―→.由B ，P ，N 三点共线可得λ＝14.答案：1412．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－2313.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC边的中点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→，OB ―→＋OC ―→＝2OE ―→，因为OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，所以2OD ―→＋4OE ―→＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为3∶2.答案：3∶214.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD＝45°，CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，求x ＋y 的值．解：不妨设圆O 的半径为1，则A (－1,0)，B (1,0)，D (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫12，－32，所以CD ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，1＋32， BC ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－32. 又CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，所以⎝⎛⎭⎫－12，1＋32 ＝x (－1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，－32. 所以⎩⎨⎧－12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋33，y ＝－3＋233， 所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33. 15．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN―→＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8 n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，所以OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，所以ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N (9,2)．所以MN ―→＝(9，－18)．。

第二节 平面向量基本定理及坐标表示2019考纲考题考情1．平面向量基本定理(1)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

(2)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2。

2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y 。

3．平面向量的坐标运算若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0。

1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然。

2．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0。

3．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2。

一、走进教材1．(必修4P 99例8改编)若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1)解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→或P 1P →＝23P 1P 2→，P 1P 2→＝(3，－3)。

设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －1，y －3)，当P 1P →＝13P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝13(3，－3)，所以x ＝2，y ＝2，即P (2,2)；当P 1P →＝23P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝23(3，－3)，所以x ＝3，y ＝1，即P (3,1)。

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：210+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，3AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影17，()sin ,cos x x =n ， （1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即sin cos 022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n )1sin cos 2x x -=，18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。

课后限时集训(二十五)　平面向量的基本定理及坐标表示(建议用时：40分钟)A 组　基础达标一、选择题1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．]2．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23,12)C ．(7,0)D ．(－7,0)A [∵3a －2b ＋c ＝0，∴c ＝－3a ＋2b ＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)．故选A.]3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D [由题意可知a 与b 不共线，即3m －2≠2m ，∴m ≠2.故选D.]4．(2018·东北三校二模)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，若(a －b )∥(2a ＋tb )，则t ＝( )A ．0B.12C ．－2 D ．－3C [由题意得a －b ＝(2，－1)，2a ＋tb ＝(2－t,2＋2t )．因为(a －b )∥(2a ＋tb )，所以2×(2＋2t )＝(－1)×(2－t )，解得t ＝－2，故选C.]5.(2019·成都诊断)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，＝x ＋OP → OA →y ，且＝2，则( )OB → BP → PA →A ．x ＝，y ＝B ．x ＝，y ＝23131323C ．x ＝，y ＝D ．x ＝，y ＝14343414A [由题意知＝＋，且＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x ＝OP → OB → BP → BP → PA → OP → OB → 23BA → OB → 23OA → OB →23OA → 13OB → ，y ＝.]23136．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，AB →＝b ，则＝( )AC → A D →A ．a －b 12B.a －b 12C ．a ＋b 12D.a ＋b 12D [连接C D(图略)，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得C D∥AB 且＝＝a ，C D → 12AB → 12所以＝＋＝b ＋a .]A D → AC → C D →127．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝，|OC |＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )π4OC → OA → OB →A ．2 B.22C ．2 D ．42A [因为|OC |＝2，∠AOC ＝，所以C (，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝π422OC → OA → OB →22λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.]22二、填空题8．在△ABC 中，点P 在BC 上，且＝2，点Q 是AC 的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则BP → PC → PA → PQ →＝________.BC →(－6,21)　[＝－＝(－3,2)，因为Q 是AC 的中点，所以＝2＝(－6,4)，＝＋AQ → PQ → PA → AC → AQ → PC → PA →＝(－2,7)，因为＝2，所以＝3＝(－6,21)．]AC → BP → PC → BC → PC →9．已知△ABC 和点M 满足＋＋＝0，若存在实数m 使得＋＝m 成立，则m ＝________.MA → MB → MC → AB → AC → AM →3　[由已知条件得＋＝－，M 为△ABC 的重心，∴＝(＋)，即＋＝3，则m ＝MB → MC → MA → AM → 13AB → AC → AB → AC → AM →3.]10．如图，已知▱ABC D 的边BC ，C D 的中点分别是K ，L ，且＝e 1，＝e 2，AK → AL →则＝________；＝________.(用e 1，e 2表示)．BC → C D →－e 1＋e 2　－e 1＋e 2　[设＝x ，＝y ，则＝x ，＝－y .23434323BC → C D → BK → 12D L →12由＋＝，＋＝，AB → BK → AK → A D → D L → AL →得Error!①＋②×(－2)，得x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－(e 1－2e 2)＝－e 1＋e 2，12232343所以＝－e 1＋e 2.BC →2343同理可得y ＝(－2e 1＋e 2)，23即＝－e 1＋e 2.]C D →4323B 组　能力提升1．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2B [以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)，因为a ＝xe 1＋ye 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则Error!解得Error!故a ＝－2e 1＋e 2.]2．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段C D 上(与点C ，D 不重合)，BC → C D →若＝x ＋(1－x )，则x 的取值范围是( )AO → AB → AC →A. B.(0，12)(0，13)C. D.(－12，0)(－13，0)D [法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－BO → BC → 43AO → AB → BO → AB → BC → AB → AC →)＝(1－λ)＋λ.又＝x ＋(1－x )，且，不共线，于是有x ＝1－λ∈，AB → AB → AC → AO → AB → AC → AB → AC →(－13，0)即x 的取值范围是，选D.(－13，0)法二：∵＝x ＋－x ，∴－＝x (－)，即＝x ＝－3x ，∵O 在线段C D(不AO → AB → AC → AC → AO → AC → AB → AC → CO → CB → C D →含C ，D 两点)上，∴0＜－3x ＜1，∴－＜x ＜0.]133．已知A (－3,0)，B (0，)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，＝λ＋，3OC → OA → OB →则实数λ的值为________．1　[由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，OA → OB →3则＝(－3λ，)，OC →3由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，3－3λ即－＝－，所以λ＝1.]3333λ4．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，OA → OB →2π3点C 在以O 为圆心的圆弧上运动．若＝x ＋y ，其中x ，y ∈R，则x ＋AB OC → OA → OB →y 的最大值为________．2　[以O 为坐标原点，所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所OA →示，则A (1,0)，B .(－12，32)设∠AOC ＝αα∈，[0，2π3]则C (cos α，sin α)．由＝x ＋y ，得Error!OC → OA → OB →所以x ＝cos α＋sin α，y ＝sin α，33233所以x ＋y ＝cos α＋sin α＝2sin ，3(α＋π6)又α∈，[0，2π3]所以当α＝时，x ＋y 取得最大值2.]π3。

