天津大学1999年硕士入学考试试题-数学分析

99西方经济学一选择题(每题1分，共25分)，(答案写在答卷纸上J)1，经济物品是指( )。

a.有用的韧品b.稀缺的物品c.用钱购买的物品 d．有用且稀缺的物品2．在凸离原点的生产可能性曲线上说明( )。

a.失业率高b.成本递减规律 c．资源充分利用 d．存在政府决策3．某商品需求量与其价格之间呈受向变化，是因为( )。

a．替代效应的作用 b．收入效应的作用 c.需求规律的作用d.需求弹性为负4.设生产某物品的投入要素价格上涨了,则这种商品的( )。

a．需求曲线向左方移动 b．供给曲线向左方移动 c.需求曲线向右方移动d.供给曲线向右方移动5.邵种弹性是度量沿着需求曲线的移动而不是曲线本身的移动：( )。

a．需求的价格弹性 b．需求的收入弹性 co需求的交又弹性d，需求的预期弹性6，对劣质商品需求的收入弹性( )。

a.＞0 b．＝o c．＜1 d．＜07 市场价格随着( )而上升。

a．需求和供给的增加 b．需求和供给的减少 c．需求增加和供给减少d，需求减少和供给增加8 无差异曲线的形状取决于( )。

a.消费者收入 b．所购商品的价格 ct消费者偏好 d．商品效用水平的大小9.商品x和y的边际替代率等于它们的( )之比。

a.价格 b．数量 c，边际效用 d，边际成本10 若消费者低于其预算线消费，则消费者( )。

a.用完全部收入 b．没有处于消费均窃 c．有剩余 d．节约11需求曲线斜率为正的充要条件为4． )。

a，低挡商品 b．替代效应超过收入效应 c．收入效应超过替代效应d，低档商品且收入效应超过替代效应12如果连续地增加某种生产要素，在总产量达到最大时，边际产量曲线(a．与纵轴相交 b．经过原点 c。

与横轴相交 d．与平均产量曲线相交13 经济学中短期与长期的划分取决于( )。

a，时间长短 b．可否调整产量 c*可否回收投资 d．可否调整生产成本14 自有资金的利息是( )。

a．固定成本 b．会计成本 c．隐合成本 d．生产成本15，如果一个企业经历规模报酬不变阶段，则IAc曲线是( )。

天津大学研究生院一九九九年招收硕士生入学试题考试科目：运筹学基础 页数：5一、（27%）填空1、 某工程公司拟从四个项目中选择若干项目，若令x i= 1，第i 个项目被选中（i=1,2,3,4）0，第i 个项目为被选中（i=1,2,3,4）请用x i 的线性表达式表示下列要求：（1）从1，2，3项目中至少选择一个：（2）只有项目2被选中，项目4才能被选中2、 考虑线形规划问题maxz=5x 1+12x 2+4x 3x 1+2x 2+x 3≤5s.t. 2x 1-x 2+3x 3=2x 1,x 2,x 3≥0用单纯型法求解，得其终表如下：其中x 4位松弛变量，x 5为人工变量。

（1）上述模型的对偶模型为（2）对偶模型的最优解为（3）当两种资源分别单独增加一个单位时，目标函数值分别增加 和。

（4）最优基的逆矩阵B -1= （5）如果原问题增加一个变量，则对偶问题的可行域将可能变大还是变小？3、 用表上作业法求解某运输问题，若已计算出某空格的检验数为-2，则其经济意义是，若从该空格出发进行调整，该调整量为2，则调后可使总运费下降。

4、 动态规划中的Bellman 最优性原理是5、 某施工网络图（PERT ）的关键路线如下图，箭线上数字为工序时间ij t ，下面数字为工序方差σij 2。

①11.460.78−−−→②15.380.64−−−→③10.510.39−−−→④121.00−−→⑤ 此工程的期望完工期T E =，工程在48天内完工的概率为（只列表达式）6、 设报童每日的售报量Q 是随机变量，其概率分布为P(Q)，报童每售出一份报赚k 元，若报纸当天未售出，每份赔h 元，则报童每天最佳的（期望损失最小的）报纸订购（批发）量Q*的确定方法是现若知k=2.5，h=1.25，P(Q)如下表所示，则报童每日订购份最佳。

