2018年秋季新版新人教版七年级数学上学期1.5、有理数的乘方正负号意义与读法素材

数学:1.5《有理数的乘方》教案（人教版七年级上）一. 教学内容：有理数的乘方1. 乘方的意义，会用乘法的符号法则进行乘方运算；2. 会用科学记数法表示较大的数，理解近似数和有效数字表示的意义；3. 了解科学记数法在实际生活中的作用。

二. 知识要点：1. 有理数乘方的意义求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

一般地，记作a n。

乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫做底数，n叫做指数，a n从运算的角度读作a的n次方，从结果的角度读作a的n次幂。

注：（1）一个数可以看作这个数本身的一次方。

（2）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写小些。

（3）乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方的运算的结果。

2. 乘方运算的性质（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）－1的偶次幂得1，－1的奇次幂得－1；1的任何次幂都得1；（5）现在学习的幂的指数都是正整数，在这个条件下，0的任何次幂都得0。

3. 有理数的混合运算顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减。

（2）同级运算，从左到右进行。

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

4. 科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，像这样的记数方法叫作科学记数法。

注：科学记数法是有理数的一种记数形式，这种形式就是a×10n，它由两部分组成：a和10n，两者相乘，其中a大于或等于1，且小于10（即1≤a＜10），它是由原来的小数点向左移动后的结果，也就是说，a 与原数只是小数点位置不同。

指数n是正整数，等于原数化为a时小数点移动的位数，用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数小1。

5. 近似数和有效数字（1）近似数与实际完全符合的数是准确数。

与实际有一点偏差但又非常接近的数称为近似数。

1.理论介绍：首先，我们要了解乘方的基本概念。乘方表示几个相同因数的乘积，它是数学中一种重要的运算方式，可以简化大数的表示和计算。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。如：计算一张边长为a的正方形面积，可以表示为a^2，这是乘方在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调乘方的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如负整数和零的乘方，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.提高学生的符号意识：让学生掌握乘方运算的符号表示，培养他们在数学表达中的符号运用能力。
3.发展学生的逻辑推理能力：通过乘方性质的探讨，引导学生发现数学规律，培养逻辑思维和推理能力。
4.增强学生的运算能力：让学生熟练掌握有理数的乘方运算，提高运算速度和准确性，培养高效解决问题的能力。
5.培养学生的数学应用意识：结合实际问题，让学生体会乘方在生活中的应用，激发学习兴趣，增强数学应用的意识。
-负整数和零的乘方运算：学生可能对负数乘方的意义感到困惑，如(-2)^2=4，而(-2)^3=-8，以及0的乘方是什么。
-乘方性质的运用：学生在运用乘方性质进行计算时可能会出错，如分配律在乘方中的运用。
-乘方在实际问题中的应用：将乘方知识应用到实际情境中，对学生的抽象思维和解决问题的能力提出了较高要求。
同学们，今天我们将要学习的是《乘方》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算几个相同因数乘积的情况？”（如：计算一张纸的厚度与折叠后的厚度关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索乘方的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
2018-2019学年度人教版七年级上册第一章《有理数》1.5.1乘方乘方的意义一章《有理数》1.5.1乘方，乘方的意义，主要包括以下内容：

学习有理数的乘方运算须弄清的三点在学习有理数的乘方运算中，弄清乘方运算的意义是根本；弄清成方运算中的两个区别，是防止常见错误的有效方法；弄清乘方运算在混合运算顺序中的位置，是掌握混合运算顺序的重要方面. 以下分别给同学们简要说明.一、乘方运算的意义对于有理数的乘方运算，教科书中通过实例归纳后，是这样陈述的：这种求n个相同因数a的积的运算叫做成方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，a n读作a的n次幂〔或a的n次方〕 .这段表达中包含了以下三个方面：〔1〕乘方运算的对象：乘方运算和以往我们所熟悉的加、减、乘、除一样也是一种运算，是我们所需要掌握的第五种运算，这种运算的对象是假设干个“相同因数的积〞；〔2〕乘方运算与乘法运算的关系：根据乘方运算的对象，我们可将其看作是有理数乘法运算的特殊情况及这种特殊情况的简便运算 .如：3×3×3×3×3×3×3×3×3×3是一个10个3 相乘的算式，我们就可表示为310，上下两个式子进行比拟，显然乘方的形式要简明的多 .〔3〕乘方运算的表达形式：对 a n正确的认识，不仅仅是对这一记法的理解，而且在运算中要有准确的把握，虽然它是一个运算结果，表示一个幂，但在具体计算中须注意如果在a n中a、n都是的，要算出结果；如果a、n中有一个是字母那么写成 a n的形式 . 如对 33就需要计算出结果，即33＝27等；对a3等就只能表示成这种形式 .二、运算中的两个区别1. －a2与〔－a〕2的区别在对有理数的乘方进行运算时，往往会遇到如－22，〔－2〕2这样计算 . 在计算中有些同学由于弄不清两个算式之间的区别，所以往往得出错误的结果 . 事实上－22中的平方仅是对2的平方，而与“－〞号无关，所以得出－22＝4是错误的；而〔－2〕2不仅对数2进行平方，而且要对“－〞号平方，也就是〔－2〕2中的二次方是对〔－2 〕这一个整体的 .所以计算－22与〔－2〕2的结果分别是：－22＝－4；〔－2〕2＝4 .2 . 〔ba 〕2与b a 2的区别 〔b a 〕2与b a 2的区别在于，〔ba 〕2 中的二次方是对整个分数的平方，而b a 2中的平方仅对分数中的分子a 进行平方，而与分母b 无关 . 如〔32〕2与322中，〔32〕2中的平方是对32这个整体的，而322中的平方仅对分子中的平方，而与分母中的3无关 . 所以它们的运算结果分别是： 〔32〕2＝2232＝3322⨯⨯＝94 ；b a 2＝322⨯＝34. 以上两点是同学们在运算中最容易混淆的地方，只有区分开来，才能防止错解 .三、乘方在混合运算中的位置乘方在有理数的混合运算中，是首算的运算，除含有括号外，一定要先计算乘方 . 如在计算3×〔2.5－5〕2时，就应先算括号，再算乘方，而不能按照乘法的分配律写成3×2.5 －3×5丢掉乘方运算 ，也不能写成3×〔2.52－52〕＝3×2.52－3×52 ，而应按顺序计算得3×〔－2.5〕2＝3×〔－6.25〕＝18.75 .。

