平新乔微观经济学十八讲01
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平新乔《微观经济十八讲》第四讲 答案页数:7
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平新乔《微观经济学十八讲》答案页数:144
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北京大学平新乔《微观经济学十八讲》答案页数:143
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平新乔课后习题详解(第1讲--偏好、效用与消费者的基本问题)
平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y 。
（2）李楠既喜欢喝汽水x ，又喜欢吃冰棍y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水x 就要吃两根冰棍y ，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍y 。
答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为(),23u x y x y =+，相应的无差异曲线如图1-2所示。
图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，如图1-3所示。
图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中x 为中性品。
图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果11p =，22p =，10y =。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的A 点所示，在该点此人消费10个单位的1x ，0个单位的2x 。
平新乔课后习题详解(第1讲--偏好、效用与消费者的基本问题)
平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y 。
（2）李楠既喜欢喝汽水x ，又喜欢吃冰棍y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水x 就要吃两根冰棍y ，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍y 。
答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为(),23u x y x y =+，相应的无差异曲线如图1-2所示。
图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，如图1-3所示。
图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中x 为中性品。
图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果11p =，22p =，10y =。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的A 点所示，在该点此人消费10个单位的1x ，0个单位的2x 。
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平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水，但是厌恶吃冰棍。
x y （2）李楠既喜欢喝汽水，又喜欢吃冰棍，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异x y 的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言x y 是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍。
x y 答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为，相应的无差异曲线如图1-2所示。
(),23u x y x y =+图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为，如图1-3所示。
(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中为中性品。
x图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果，，。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
11p =22p =10y =答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的点所示，在该点此人消费10个单位的A ，0个单位的。
平新乔微观经济学十八讲》答案
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性）：
u(c, s) = min{c, 1 s} 2
其中， c 代表咖啡的量，以杯为单位； s 表示糖的量，以汤匙为单位．
很明显，她的最优选择必然是
c= 1s 2
（*）
c≠ 1s 考虑 2 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——
c= 1s 还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 2 ．
她面临的约束条件为：
p1c + p2 s ≤ M
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
7.3. ≈ ∪ >=≥
证明：
≈=≥ ∩ ≤⎫
>=≥
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
7.4. ≈ ∩ >= ∅
证明：
≈=≥ ∩ ≤⎫
>=≥
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
8. 证明下列结论（或用具说服力的说理证明）
8.1. > 与 ≈ 都不具有完备性
说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好关系
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
， β2
=1−
β1 ．则 u
的一个单调变换结果是
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