7、矩阵对象的研究对象是对策问题。

它在纯策略意义下有解得充要条件是：该解是点二、 （13%）用表上作业法求解下面的平衡运输问题 Minz=11m n i j CijXij ==∑∑1n j Xij =∑=a i , i=1,……,ms.t. 1m i Xij =∑=b j , j=1,……,nXij ≥0, i=1,……,m, j=1,……,n时，计算某方案的空格[i,j]检验数σij 可采用位势法，其主要步骤如下：（1）建立线形方程组U i +V j =C ij ,其中C ij 为所有有数个的运价，U i ，V j 分别称发地i 和收地j 的位势。

天津大学研究生院一九九九年招收硕士生入学试题考试科目：运筹学基础 页数：5 一、（27%）填空 1、 某工程公司拟从四个项目中选择若干项目，若令x i = 1，第i 个项目被选中（i=1,2,3,4） 0，第i 个项目为被选中（i=1,2,3,4） 请用x i 的线性表达式表示下列要求： （1）从1，2，3项目中至少选择一个：（2）只有项目2被选中，项目4才能被选中2、 考虑线形规划问题maxz=5x 1+12x 2+4x 3 x 1+2x 2+x 3≤5 s.t. 2x 1-x 2+3x 3=2 x 1,x 2,x 3≥0用单纯型法求解，得其终表如下：其中x 45（1）上述模型的对偶模型为 （2）对偶模型的最优解为（3）当两种资源分别单独增加一个单位时，目标函数值分别增加 和。

（4）最优基的逆矩阵B -1=（5）如果原问题增加一个变量，则对偶问题的可行域将可能变大还是变小？3、 用表上作业法求解某运输问题，若已计算出某空格的检验数为-2，则其经济意义是，若从该空格出发进行调整，该调整量为2，则调后可使总运费下降。

4、动态规划中的Bellman最优性原理是5、 某施工网络图（PERT ）的关键路线如下图，箭线上数字为工序时间ij t ，下面数字为工序方差σij2。

①11.460.78−−−→②15.380.64−−−→③10.510.39−−−→④121.00−−→⑤ 此工程的期望完工期T E =，工程在48天内完工的概率为（只列表达式）。

6、 设报童每日的售报量Q 是随机变量，其概率分布为P(Q)，报童每售出一份报赚k 元，若报纸当天未售出，每份赔h 元，则报童每天最佳的（期望损失最小的）报纸订购（批发）量Q*的确定方法是现若知k=2.5，h=1.25，P(Q)如下表所示，则报童每日订购份最佳。

7、矩阵对象的研究对象是对策问题。

它在纯策略意义下有解得充要条件是：该解是二、 （13%）用表上作业法求解下面的平衡运输问题Minz=11mni j C ij X ij ==∑∑1nj X i j =∑=a i , i=1,……,ms.t.1mi X ij =∑=b j , j=1,……,nX i j ≥0, i=1,……,m, j=1,……,n时，计算某方案的空格[i,j]检验数σij 可采用位势法，其主要步骤如下：（1）建立线形方程组U i +V j =C ij ,其中C ij 为所有有数个的运价，U i ，V j 分别称发地i 和收地j 的位势。

天津大学1999硕士入学数字逻辑、计算机原理与系统结构试题一、解释下列名词进位计数制虚拟地址相关计算机网总线权模中断（8分）二、设计补码表示法的目的是什么？列表求出±0、±25、±127及-128的8位二进制原码、反码和补码表示，并将补码用16进制表示出来。

（10分）三、计算机准备传送的数据块信息是100110B，生成多项式选用X^3+X^1+X^0,要求计算校验位,写出CRC码.X=-0.1011,Y=-0.1100用补码计算X+Y=?并判断X+Y是否溢出。