二、学情分析
七年级学生在学习有理数乘方这一章节之前，已经掌握了有理数的加减乘除运算，具备了一定的数学基础。但在乘方概念的理解和运用上，学生可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
1.学生对乘方概念的理解程度，部分学生可能难以从本质上理解乘方的含义，需要通过具体实例和形象比喻来帮、叠加的过程，让学生直观地感受乘方的意义。同时，引导学生思考：“乘方与之前学过的乘法有什么关系？它们之间的区别是什么？”
（二）讲授新知
1.乘方的定义：讲解乘方的定义，即一个数自乘若干次，可以表示为a^n（a为底数，n为指数）。强调乘方的意义，以及正整数、负整数和零的乘方的表示方法。
七年级数学上册（人教版）1.5.1乘方（第1课时有理数乘方的意义及运算）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的表示方法和运算规则。
2.能够正确计算正整数、负整数和零的乘方，并熟练运用乘方解决实际问题。
3.学会运用乘方的性质，简化有理数的运算过程，提高运算效率。
4.开放性探究题目：
-布置一道开放性探究题目，如：“探究乘方的分配律和结合律在生活中的应用”，鼓励学生主动探索、发现数学规律。
5.课后小结：
-要求学生撰写课后小结，总结本节课所学乘方知识，以及自己在学习过程中的收获和困惑。
6.阅读拓展：
-推荐阅读与乘方相关的数学故事或数学家传记，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养。
2.学生在乘方运算过程中可能出现的错误，如符号处理不当、计算顺序混乱等，教师需引导学生总结错误原因，提高运算准确性。
3.学生在解决实际问题时，可能不知道如何运用乘方知识，需要教师设计贴近生活的例题，引导学生将乘方知识应用于实际问题中。

6
生 活 小 链
一分耕耘，一分收获 小结: ! 你能告诉我这节课的收获吗？
乘方：求几个相同因数的积 的运算，叫做乘方 乘方运算的法则： 正数的任何次幂都是正数； 0的任何正整数次幂都是0;负 数的奇次幂是负数，负数的 偶次幂是正数
本课作业：
教科书第42页练习第1、2题；第47页习题1.5第1题
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有理数的乘方
有理数的乘方
教学目标：
1. 理解有理数乘方的意义。能进行有理数的乘方运算。 2.已知一个数会求出它的正整数幂。建立转化思想。
教学重点：
正确理解乘方的概念。能利用乘方运算法则进行有理数乘 方运算。
教学难点：
准确理解 底数、指数和幂三个概念，并能求幂的运算。
课前检测
1.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得____，异号得 ____，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得____ 2.几个不是0的数相乘，负因数的个数是____时，积是 正数；负因数的个数是____时，积是负数。
2
4 6 指数是____; (1)在64中,底数是___,
4 ； a 指数是____ (2)在a4中,底数是___,
2 2 5 5 ( ) 3 (4)在 中,底数是____,指数是____;
(3)在(-6)4中,底数是 ___, ___; -6 指数是4
3
2 与 2 （－3） 结果相等吗？ 3 2 2 22 （6） ( ) 和 结果相等吗？ 3 3
1、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。 ——弗莱格 2、重复是学习之母。 ——狄慈根 3、当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。 ——利希顿堡 4、人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 ——B.V 5、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 ——洛 克 6、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。 ——阿卜· 日· 法拉兹 7、学习是劳动，是充满思想的劳动。 ——乌申斯基 8、聪明出于勤奋，天才在于积累 －－华罗庚 9、好学而不勤问非真好学者。 10、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 11、人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废 －茅以升 12、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦 －－屠格涅夫 13、成功＝艰苦劳动＋正确方法＋少说空话 －－爱因斯坦 14、不经历风雨，怎能见彩虹 －《真心英雄》 15、只有登上山顶，才能看到那边的风光。 16只会幻想而不行动的人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。 17、勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 1 8．成功，往往住在失败的隔壁！ 1 9 生命不是要超越别人，而是要超越自己． 2 0．命运是那些懦弱和认命的人发明的！ ２1．人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ ２2．世界上大部分的事情，都是觉得不太舒服的人做出来的． ２3．昨天是失效的支票，明天是未兑现的支票，今天才是现金． ２4．一直割舍不下一件事，永远成不了! ２5．扫地，要连心地一起扫！ ２6．不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力． ２7．当你停止尝试时，就是失败的时候． ２8．心灵激情不在，就可能被打败． ２9．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ ３0．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． ３1．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． ３2．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． ３3．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 ３4．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． ３5．为成功找方法，不为失败找借口． ３6．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 ３7．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ ３8．不一定要做最大的，但要做最好的． ３9．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ ４0．成功是动词，不是名词！ 20、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。

正负号意义和读法在小学中，我们知道符号“＋”和“－”是运算符号，分别表示加法和减法，读作“加”和“减”．升到初中，学习了负数后，我们又知道“＋”号和“－”号除了具有上述意义外，还具有：①性质符号的意义，表示数的性质，读作“正”和“负”；②关系符号的意义，表示原数和相反数，读作“…的原数”和“…的相反数”．那么，如何分清它们所表示的意义并正确地读出它们呢？1．单独一个非零有理数的读法若“＋”号或“－”号出现在单独一个非零有理数之前，则表示性质符号，读作“正”或“负”．如＋3、－8分别读作“正3”、“负8”．2．算式的读法在算式中，有理数本身的“＋”号或“－”号读作“正”或“负”，括号之间的“＋”号或“－”号读作“加”或“减”．如(－3)＋(＋5)－(－9)读作“负3加正5减负9”．3．省略加号的式子的读法省略加号的式子有两种读法，一是按运算符号读，一是按性质符号读．如6＋2－7，按运算符号读作“6加2减7”；按性质符号读作“6，正2，负7的和”．又如－18＋3－4，既可读作“负18加3减4”，也可读作“负18，正3，负4的和”．但应特别注意，算式中第一个数所带的“＋”或“－”号只能读作“正”或“负”，不能读作“加”或“减”．如前例中的“－18”只能读作“负18”而不能读作“减18”．4．非零有理数之前连续出现两个或两个以上个符号的读法碰到这种情况时，小括号内的“＋”、“－”号分别读作“正”、“负”，其它“＋”、“－”则读作“原数”、“相反数”．如－(－3)读作“负3的相反数”(注意不能读作“负的负3”)；又如－读作“负13的原数的相反数”(注意不能读作“负的正的负13”)．5．数“0”之前“＋”、“－”号的读法因为零既不是正数，也不是负数，所以在任何情况下都不能读作“正零”或“负零”，应读作“加零”或“减零”，也读作“零的原数”或“零的相反数”．如6－0＋2读作“6减0加2”或“6，0的相反数，2的和”，但不能读作“6，负0，2的和”；又如－3＋0－7读作“负3加0减7”或“负3，0，负7的和”，但不能读作“负3，正0，负7的和”．6．“＋”、“－”号出现在用字母表示的数之前时的读法用字母表示的数之前若是“＋”号，则应读作“…的原数”，若是“－”号，则应读作“…的相反数”．如＋a、－m分别读作“a的原数”、“m的相反数”，开始学习时最好不读作“正a”、“负m”，因为容易使人误认为＋a是正数，－m是负数，其实，＋a不一定是正数，－m也不一定是负数(为什么？)．7．有理数乘方的读法如3读作“负6的平方的相反数的立方”(还可怎样读？)；又如(－3)2－(－5)4读作“负3的平方与负5的四次方之差”．关于乘方，还要特别注意类似(－2)2与－22的区别，它们无论是读法，还是表示的意义都是不同的，前者读作“负2的平方”，表示的意义是(－2)·(－2)＝4，后者读作“2的平方的相反数”，表示的意义是－(2·2)＝－4．。