平新乔18讲01-02
平新乔十八讲第一讲偏好与效用§1 消费集与偏好关系一、选择（五类选择问题）1、1个人从n个目标中选一（资源有限，择优）2、社会的选择：Match-exchangeA个人B个人X Y3、m个人X （选择冲突解决机制）凭价格低限排队（标准：配额）价格机制不起作用；或没有让价格机制发挥作用。
（人为的不正常排队）4、m个人在n个目标中选一：（社会选择）对目标排序，m个人偏好加总5、m个人同时从n个目标中选择：（股市）一般均衡价格机制是解决选择中冲突的一种机制，另外一种解决方法是实行配额，即凭证供应。
价格和配额都是对人们无穷欲望的一种限制。
除此之外，还有更高层次的途径，即修身、自觉，但那是通过道德约束与调节对欲望的自我节制。
而经济学假定人们的自觉程度不高，在人的最起码的道德低限（利己但不损人）这一假定下展开。
一般采取价格机制，有时也采取配额的手段，二者各有优劣。
二、消费集（选择集）1、购买三要素：欲望（x）、能力-钱（Y）、价格-付费（向量P=（P1，P2……Pn））。
对于每一个消费计划x : x=(x1，x2……x n ), x i代表对物品i的计划消费量。
所有的消费计划的集合记为消费集X=R n+。
收入（钱数）Y≥P·x, 预算集可表示为：（P,Y）。
欲望x ：x ∈消费集X ；偏好关系（x 1,x 2……x m ）∈X ，即x R , x g 的取舍关系。
2、消费集的性质：（1）、X 是R 的非空子集，即X ≠φ且X ∈R n +。
（2）、X 为闭集，即X 中所有的极限点都包含在X 之内。
（3）、X 为凸集，①经济含义：若x i ∈X, x g ∈X, 则∀λ∈［0，1］必有(1)i g x x X λλ+-∈。
即x i 与x g 无限细分单位的线性组合仍包含在该消费集内，假定每一个消费计划中的商品是无限可分的。
但实际上，商品具有自然单位，非无限可分，这里存在理论与实际的差距。
平新乔18讲01-02
平新乔十八讲第一讲偏好与效用§1 消费集与偏好关系一、选择（五类选择问题）1、1个人从n个目标中选一（资源有限，择优）2、社会的选择：Match-exchangeA个人B个人X Y3、m个人X （选择冲突解决机制）凭价格低限排队（标准：配额）价格机制不起作用；或没有让价格机制发挥作用。
（人为的不正常排队）4、m个人在n个目标中选一：（社会选择）对目标排序，m个人偏好加总5、m个人同时从n个目标中选择：（股市）一般均衡价格机制是解决选择中冲突的一种机制，另外一种解决方法是实行配额，即凭证供应。
价格和配额都是对人们无穷欲望的一种限制。
除此之外，还有更高层次的途径，即修身、自觉，但那是通过道德约束与调节对欲望的自我节制。
而经济学假定人们的自觉程度不高，在人的最起码的道德低限（利己但不损人）这一假定下展开。
一般采取价格机制，有时也采取配额的手段，二者各有优劣。
二、消费集（选择集）1、购买三要素：欲望（x）、能力-钱（Y）、价格-付费（向量P=（P1，P2……Pn））。
对于每一个消费计划x : x=(x1，x2……x n ), x i代表对物品i的计划消费量。
所有的消费计划的集合记为消费集X=R n+。
收入（钱数）Y≥P·x, 预算集可表示为：（P,Y）。
欲望x：x∈消费集X；偏好关系（x1,x2……x m）∈X，即x R, x g的取舍关系。
2、消费集的性质：（1）、X 是R 的非空子集，即X ≠φ且X ∈R n +。
（2）、X 为闭集，即X 中所有的极限点都包含在X 之内。
（3）、X 为凸集，①经济含义：若x i ∈X, x g ∈X, 则∀λ∈［0，1］必有(1)i gx x X λλ+-∈。
即x i 与x g无限细分单位的线性组合仍包含在该消费集内，假定每一个消费计划中的商品是无限可分的。
但实际上，商品具有自然单位，非无限可分，这里存在理论与实际的差距。
②生活中还是有办法让x i 与x g 接近于无限可分的，如房子的消费额 x 1无限细分就表示分期付款，租用电脑，可按天、月等收费。
《微观经济学十八讲》考研平新乔版2021考研真题
《微观经济学十八讲》考研平新乔版配套2021考研真题第一部分课后习题第1讲偏好、效用与消费者的基本问题1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水，但是厌恶吃冰棍。
（2）李楠既喜欢喝汽水，又喜欢吃冰棍，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍。
答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为，相应的无差异曲线如图1-2所示。
图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为，如图1-3所示。
图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中为中性品。
图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果，，。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的点所示，在该点此人消费10个单位的，0个单位的。
3．下列说法对吗？为什么？若某个消费者的偏好可以由效用函数来描述，那么对此消费者而言，商品1和商品2是完全替代的。
答：此说法正确。
由题意知：，，则商品1对于商品2的边际替代率为：由于，是一个常数，所以商品1与商品2是以1∶1的比率完全替代的。
4．设，这里。
（1）证明：与的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将关于和分别求二阶偏导数得，，所以与的边际效用都递减。
平新乔微观经济学第18讲
土地平均产量 平均产量 土地
从一开始，随着地主分割给佃农的土地 h 增大， 其土地的边际产量大于其平均产量，所以土地的平 均产量会上升，而最终，会由于土地的边际产量递 减会使得其平均产量下降；
最终的土地边际产量递减会造就土地平均产量 的图中的形状；
佃农的平均固定耕作成本
平均固定耕作成本
我们暂且假设，所有非土地的耕作投入 f 都由佃 农来承担且其数值保持不变，曲线 f/h 是除土地之外 的总成本除以各佃户的土地面积；总成本包括生产 作业期间使用的劳力、种子、肥料和农具等成本；
r* = AB = (q − f ) h = q − f
AC q h
q
而事实上， f = W ⋅ t ，即 f 为生产要素的总成本，而在数学推导中我们也只是假设
佃农只有一种生产投入；所以两个解是一致的；
定额地租、分成合约与劳动租之间有什么差别？ 两者的区别在于：为了达到相同的目标而采取的不同资源配置方式； 定额地租是为了达到地主的最大地租的目标，规定好每单位土地的地租；由佃农决定
力市场上的工资率），因此，这也就意味着资源使用的效率是相同的。 （张五常 佃农理论 商务印书馆 第二章）
新古典经济学的错误观点
劳动边际产量
劳动边际产量
∂q
(1 − r) ⋅ ∂q
∂t
∂t
∂q