（10分）四、绘出一位全加器（FA）逻辑电路图，并写出一位全加器真值表和Si，c2H的逻辑表达式。

（8分）五、解释存储器性能技术指标中有关速度指标的三项基本概念。

（6分）六、什么是指令周期、机器周期（CPU周期）和T周期。

指令的解释有哪三种控制方式。

（8分）七、堆栈型处理机这种计算机组织形式的最大特点是什么？用堆栈结构实现算术表达式A/C+B*（E+F）的程序设计，写出逆波表达式和机器语言程序。

（10分）注：访内取指令LOAD X 堆栈加指令 ADD访内存指令STOR X 堆栈减指令 SUB访内加指令ADDM X 堆栈乘指令 MUL访内乘指令MULM X 堆栈除指令 DIV堆栈删除指令DEL八、简述并图示声音输入/输出设备原理。

九、简述计算机网的功能。

绘出计算机网络七层协议模型。

（10分）十、8086/8088指令的寻址方式有哪几种？请各举一例。

十一、判断以下指令书写正确否？如果不正确，请说明理由。

MOV AL，BXMOV AL，CLINO [BX]MOV [BX]，[SI]MOV B，AL十二、简述宏指令与子程序有哪些区别。

（6分）十三、对如下数据定义语句FIRST DB 35h,37h,4ah,4bhSECND DB 18h,34h,56h,78hTHIRD DB 90h,0bah,2bh,OabhRESLT DB 4 DUP(?)请填写如下程序段中空白行，使程序完整，并写出运行后RESLT中的结果（8分）（1）MOV CX，4 （2）MOV CL，4MOV SI，O MOV SI，OFFSET FIRSTAB；MOV AL，FIRST[SI] MOV DI，OFFSET RESLTADD AL，SECND[SI] AC； MOV AL，[SI]。

天津大学1999硕士入学管理概论试题
一、填空题(每空1分，本题10分)
1．组织系统是合乎某种目的_______系统。

2．第一个正式提出劳动分工的人是_______，他是在 _______中提出的。

3． 功能整理中上位功能是_______， 下位功能是_______ 4．需要层次论是心理学家_______提出的。

5．企业享有一定的_______，并履行一定的_______·
6．产品成长期市场营销策略的基点是_______。

二、判断改正题(每小题2，本题20分)(正确打v，错误打x， 并改正)
1．战略性决策，属于计划型决策，是主导性决策． ( )
2．精简机构是指精简淖一切多余的入员。

( )
3．寿命周期成本是指产品的研究、开发和制造成本的总和． ( ) 4．产品生命周期和消费者行为有关。

( )
5．产品必要功能是指用户所要求的功能。

( )
6．目标价值越大、被激发的力量越大。

( )
7．福特实行“生产线制度”，主要为了提高生产率． ( )
8．激励是指通过刺激以唤起有机体一种焕发的状态。

( )
9．动力法则认为有两种动力是至关重要的，即物质动力相精神动力。

( )
10．净观值法是通过汁算方案的净观值指标来评价技术方案优劣。

天津大学1999硕士入学会计学试题科目代码：616科目名称：会计学一、填空题（每空1分，共8分）1、某企业于X1年1月1日购入M企业当日发行的债券100张作为长期投资。

该债券每张面值1000元，三年期，票面利率14%，每年12月31日付息一次，购入时共支付价款109000元。

则企业每年收到利息时在此债券上投资收益为（）。

2、企业盈余公积金转增资本后，留存企业的盈余公积不得低于注册资本的（）。

3、对于销售退回的产品，不论是本年度还是以前年度销售的，一律冲减。

（）4、某企业10月1日以分期收款方式出售产品一批，价款100000元（不含增值税），实际成本60000元，增值税率17%。

销售当日收到货款的40%，另加增值税，余款分三次于以后每月1日支付。

则该企业当年此项销售收入为（），销售毛利已实现部分为（）。

5、某公司12月份进口10000美元材料，货款未付，当时的美元汇率为1：8.40，年初汇率1：8.75，12月1日为1：8.42，12月31日为1：8.30，则该企业年度报表中“应付帐款”的人民币价值为（）6、某设备帐面原值150000元，累计折旧60000元，现对其进行改建，改建中发生各项支出共计50000元，拆除部分零部件的变价收入10000元，则改建后该设备帐面原值为（）。