考点24 平面向量基本定理及坐标表示1．（江苏省南通市2019届高三模拟练习四模）如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2， 则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝， AD ＝3，过D 作DF ⊥x 轴于F ，∠DAF ＝180°－90°－45°＝45°， DFsin45°＝323⨯=，所以D（3-， AC ＝（2,2），AD＝（），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（3-）+μ（2,1），所以，2232μμ⎧-+=⎪⎪+=，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ2．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研____．【答案】【解析】，连接由题可得：的中点，3．在等腰中，__________．【答案】4轴，设，，，，，当且仅当时，即，，4，故答案为：4．4．（2019届高三第二次质量调研二模）在ABC ∆ 中．已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足12CP CA mCB =+．若ABC ∆的面积为，3ACB π∠=，则CP 的最小值为_______． 【答案】2 【解析】∵12CP CA mCB =+ 13(2)22CA m CD CD DB =+⋅= ∵A ，P ，D 三点共线，∴13122m +=，即m 13=．∴131223CP CA CD =+⨯1122CA CD =+ 112223CA CB =+⨯ 1123CA CB =+，又∵3ABCS ACB π=∠=．∴12CA CBsin ACB ⋅∠=，即CA •CB ＝8．∴211()CP CA CB =+=)CA b CB a ===令，=≥2==． 故答案为：2．5．（江苏省2019届高三第二学期联合调研测试）已知点P 是ABC ∆内一点，满足AP AB AC λμ=+，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，2BD DC =，则λμ+=_____．【答案】38【解析】因为BD ＝2DC 所以1223333kk AP k AD k AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭所以3k λ=，23kμ= 又因为231λμ+= 所以38k =所以38λμ+=故答案为：38.6．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）____________．【答案】－1【解析】故答案为：7．（江苏省如皋市2019、、若直线：_______．【答案】【解析】因为曲线B为原点，且B为AC8．（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）中，______．【答案】-4【解析】为边的中点，故答案为：-4．9．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在平面直角坐标系上存在点________.【答案】【解析】设BD的中点为D,D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点Dm1,1）的距离，所以正数m.故答案为：10．（江苏省清江中学2018D为BC．【答案】1【解析】故答案为1.11．（江苏省苏州市2018届高三调研测试三）在平面直角坐标系是__________.【答案】【解析】直线l，解得故答案为：12．（江苏省盐城中学2018届高三考前热身2所在平面内一点，若____．【答案】【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B0），C（0，t），（4，0）+（0，1）=（4，1），∴P（4，1）；又BC的方程为，∴点P到直线BC的距离为∴△PBC的面积为•|BC|•d当且仅当∴△PBC故答案为：（江苏省海门中学2018届高三5月考试最后一卷）如图，在扇形AOB中，OA=4，∠AOB=120,P 13．为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C,______.【答案】4.【解析】由向量的运算法则可知：14．（江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试四）在中，是三角形的重心，若．【答案】6.【解析】如图，在由题意得．∴15．（江苏省20182．【答案】【解析】①即②16．（2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考）在等腰梯形中，，，．【答案】【解析】依题意得∴∴故答案为.17．（江苏省宿迁市2018.，垂足为____________.【答案】【解析】根据平面向量基本定理得到ABC中用余弦定理得到ACE和CDE故答案为：18．（江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研测试）交于点_____________________．【答案】【解析】设弦AB中点为M,,,当且仅当,的最小值是19．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）已知点P 为矩形ABCD 所在平面上一点，若1PA =， 2PB =， 3PC =，则PD =______.【解析】建立平面直角坐标系，如图所示；设00P x y A b B a b C a （，），（，），（，），（，）；由1PA =， 2PB =， 3PC =，得221x y b +-=（） …①；224x a y b -+-=（）（） …②；229x a y -+=（） ….③； ②-①得， 223x a x --=（） …..④；③-④得， 226x y += ； PD x ∴=== ．．20．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，， ()sin cos b ββ=-，， 12c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）若a b c +=，求()sin αβ-的值； （2）设5π6α=， 0πβ<<，且()//a b c +，求β的值．【答案】(1) 12-；(2) π2β=.【解析】试题分析：（1）由向量()cos ,sin a αα=， ()sin ,cos b ββ=-， 1,2c ⎛=- ⎝⎭得1a b c ===，再根据a b c +=，即可得()sin αβ-的值；（2）由5π6α=，得31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，再根据a // ()b c +，可得π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而可求得β的值．试题解析：（1）∵向量()cos ,sin a αα=， ()sin ,cos b ββ=-， 1,22c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∴1a b c ===，且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=-+=-. ∵a b c += ∴22a bc +=，即2221a a b b +⋅+=.∴()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-. （2）∵5π6α=∴31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭依题意， 1sin ,cos 2b c ββ⎛+=--+⎝⎭. ∵a // ()b c +∴311cos sin 0222ββ⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得， 11sin cos 222ββ-=. ∴π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵0πβ<<∴ππ2π333β-<-<． ∴ππ36β-=，即π2β=．。