(1 − r) ⋅ ∂q
∂t
∂t
A
•
W
••
W
• 劳动
• 劳动
当地主实行定额地租时，佃农所得的工资总额为黄色区域；地主的地租总额为蓝色半凸区域；
时，佃农的边际产出大于其边际成本，因此，分成租佃制是无效率的（绿色半凸区域的面积是经
济上的浪费）；
平新乔“微观经济学十八讲”答案
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
趋近于以下效用函数：
u(x1, x2 ) = min{x1, x2}
6. 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格
是 p2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上，那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变
很明显，她的最优选择必然是
c= 1s 2
（*）
c≠ 1s 考虑 2 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——
c= 1s 还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 2 ．
她面临的约束条件为：
p1c + p2 s ≤ M
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
， β2
=1−
β1 ．则 u
的一个单调变换结果是
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
当 x1 < x2 时，
1
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2
)
=
lim
ρ →−∞
⎡ x1 ⎢⎢⎣β1
+
β1 ⎜⎜⎝⎛
x2 x1
⎟⎟⎠⎞ ρ
⎤ ⎥ ⎥⎦
ρ
= x1
同理，当 x1 > x2 时，有
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
5
第一讲 偏好、效用……
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
趋近于以下效用函数：
u(x1, x2 ) = min{x1, x2}
6. 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格
是 p2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上，那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变
很明显，她的最优选择必然是
c= 1s 2
（*）
c≠ 1s 考虑 2 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——
c= 1s 还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 2 ．
她面临的约束条件为：
p1c + p2 s ≤ M
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
， β2
=1−
β1 ．则 u
的一个单调变换结果是
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
当 x1 < x2 时，
1
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2
)
=
lim
ρ →−∞
⎡ x1 ⎢⎢⎣β1
+
β1 ⎜⎜⎝⎛
x2 x1
⎟⎟⎠⎞ ρ
⎤ ⎥ ⎥⎦
ρ
= x1
同理，当 x1 > x2 时，有
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
5
第一讲 偏好、效用……
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解(1-3讲)【圣才出品】
lim
→0
1
x1 ln x1 1 x1
+ +
2 2
x2 x2
ln
x2
= exp
1 ln x1 +
2 ln x2
=
x1 1
x2 2
1 + 2 = 1
1
( ) （3）当 → − 时，对效用函数 u( x1, x2 ) = 1x1 + 2 x2 两边变换求极限有：
( ) ( ) lim u
3 / 62
4．设
u
(
x1,
x2
)
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
，这里
x1，x2
R+
。
（1）证明： x1 与 x2 的边际效用都递减。
（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关于
x1
和
x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
=
−
1 2x12
y)
=
min
x,
y 2
，如图
1-3
所示。
图 1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍 （4）如图 1-4 所示，其中 x 为中性品。
图 1-4 对于有无汽水喝毫不在意
2．作图：如果一个人的效用函数为 u ( x1, x2 ) = maxx1, x2
2 / 62
（1）请画出三条无差异曲线。 （2）如果 p1 = 1 ， p2 = 2 ， y = 10 。请在图 1-5 上找出该消费者的最优消费组合。 答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图 1-5 所示。
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985/211 历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
1
（2）当 0 时，此时对效用函数 u x1, x2 1 x1 2 x2 两边变换求极限有：
lim
0
u
x1
,
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
1
（2）当 0 时，此时对效用函数 u x1, x2 1 x1 2 x2 两边变换求极限有：
lim
0
u
x1
,
平新乔微观经济学十八讲》答案
5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．
4. 若某个消费者的效用函数为
u ( x1 ,
x2 )
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
其中， x1, x2 ∈ R+
4.1. 证明： x1 与 x2 的边际效用都递减．
证明： u(x1, x2 ) 对 x1 取二阶偏导：