n 为奇数 --1 n 为偶数 11.5 有理数的乘方授课主题 有理数的乘方教学目的 1、理解有理数乘方的意义；掌握有理数乘方运算；2、经历探索有理数乘方的运算，获得解决问题经验；能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序；3、会进行有理数的混合运算；培养并提高正确迅速的运算能力；重、难点 有理数乘方的运算：运算顺序的确定和性质符号的处理；有理数的混合运算；教学内容课程导入本节知识点讲解知识点一、有理数的乘方有理数乘方的概念：一般地，n 个相同因数a 相乘，即个n a a a ⋅⋅⋅⋅，记作na ，读作a 的n 次方. 求n 个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫做幂。

在na 中，a 叫做底数，n 叫作指数。

当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂。

特别地，一个数也可以看作这数本身的一次方，如5就是5的一次，即155=，指数为1通常省略不写。

注意：①乘方是一种运算（乘法运算的特例），即求n 个相同因数连乘的简便形式；②幂是乘方的结果，它不能单独存在，即没有乘方就无所谓幂；③乘方具有双重含义：既表示一种运算，又表示乘方运算的结果；④书写格式：若底数是负数、分数或含运算关系的式子时，必须要用小括号把底数括起来，以体现底数的整体性。

拓展：底数为—1，0，1，10，0.1的幂的特性：(1)n -= 0n = （n 为正整数） 1n = (n 为整数) 101000n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1后面有____个0), 0.1n =0.00…01 (1前面有______个0)巩固练习1、 如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ）A 、－2B 、2C 、4D 、2或－22、下列各对数中，数值相等的是（ ）A 、 －32 与 －23B 、－23 与 (－2)3C 、－32 与 (－3)2D 、(－3×2)2与－3×22 3、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=-433 ； 4、计算1、(－7)2；2、－72；3、(－43)4； 4、－(－5)3.本知识点小结本节知识点讲解知识点二、有理数的加、减、乘、除及乘方的运算法则有理数的混合运算顺序：先乘方,再乘除,最后加减.同级运算从左到右进行.如有括号,先做括号里的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.方法规律：（1）有理数运算分三级运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方（以后学习）是第 三级运算。

（2）有理数乘方的运算规则
-乘方的乘法法则：(a^n)×(a^m) = a^(n+m)
-乘方的除法法则：(a^n)÷(a^m) = a^(n-m)，其中a≠0
（3）乘方的实际应用
-应用乘方解决具体问题，如计算面积、体积等。
2.教学难点
（1）负整数指数乘方的理解
-学生往往难以理解负指数乘方的意义，如2的-3次方表示什么。
-零指数的乘方
-负整数指数的乘方
2.运用有理数乘方解决实际问题，提高解决问题的能力。
-生活中的有理数乘方例子
-应用乘方运算简化计算
本节课通过讲解与练习，使学生掌握有理数乘方的基本知识，并能应用于实际问题，培养其数学思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过学习有理数的乘方，使学生能够从具体实例中抽象出乘方的概念和性质，形成数学模型，提高数学思维能力。
实践活动环节，分组讨论和实验操作非常有效，学生们积极参与，气氛活跃。我观察到他们在讨论中互相学习，共同解决问题，这种合作学习的方式对学生们的自信心和团队协作能力的培养非常有帮助。
在学生小组讨论的环节，我发现有些学生还不够积极主动，可能是因为他们对主题不够熟悉或者是对自己的观点不够自信。针对这一点，我计划在接下来的课程中，多提供一些开放性的问题和情景，鼓励学生们大胆表达自己的看法，同时引导他们如何倾听和尊重他人的意见。
此外，我也意识到在课堂上对学生的反馈需要更加及时和具体。对于他们的进步，我要给予充分的肯定和鼓励；对于他们的错误，我要耐心指导，帮助他们找到问题的根源，并引导他们自己解决问题。
-结合生活实例，如计算正方体的体积，引导学生学会运用乘方解决实际问题。

人教版七年级数学上册1.5有理数的乘方知识点归纳⏟，记作a n，读作：a的n次方。

n个相同的因数a相乘，即a·a· ··· ·ana2可以读作a的二次方，也可以读作a的平方。

a3可以读作a的三次方，也可以读作a的立方。

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a n中，a叫做底数，n叫做指数，当a n看作a的n 次方的结果时，也可以读作：a的n次幂。

例1、在35中，底数是3，指数是5，35读作“三的五次方”或“3的五次幂”。

35=3×3×3×3×3=243一个数可以看作这个数本身的一次方。

指数1通常省略不写。

例2、71=7，101=10。

(－a)n与－a n是不一样的。

(－a)n读作：负a的n次方；－a n读作：a的n次方的相反数。

例3、(－3)2=(－3)×(－3)=9例4、－32=－(3×3)=−9负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