7、企业办公用品在领用时采用一次摊销法进行处理，遵循了（）原则。

二、判断题（每题1分，共10分）1、不同性质的会计主体，其会计对象与会计核算要求是相同的。

2、采用计划成本进行材料日常核算的企业，月末分摊材料成本差异时，无论节约还是超支，均应记入“材料成本差异”科目的贷方。

3、一般纳税人企业购进货物所认定的进项税额，不一定可用来抵扣。

4、生产中形成的非专利技术，没有专门的确实支出的，不能作为无形资产入帐。

5、对于某一企业来说，所得税的处理无论采用应付税款法还是纳税影响会计法，各年应交所得税是相等的。

6、所有者权益是指所有者对企业资产的所有权。

五、在常压精馏塔内分离某理想二元混合物。

已知进料量为100kmol/h，进料组成为X f=0.5,塔顶组成为X d=0.98（均为摩尔分数）；进料为泡点进料；塔顶采用全凝器，泡点回流，操作回流比为最小回流比的1.8倍；在本题范围内气液平衡方程为：y=0.6x+0.43，气相默弗里效率Emv=0.5。

若要求轻组分收率为98%，试计算：1、塔釜馏出液组成2、精馏段操作线方程3、经过第一块实际板气相浓度的变化。

（14%）六、某厂现有一直径为1.2m、填料层高度为5.4m的吸收塔，用来吸收某气体混合物中的溶质组分。

已知操作压力为300kpa、温度为30℃；入塔混合气体中溶质的含量为5%（体积%），要求吸收率不低于95%；吸收剂为纯溶剂，出塔溶液的浓度为0.0152（摩尔比）；操作条件下的平衡关系为：Y=2.16X（X、Y均为摩尔比），总体积吸收系数K Ya为65.5kmol/m3·h。

试计算：1、吸收剂用量是最小用量的多少倍；2、该吸收塔的年处理量（m3混合气/年).注:每年按7200工作时间计(14%)七、在一常压逆流干燥器中，干燥某湿物料，进预热器新鲜空气的湿度为0.0109kg/kg绝干气，热焓为114.7kj/kg绝干气，离开干燥器的空气的温度为30℃；湿物料初始状态为：干基含水量为0.0384kg/kg绝干料，热焓为40kj/kg绝干料；干燥后产品的干基含水量为0.002kg/kg绝干物料，热焓为90.9kj/kg绝干料；干燥产品流量为1000kg/h，干燥器热损失量为32520kj/h。

试求：（1）水分蒸发量；（2）新鲜空气消耗量L0（kg/h）。

（10%）八、实验部分（15%）1、离心泵操作时，流量越大，泵吸入口处真空表读数_______，这是因为___________。

2、在流量计标定实验中,为了得到流量的数值,可用的方法有____________________________________________________________________。

99-1. 如图电路。

已知V 81S =U ，V 202S =U ，Ω===4321R R R ，Ω==154R R ，受控电压源U U C 2S =，受控电流源I I C =S。

求图中所示电流x I 及各独立电源供出的功率。

（16分）U答案：P ;U S 1=32W I x =4AP U S 2=W -80。

图题 99-1解法1：用节点法。

先将电路等效化简并代入已知数据成如下电路后，选参考点和各独立节点如下图。

I 2Ω0V可列出如下方程组211121112048)141()1414141(2U U U U I I U U UU -==-+-=+-+++=解得 V 161=U ；V 82=U ；V 8=U ；A 16=I 。

A 4120168120=-+=-+=I U I X ，A 44884821S =+=+=U I U ，A 42S -=-=X U I I 。

最后得W 32481S 1S 1S =⨯==U U I U P；W 80)4(202S 2S 2S -=-⨯==U U I U P 。

解法2：用回路法。

先将电路等效化简并代入已知数据成如下电路 。

2Ω0V U 2I =由图可知 U U I 212==。

在此图中设3个独立回路电流 1I 、2I 和X I ，可列如下方程组 。

)(4202824484821221X X I I U UU I U U I I I I -=+-=+-=--=-0442038442221221=+--=-=---=-U I I U I U I I I I X X 即解得 A 4=X I ；A 21=I ；A 62=I ；（V 8=U ）。