∂2u = − 1 < 0
∂x12
不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2. ≈ 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消
费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本
平新乔十八讲答案第一讲
8.3严格偏好关系不满足反身性
说明：如果严格偏好关系满足反身性，那么根据严格偏好关系的定义，则对任一对消费束a, b，如果a严格偏好于b，则说明b不可能偏好于a；而根据假设b严格偏好于a，b必然偏好于a．因此它们是矛盾的．
8.4对于任何 中的 与 ，在下列关系中，只能居其一： ， ，或
说明：根据8.3的说明， 与 不可能同时成立，那么，当 和 同时不成立的时候，必有 且 ，即
3下列说法对吗？为什么？
若某个消费者的偏好可以由效用函数
来描述，那么对此消费者而言，商品1和商品2是完全替代的．
说明：本章没有完全替代商品的定义．范里安的书上给出的完全替代是拿 作为例子．本题的思路是说明两个效用函数在偏好的描述上是等价的．
答：令 ，由单调变换的定义知， 与 是同一个偏好的效用函数．且 ，即 所描述的偏好中，商品1与商品2是完全替代的．因此 所描述的偏好中，商品1与商品2是完全替代的．
4若某个消费者的效用函数为
，
其中，
4.1证明： 与 的边际效用都递减．
证明： 对 取二阶偏导，得到
．
因此 的边际效用是递减的．同理， 的边际效用也是递减的．
4.2请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 ．
5常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
5.1当 ，该效用函数为线性．
很明显，她的最优选择必然是
．（*）
考虑 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 ．
她面临的约束条件为：
．
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
说明：如果严格偏好关系满足反身性，那么根据严格偏好关系的定义，则对任一对消费束a, b，如果a严格偏好于b，则说明b不可能偏好于a；而根据假设b严格偏好于a，b必然偏好于a．因此它们是矛盾的．
8.4对于任何 中的 与 ，在下列关系中，只能居其一： ， ，或
说明：根据8.3的说明， 与 不可能同时成立，那么，当 和 同时不成立的时候，必有 且 ，即
3下列说法对吗？为什么？
若某个消费者的偏好可以由效用函数
来描述，那么对此消费者而言，商品1和商品2是完全替代的．
说明：本章没有完全替代商品的定义．范里安的书上给出的完全替代是拿 作为例子．本题的思路是说明两个效用函数在偏好的描述上是等价的．
答：令 ，由单调变换的定义知， 与 是同一个偏好的效用函数．且 ，即 所描述的偏好中，商品1与商品2是完全替代的．因此 所描述的偏好中，商品1与商品2是完全替代的．
4若某个消费者的效用函数为
，
其中，
4.1证明： 与 的边际效用都递减．
证明： 对 取二阶偏导，得到
．
因此 的边际效用是递减的．同理， 的边际效用也是递减的．
4.2请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 ．
5常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
5.1当 ，该效用函数为线性．
很明显，她的最优选择必然是
．（*）
考虑 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 ．
她面临的约束条件为：
．
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
平新乔微观经济学十八讲》答案
p1c + p2 s = M
（**）
s = 2M
c= M
综合*与**式，可以得到， p1 + 2 p2 ， p1 + 2 p 2
6
第一讲 偏好、效用……
s′ = 2M
c′ = M
如果价格变成
p1′
和
p
′
2
，同样可以得到
p1′ + 2 p2′ ，
p1′ + 2 p2′ ．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
5
第一讲 偏好、效用……
当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表 示为（假设她的偏好满足单调性）：
平新乔十八讲答案第一讲
证明：
7.4
证明：
8证明下列结论（或用具说服力的说理证明）
8.1 与 都不具有完备性
说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好关系不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本身，这是矛盾的．
解：本题的最大化问题为
其拉格朗日函数为
．
使 最大化的 ， ， 满足一阶条件：
，（1）
，（2）
．（3）
将1式除以2式，得
，即 ；（4）
代4式入3式，得
；（5）
代5式入4式，得
．（6）
5与6式即为 与 的马歇尔需求函数．
[注]该效用函数称为柯布–道格拉斯效用函数．记住以下这个结论是很有用的，若效用函数形如 ，那么在约束条件 下，需求函数为 ， ．在以后的计算中我将直接使用这个结论．
9一个只消费两类物品的消费者面临正的价格，其拥有正的收入，他的效用函数为：
导出其马歇尔需求函数．
解：本题的最大化问题为
由约束条件 知
．
当 时， 有最大值 ．此时， 的消费量为 ．
即，马歇尔需求函数为 = ，
[注]以后所称“需求函数”，若非特别说明，均为马歇尔需求函数．
10一个人的效用函数为 ，这里 ， ．假定存在内点解，请导出其马歇尔效用函数．
很明显，她的最优选择必然是
．（*）
考虑 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 ．
她面临的约束条件为：
7.4
证明：
8证明下列结论（或用具说服力的说理证明）
8.1 与 都不具有完备性
说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好关系不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本身，这是矛盾的．
解：本题的最大化问题为
其拉格朗日函数为
．
使 最大化的 ， ， 满足一阶条件：
，（1）
，（2）
．（3）
将1式除以2式，得
，即 ；（4）
代4式入3式，得
；（5）
代5式入4式，得
．（6）
5与6式即为 与 的马歇尔需求函数．
[注]该效用函数称为柯布–道格拉斯效用函数．记住以下这个结论是很有用的，若效用函数形如 ，那么在约束条件 下，需求函数为 ， ．在以后的计算中我将直接使用这个结论．