简称：奇负偶正。

例5、(－1)99=－1，(－1)100=1。

正数的任何次幂都是正数。

0的任何正整数次幂都是0 。

有理数的混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减。

②同级运算，按从左到右的顺序进行。

③如果有括号，那么就要先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。

把一个数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法。

一个能表示原来物体或事件实际数量的数，叫做准确数。

与准确数相近的数，叫做近似数。

例6、“今天全班50人都有出勤”，这里的数字50就是准确数。

例7、“我们学校初一大概有250人”，这里的250就是近似数。

求近似数，一般要用四舍五入法。

四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

精确到0.1，也叫精确到十分位；精确到0.01，也叫精确到百分位；精确到0.001，也叫精确到千分位；……以此类推例8、5.372精确到十分位是5.4 。

正负号意义和读法在小学中,我们知道符号“＋"和“－”是运算符号，分别表示加法和减法，读作“加”和“减”．升到初中，学习了负数后,我们又知道“＋”号和“－”号除了具有上述意义外，还具有：①性质符号的意义，表示数的性质，读作“正”和“负"；②关系符号的意义，表示原数和相反数，读作“…的原数”和“…的相反数”．那么，如何分清它们所表示的意义并正确地读出它们呢？1．单独一个非零有理数的读法若“＋”号或“－”号出现在单独一个非零有理数之前,则表示性质符号，读作“正"或“负”．如＋3、－8分别读作“正3”、“负8”．2．算式的读法在算式中，有理数本身的“＋"号或“－"号读作“正"或“负"，括号之间的“＋”号或“－”号读作“加”或“减”．如(－3)＋(＋5)－(－9)读作“负3加正5减负9”．3．省略加号的式子的读法省略加号的式子有两种读法，一是按运算符号读，一是按性质符号读．如6＋2－7，按运算符号读作“6加2减7”；按性质符号读作“6,正2，负7的和"．又如－18＋3－4，既可读作“负18加3减4”,也可读作“负18,正3，负4的和”．但应特别注意，算式中第一个数所带的“＋”或“－”号只能读作“正”或“负”,不能读作“加"或“减”．如前例中的“－18"只能读作“负18"而不能读作“减18”．4．非零有理数之前连续出现两个或两个以上个符号的读法碰到这种情况时，小括号内的“＋”、“－”号分别读作“正"、“负”，其它“＋"、“－”则读作“原数”、“相反数"．如－（－3)读作“负3的相反数"（注意不能读作“负的负3"）；又如－［＋（－13）]读作“负13的原数的相反数”(注意不能读作“负的正的负13”）．5．数“0”之前“＋"、“－”号的读法因为零既不是正数,也不是负数,所以在任何情况下都不能读作“正零"或“负零”，应读作“加零”或“减零”，也读作“零的原数”或“零的相反数”．如6－0＋2读作“6减0加2”或“6，0的相反数，2的和"，但不能读作“6,负 0， 2的和”；又如－3＋0－7读作“负 3加 0减7"或“负3，0，负7的和”，但不能读作“负3，正0，负7的和”．6．“＋”、“－”号出现在用字母表示的数之前时的读法用字母表示的数之前若是“＋”号，则应读作“…的原数",若是“－"号，则应读作“…的相反数”．如＋a、－m分别读作“a的原数”、“m的相反数”，开始学习时最好不读作“正 a"、“负m”，因为容易使人误认为＋a是正数，－m是负数,其实，＋a不一定是正数，－m也不一定是负数（为什么？)．7．有理数乘方的读法如[－（－6）2]3读作“负6的平方的相反数的立方”（还可怎样读？）；又如(－3）2－(－5)4读作“负3的平方与负5的四次方之差”．关于乘方，还要特别注意类似（－2）2与－22的区别，它们无论是读法，还是表示的意义都是不同的，前者读作“负2的平方”，表示的意义是（－2）·（－2）＝4,后者读作“2的平方的相反数"，表示的意义是－（2·2)＝－4．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

