(word完整版)妙用“柯西中值定理”秒杀高考导数压轴题(强烈推荐,公式编辑器完美编辑)

课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ，∴xx x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。

又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

解：要使(2)(1)()21f f f ξ-'=-，只要3415ξξ=⇒=从而(12)ξ,=即为满足定理的ξ。

柯西不等式的证明及相关应用摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。

关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：()22211n n b a b a b a +++ ()()2222122221nn b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a ii2,1,,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120nn a a a +++≥()()()044222212222122211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+ 即1212nna a ab b b ===时等号成立 方法2 证明:数学归纳法（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ()()()()2222222222121211222112a a bb a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()222212222122211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当 i i ma b =，m 为常数，k i 2,1= 或120k a a a ====时等号成立设A=22221k a a a +++ B=22221k b b b +++ 1122k k C a b a b a b =+++2C AB ≥∴则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i 或121+===k a a a 时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。

柯西不等式的应用技巧及练习
柯西不等式的一般形式是：设12
12,,,R n n a a a b b b ∈，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立．
其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 2
n a b 和
21求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
例７ 设,121+>>>>n n a a a a 求证：
练习题
1.(2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++=
(1)求t 的最小值；
(2)当2
1=t 时，求z 的取值范围 2(2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。

(1)求()222149a b c +++的最小值；
(2)
≥3
45678求x
z z y y x +++++值． 9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135
a =， 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1)求{}n a 的通项公式； (2) 证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭+。

第六章 微分中值定理及其应用 1 柯西中值定理和不定式极限练习题1、试问f(x)=x 2, g(x)=x 3在区间[-1,1]是否适应柯西中值定理，为什么？ 解：不能得到。