A 426121S =-=-=I I I U ，A 42S -=-=X U I I 。

最后得 W 32481S 1S 1S =⨯==U U I U P ；W 80)4(202S 2S 2S -=-⨯==U U I U P 。

解法3：用广义节点法。

数学分析上册 第三版华东师范大学数学系部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数.证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数.（2）假设ax 是有理数，于是aax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数.3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b .证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b .另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a . 这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b .5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤---=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=-+≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明 ||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有 ||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间. 证明 因为1||1-=-<+-=-++ba b b a x b b a x b x a ，1||)()(-=-<+-=-++b a b b a x b b x a b b a x b x a 所以x b x a ++介于1与ba 之间. 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数. 证明 （反证）假设p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得m n p =，其中m 、n 互素. 于是22n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =. 于是222p k p m =，p k m 22=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p .这与“m 、n 互素”矛盾. 所以p 是无理数.P.9 习题2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界.（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界）（2）S 无界.若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界.（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）3．试证明数集},2|{2R x x y y S ∈-==有上界而无下界.证明 S y ∈∀，有222≤-=x y ，故2是S 的一个上界.而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=12200，但M y -<0. 故数集S 无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）},2|{2R x x x S ∈<=解 2sup =S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）. S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界.2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S .（2）},!|{+∈==N n n x x S解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup .下面证明：1inf =S .① S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；② 1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界. 所以 1inf =S .(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =解 仿照教材P .6例2的方法，可以验证：1sup =S . 0inf =S⑷ },211|{+∈-==N n x x S n 解 1sup =S ，21inf =S 首先验证1sup =S .① S x ∈∀，有1211≤-=n x ，即 1 是S 的一个上界； ② 0>∀ε，取正整数0n ，使得ε<021n ，于是取02110n x -=. 从而S x ∈0，且ε->-=121100n x . 所以1sup =S5．设S 为非空有下界数集，证明：S S S min inf =⇔∈=ξξ证明：⇒）设S S ∈=ξinf ，则对一切S x ∈，有ξ≥x ，而S ∈ξ，故ξ是数集S 中的最小的数，即S min =ξ.⇐）设S min =ξ，则S ∈ξ；下面验证S inf =ξ；⑴ 对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是数集S 的下界；⑵ 对任何ξβ>，只须取ξ=0x ，则β<0x . 所以S inf =ξ.6．设S 为非空数集，定义}|{S x x S∈-=-. 证明： ⑴ S S sup inf -=- ⑵ S S inf sup -=-证 ⑴ 设-=S inf ξ，下面证明：S sup =-ξ.① 对一切S x ∈，有-∈-S x . 因为-=S inf ξ，所以有ξ≥-x ，于是ξ-≤x ，即ξ-是数集S 的上界；② 对任何ξα-<，有ξα>-. 因为-=S inf ξ，所以存在-∈S x 0，使得α-<0x .于是有S x ∈-0，使得α>-0x .由①，②可知S sup =-ξ.7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在.B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界.B A sup sup +<∀α，（要证α不是数集B A +的上界），A B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α. 于是B x sup 0<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α. 