1.5.1 乘方（第1课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第一章“有理数”1.5有理数的乘方第1课时，内容包括有理数乘方的意义、符号法则及运算.2.内容解析有理数乘方的意义，教材是先给出计算正方形面积、正方体体积等实际问题，利用求几个相同因数的乘法运算，再结合相同因数是负数等情况给出的，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的思想.之后给出了有理数乘方的写法、读法，及底数、指数、幂等相关概念.接着根据有理数乘法法则，探究讨论了有理数乘方运算的符号法则与相关性质.最后给出了利用计算器进行有理数乘方运算的案例.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数乘方的意义及其运算．二、目标和目标解析1.目标（1）理解有理数乘方的意义，了解幂、底数、指数等相关概念.（2）掌握有理数乘方的符号法则及相关性质，能够正确地进行有理数的乘方运算.2.目标解析（1）有理数的乘方是利用有理数的乘法来定义的. 将n a a a a 个写成a n 的表达式，前者是n 个有理数a相乘，是乘法运算，后者是有理数乘方的形式，是乘方运算.在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 的结果，即n 个有理数a 相乘的结果叫做幂.所以，有理数乘方及其相关概念是有理数乘法运算及其相关概念的自然拓展.（2）有理数的乘方像有理数加、减、乘、除法一样，也是一种运算，其运算的符号法则及相关性质完全依据相同因数的有理数乘法法则获得.初学时，应强调二者之间的关系，用有理数乘法法则探究学习有理数乘方运算.待学生熟悉有理数乘方运算法则及其相关性质后，应该逐步丢掉这根拐杖.三、教学问题诊断分析有理数的乘方是在学生学习有理数的加、减、乘、除法运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广与延续，又是后面继续学习有理数混合运算、科学记数法和开方的基础．在小学里，学生掌握的数的平方与立方只是在正数的范围内，现在则扩充到了有理数的范围．应当注意，乘方也是一种运算，是继加、减、乘、除法运算之后学习的第五种运算，因此掌握好本节课的内容能够进一步加深学生对有理数的运算的认识，并且将为学生今后学习数的开方打下坚实的基础．有理数的乘方是利用乘法来定义的，因此，可以参照乘法运算的方法进行乘方运算，但学生在探究过程中容易忽视由有理数乘法的符号法则得出有理数乘方的符号法则，有理数的乘方运算与加、减、乘、除法运算步骤一样，都是先确定符号，再计算绝对值．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：有理数乘方符号法则及相关性质的理解与应用.四、教学过程设计（一）引入新课棋盘上的学问：古时候，有个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋. 为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求. 大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒，…，一直到第64格.”“你真傻！就要这么一点米？” 国王哈哈大笑. 这位大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”你认为国王的国库里有这么多米吗？师生活动：学生可以自由发挥想象，教师不做任何解答，留待后面学习中解答.【设计意图】创设问题情境，激发学生学习兴趣，使学生认识到数学的发展是不断进行推广的.（二）新知探究问题1：请同学们把一张长方形的纸多次对折，所产生的纸的层数和对折的次数有关系吗？做一做：1. 边长为a 的正方形的面积为____；2. 棱长为a 的正方体的体积为______；3. (－2)×(－2)×(－2)=_____；4. (－1)×(－2)×(－3)×(－4)×5=____；5. (－1)×(－1)×(－1)×(－1)×(－1)=______.师生活动：归纳总结：一般地，n 个相同的因数a 相乘，记作a n ，读作“a 的n 次幂（或a 的n 次方）”，即n n a a aa a 个.师：对于a n 中a 的，不仅可以取正数，还可以取0和负数，也就是说a 可以取任意有理数，板书课题. 这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.a叫做底数，n叫做指数，a n读作a的n次幂（或a的n次方）.教师引导学生注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，指数1通常省略不写.同时比较已经学习过的几种运算方法结果的不同称呼：【设计意图】通过对乘方的概念及意义的探索，使学生理解乘方的意义，能和前面已经学习过的几种运算作比较.（三）针对训练1. 把下列乘法式子写成乘方的形式：（1）1×1×1×1×1×1×1=_______；（2）3×3×3×3×3=_______；（3）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)=______；（4）5555= 6666⨯⨯⨯答案：（1）17；（2）35；（3）(－3)4；（4）4 56⎛⎫ ⎪⎝⎭.2. 把下列乘方写成乘法的形式：（1）(－9)3= __________________；（2）497⎛⎫⎪⎝⎭=___________；（3）(a－b)2= ___________ ；答案：（1）(－0.9)×(－0.9)×(－0.9)；（2）99997777⨯⨯⨯；（3）(a－b) (a－b).3. 填空：（1）(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____.（2）612⎛⎫⎪⎝⎭表示个12相乘，读作12的次方，也读作12的次幂，其中12叫做，6叫做.答案：（1）－5；2；－5；－5；平方；（2）6；6；6；底数；指数.4. 判断下列各题是否正确：（1）23=2×3 ( )（2）2+2+2=23 ( )（3）23=2×2×2 ( )（4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ( )答案：（1）×；（2）×；（3）√；（4）×.【设计意图】学生理解乘方的意义，并在理解的基础上进行乘方运算. （四）典例分析例1：说出下列乘方的底数、指数，并进行计算：（1）(－4)3；（2）(－2)4；（3）07；（4）323⎛⎫-⎪⎝⎭．解：（1）(－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64；（2）(－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16；（3）07 =0×0×0×0×0×0×0=0；（4）322228333327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭师生活动：学生进行交流讨论，尝试解决，请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一步计算的依据.【设计意图】通过例题的学习，对有理数乘方的幂、底数、指数的概念及其表示有更进一步的理解，及时巩固所学知识，并且通过学生板演让学生自己发现问题，尝试解决问题，同时也让学生知道乘方运算的依据.（五）新知探究问题2：（1）－32与(－3)2结果相等吗？追问：223⎛⎫⎪⎝⎭与223结果相等吗？师生提示：①负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同符号），用小括号括起来，这样便于辨认底数；②分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来.问题3：不计算下列各式，你能确定其结果的符号吗？从计算结果中，你能得到什么规律？（1）(－2)51；（2）(－2)50；（3）250；（4）251；（5）(－1)2022；（6）(－1)2023；（7）02022；（8）12022．师生活动：教师引导学生共同归纳：（1）正数的任何次幂是正数；（2）负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；（3）0的任何次幂等于零；（4）1的任何次幂等于1；（5）－1的偶次幂等于1；－1的奇次幂是－1．【针对训练】1. 回答下列问题:（1）23中底数是，指数是，幂是.（2）234⎛⎫⎪⎝⎭中底数是，指数是，幂是.（3）(－5)4中底数是，指数是，幂是. （4）－54中底数是，指数是，结果是.2. 填空：310的意义是，310 = .3. 判断正误：（对的画“√”，错的画“×”）（1）32 =3×2=6 ( )（2）(－2)3＝(－3)2 ( )（3）－32=(－3)2( )（4）－24=(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ( )（5）223⎛⎫⎪⎝⎭=223( )答案：1.（1）2；3；8；（2）34；2；916；（3）－5；4；625；（4）5；4；－625.2.10个3相乘；59049.3.（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×.（六）典例分析例2：用计算器计算(－8)5和(－3)6.师生活动：要求同桌之间互相交流，不会的同学要向会使用计算器的同学请教.【新知应用】问题4：同学们，现在我们能解决本节课开始时《棋盘上的学问》中的问题吗？1＋21＋22＋23＋……＋263= （粒）.（1.84467×1019 ）建议利用计算器帮助计算.估计每千颗米粒重40克，这么多颗米粒总重超过 亿吨.（7000）问题5：珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度是8844米. 把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度是多少？0.1×230= （mm ）= （m ）.计算器计算：230=10737418240.1×230 =107374182.4（mm ）=107374（m ）.追问：这张纸对折30次后，厚度超过珠穆朗玛峰，是真的吗？例3：计算（1）()2233⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭； （2）－23×(－32)； （3）64÷(－2)5； （4）(－4)3÷(－2)200＋2×(－3)4.解：（1）()22239633⎛⎫⎛⎫-⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）－23×(－32)= －8×(－9)=72；（3）64÷(－2)5=64÷(－32)=－2；（4）(－4)3÷(－1)200＋2×(－3)4=－64÷1＋2×81=98.师生活动：教师引导学生共同思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？（先算乘方，后算乘除；如果遇到括号就先进行括号里的运算.）【设计意图】通过学生之间的相互交流，感受现代技术，学会使用计算器求乘方运算.（七）当堂巩固1. 填空：（1）－(－3)2= ；（2）－32= ；（3）(－5)3= ；（4）0.13= ；（5）(－1)9= ；（6）(－1)12= ；（7）(－1)2n= ；（8）(－1)2n+1= ；（9）(－1)n= .1.（1）－9；（2）－9；（3）－125；（4）0.001；（5）－1；（6）1；（7）1；（8）－1；（9）11nn -⎧⎨⎩（当为奇数时）（当为偶数时）.2. 在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33中，最大的数是（ B ）A. －|－3|3B. －(－3)3C. (－3)3D. －333. 对任意实数a，下列各式不一定成立的是（ B ）A. a2=(－a)2B. a3=(－a)3C. |a|=|－a|D. a2≥0【设计意图】通过巩固练习，使学生加深对乘方意义的理解与掌握.（八）感受中考1．（2022•广东）计算22的结果是（）A．1B C．2D．4【解答】解：22=4．故选：D．2．（2022•西藏）已知a，b都是实数，若|a＋1|＋(b－2022)2=0，则a b= ．【解答】解：因为|a＋1|＋(b－2022)2=0，所以a＋1=0，b－2022=0，即a=－1，b=2022，所以a b=(－1)2022=1，故答案为：1．3．（2022•泸州）若(a－2)2＋| b＋3|=0，则ab= ．【解答】解：由题意得，a－2=0，b＋3=0，解得a=2，b=－3，所以，ab=2×(－3)=－6．故答案为：－6．【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.（九）课堂小结1. 本节课学习的主要内容有哪些？这些内容体现了哪些数学思想方法？2. 有理数的乘方运算需要注意哪些事项？其运算步骤是什么？1. 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.2. 乘方的符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）零的正整数次幂都是零.【设计意图】通过巩固练习和小结，使学生加深对乘方意义的理解与掌握，使所学知识系统化.（十）布置作业1. P47：习题1.5：第1、2、7题；2. P48：习题1.5：第12题；3. 课外思考：（1）平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是.（2）(+1)2022－(－1)2023 = .五、教学反思对于有理数乘方的意义是这样突破的：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作a n，乘方运算的结果叫做幂，a叫做底数，n叫指数，对此应从以下几个方面加深理解.①(－2)3与－23意义不同，(－2)3表示3个(－2)相乘，底数是－2，指数是3；而－23表示23的相反数，底数是2，指数是3.②323⎛⎫-⎪⎝⎭与323-意义不同，323⎛⎫- ⎪⎝⎭表示3个23-相乘，底数是23-，指数是3；而323-表示23除以3的商的相反数.③负数或分数的乘方，在书写时一定要把整个负数或分数（连同符号）用小括号括起来，防止因负号处理不慎出现错误，或对乘方运算中底数的区分和辨认产生困难.对于有理数乘方运算法则是这样突破的：①有理数乘方运算法则是利用有理数乘法运算法则探究得到的. 有理数乘方的符号法则和相关性质是：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数.正数的任何次幂都是正数.0的任何正整数次幂都是0.任何数的偶次幂都是非负数.1的任何次幂都是1. －1的偶次幂是1，－1的奇次幂是－1.这些法则与性质，需要在理解的基础上逐步掌握，并能熟练地应用.②与有理数的加、减、乘、除法运算步骤一样，有理数的乘方运算也是先确定幂（运算结果）的符号，再计算幂（运算结果）的绝对值. 教学时，应重视类比方法的使用.需要特别注意，有理数乘方运算中，所有的指数都是正整数（正偶数、正奇数），指数暂时还没有涉及负整数与零.③一个数可以看作这个数本身的一次方，这是一种规定.这种规定可以这样理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数.此外需要注意，当底数为带分数时，应先化带分数为假分数，再按乘方的意义进行计算.例如，()22211422339⎛⎫⎛⎫-≠-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而应为22177749233339⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