理由如下：∵f ’=2x ，g ’=3x 2.当x=0时，f ’(x)=g ’(x)=0，不满足柯西中值定理的条件。

2、设函数f 在[a,b]上可导. 证明：存在ξ∈(a,b)，使得 2ξ[f(b)-f(a)]=(b 2-a 2)f ’(ξ).证1：记g(x)=x 2，则g ’(x)=2x ，f,g 符合柯西中值定理， ∴存在ξ∈(a,b)，使f ′(ξ)g ′(ξ)=f (b )−f(a)b 2−a 2，即f ′(ξ)2ξ=f (b )−f(a)b 2−a 2，∴2ξ[f(b)-f(a)]=(b 2-a 2)f ’(ξ).证2：记F(x)=(b 2-a 2)f(x)-[f(b)-f(a)]x 2，则F(x)在[a,b]上可导，且F(a)=F(b). 故由罗尔中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使F(ξ)=(b 2-a 2)f ’(ξ)-2ξ[f(b)-f(a)]=0， ∴2ξ[f(b)-f(a)]=(b 2-a 2)f ’(ξ).3、设函数f 在点a 具有连续的二阶导数. 证明：limh→0f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=f ”(a).证：记g(x)=f(x)-f(x-h)，并取充分小的|h|，使f ”(x)在U(a,2|h|)有意义. 由格拉朗日中值定理知：在a 和a+h 之间存在ξ1，在ξ1和ξ1-h 之间存在ξ，使 f(a+h)+f(a-h)-2f(a)=[f(a+h)-f(a)]-[f(a)-f(a-h)]=g(a+h)-g(a)=g ’(ξ1)h =[f ’(ξ1)-f ’(ξ1-h)]h=f ”(ξ)h 2.∴limh→0f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=lim h→0f ”(ξ).又当h →0时，ξ→x ，且f ”在点a 连续，∴lim h→0f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=f ”(a).4、设0<α<β<π2，试证明存在θ∈(α,β)，使得sinα−sinβcosβ−cosα=ctan θ.证：记f=sinx, g=cosx ，则f,g 在[α,β]⊂(0,π2)符合柯西中值定理， ∴存在θ∈(α,β)，使得sinα−sinβcosβ−cosα=f ′(θ)g ′(θ)=cosθ−sinθ，即sinα−sinβcosβ−cosα=ctan θ.5、求下列不定式极限： (1)limx→0e x −1sinx；(2)lim x→π61−2sinx cos3x；(3)limx→0ln (1+x )−xcosx−1；(4)limx→0tanx−xx−sinx；(5)lim x→π2tanx−6secx+5；(6)lim x→0(1x−1e x −1)；(7)lim x→0+(tanx)sinx；(8)lim x→1x 11−x；(9)lim x→+∞(1+x2)1x；(10)lim x→0+sinxlnx ；(11)lim x→0(1x2−1sin 2x)；(12)lim x→0(tanx x)1x 2.解：(1)limx→0e x −1sinx =limx→0e xcosx =e 0cos0=1.(2)lim x→π61−2sinx cos3x =lim x→π6−2cosx −3sin3x =2cos π63sin π2=√33. (3)lim x→0ln (1+x )−xcosx−1=limx→011+x−1−sinx =lim x→0(11+x·x sinx )=11+0·lim x→0xsinx=1. (4)limx→0tanx−xx−sinx =lim x→0sin 2xcos 2x(1−cosx)=limx→0sin2x−sin2x (1−cosx )+cosxsin2x 2=lim x→013cosx2−1=2. (5)lim x→π2tanx−6secx+5=lim x→π2sinx−6cosx 1+5cosx=1.(6)lim x→0(1x−1e x −1)=lim x→0e x −1−xx(e x −1)=lim x→0e x −1e x −1+xe x =lim x→0e xe x +e x +xe x =12. (7)lim x→0+(tanx)sinx=e limx→0+lntanx1sinx=elim x→0+sec 2xtanx −cosx sin 2x=elimx→0+−sinxcos 2x=e 0=1.(8)lim x→1x11−x=elimx→1lnx 1−x=elimx→11−x=e -1.(9)lim x→+∞(1+x2)1x=elim x→+∞ln(1+x 2)x =elimx→+∞2x1+x 2=e 0=1.(10)lim x→0+sinxlnx=lim x→0+lnx1sinx=lim x→0+−sin 2xxcosx =lim x→0+(−sinx x·tanx)=0.(11)lim x→0(1x2−1sin 2x)=lim x→0sin 2x−x 2x 2sin 2x =limx→02sinxcosx−2x2xsin 2x+2x 2sinxcosx=lim x→0sin2x−2x2xsin 2x+x 2sin2x =limx→0cos2x−1sin 2x+2xsin2x+x 2cos2x =lim x→0−2sin2x3sin2x+6xcos2x−2x 2sin2x=limx→0−23+3·2xsin2x ·cos2x−2x 2=−13.