课后限时集训(二十四)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a∥b ，b∥c ，那么a∥c . 以上命题中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0D [对于①，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段，故①错． 对于②，当a 与b 中有一个是0时，a 与b 的方向不一定相同或相反，故②错． 对于③，直线AB 与CD 也可能平行，故③错． 对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④错．]2．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12bA [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．]3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DB [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．]4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23A [∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]5．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的一个充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]二、填空题 6．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0；④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________． ② [对于①，向量a 与b 的方向可以是任意的，故①错； 对于②，由AB →＝DC →，可得|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →. 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，因此四边形ABCD 为平行四边形，反之也成立，故②正确； 对于③，当a ＝0，λ＝1时，λa ＝0，故③错；对于④，当两个向量有一个零向量时，两个向量的方向不一定相同或相反，故④错．] 7．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]8．(2019·郑州模拟)在△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝________.3 [由CM →＝3MB →得CM →＝34CB →，所以AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋34CB →＝AC →＋34(AB →－AC →)＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，因此x y ＝3.]三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． [解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.B 组 能力提升1．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1D [因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1，故选D.]2．如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．211B [注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.故选B.]3．如图，点E 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的n (n ∈N 且n ≥2)等分点中最靠近点D 的点，线段AE 的延长线交CD 于点F ，若AF →＝xAB →＋AD →，则x ＝________(用含有n 的代数式表示)．1n －1 [依题意与图形得DF AB ＝DE EB ＝1n －1(n ∈N 且n ≥2)，所以DF →＝1n －1AB →，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1n －1AB →，又因为AF →＝xAB →＋AD →， 所以x ＝1n －1.] 4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.[证明] (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ， 使BP →＝λBA →，所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.结论得证．。