从而α>+=000y x z ，且B A z +∈0. 因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是B A B A sup sup )sup(+≤+. ①由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2sup 0ε->A x ，B y ∈∃0，使得2sup 0ε->B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可得 B A B A sup sup )sup(+≥+ ②由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+P.15 习题9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象解 )arcsin(sin x y =是以2π为周期，定义域为),(∞+-∞，值域为]2,2[ππ-的分段线性函数，其图象如图.11．试问||x y =是初等函数吗？解 因为2||x x y ==，可看成是两个初等函数u y =与2x u =的复合，所以||x y =是初等函数.12．证明关于函数[]x y =的如下不等式：（1）当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x （2）当0<x 时，x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111 证明 （1）因为 1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，所以当0>x 时，有x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡111，从而有111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x .（2）当0<x 时，在不等式1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x 中同时乘以x ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x 111，从而得到所需要的不等式x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111. P.20 习题1．证明1)(2+=x x x f 是R 上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有21212=≤+x x x x )||21(2x x ≥+ 所以 f 在R 上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明21)(x x f =为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数. 解 （1）设函数D x x f ∈)(，若对任何0>M ，都存在D x ∈0，使得M x f >|)(|0，则称 f 是D 上的无界函数.（2）分析：0>∀M ，要找)1,0(0∈x ，使得M x >201. 为此只需Mx 10<. 证明 0>∀M ，取110+=M x ，则)1,0(0∈x ，且M M x >+=1120，所以f 为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=00101)(x x x x f 是闭区间 [0，1] 上的无界函数.7．设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足)()(x g x f ≤，D x ∈证明：⑴ )(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤；⑵ )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤证 ⑴ D x ∈∀，有)(sup )()(x g x g x f D x ∈≤≤，即)(sup x g Dx ∈是f 在D 上的一个上界，所以)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤.⑵ D x ∈∀，有)()()(inf x g x f x f D x ≤≤∈，即)(inf x f Dx ∈是g 在D 上的一个下界，所以)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 8．设f 为定义在D 上的有界函数，证明：⑴ )(inf )}({sup x f x f D x D x ∈∈-=-； ⑵ )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=-证 ⑴ D x ∈∀，有)}({sup )(x f x f D x -≤-∈，于是)}({sup )(x f x f Dx --≥∈，即)}({sup x f D x --∈是f 在D 上的一个下界，从而)}({sup )(inf x f x f Dx D x --≥∈∈，所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≥- ①反之，D x ∈∀，有)(inf )(x f x f D x ∈≥，于是)(inf )(x f x f D x ∈-≤-，即)(inf x f Dx ∈-是f -在D 上的一个上界，从而)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≤- ②由①，②得，)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-.9．证明：x tan 在)2,2(ππ-上无界，而在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上有界.证 0>∀M ，取)1arctan(0+=M x ，于是)2,2(0ππ-∈x . 则有M M x >+=1tan 0，所以x tan 在)2,2(ππ-上无界. 在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上，取|}tan ||,tan max{|b a M =，则],[b a x ∈∀，必有M x ≤|tan |，所以x tan 在],[b a 上有界.10．讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x ，x x D 0,1)(，的有界性，单调性与周期性. 解 函数)(x D 是有界函数：1|)(|≤x D . 不是单调函数.)(x D 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则r x ±是有理数，于是)(1)(x D r x D ==±；若 x 是无理数，则r x ±是无理数，于是)(0)(x D r x D ==±.