(12)lim x→0(tanx x)1x 2=e limx→0ln(tanxx )x 2=elimx→0xsec 2x−tanx 2x 2tanx=elimx→0sec 2x+2xsec 2xtanx−sec 2x4xtanx+2x 2sec 2x=e limx→0sec 2xtanx2tanx+xsec 2x =elimx→02sec 2xtan 2x+sec 4x 3sec 2x+2xsec 2xtanx=e 13.6、设函数f 在a 点具有二阶导数，证明对充分小的h ，存在θ∈(0,1)， 使得：f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=f ′′(a+θh )+f ′′(a−θh )2.证：记g(x)=f(a+x)+f(a-x)，则f (a+h )+f (a−h )−2f(a)h 2=g(h)−g(0)h 2=g ′(h)−g ′(0)2h=g ′′(θh)h 2h=g ′′(θh)2=f ′′(a+θh )+f ′′(a−θh )2.7、求下列不定式极限： (1)limx→1lncos(x−1)1−sinπx2；(2)lim x→+∞(π-2arctanx)lnx ；(3)lim x→0+x sinx； (4)lim x→π4(tanx)tan2x；(5)lim x→0(ln(1+x)(1+x)x 2−1x )；(6)lim x→0(ctanx −1x)；(7)limx→0(1+x)1x −ex；(8)lim x→+∞(π2−arctanx)1lnx.解：(1)limx→1lncos(x−1)1−sin πx2=limx→12tan(x−1)πcos πx2=limx→14sec 2(x−1)−π2sin πx2=−4π2.(2)lim x→+∞(π-2arctanx)lnx=limx→+∞π−2arctanx1lnx=limx→+∞2x(lnx)21+x 2=limx→+∞(lnx)2+lnxx=limx→+∞2lnx+1x=lim x→+∞2x=0.(3)lim x→0+x sinx=e limx→0+lnxcscx=elim x→0+(sinx x ·sinxcosx)=e 0=1.(4)lim x→π4(tanx)tan2x =e lim x→π4lntanxctan2x=e lim x→π4sec 2x−2tanxcsc 22x=e -1. (5)lim x→0(ln(1+x)(1+x)x 2−1x)=lim x→0(1+x)ln(1+x)−xx 2=limx→0ln (1+x )2x=limx→012(1+x )=12. (6)lim x→0(ctanx −1x )=limx→0x−tanxxtanx=limx→01−sec 2xtanx+xsec 2x =lim x→0cos2x−1sin2x+2x=limx→0−2sin2x 2cos2x+2=0.(7)设y=(1+x)1x，lny=ln(1+x)x，(lny)’=x1+x−ln(1+x)x 2，又(lny)’=y ′y，∴y ’=(1+x)1x·x1+x−ln(1+x)x 2limx→0(1+x)1x −ex =lim x→0[(1+x )1x·x1+x−ln (1+x )x 2]=e limx→01(1+x)2−11+x 2x=e limx→0−12(1+x)2=−e2. (8)lim x→+∞(π2−arctanx)1lnx=elimx→+∞ln(π2−arctanx)lnx =elim x→+∞−x1+x 2π2−arctanx=elimx→+∞1−x 21+x 2=e -1.8、设f(0)=0，f ’在原点的某领域内连续，且f ’(0)=0. 证明：lim x→0+x f(x)=1. 证：lim x→0+x f(x)=e lim x→0+f(x)1lnx=elim x→0+f ′(x)−1x(lnx)2=e−lim x→0+x(lnx)2·lim x→0+f ′(x)=e 0·f ’(0)=1.9、证明：(洛必达法则)若函数f,g 满足， 1)lim x→+∞f(x)=lim x→+∞g(x)=0；2)存在M 0>0，使得f 与g 在(M 0,+∞)内都可导，且g ’(x)≠0；3)limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A(A 可为实数或±∞或∞)，则limx→+∞f(x)g(x)=limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A.证：令y=1x，f(1y)=F(y)，g(1y)=G(y)，则x →+∞时，y →0+，且1)lim y→0+F(x)=lim y→0+G(x)=0； 2)F 与G 在某点的某右空心邻域U +0(0)内可导，且G ’(y)=−1y2g ’(1y)≠0；3)lim y→0+F ′(y)G ′(y)=limy→0+−1y2f ′(1y )−1y 2g ′(1y )=limy→0+f ′(1y )g ′(1y )=limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A.补充定义F,G 在y=0的值为F(0)=G(0)=0，在U +0(0)内任取一点y ， 在区间[0,y]上应用柯西中值定理，有：F(y)G(y)=F (y )−F(0)G (y )−G(0)=F ′(ξ)G ′(ξ), ξ∈(0,y).∵y →0+时，ξ→0+，∴lim y→0+F(y)G(y)=limξ→0+F ′(ξ)G ′(ξ)=limy→0+F ′(y)G ′(y)=A.∴lim x→+∞f(x)g(x)=limx→+∞f ′(x)g ′(x)=A.10、证明：f(x)=x 3e −x 2为有界函数. 证：∵lim x→∞f(x)=limx→∞x 3ex 2=lim x→∞3x2ex 2=lim x→∞34xe x2=0，∴存在G>0，使得当|x|>G 时，|f(x)|<1；又f(x)在[-G,G]上连续，∴存在M 1>0，使得 对一切x ∈[-G,G]，有|f(x)|≤M 1，取M=max{1,M 1}，则对一切x ∈R ，都有|f(x)|≤M ，∴f(x)为有界函数.。