9一个只消费两类物品的消费者面临正的价格，其拥有正的收入，他的效用函数为：
导出其马歇尔需求函数．
解：本题的最大化问题为
由约束条件 知
．
当 时， 有最大值 ．此时， 的消费量为 ．
即，马歇尔需求函数为 = ，
[注]以后所称“需求函数”，若非特别说明，均为马歇尔需求函数．
10一个人的效用函数为 ，这里 ， ．假定存在内点解，请导出其马歇尔效用函数．
很明显，她的最优选择必然是
．（*）
考虑 ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了——还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 ．
她面临的约束条件为：
平新乔《微观经济学十八讲》(章节题库 第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题)【圣才出品】
第1讲偏好、效用与消费者的基本问题一、简答题1．用无差异曲线描述下列某消费者的兴趣和偏好的形式：（1）“如果没有一个打火机，香烟算什么商品！”（2）“我吃米饭和吃馒头一样能充饥。
”（厦门大学806宏微观经济学2009研）答：（1）打火机和香烟是完全互补品，对应的无差异曲线为直角形状，如图1-1所示。
图1-1完全互补品（2）米饭和馒头是完全替代品，吃米饭和吃馒头给消费者带来的效用是无差异的，两种商品的边际替代率是一个常数，对应的无差异曲线是一条向右下方倾斜的直线，如图1-2所示。
图1-2完全替代品2．（1）张大山的偏好关系的无差异曲线由下列函数形式表达()1212,u x x x x c =（c 为常数）其偏好满足严格凸性吗？为什么？（2）李经理的偏好关系的无差异曲线由下列函数表达：()1212,min{,}u x x x x c==该偏好满足单调性吗？满足凸性吗？满足严格凸性吗？为什么？（3）崔大牛的偏好关系的无差异曲线由下列函数表达：()221212,u x x x x c=+=该偏好满足单调性吗？满足凸性吗？为什么？你能从生活中举出一个例子对应这种偏好关系吗？解：（1）该偏好满足严格凸性，理由如下：12x x c =的图像如图1-3所示，可知其偏好满足严格凸性。
图1-3无差异曲线将无差异曲线()1212,u x x x x c ==转化为(221x c x =，则有：12211d 10d x cx x -=-<，3222121d 102d x cx x -=>则满足这种性质的函数会严格凸向原点，故其偏好必定满足严格凸性。
（2）该偏好满足单调性，满足凸性，但不满足严格凸性。
理由如下：根据函数可大致画出其图像，如图1-4所示：图1-4互补效用函数偏好的单调性是指，如果一个消费组合所包含的每种商品的数量至少同另一个消费组合的一样多，则这个消费组合至少同另个消费组合一样好。
设有两个消费组合()12,x x x =和()12,y y y =，且x y ≥，则一定会有()()u x u y ≥，根据偏好的单调性可知该偏好满足单调性。
平新乔微观经济学十八讲》答案
5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
， β2
=1−
β1 ．则 u
的一个单调变换结果是
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
当 x1 < x2 时，
1
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2
)
=
lim
ρ →−∞
⎡ x1 ⎢⎢⎣β1
+
β1 ⎜⎜⎝⎛
x2 x1
⎟⎟⎠⎞ ρ
⎤ ⎥ ⎥⎦
ρ
= x1
同理，当 x1 > x2 时，有
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
趋近于以下效用函数：
u(x1, x2 ) = min{x1, x2}
6. 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格
是 p2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上，那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变
7.3. ≈ ∪ >=≥
证明：
≈=≥ ∩ ≤⎫
>=≥
−
≤
⎬ ⎭
平新乔课后习题详解(第18讲--企业的性质、边界与产权)
平新乔《微观经济学十八讲》第 18讲 企业的性质、边界与产权1 •有三种类型的契约被用来区分一块农地的租佃者向地主支付租金的方式：（1） 以货币（或固定数量的农产品）； （2） 以收成的固定比率；（3） 以“劳动租”，即同意在地主的另一块土地上工作的形式来付租金。
这些各自不同的契约规范会对佃农的生产决策产生什么影响？在实施每种契约时会发 生何种交易费用？在不同的地方或在不同的历史阶段中，哪些经济因素会影响已确定的契 约类型？答：（1）对于货币租来说，这种形式的租金是将市场的风险在地主与佃农之间进行分担,这使得佃农在做生产决策时不仅要考虑生产上可能出现的风险, 影响等等，还必须考虑到市场上农产品价格变化对佃农利益的影响。
则这种加大佃农风险的承租方式会导致农民不愿意租土地进行经营。
下降，从而导致土地的租金下降，最终影响到地主的利益。
交易费用主要是地主为鼓励农民使用这种形式的契约而不得不放弃部分地租。
对于这种形式的契约， 一般是在市场经济有了很大的发展以后才会发生， 因此，必然出 现在资本主义萌芽以后的社会。
在资本主义社会里，由于货币的普遍使用， 因此使得土地的租金更多地采用了货币的形式，这对于农民来说意味着更大的风险，因此租金比以前的租金形式有所下调，并且出现了各种各样的金融工具来帮助农民来分散风险， 例如金融衍生工具中的期货便具有这种功能。
（2） 对于分成地租，更多是在劳动地租逐渐消亡以后才出现的，它是为了调动农民积极性而采取的一种租金形式。
在征收分成地租的情况下，农民要承担一定的生产风险，即如 果收成不好，则农民的收入就会减少。
通常情况下，分成地租是通过将每年收成的一个固定 的百分比给予地主，而将收入的剩余部分留给农民。
这种形式的契约有利于调动农民的积极性，当然同时也给农民带来了一定的风险。
在历史上，还出现过另外的一种固定地租的形式，即地主规定农民必须在每年上缴一定的收成， 剩余的归农民，这种形式的租金是将全部的风险都留给了农民，其前提假设是农民是风险中性的。
平新乔微观经济学第18讲
18-10-4 12/13/2005 9:48:54 PM
第十八讲 企业的性质、边界与产权
地租的土地将会竞争掉高地租的土地） ； 以上的几种形式，对决策的约束条件是相同的（佃农必须要获得至少等于均衡时劳动 力市场上的工资率） ，因此，这也就意味着资源使用的效率是相同的。 （张五常 佃农理论 商务印书馆 第二章） 新古典经济学的错误观点
18-10-5 12/13/2005 9:48:54 PM
第十八讲 企业的性质、边界与产权