任何无理数都不是)(x D 的周期.11．证明：x x x f sin )(+=在R 上严格增.证 设21x x <，于是2sin 2cos2sin sin )()(121212112212x x x x x x x x x x x f x f -++-=--+=- 因为0>∀x ，有x x <sin ，所以12121212|2sin |2|2sin 2cos 2|x x x x x x x x -<-≤-+，从而121212212sin 2cos 2x x x x x x x x -<-+<-. 所以有 02sin 2cos2)()(211212121212=-+->-++-=-x x x x x x x x x x x f x f 即x x x f sin )(+=在R 上严格增.P.21 总练习题1．设R b a ∈,，证明：⑴ |)|(21},max{b a b a b a -++=证 若b a ≥，则a b a =},max{，a b a b a b a b a =-++=-++)(21|)|(21，这时有|)|(21},max{b a b a b a -++=；若b a <，则b b a =},max{，=-++|)|(21b a b a b b a b a =+-+)(21，也有|)|(21},max{b a b a b a -++=，所以|)|(21},max{b a b a b a -++= 2．设f 和g 都是初等函数，定义)}(),(max{)(x g x f x M =，)}(),(min{)(x g x f x m =，D x ∈试问)(x M 和)(x m 是否为初等函数？解 由第1题有|))()(|)()((21)}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x M -++==，因为f 和g 都是初等函数，于是)()(x g x f -是初等函数，再由212})]()({[|)()(|x g x f x g x f -=-，知|)()(|x g x f -是初等函数，所以)(x M 是初等函数.8．设f 、g 和h 为增函数，满足)()()(x h x g x f ≤≤，R x ∈，证明：))(())(())((x h h x g g x f f ≤≤证 因为f 、g 为增函数，再由)()(x g x f ≤，得))(())((x g f x f f ≤，))(())((x g g x g f ≤，所以有))(())((x g g x f f ≤. 同理可得))(())((x h h x g g ≤.9．设f 、g 为区间),(b a 上的增函数，证明)}(),(max{)(x g x f x =ϕ，)}(),(min{)(x g x f x =ψ也都是区间),(b a 上的增函数.证 ⑴ 先证)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是区间),(b a 上的增函数.设21x x <，于是有)()()}(),(m ax {)(12222x f x f x g x f x ≥≥=ϕ，)()()}(),(m ax {)(12222x g x g x g x f x ≥≥=ϕ，从而)()}(),(m ax {)(1112x x g x f x ϕϕ=≥，所以)(x ϕ是增函数.⑵ 其次证明)}(),(min{)(x g x f x =ψ是区间),(b a 上的增函数设21x x <，于是有)()()}(),(m in{)(21111x f x f x g x f x ≤≤=ψ)()()}(),(m in{)(21111x g x g x g x f x ≤≤=ψ从而 )()}(),(m in{)(2221x x g x f x ψψ=≤12．设f 、g 为D 上的有界函数，证明：⑴ )(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ ⑵ )}()({sup )(inf )(sup x g x f x g x f Dx D x D x +≤+∈∈∈证 ⑴ 由p.17例2 (i)，有)(inf )}({inf )}()({inf x f x g x g x f Dx D x D x ∈∈∈≤-++ ① 再由p.20习题8，有)(sup )}({inf x g x g Dx D x ∈∈-=- ② 结合①、②可得)(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ 13．设f 、g 为D 上的非负有界函数，证明：⑴ )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ ⑵ )(inf )(sup )}()({sup x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈⋅≤⋅证 ⑴ D x ∈∀，有)()(inf x f x f D x ≤∈，)()(inf x g x g D x ≤∈，从而)()()(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x ⋅≤⋅∈∈. 即)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈⋅是)()(x g x f ⋅在D 上的一个下界，所以有 )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ 15．设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在 [ a , a +h ] 上有界，则f 在R 上有界.证 设f 在 [ a , a +h ] 上有界，即存在0>M ，使得],[h a a x +∈∀，有M x f ≤|)(|.R x ∈∀，必存在整数m 和实数],[0h a a x +∈，使得0x mh x +=. 于是M x f mh x f x f ≤=+=|)(||)(||)(|00，所以f 在R 上有界.16．设f 在区间I 上有界. 记)(sup x f M I x ∈=，)(inf x f m Ix ∈=，证明m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,证 I x ∈∀，有M x f ≤)(，m x f ≥)(. 于是I x x ∈'''∀,，有m M x f x f -≤''-'|)()(|，即m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的一个上界. 下面证明：m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.由上确界，下确界的定义知，0>∀ε，I x x ∈'''∃,，使得2)(ε->'M x f ，2)(ε+<''m x f ，从而εεε--=+-->''-'m M m M x f x f )2(2)()(. 所以m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.