专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点二平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)知识点三平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.,(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 21＝μ1，2＝μ2.知识点四必备结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P3．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 4．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)·(y 3－y 1)．考点一平面向量基本定理及其应用【典例1】(2019·河北衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R)，则52μ－λ＝()A.－12 B.1 C.32 D.－3【方法技巧】平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【变式1】（2019·安徽安庆一中质检）如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.考点二二平面向量的坐标运算【典例2】（2019·天津新华中学调研）设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于()A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD→【方法技巧】求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．【变式2】（2019·吉林实验中学模拟）已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)考点三利用两向量共线求参数【典例3】(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b)，则λ＝________.【方法技巧】如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【变式3】（2019·广东肇庆一中期末）设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为()A.－3B.－2C.2D.3考点四利用两向量共线求向量坐标【典例4】（2019·山东青岛一二中质检）已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．【方法技巧】一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．【变式4】（2019·河北邯郸一中模拟）已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.。

《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一 平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二 平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三 平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。

2020年高考文科数学一轮总复习：平面向量基本定理及坐标表示第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)如果向量a ＝(1，2)，b ＝(4，3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9，8) B ．(－7，－4) C ．(7，4)D ．(－9，－8)解析：选B.a －2b ＝(1，2)－(8，6)＝(－7，－4)，故选B.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：选A.法一：设C (x ，y )， 则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A.(教材习题改编)已知A (－2，－3)，B (2，1)，C (1，4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________．解析：AB →＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)， CD →＝(－7，t )－(1，4)＝(－8，t －4)． 因为AB →与CD →共线， 所以4(t －4)－4×(－8)＝0. 即4t ＋16＝0，所以t ＝－4. 答案：－4在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN →＝3NC →，所以AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，又因为AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b平面向量基本定理及其应用(典例迁移)(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A ．13a ＋512bB ．13a －1312bC ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC →， 又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝⎛⎭⎫13AB →－AC → ＝t 3AB →－tAC →.故⎩⎨⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎨⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)C (2)34[迁移探究1] (变问法)在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，所以2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 即2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.[迁移探究2] (变问法)在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA → ＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA →2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[注意] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b解析：选A.由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A.2．已知点A ，B 为单位圆O 上的两点，点P 为单位圆O 所在平面内的一点，且OA →与OB →不共线．(1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值； (2)已知点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值． 解：(1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →， 所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形， 所以OB →＝OP →＋OA →， 又因为OP →＝mOA →＋OB →， 所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线， 所以m ＋1＝0， 解得m ＝－1.平面向量的坐标运算(师生共研)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ， 所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．1．若向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b解析：选A.设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b . 2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2（y －2），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.平面向量共线的坐标表示(多维探究) 角度一 利用向量共线求向量或点的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【解析】 因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．【答案】 (2，4)角度二 利用两向量共线求参数已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B ．13C ．－3D ．3解析：选A.k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)． a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得，(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C.因为m ∥n ，所以sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，所以2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3. 可化为1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， 因为A ∈(0，π)，所以⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.坐标法解决平面向量的线性运算如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[－4，4]B ．[－21，21]C ．[－5，5]D ．[－6，6]【解析】 如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则OB →＝i ，OA →＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →，此时x ＋y 有最大值5，同理点P 在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →，此时x ＋y 有最小值－5.【答案】 C解决几何图形问题时，可以先建立适当的坐标系将图形坐标化，再运用数学运算解决相关问题．在平面向量中，向量的坐标运算就是这一思想的具体应用．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________．解析：法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，BN →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，AC →＝(1，1)．因为AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2，λ2＋μ，所以⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案：85[基础题组练]1．已知e 1＝(2，1)，e 2＝(1，3)，a ＝(－1，2)．若a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则实数对(λ1，λ2)为( ) A ．(1，1) B ．(－1，1) C ．(－1，－1)D ．(1，－1)解析：选B.因为e 1＝(2，1)，e 2＝(1，3)，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a ＝(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ1＋λ2＝－1，λ1＋3λ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝1.故选B. 2.已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.3．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2，4)，OB →＝(1，3)，若点E 满足OC →＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－23，－23B.⎝⎛⎭⎫－13，－13 C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23解析：选A.易知OC →＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC →＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )，由OC →＝3EC →知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝－23，所以E ⎝⎛⎭⎫－23，－23. 4．(2019·河北衡水中学2月调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )A ．－12B ．1C ．32D ．－3解析：选A.AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以52μ－λ＝－12，故选A.5．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解析：由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12.答案：126．已知点A (2，3)，B (4，5)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－237．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP →＝λOC →(0<λ<1)， 由OA →＋OB →＋OC →＝0知OC →＝－(OA →＋OB →)， 所以OP →＝－λOA →－λOB →，由平面向量定理可知，m ＋n ＝－2λ， 所以m ＋n ∈(－2，0)． 答案：(－2，0)8．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )． 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →.所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝32.[综合题组练]1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．2.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89 B.49 C.83D.43解析：选A.因为AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →，所以AP →＝AB →＋13BD →，因为BD →＝AD →－AB →，AD →＝23AC →，所以BD →＝23AC →－AB →，所以AP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝23AB →＋29AC →， 因为AP →＝λAB →＋μAC →， 所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89.3．设OA →＝(－2，4)，OB →＝(－a ，2)，OC →＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．解析：由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)，因为A ，B ，C 三点共线，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ（b ＋2），－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2a b ＋b a ≥12⎝⎛⎭⎫3＋22a b ·b a ＝32＋2(当且仅当a ＝2－2，b ＝22－2时等号成立)． 答案：32＋ 24．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________．解析：以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，故x ＋y 的最大值为2. 答案：2。