定额租约与工资合约的交易成本的分类似乎是不确定的；土地的物理特性是较为确定 的，因此，实施合约规定的投入量的费用要低于实施劳动投入量的费用；也就是说，在既 不实施投入也不核查产出的工资合约（以及分成合约）中，可能存在劳动投入的“卸责 ”行为，而要防止这种的卸责行为是要花成本的； （shirking） ；在工资合约 在定额租约之下，佃农要承担这种风险的大部分（如果不是全部的话） ；因此，可以把分成合约看作 之下，地主要承担这种风险的大部分（如果不是全部的话） 是一种分担风险（或分散风险）的手段； 由于交易成本、风险的存在（虽然这不是经济因素，但它却是影响契约类型的主要因 素）以及有关的法律制度的条文及其实施方式都会影响契约类型； （张五常 佃农理论 商务印书馆 第四章） 2 关于 Williamson 的等级控制与厂商规模模型： 基本假定： （1）为“价格接受者” ； （2）目标为利润最大化； （3）典型企业有 m 个管理层；每个管理者管理 s 个不同的部下；则最底层的第一线工人人 数为 s
第十八讲 企业的性质、边界与产权
第十八讲 1 关于“分成制” ： 分成制是指佃农与地主每一方都按某个固定的百分比来分取其总收成； 我们先假设签订合约的成本为零（即交易成本为零） H 表示属于某一地主的土地总 ； 面积。h 表示某一佃农所承租的土地面积，q 表示产量； 边际产量与地主的所有土地；
第十八讲 企业的性质、边界与产权
地租的土地将会竞争掉高地租的土地） ； 以上的几种形式，对决策的约束条件是相同的（佃农必须要获得至少等于均衡时劳动 力市场上的工资率） ，因此，这也就意味着资源使用的效率是相同的。 （张五常 佃农理论 商务印书馆 第二章） 新古典经济学的错误观点
18-10-5 12/13/2005 9:48:54 PM
第十八讲 企业的性质、边界与产权
定额租约与工资合约的交易成本的分类似乎是不确定的；土地的物理特性是较为确定 的，因此，实施合约规定的投入量的费用要低于实施劳动投入量的费用；也就是说，在既 不实施投入也不核查产出的工资合约（以及分成合约）中，可能存在劳动投入的“卸责 ”行为，而要防止这种的卸责行为是要花成本的； （shirking） ；在工资合约 在定额租约之下，佃农要承担这种风险的大部分（如果不是全部的话） ；因此，可以把分成合约看作 之下，地主要承担这种风险的大部分（如果不是全部的话） 是一种分担风险（或分散风险）的手段； 由于交易成本、风险的存在（虽然这不是经济因素，但它却是影响契约类型的主要因 素）以及有关的法律制度的条文及其实施方式都会影响契约类型； （张五常 佃农理论 商务印书馆 第四章） 2 关于 Williamson 的等级控制与厂商规模模型： 基本假定： （1）为“价格接受者” ； （2）目标为利润最大化； （3）典型企业有 m 个管理层；每个管理者管理 s 个不同的部下；则最底层的第一线工人人 数为 s
第十八讲 企业的性质、边界与产权
第十八讲 1 关于“分成制” ： 分成制是指佃农与地主每一方都按某个固定的百分比来分取其总收成； 我们先假设签订合约的成本为零（即交易成本为零） H 表示属于某一地主的土地总 ； 面积。h 表示某一佃农所承租的土地面积，q 表示产量； 边际产量与地主的所有土地；
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第一讲 偏好、效用……
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles clcsedr2004@
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
1 根据下面的描述，画出消费者地无差异曲线．对于 1.2 和 1.3 题，些出效用函数．
1.1 王力喜欢喝汽水 x ，但是厌恶吃冰棍 y
包括边际效用递减．（“良好性状”语出范里安《现代观点》第三章．）
ii 我认为该小问需要补充α1 + α 2 = 1 才能得证，否则只能证明偏好关系的趋近关系．在解 答中可以看出来，如果α1 + α 2 ≠ 1 ，题目中的效用函数的极限不存在．考研咨询版上网友
的回答是平老师从原题上漏掉的．
8
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
u ( x1 ,
x2 )
=
10( x12
+
2 x1 x2
+
x
2 2
)
−
50
来描述，那么对此消费者而言，商品 1 和商品 2 是完全替代的． 答：此说法正确．
令 t(x1, x2 ) =
u + 50 ，由单调变换的定义知，t 与 u 是同一个偏好的效用函数．且 10
t(x1, x2 ) = x1 + x2 ，即 t 所描述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．因此 u 所描
y − p2 x2 p1
当 x2
= 0 时， u 有最大值
y p1
．此时， x1 的消费量为
y p1
．
即，马歇尔需求函数为 x1 =
y p1
， x2
=
0
10 一个人的效用函数为 u(x1, x2 ) = Ax1α x12−α ，这里 0 < α < 1， A > 0 ．假定存在内点解，
请导出其马歇尔效用函数． 解：解线性规划
，β2
=1−
β1 ．则 u 的一个单调变换结果是
又：
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
( ) lim
ρ →0
t ( x1 ,
x2
)
=
lim
ρ →0
e
1 ρ
ln
β1x1ρ
+ β 2 x2 ρ
=e 1 lim ρ →0 ρ
ln ⎜⎝⎛
β1x1ρ
+ β 2 x2 ρ
⎟⎠⎞
= e lim ρ →0
2.2 如果 p1 = 1， p2 = 2 ， y = 10 ．请在图上找出该消费者的最优的消费组合．
2
第一讲 偏好、效用……
在图中，赭线是预算线．与之有公共点集的唯一最高无差异曲线是过点（10，0） 的那条无差异曲线（上图中为橙线）．消费者的最优的消费选择是（10，0）． 3 下列说法对吗？为什么？ 若某个消费者的偏好可以由效用函数
其拉格朗日函数为
max
x1 ,x2
Ax1α
x12−α
s.t. p1x1 + p2 x2 = y
L(λ; x1, x2 ) = Ax1α x12−α + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
使 L(⋅) 最大化的 x1 ， x2 ， λ 满足一阶条件：
∂L ∂x1
= αAx1α −1 x12−α
7
x2
=
(1 − α ) y p2
5 与 6 式即为 x1 与 x2 的马歇尔需求函数．
第一讲 偏好、效用……
（6）
i
更直观地，作 u(x1, x2 ) 的单调变换，令 t(x1, x2 ) = eu
=
x 0.5 1
x 0.5 1
，即为典型的柯布‒道格拉
斯函数形式，具有所有“良好性状的（well-behaved）偏好”的所有特征，当然这些特征中
5.1 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2