所以m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1．（北京科技大学，1999年）叙述数集A 的上确界的定义，并证明：对任意有界数列}{n x ，}{n y ，总有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+证明 定义参考教材.由上确界的定义，有}sup{n n x x ≤，}sup{n n y y ≤，（ ,2,1=n ）. 于是}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+，即实数}sup{}sup{n n y x +是数列}{n n y x +的一个上界，所以有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+2．（中国人民大学）设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域和)]7([-f f . 解 由049,13,032≥-≠->-x x x 解得)(x f 的定义域为)3,2()2,7[⋃-110lg 1)7(==-f ，所以342lg 1)]7([+=-f f 3．（华中理工大学）设1)(-=x x x f ，试验证x x f f f f =))]}(([{，并求])(1[x f f （0≠x ，1≠x ）.解 由x x x x xx f x f x f f =---=-=1111)()()]([，得x x f f x f f f f ==)]([))]}(([{. x xx x x x x f x f f -=---=-=1111]1[])(1[ 4．（同济大学）设⎩⎨⎧≥<+=010,1)(x x x x f ，求)]([x f f . 解 当0≥x 时，1)1()]([==f x f f ，当01<≤-x 时，1)1()]([=+=x f x f f ，当1-<x 时，2)1()]([+=+=x x f x f f ，所以⎩⎨⎧-≥-<+=111,2)]([x x x x f f 5．（西北工业大学）设2)(x x x f +=，求 ⑴ )(x f 的定义域⑵2)]}([{21x f f ⑶ x x f x )(lim 0→ 解 ⑴ ⎩⎨⎧>≤=+=0,20,0||)(x x x x x x f ，所以)(x f 的定义域为),(∞+-∞. ⑵ 因为)(22)()]([2222x f x x x x x x x f f =+=+++=，所以22)()]}([{21x x x f x f f +== ⑶ 因为00lim )(lim 00==--→→x x x f x x ，+∞==-+→→x x x x f x x 2lim )(lim 00，所以x x f x )(lim 0→不存在6．（清华大学）设函数)(x f 在),(∞+-∞上是奇函数，a f =)1(且对任何x 值均有)2()()2(f x f x f =-+⑴ 试用a 表示)2(f 与)5(f⑵ 问a 取什么值时，)(x f 是以2为周期的周期函数.解 ⑴ 因为对任何x 值均有)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x 得a f f f f f f f a -=-=-+=+-==)2()1()2()1()2()21()1(，所以a f 2)2(=.a f f f 3)2()1()3(=+=，a f f f 5)3()2()5(=+=⑵ 由)2()()2(f x f x f +=+知当且仅当0)2(=f ，即0=a 时，)(x f 是以2为周期的周期函数.7．（合肥工业大学）证明：定义在对称区间),(l l -内的任何函数)(x f ，必可表示成偶函数)(x H 与奇函数)(x G 之和的形式，且这种表示法是唯一的.证明 令)]()([21)(x f x f x H -+=，)]()([21)(x f x f x G --=，则)()()(x G x H x f +=，且容易证明)(x H 是偶函数，)(x G 是奇函数.下证唯一性. 若还有偶函数)(1x H 与奇函数)(1x G ，满足)()()(11x G x H x f +=，则有)()()()(11x G x G x H x H -=-， ①用x -代入①式，得)()()()(11x G x G x H x H -=- ②①+② 得 )()(1x H x H =，再代入②式得)()(1x G x G =8．（内蒙古大学）作函数||2|2|x y --=的图形解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<≤<-=44424200x x x x x x x x y 9．（上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间]1,0[上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界.答 存在，例如⎩⎨⎧>==1000,,)(或为无理数或为且互质x ，n ，n m n m x n ，x f 10．（武汉大学，1994年）设}{n x 为一个正无穷大数列，E 为}{n x 的一切项组成的数集，试证：必存在自然数p ，使得E x p inf =证明 因为}{n x 为一个正无穷大数列，所以存在自然数N ，使得当N n >时，1x x n >. 于是},,,m in{inf 21N x x x E =，由于},,,{21N x x x 为有限集，所以存在p x ，使得E x x x x N p inf },,,min{21== .11．（天津大学）证明：2是满足不等式22>r 的一切正有理数的下确界；证 设}0,2,|{2>>∈=r r Q r r A . 要证2是数集A 的下确界. A r ∈∀，有22>r ，所以2>r ，即2是数集A 的一个下界.0>∀ε，由有理数的稠密性，在)2,2(ε+上存在无穷多个有理数，于是可取)2,2(1ε+∈r ，即A r ∈1且ε+<21r . 所以2inf =A12．（华中师范大学）设函数)(x f 定义在区间I 上，如果对于任何I x x ∈21,，及)1,0(∈λ，恒有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，证明：在区间I 的任何闭子区间上)(x f 有界.证 I b a ⊂∀],[，要证)(x f 在],[b a 有界. ),(b a x ∈∀，存在)1,0(∈λ，使 )(a b a x -+=λ，即a b x )1(λλ-+=.M M M a f b f a b f x f =-+≤-+≤-+=)1()()1()())1(()(λλλλλλ ① 其中)}(),(max{b f a f M =],[b a x ∈∀，令x b a y -+=)(，则22y x b a +=+， M x f y f x f y x f b a f 21)(21)(21)(21)22()2(+≤+≤+=+，所以 M b a f x f -+≥)2(2)( ② 由①、②可得，],[b a x ∈∀，有M x f M b a f ≤≤-+)()2(2，所以)(x f 在],[b a 有界.。