2018高考数学压轴题突破140罗尔拉格朗柯西中值定理在导
数中应用
大家好，今天继续给大家分享2018年高考数学压轴题突破140系列之罗尔拉格朗柯西中值定理在导数中应用，关于这部分内容，很多学生和老师有很多争议，说学这个没有任何用途
张老师给大家分析几点
1、此内容是拓展内容，主要针对那些尖子生学有余力的学生进行拓展，所以大家必须先要定位好自己，有选择的学习即可
2、高考是否可以使用呢？对于高考的小题可以直接使用，这样使用起来比较方便，而且计算快，但对于解答题而言，用了用错了，肯定不会得分，但如果当在考试过程时，解答导数问题已经无路可走了，这个时候想起了张老师的这根救命稻草，你是否可以用呢
3、另外大家平时学习过程中，请智慧答题，学会混分，具体你可能知道的哦。

柯西中值定理和不定式极限汇总不定式极限是微积分中的一个概念，用于描述函数在无穷远处的变化趋势。

不定式极限通常用符号∞来表示，表示函数在无穷远处的极限值。

不定式极限可以是无穷大、无穷小或无穷远。

现在我们来详细介绍柯西中值定理。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。

根据柯西中值定理，存在一个xi∈(a, b)，使得f'(x_i) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]其中，f'(xi)表示函数在(xi, f(xi))处的瞬时变化率，也就是导数。

我们通过一个例子来具体说明柯西中值定理的应用。

例1：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)。

证明：存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

证明：根据柯西中值定理，存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{0}{b-a} = 0\]因此，存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0，即证明了结论。

除了柯西中值定理，微积分中还有其他的一些重要定理，如拉格朗日中值定理、罗尔定理等。

这些定理的应用可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，为解决问题提供了有力的工具。

总结起来，柯西中值定理是微分学中的一个重要定理，它可以描述函数在一个区间上的平均变化率与其在该区间上其中一点处的瞬时变化率之间的关系。

柯西中值定理在求解函数的最大值、最小值以及判断函数在一些点上的性质时起着重要的作用。

除了柯西中值定理，微积分中还有其他的一些重要定理，它们的应用可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，为解决问题提供有力支持。

三、导数的应用
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理
柯西中值定理
如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，
那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。

例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根
证明：不难发现方程左端是函数的导数：
函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且
，由罗尔定理
可知，在0与1之间至少有一点c，使，即
也就是：方程在0与1之间至少有一个实根
未定式问题
问题：什么样的式子称作未定式呢？
答案：对于函数,来说，当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大
则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。

分别记为型。

利用柯西中值定理证明题目马克思柯西中值定理是指如果函数f在区间[a,b]内满足柯西中值定理，即f(x)在这个区间内有唯一的最大值和最小值，那么存在一个数c，这个数位于最大值和最小值之间，使得f(c)=f(a)+f(b)。

柯西中值定理被用来证明一些数学猜想，譬如求解不定方程，应用微分方程等。

一般来说，函数f在上述区间[a,b]上必须满足以下条件，这样才能使用柯西中值定理:1、函数f在区间[a,b]上必须是连续函数；2、函数f在区间[a,b]上必须是单调函数；3、函数f在区间[a,b]上有唯一的最大值和最小值。

柯西中值定理的证明如下：1、由假设f(x)在[a,b]上满足连续且单调性，则由这两个假设可以知道f(x)在[a,b]上一定有一个最大值和最小值，而且最大值一定大于最小值；2、首先由f(x)在[a,b]上最大值和最小值的性质，容易知道，存在连接最大值和最小值的曲线，也就是存在一个连续的曲线上的一点c，使得f(c)等于最大值减去最小值；3、根据2的结果，再进一步知道f(c)的值一定满足f(a)+f(b)；4、根据以上各结论，可以断定，存在一个数c，使得f(c)=f(a)+f(b)。