“＋”和“－”号的意义和读法在小学中，我们知道符号“＋”和“－”是运算符号，分别表示加法和减法，读作“加”和“减”．升到初中，学习了负数后，我们又知道“＋”号和“－”号除了具有上述意义外，还具有：①性质符号的意义，表示数的性质，读作“正”和“负”；②关系符号的意义，表示原数和相反数，读作“…的原数”和“…的相反数”．那么，如何分清它们所表示的意义并正确地读出它们呢？1．单独一个非零有理数的读法若“＋”号或“－”号出现在单独一个非零有理数之前，则表示性质符号，读作“正”或“负”．如＋3、－8分别读作“正3”、“负8”．2．算式的读法在算式中，有理数本身的“＋”号或“－”号读作“正”或“负”，括号之间的“＋”号或“－”号读作“加”或“减”．如(－3)＋(＋5)－(－9)读作“负3加正5减负9”．3．省略加号的式子的读法省略加号的式子有两种读法，一是按运算符号读，一是按性质符号读．如6＋2－7，按运算符号读作“6加2减7”；按性质符号读作“6，正2，负7的和”．又如－18＋3－4，既可读作“负18加3减4”，也可读作“负18，正3，负4的和”．但应特别注意，算式中第一个数所带的“＋”或“－”号只能读作“正”或“负”，不能读作“加”或“减”．如前例中的“－18”只能读作“负18”而不能读作“减18”．4．非零有理数之前连续出现两个或两个以上个符号的读法碰到这种情况时，小括号内的“＋”、“－”号分别读作“正”、“负”，其它“＋”、“－”则读作“原数”、“相反数”．如－(－3)读作“负3的相反数”(注意不能读作“负的负3”)；又如－[＋(－13)]读作“负13的原数的相反数”(注意不能读作“负的正的负13”)．5．数“0”之前“＋”、“－”号的读法因为零既不是正数，也不是负数，所以在任何情况下都不能读作“正零”或“负零”，应读作“加零”或“减零”，也读作“零的原数”或“零的相反数”．如6－0＋2读作“6减0加2”或“6，0的相反数，2的和”，但不能读作“6，负0，2的和”；又如－3＋0－7读作“负3加0减7”或“负3，0，负7的和”，但不能读作“负3，正0，负7的和”．6．“＋”、“－”号出现在用字母表示的数之前时的读法用字母表示的数之前若是“＋”号，则应读作“…的原数”，若是“－”号，则应读作“…的相反数”．如＋a、－m分别读作“a的原数”、“m的相反数”，开始学习时最好不读作“正a”、“负m”，因为容易使人误认为＋a是正数，－m是负数，其实，＋a不一定是正数，－m也不一定是负数(为什么？)．7．有理数乘方的读法如[－(－6)2]3读作“负6的平方的相反数的立方”(还可怎样读？)；又如(－3)2－(－5)4读作“负3的平方与负5的四次方之差”．关于乘方，还要特别注意类似(－2)2与－22的区别，它们无论是读法，还是表示的意义都是不同的，前者读作“负2的平方”，表示的意义是(－2)·(－2)＝4，后者读作“2的平方的相反数”，表示的意义是－(2·2)＝－4．。

9．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)，若这
种细菌由一个分裂为 32 个，则这个过程要经过( C )
A．1 小时
B．2 小时
C．2.5 小时
D．5 小时
10．(1)平方等于本身的数是 0或1 ，立方等于本身的数是 0或±1 ；
(2)平方等于 64 的数是 ±8 ，立方等于－64 的数是 －4 .
易错点 对乘方的意义及其运算的符号法则理解不透彻而出错．
自我诊断 4. 计算：－32＝ －9 ，－322＝ －92
，(－32)2＝
9 4
.
1．下列式子正确的是( B ) A．(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝－24 B．(－4)3＝(－4)×(－4)×(－4) C．－64＝(－6)×(－6)×(－6)×(－6) D.35×35×53＝352
(1)通过计算，比较下列各组中的两个数的大小：(填“＞”“＝”或“＜”) ①12 ＜ 21；②23 ＜ 32；③34 ＞ 43； ④45 ＞ 54；⑤56 ＞ 65；…；
(2)从第(1)题的结果经过归纳，可能猜想 nn＋1 和(n＋1)n 的大小关系是
当 n＝1,2 时，nn＋1＜(n＋1)n，当 n≥3 时，nn＋1＞(n＋1)n
14．在一游戏活动中，有 8 个同学藏在 8 个大盾牌后面，男同学的盾牌前面 写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这 8 个盾牌如图所 示：
－4051
－11 －14
－－8
－12015
－5 －33
－2100
4×－3
－－23
你能说出盾牌后面男、女同学各有多少人吗？
－11
(2)底数是－5，指数是 2 的乘方表达式是 (－5)2 ，其结果是 25 .