课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.已知向量a=(2,3),b=(cos θ,sin θ),且a∥b,则tan θ=()A. B.- C. D.-2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-7,-4),则向量=()A.(10,7)B.(10,5)C.(-4,-3)D.(-4,-1)3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)4.在△ABC中,D为AB边上一点,+λ,则λ=()A.-1B.C.2-1D.25.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λμ=()A.-3B.3C.-4D.46.如图,已知,用表示,则等于()A.B.C.-D.-7.在△ABC中,点P在边BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)8.在△OAB中,=a,=b,=p,若p=t,t∈R,则点P在()A.∠AOB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C.AB边所在直线上D.AB边的中线上9.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=.10.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.11.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.12.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=m b+n c的实数m,n;(2)若(a+k c)∥(2b-a),求实数k.综合提升组13.(2018河北衡水金卷调研五)已知直线2x+3y=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,与直线x+y=0交于点C,若=λ+μ(O为坐标原点),则λ,μ的值分别为()A.λ=2,μ=-1B.λ=4,μ=-3C.λ=-2,μ=3D.λ=-1,μ=214.在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为()A. B.3 C. D.15.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.创新应用组16.(2018辽宁重点中学协作体模拟)已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足=(2-t)+t(t∈R),则||的最小值为()A. B.1 C. D.参考答案课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示1.A由a∥b,可知2sin θ-3cos θ=0,解得tan θ=,故选A.2.C由点A(0,1),B(3,2),得=(3,1).又由=(-7,-4),得=+=(-4,-3).故选C.3.D由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.4.B由已知得=,则=+=+=+ (-)=+,故λ=.5.A设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即解得所以λμ=-3.故选A.6.C=+=+=+ (-)=-+,故选C.7.B如图,=3=3(2-)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).8.A∵和是△OAB中边OA,OB上的单位向量,∴在∠AOB平分线所在直线上,∴t在∠AOB平分线所在直线上,∴点P在∠AOB平分线所在直线上,故选A.9.-1根据题意,a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2),∵(a+b)∥(a-b),∴(1+t)×(-2)-(1-t)×0=0,解得t=-1,故答案为-1.10.|b|==.由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|===.11.(-1,1)或(-3,1)由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).12.解 (1)由题意,得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=-.13.C在直线2x+3y=1中,令x=0得y=,即B,令y=0,得x=,即A,联立解得所以C(-1,1).因为=λ+μ,所以(-1,1)=λ+μ,所以选C.14.C因为=λ+μ,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,。