由此可见，柯西中值定理的证明是比较简单的，可以用来证明一些数学猜想，它的证明因为结构简单，概念易懂，所以被广泛使用。

除了证明某些数学猜想外，柯西中值定理还可以用于解决微积分问题，比如求解不定积分。

因为可以利用最大值和最小值的原理求取对于相应函数的不定积分，从而求得数值答案。

柯西中值定理也可以用于求解微分方程，进而运用于求解系统的动态模型。

以处理混合系统的动态模型为例，可以利用柯西中值定理来解决相关问题，从而求得相应的解。

总之，柯西中值定理是一种有效的数学工具，可以应用于许多数学问题，比如求解不定方程，求解不定积分问题，解决动态模型问题等。

因此，柯西中值定理在数学实践中是一个重要的工具，能够为我们的实践工作带来极大的便利。

用“拉格朗日中值定理”快速破解导数难题，轻松搞定高考压轴题拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem，提出时间1797年）又称拉氏定理，又称微分中值定理，是微分学中的基本定理之一。

它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

一、拉格朗日中值定理的概念和几何意义2、几何意义：在满足定理条件的曲线上y=f(x)至少存在一点C1（ξ1，f(ξ1)），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB（如图）二、拉格朗日中值定理的应用1、为什么要用拉格朗日中值定理去解决高考数学问题？近年来，以高等数学为背景的高考命题成为热点。

也就是说，在当前的高考数学试题中，有一些省份或者有一些试题，里面含有了高等数学（大学数学）的成分。

这些题目虽然可以利用中学的数学知识解决，但是往往比较繁琐，同时还容易出现证明不下去的尴尬局面。

在这个时候，如果我们提前知道了一些高等数学（大学数学）的相关知识，那么在解题的过程中，相对来说，就简单很多。

因为这些高考试题本身就带有高等数学的相关“影子”，同时高等数学的一些知识点，应用到高考题目中，一般只应用一些比较简单的部分，所以此时用高等数学的知识去解决高考压轴大题，就变得简单了。

2、拉格朗日定理具体用来解决哪些类型的数学题目？一般来说，用来解决高考试题中的函数题、导数题和不等式证明题、恒成立问题、参数范围题等。

三、和拉格朗日定理有关的题目案例分析【1】直接应用拉格朗日中值定理来解题例2、填空题选择题中，使用拉格朗日中值定理能够快速解题【2】求割线斜率大小----几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率，可以转化为曲线上切线的斜率。

柯西不等式在高考中的运用柯西不等式：(1) 二维形式()()()22222bd ac d c b a +≥++公式变形：()()2222d c b abd ac ++≤+，等号成立条件：当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛==d b c a bc ad 即时。

（2） 一般形式()()()()n i R b a b b b a a a b a b a ba i i nn n n 2,1,,,222212222122211=∈++++++≤+++等号成立条件：nn b a b a b a === 2211，或()n i b a i i ,2,1,=中有一为零。

（3）柯西不等式的三角形式设d c b a ,,,都是实数，则()()222222d b c a d c b a -+-≥+++.从题型上来分，柯西不等式可用于不等证明问题和最值问题两大类。

其中不等证明问题可细分为 分式和不等式证明问题、整式和不等式证明问题；最值问题又可进一步细分为多元变量代数式的最值问题和一元变量的最值问题。

1、求最值问题（1）求多元变量代数式的最值求多元变量代数式的最小值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的左边；当求多元变量代数式的最大值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的右边。

例6（2012高考浙江卷文科第9题）若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）。

A.524 B.528C.5D.6 解：由xy y x 53=+，得.513=+yx（*） 由柯西不等式，得()()2491343+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x （* *）即()25435≥+y x ，所以543≥+y x ，且.54321,1=+==y x y x 时， 所以y x 43+的最小值是5，故选C.例7 （2014年高考陕西卷理科第15题）设R n m b a ∈,,,且5,522=+=+nd ma b a ，则22n m +的最小值为 。