2.探究式教学：鼓励学生自主探究、合作交流，发现数学规律。这种方法基于发现学习理论，认为学生通过自主探究、发现知识，能更好地理解和掌握知识。
3.情境教学：创设生活情境，让学生在具体情境中学习数学知识。这种方法的理论依据是情境学习理论，认为学习应与实际情境相结合，提高学生的学习动机和兴趣。
（二）媒体资源
2.在混合运算中，学生可能难以熟练运用乘方的运算法则。
3.部分学生可能在学习过程中缺乏主动参与。
为应对这些问题，我将：
1.采用直观的教具和动画演示，帮助学生理解负数乘方的概念。
2.设计不同难度的练习题，分层次指导学生，逐步提高他们的运算能力。
3.创设互动性强的教学环境，鼓励学生提问和分享，增强他们的学习主动性。
1.创设情境：通过生活中的实例引入有理数乘方，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.探究活动：引导学生自主探究、合作交流，发现有理数乘方的性质和运算法则，培养学生的归纳能力。
3.游戏教学：设计富有挑战性的数学游戏，让学生在游戏中运用有理数乘方知识，提高学生的学习兴趣和参与度。
4.激励评价：及时给予学生积极的评价，关注学生的进步，增强学生克服困难的信心。
为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心准备，明确板书内容和顺序。
2.在课堂上适时书写，避免信息过载。
3.使用不同颜色的粉笔突出重点，方便学生识别。
4.保持板书的整洁，及时擦除不必要的辅助性信息。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能的问题或挑战：
1.学生对负数乘方的理解可能存在困难。
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具辅助教学：
1.教具：卡片、计算器等。它们在教学中的作用是帮助学生直观地理解有理数乘方的概念，进行实际操作。

《乘方》知识点解读同学们，一张一般白纸的厚度只有0.01 厘米，可是当你把这一张一般的白纸连续对折30次后，你知道有多厚吗？它的厚度居然超出珠穆朗玛峰！你相信吗？经过对有理数乘方的学习，我们就会知道此中的奇妙了。

知识点一：有理数乘方的意义一般地， n 个同样的因数 a 相乘，即a a L a ，记作a n，读作a的n次方.求n个同样14243n个因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a n中， a 叫做底数， n 叫做指数，当 a n 看作 a 的 n 次方的结果时，也可读作 a 的 n 次幂。

知识点二：怎样进行乘方运算1. 乘方和加、减、乘、除同样，也是一种运算，是乘法运算的特别状况。

a n就是表示n 个 a 相乘，因此能够利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算；2. 幂的符号法例：负数的奇次幂是负的，负数的偶次幂是正的，即（－ a ）2n＝ a 2 n，（－a ）2n+1＝－ a 2n+1（n是正整数）， a 2n≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数；正数的任何次幂是正的；0 的任何次幂都是0；3. 一个数能够看作这个数自己的一次方，如 5 就是 51，往常指数为 1 时能够省略不写。

4.有理数的混淆运算时，应注意的运算次序：（ 1）先乘方，再乘除，最后加减；（ 2）同级运算，从左到右进行；（ 3）若有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号挨次进行.例 1计算：（1）（－3）4；（2）(－8)3；（3）(－1)4 3剖析：依据乘方的意义可直接用乘法来求出各乘方的值。

解：（1）( －3)4＝( －3) ( － 3) (－3) (－3)＝81.（2）( －8) 3＝(－8) ( －8) ( －8)＝－ 512.（3）(－1)4＝(－1)( －1)( －1)( －1)＝1. 3333381说明：这里应特别注意“－”号问题，计算时也能够先依据符号法例确立其结果的符号，而后直接计算正数的乘方。

情境引入
1 2 4 8 16 32
设计意图：通过故事引出 课题，激发学生求知热情。
在讲课开始时设置悬念， 等到讲完最后解决。让学 生获得解决问题的体验.让 学生经历观察、实验、猜 想、验证等数学活动，落 实新课标中发展学生合情 推理能力和初步的演绎推 理能力。
PART 2
新知探究
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2.掌握有理数乘方的符号规律。 3.会计算乘方。
重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则，能进行有理数的乘方 运算。
难点：有理数的乘方运算的符号法则，乘方和幂的区别。
教学过程
PART 1
情境引入
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你发现负数的幂的正负有什么规律吗？
当指数是__奇____数时，负数的幂是__负____数； 当指数是__偶____数时，负数的幂是__正____数.