课时规范练25 平面向量基本定理及坐标表示基础巩固组1.向量a ，b 满足a+b=(-1，5)，a-b=(5，-3)，则b 为( )A.(-3，4) B .(3，4) C.(3，-4)D .(-3，-4)2.(2020山东济南长清高三段考模拟)已知{e 1，e 2}是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A.{e 1，e 1+e 2} B.{e 1-2e 2，e 2-2e 1} C.{e 1+e 2，e 1-e 2} D.{e 1-2e 2，4e 2-2e 1}3.已知向量a =(1，x )，b =(-2，4)，a ∥(a -b )，则x=( )A.1B.2C.-1D.-24.(多选)(2020江苏海头高级中学高一月考)在平面上的点A (2，1)，B (0，2)，C (-2，1)，O (0，0)，下面结论正确的是 ( )A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ 5.(2020湖北襄阳五中高三模拟)已知向量a =(-1，2)，b =(3，m )，m ∈R ，则“m=-6”是“a ∥(a+b )”的( ) A.充要条件 B .充分不必要条件 C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6.在△ABC 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为BD 上一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( ) A.34B .320C .316D .387.已知在▱ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AM 与BN 相交于点P ，记a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用a ，b 表示AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的结果是( ) A.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15a +25b B .AP⃗⃗⃗⃗⃗ =25a +45b C .AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +25bD .AP⃗⃗⃗⃗⃗ =45a +25b 8.在△OAB 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ，若p =t (a |a |+b |b |)，t ∈R ，则点P 在( ) A.∠AOB 平分线所在直线上B.线段AB 中垂线上C.AB 边所在直线上D.AB 边的中线上9.(多选)(2020山东济南高三模拟)已知向量a =(2，-1)，b =(-3，2)，c =(1，1)，则( ) A.a ∥bB .(a +b )⊥cC.a +b =c D .c =5a +3b10.(2020河北石家庄二中开学预考)已知非零不共线向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( ) A.x+y-2=0 B .2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D .2x+y-2=011.(2020陕西汉中高三模拟)已知平面向量a =(1，m )，b =(2，5)，c =(m ，3)，且(a+c )∥(a-b )，则m= .12.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC ，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1= ，λ2= .综合提升组13.(2020安徽六安一中高三期中)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m =(a+b ，b+c )，n =(c-b ，a )，若m ∥n ，则C=( ) A.5π6B .2π3C .π3D .π614.已知对任意平面向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ，y )，把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x cos θ-y sin θ，x sin θ+y cos θ)，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A (1，-√3)，点B (3，√3)，把点B 绕点A 顺时针方向旋转5π3后得到点P ，则点P 的坐标为( )A.(-2，2√3) B .(-1，√3)C .(4，0)D .(5，-√3)15.(多选)(2020辽宁盘锦高三期末)在直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0，n>0)，则下列结论正确的是( ) A.1m+2n 为常数B.m+2n 的最小值为3C.m+n 的最小值为169D.m ，n 的值可以为m=12，n=2创新应用组16.(2020江苏，13)在△ABC 中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP=9，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32-m)PC⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是 .参考答案课时规范练25 平面向量基本定理及坐标表示1.A 由a+b=(-1，5)，a-b=(5，-3)，得2b=(-1，5)-(5，-3)=(-6，8)，∴b=12(-6，8)=(-3，4).2.D 因为{e 1，e 2}是平面向量的一组基底，故e 1和e 2不共线，所以e 1和e 1+e 2不共线，e 1-2e 2和e 2-2e 1不共线，e 1+e 2和e 1-e 2不共线.因为4e 2-2e 1=-2(e 1-2e 2)，所以e 1-2e 2和4e 2-2e 1共线.故选D .3.D a -b =(3，x-4)，因为a ∥(a -b )，所以3x=x-4，所以x=-2，故选D .4.BC 点A (2，1)，B (0，2)，C (-2，1)，O (0，0)，选项A 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，1)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，-1)，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误; 选项B 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，故B 正确; 选项C 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，故C 正确;选项D 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2，1)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 错误.故选BC . 5.A 由题意得a+b =(2，2+m )，由a ∥(a+b )，得-1×(2+m )=2×2，所以m=-6，则“m=-6”是“a ∥(a+b )”的充要条件. 