此时，函数 u 是线性的．
5.2
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
3
第一讲 偏好、效用……
证明：令 β1
=
α1 α1 + α2
可能的一个无差异曲线是这样：
y
x 0 1.2 李楠既喜欢喝汽水 x ，又喜欢吃冰棍 y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异
的． 只要满足（0，2）和（3，0）在同一条无差异曲线上就符合题目要求．可能的一 个无差异曲线是这样：
y
2
x 0
3
1.3 萧峰有个习惯，它每喝一杯汽水 x 就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言是
8.4 对于任何 X 中的 x1 与 x 2 ，在下列关系中，只能居其一： x1 > x 2 ， x 2 > x1 ，或
x1 ≈ x2
说明：根据 8.3 的说明，x1 > x 2 与 x 2 > x1 不可能同时成立，那么，当 x1 > x 2 和
x 2 > x1 同时不成立的时候，必有 x1 ≥ x 2 且 x 2 ≥ x1 ，即 x1 ≈ x 2
p1c + p2 s = M
（**）
综合*与**式，可以得到， s = 2M ， c = M
p1 + 2 p2
p1 + 2 p 2
如果价格变成
p1′ 和 p2′ ，同样可以得到 s′ =
2M p1′ + 2 p2′
， c′ =
M p1′ + 2 p2′
．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
5
第一讲 偏好、效用……
7 令 ≥ 为偏好关系，>为严格偏好关系， ≈ 为无差异关系．证明下列关系 7.1 ≥⊂≥
说明： 感觉能力不济；这道题只能说说自己的想法了。由于偏好的完备性，因此定义在 任何一个选择集上的偏好关系都是唯一的。又由于任何集合都是自己的子集，所
以 ≥⊂≥ 7.2 = ⊂≥
证明：
≈=≥ ∩ ≤⇒≈⊂≥ 7.3 ≈ ∪ >=≥
很明显，她的最优选择必然是
c= 1s 2
（*）
考虑 c ≠ 1 s ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了—— 2
还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 c = 1 s ． 2
她面临的约束条件为：
p1c + p2 s ≤ M
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
多多益善．
1
第一讲 偏好、效用……
yy
x
0
效用函数为 u
=
min{x,
y }
2
1.4 杨琳对于有无汽水 x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍．
y
x
0 效用函数为 u = y
2 作图：如果一个人的效用函数为：
u(x1, x2 ) = max{x1, x2}
2.1 请画出三条无差异曲线．
x2
x1
0
（10，0）
证明：
≈=≥ >=≥
∩ ≤⎫
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
7.4 ≈ ∩ >= ∅
证明：
≈=≥ >=≥
∩ ≤⎫
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
8 证明下列结论（或用具说服力的说理证明）
8.1 > 与 ≈ 都不具有完备性
说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好 关系不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表
示为（假设她的偏好满足单调性）：
u(c, s) = min{c, 1 s} 2
其中， c 代表咖啡的量，以杯为单位； s 表示糖的量，以汤匙为单位．
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
趋近于以下效用函数：
u(x1, x2 ) = min{x1, x2}
6 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格
是 p2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上，那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
4Hale Waihona Puke 第一讲 偏好、效用……当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
证明：令 β1
=
α1 α1 + α2
，β2
=1−
β1 ．则 u 的一个单调变换结果是
1
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles clcsedr2004@
第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题
1 根据下面的描述，画出消费者地无差异曲线．对于 1.2 和 1.3 题，些出效用函数．
1.1 王力喜欢喝汽水 x ，但是厌恶吃冰棍 y
包括边际效用递减．（“良好性状”语出范里安《现代观点》第三章．）
ii 我认为该小问需要补充α1 + α 2 = 1 才能得证，否则只能证明偏好关系的趋近关系．在解 答中可以看出来，如果α1 + α 2 ≠ 1 ，题目中的效用函数的极限不存在．考研咨询版上网友
的回答是平老师从原题上漏掉的．
8
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
u ( x1 ,
x2 )
=
10( x12
+
2 x1 x2
+
x
2 2
)
−
50
来描述，那么对此消费者而言，商品 1 和商品 2 是完全替代的． 答：此说法正确．
令 t(x1, x2 ) =
u + 50 ，由单调变换的定义知，t 与 u 是同一个偏好的效用函数．且 10
t(x1, x2 ) = x1 + x2 ，即 t 所描述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．因此 u 所描
y − p2 x2 p1
当 x2
= 0 时， u 有最大值
y p1
．此时， x1 的消费量为
y p1
．
即，马歇尔需求函数为 x1 =
y p1
， x2
=
0
10 一个人的效用函数为 u(x1, x2 ) = Ax1α x12−α ，这里 0 < α < 1， A > 0 ．假定存在内点解，
请导出其马歇尔效用函数． 解：解线性规划
，β2
=1−
β1 ．则 u 的一个单调变换结果是
又：
1
t = (β1x1ρ + β 2 x2ρ ) ρ
( ) lim
ρ →0
t ( x1 ,
x2
)
=
lim
ρ →0
e
1 ρ
ln
β1x1ρ
+ β 2 x2 ρ
=e 1 lim ρ →0 ρ
ln ⎜⎝⎛
β1x1ρ
+ β 2 x2 ρ
⎟⎠⎞
= e lim ρ →0
2.2 如果 p1 = 1， p2 = 2 ， y = 10 ．请在图上找出该消费者的最优的消费组合．
2
第一讲 偏好、效用……
在图中，赭线是预算线．与之有公共点集的唯一最高无差异曲线是过点（10，0） 的那条无差异曲线（上图中为橙线）．消费者的最优的消费选择是（10，0）． 3 下列说法对吗？为什么？ 若某个消费者的偏好可以由效用函数
其拉格朗日函数为
max
x1 ,x2
Ax1α
x12−α
s.t. p1x1 + p2 x2 = y
L(λ; x1, x2 ) = Ax1α x12−α + λ( y − p1x1 − p2 x2 )
使 L(⋅) 最大化的 x1 ， x2 ， λ 满足一阶条件：
∂L ∂x1
= αAx1α −1 x12−α
7
x2
=
(1 − α ) y p2
5 与 6 式即为 x1 与 x2 的马歇尔需求函数．
第一讲 偏好、效用……
（6）
i
更直观地，作 u(x1, x2 ) 的单调变换，令 t(x1, x2 ) = eu
=
x 0.5 1
x 0.5 1
，即为典型的柯布‒道格拉
斯函数形式，具有所有“良好性状的（well-behaved）偏好”的所有特征，当然这些特征中
5.1 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2
此时，函数 u 是线性的．
5.2
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
3
第一讲 偏好、效用……
证明：令 β1
=
α1 α1 + α2
可能的一个无差异曲线是这样：
y
x 0 1.2 李楠既喜欢喝汽水 x ，又喜欢吃冰棍 y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异
的． 只要满足（0，2）和（3，0）在同一条无差异曲线上就符合题目要求．可能的一 个无差异曲线是这样：
y
2
x 0
3
1.3 萧峰有个习惯，它每喝一杯汽水 x 就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言是
8.4 对于任何 X 中的 x1 与 x 2 ，在下列关系中，只能居其一： x1 > x 2 ， x 2 > x1 ，或
x1 ≈ x2
说明：根据 8.3 的说明，x1 > x 2 与 x 2 > x1 不可能同时成立，那么，当 x1 > x 2 和
x 2 > x1 同时不成立的时候，必有 x1 ≥ x 2 且 x 2 ≥ x1 ，即 x1 ≈ x 2
p1c + p2 s = M
（**）
综合*与**式，可以得到， s = 2M ， c = M
p1 + 2 p2
p1 + 2 p 2
如果价格变成
p1′ 和 p2′ ，同样可以得到 s′ =
2M p1′ + 2 p2′
， c′ =
M p1′ + 2 p2′
．咖啡和糖的
消费比例不会发生变化．
5
第一讲 偏好、效用……
7 令 ≥ 为偏好关系，>为严格偏好关系， ≈ 为无差异关系．证明下列关系 7.1 ≥⊂≥
说明： 感觉能力不济；这道题只能说说自己的想法了。由于偏好的完备性，因此定义在 任何一个选择集上的偏好关系都是唯一的。又由于任何集合都是自己的子集，所
以 ≥⊂≥ 7.2 = ⊂≥
证明：
≈=≥ ∩ ≤⇒≈⊂≥ 7.3 ≈ ∪ >=≥
很明显，她的最优选择必然是
c= 1s 2
（*）
考虑 c ≠ 1 s ，那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好，反而还浪费了—— 2
还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得 c = 1 s ． 2
她面临的约束条件为：
p1c + p2 s ≤ M
由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此 她的最优选择必然在预算线上．也就是说，她的约束条件可以表达为：
多多益善．
1
第一讲 偏好、效用……
yy
x
0
效用函数为 u
=
min{x,
y }
2
1.4 杨琳对于有无汽水 x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍．
y
x
0 效用函数为 u = y
2 作图：如果一个人的效用函数为：
u(x1, x2 ) = max{x1, x2}
2.1 请画出三条无差异曲线．
x2
x1
0
（10，0）
证明：
≈=≥ >=≥
∩ ≤⎫
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
7.4 ≈ ∩ >= ∅
证明：
≈=≥ >=≥
∩ ≤⎫
−
≤
⎬ ⎭
⇒≈
∪
>=≥
8 证明下列结论（或用具说服力的说理证明）
8.1 > 与 ≈ 都不具有完备性
说明：严格偏好关系真包含于偏好关系，而偏好关系是完备的，因此，严格偏好 关系不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
为 p1′ 和 p2′ ，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？
解：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品（perfect complements），即她的效用函数可以表
示为（假设她的偏好满足单调性）：
u(c, s) = min{c, 1 s} 2
其中， c 代表咖啡的量，以杯为单位； s 表示糖的量，以汤匙为单位．
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
趋近于以下效用函数：
u(x1, x2 ) = min{x1, x2}
6 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖．如果每汤匙糖的价格是 p1 ，每杯咖啡的价格
是 p2 ，她有 M 元可以花在咖啡和糖上，那么她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变
lim
ρ →−∞
t
(
x1
,
x2 )
=
x2
4Hale Waihona Puke 第一讲 偏好、效用……当 x1 = x2 时，有 t(x1, x2 ) ≡ x1 = x2 综上所述，当 ρ → −∞ 时，原效用函数描述的偏好关系趋近于
u(x1, x2 ) = min{x1, x2} 所描述的偏好关系．
如果α1 与α 2 满足α1 + α 2 = 1 ，那么当 ρ → −∞ 时，同时有效用函数
证明：令 β1
=
α1 α1 + α2
，β2
=1−
β1 ．则 u 的一个单调变换结果是
1