6.C 由题知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于B ，P ，D 三点共线，所以4λ+14=1，∴λ=316.故选C .7.D 过点N 作BC 的平行线分别交AB ，AM 于点E ，F ，则EF=12BM.因为EN ∥BC ，所以BM NF=BP NP=23，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25-12a +b =-15a +25b ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +-15a +25b =45a +25b ，故选D .8.A ∵a|a |和b|b |是△OAB 中边OA ，OB 上的单位向量，∴(a|a |+b|b |)在∠AOB 平分线所在直线上，∴t (a|a |+b |b |)在∠AOB 平分线所在直线上，∴点P 在∠AOB 平分线所在直线上，故选A .9.BD 由题意2×2-(-3)×(-1)≠0，故A 错误;a +b =(-1，1)，(a +b )·c =-1+1=0，故(a +b )⊥c ，故B 正确，C 错误;5a +3b =5(2，-1)+3(-3，2)=(1，1)=c ，故D 正确.故选BD . 10.A 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ .又2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x =2+2λ,y =-2λ,消去λ得x+y-2=0，故选A .11.3±√172∵a =(1，m )，b =(2，5)，c =(m ，3)，∴a+c =(m+1，m+3)，a-b =(-1，m-5).又(a+c )∥(a-b )，∴(m+1)(m-5)+m+3=0，即m 2-3m-2=0，解得m=3±√172. 12.-16 23 由题意，作图象如图所示，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ1=-16，λ2=23. 13.B ∵m =(a+b ，b+c )，n =(c-b ，a )，且m ∥n ，∴(a+b )×a-(c-b )×(b+c )=0，整理得c 2=a 2+b 2+ab.又c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，∴cos C=-12.∵C ∈(0，π)，∴C=2π3.故选B .14.B 设点P (m ，n )，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-1，n+√3)，根据题意，若将AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点逆时针旋转5π3，即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(m-1)cos 5π3-(n+√3)sin 5π3，(m-1)sin 5π3+(n+√3)cos 5π3，整理得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m -12+√3(n+√3)2，-√3(m -1)2+n+√32.由A ，B 两点坐标可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2√3)，故{m +√3n =2,-√3m +n =2√3,解得{m =-1,n =√3,则点P 的坐标为(-1，√3).故选B .15.ABD 如图所示，由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0，n>0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1mAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m+23n=1，∴1m+2n=3.当m=12时，n=2，故A ，D 正确; m+2n=(m+2n )13m+23n=2n3m+2m 3n+53≥2√2n 3m·2m 3n+53=3，当且仅当m=n=1时，等号成立，故B 正确;m+n=(m+n )13m+23n =n3m +2m3n+1≥2√n 3m ·2m3n +1=2√23+1，当且仅当n=√2m 时，等号成立，故C 错误.故选ABD .16.185或0 如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则B (4，0)，C (0，3).由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32-m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32-m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得PA⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m-3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m (4，0)+(2m-3)(0，3)=(-8m ，6m-9).又因为AP=9，所以64m 2+(6m-9)2=81，解得m=2725或m=0. 当m=0时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-9)，此时，C ，D 重合，CD=0; 当m=2725时，直线PA 的方程为y=9-6m 8mx ，直线BC 的方程为x 4+y3=1，联立两直线方程可得x=83m ，y=3-2m.即D (7225,2125)，∴CD=√(7225)2+(2125-3)2=185.∴CD 的长度是185或0.。

§平面向量基本定理及坐标表示最新考纲.了解平面向量基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．．平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ，λ，使＝λ＋λ.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．．平面向量的坐标运算()向量加法、减法、数乘及向量的模设＝(，)，＝(，)，则＋＝(＋，＋)，－＝(－，－)，λ＝(λ，λ)，＝.()向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设(，)，(，)，则＝(－，－)，＝.．平面向量共线的坐标表示设＝(，)，＝(，)，其中≠，共线⇔－＝.概念方法微思考．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)()若，不共线，且λ＋μ＝λ＋μ，则λ＝λ，μ＝μ.(√)()在等边三角形中，向量与的夹角为°.(×)()若＝(，)，＝(，)，则∥的充要条件可表示成＝.(×)()平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)()当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编．已知▱的顶点(－，－)，(，－)，()，则顶点的坐标为．答案()解析设(，)，则由＝，得()＝(－－)，即解得．已知向量＝()，＝(－)，若＋与－共线，则＝.答案－解析由向量＝()，＝(－)，。