1.5 有理数的乘方1．乘方的意义(1)一般地，n 个相同的因数a 相乘，即，记作a n ，读作“a 的n 次方”．求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方．(2)幂：乘方的结果叫做幂．在乘方运算a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 叫做幂，即(如图)(3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．也就是说，a n 既表示n 个a 相乘，又表示n 个a 相乘的结果．(4)读法：a n 看作乘方运算时，读作a 的n 次方；当a n 看作a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂．如34中，底数是3，指数是4，读作3的4次方或3的4次幂．又如(－3)4中，底数是－3，指数是4，读作－3的4次方或－3的4次幂．(5)一个数可以看作这个数本身的一次方．例如：5就是51,51就是5，指数1通常省略不写．(6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来，再在其右上角写指数，指数要写得小些．如(－1)2，⎝⎛⎭⎫122分别表示(－1)×(－1)，12×12. (7)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方的运算结果，初中阶段学习六种运算，到现在为止，已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方五种．第六种将在后面学习．对乘方的理解 (－1.3)4与－1.34意义不同，(－1.3)4的底数是－1.3；而－1.34的底数是1.3，它表示1.34的相反数．【例1】 把下列各式写成乘方运算的形式，并指出底数、指数是什么．(1)(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)；(2)15×15×15×15×15×15； (3) .分析：根据乘方的意义，先找相同因数是什么以确定底数，再数相同因数的个数以确定指数．解：(1)(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)×(－1.3)；＝(－1.3)4，其中底数是－1.3，指数是4.(2)15×15×15×15×15×15＝⎝⎛⎭⎫156， 其中底数是15，指数是6. (3)＝m 2a ，其中底数是m ，指数是2a .2.乘方运算的法则可以根据有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算．(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.解技巧 乘方运算技巧 ①进行乘方运算时，先根据符号法则确定符号，然后再把底数的绝对值相乘；②底数是带分数时，要先把带分数化成假分数．③－1的偶次幂是1，奇次幂是－1,1的任何次幂都是1.【例2】 计算：(1)(－5)4；(2)－54；(3)⎝⎛⎭⎫－342；(4)－324； (5)(－1)101；(6)－⎝⎛⎭⎫－1132. 分析：(1)(－5)4表示4个－5相乘；(2)－54表示4个5相乘的相反数；(3)⎝⎛⎭⎫－342表示2个－34相乘；(4)－324表示32除以4的商的相反数；(5)(－1)101表示101个－1相乘；(6)－⎝⎛⎭⎫－1132表示2个－113相乘的相反数． 解：(1)(－5)4＝＋(5×5×5×5)＝625；(2)－54＝－5×5×5×5＝－625；(3)⎝⎛⎭⎫－342＝＋⎝⎛⎭⎫34×34＝916； (4)－324＝－3×34＝－94； (5)(－1)101＝＝－1；(6)－⎝⎛⎭⎫－1132＝－⎝⎛⎭⎫43×43＝－169. 3．科学记数法一般地，把一个大于10的数表示成a ×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数)，这种记数的方法叫做科学记数法．用科学记数法记数时，数的大小没有变化，只是数的书写形式发生了变化．使用科学记数法的关键是：①确定a 的值，把要表示的数除以10n 得到a ，或把要表示的数直接写成只有一位整数的数．②确定n 的值，把某数的整数位数减1.【例3－1】 用科学记数法表示出下列各数：(1)845 000 000 000；(2)5 200 000 000；(3)123 150 000；(4)2 830 000.分析：(1)a 是8.45；845 000 000 000有12位整数，所以n －1＝12－1＝11；(2)5 200 000 000确定a 是5.2，因为整数位数是10，所以n －1＝10－1＝9；(3)(4)可仿照(1)(2)写出．解：(1)845 000 000 000＝8.45×1011；(2)5 200 000 000＝5.2×109；(3)123 150 000＝1.231 5×108；(4)2 830 000＝2.83×106.【例3－2】 下列各数是用科学记数法表示的数，写出原来的数．哦，－5 480 000不是大于10的数，能用科学记数法表示吗？－5 480 000小于10，但它的绝对值大于10，所以也可以用科学记数法表示，只是a的值是负数罢了!无论是正数还是负数，只要1≤|a |＜10即可. 如－5 480 000=－5.48×106.(1)106；(2)3.14×103；(3)-1.204×102；(4)1.732×106.分析：本题是科学记数法的逆运用，原数的整数数位是n ＋1.解：解技巧 只要知道指数n 是多少，就将小数点向右移动多少位．．．．．．．．．4．近似数与精确度(1)准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际非常接近的数．(2)产生近似数的主要原因：①“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等；②用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等；③不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如调查池塘中鱼的尾数，结果就只能是一个近似数；④由于不必要知道准确数而产生近似数．(3)误差近似值与准确值的差，叫做误差，即误差＝近似值－准确值误差可能是正数，也可能是负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，也就是近似程度越高．(4)精确度近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示．近似数的精确度是指一个数的精确程度．一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位．如一个近似数M 精确到十分位后的近似值是 3.4，那么这个近似数M 的取值范围是3.35≤M ＜3.45.具体的做法是一个近似数要求精确到哪一位，只要从它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数不能连续从末位向前四舍五入．如将数3.024 6四舍五入到百分位，应从4开始四舍五入得3.02，而不是从6开始得3.03.【例4】 求：(1)3.562 48(精确到千分位)；(2)0.397(精确到0.01)；(3)29 684(精确到千位)；(4)5(精确到百分位)．分析：按四舍五入的方法取舍即可．解：(1)3.562 48≈3.562；(2)0.397≈0.40；(3)29 684＝2.968 4×104≈3.0×104；(4)5＝5.00.5．有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．通常把五种代数运算分成三级．第一级是加减；第二级是乘除；第三级是乘方．运算顺序规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行．解技巧 有理数混合运算技巧在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注意恰当使用运算定律．含有多重括号时，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内．计算过程中应时时重视符号．【例5】计算：(1)(－2)4÷(－4)×⎝⎛⎭⎫122－12；(2)(－3)3－34×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－232－23－⎝⎛⎭⎫－123. 分析：先确定运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的，同级运算从左到右进行，能使用运算律减缓计算的，注意使用．解：(1)(－2)4÷(－4)×⎝⎛⎭⎫122－12＝16÷(－4)×14－1 ＝(－4)×14－1＝－1－1＝－2； (2)(－3)3－34×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－232－23－⎝⎛⎭⎫－123 ＝－27－34×⎝⎛⎭⎫49－8－⎝⎛⎭⎫－18 ＝－27－13＋6＋18＝－21524. 6.用四舍五入法按要求求近似值精确度的表述方法用四舍五入法按要求求近似值精确度有以下两种表述方法：(1)精确到哪一位，如：精确到个位(精确到1)、精确到十分位(精确到0.1)、精确到百分位(精确到0.01)等；(2)保留若干位小数，如保留2位小数等．警误区 求近似数时的错误 取近似数不一定都用“四舍五入”法，在实际问题中有时就不能用四舍五入法，而是采用“进一”或去尾法，即无论下一位是多少，都要向前进一，或都舍去．【例6－1】按要求求下列各数的近似值．(1)0.169 5(精确到千分位)；(2)0.534 9(精确到百分位)；(3)2.715万(精确到百位)．分析：用四舍五入法时，只看要精确的数位的下一位，如0.534 9精确到百分位，只看千分位上的4，万分位上的9不能向前进一；2.715万精确到百位，不能写成27 200.解：(1)0.169 5≈0.170；(2)0.534 9≈0.53；(3)2.715万＝27 150＝2.715×104≈2.72×104.【例6－2】一辆卡车最多能装4吨沙子，现有沙子79吨，能装满几辆卡车？要将沙子全部运走，至少需要几辆卡车？分析：取近似值要根据实际情况，选择采用进一法还是去尾法．解：79÷4＝19.75.所以最多能装满19辆卡车．要全部运走则至少需要20辆卡车．7.有理数乘方的综合运用乘方作为一种运算，不仅应用在混合运算中，还常常应用在判断、数的大小比较及化简求值中．关键要熟练乘方的符号法则，当指数奇偶性不明确时，要分类讨论，当指数是偶数时，理解幂的非负性，如a 2≥0，与|a |≥0一致．析规律 有理数乘方的理解(1)(－a )n ＝(－1)n a n ，当n 为偶数时，(－a )n ＝a n ；当n 为奇数时，(－a )n ＝－a n .(2)a 2＋b 的最小值是b ，－a 2＋b 的最大值是b .【例7】下列各式(1)a 2＞0；(2)(－a )4＝a 4；(3)(－a )3＝a 3；(4)(a ＋2)2＞0；(5)(a －1)2＋2＞0；(6)若(－2)m ＞0，则(－1)m ＝1；(7)(a －1)2＋2的最小值是2；(8)7－(a －3)2的最大值为7，其中正确的个数是( )．A ．6B ．5C ．4D ．7解析：(1)若a ＝0，则a 2＝0，错．(2)相反数的偶次方相等，正确．(3)(－a )3＝－a 3，错．(4)若a ＝－2，则(a ＋2)2＝0，错．(5)(a －1)2≥0，(a －1)2＋2＞0，正确．(6)若(－2)m ＞0，则m 是偶数，(－1)m ＝1，正确．(7)(a －1)2≥0，(a －1)2＋2≥2，正确．(8)－(a －3)2≤0，所以7－(a －3)2≤7，正确．答案：B8．利用乘方解决倍增、倍减问题倍增倍减就是指每一变化都以相同的倍数增加或减少，这是日常生活中常见的数量变化问题，如细胞分裂，事物变换过程中的翻番问题等．这类问题，一般是以2的倍数增减，总是在前一个的基础上乘以2，或12，所以总是以2或12的n 次方的形式增加或减少．如：在数据变化上呈现出2,4,8,16,32…增大趋势，或呈现出12，14，18，116，…的减少趋势．解法上要注意分析观察数据的变化特点，寻找顺序与数据之间的变化关系，同时要注意基础量，即从哪个数开始变化的，再根据题意，由特殊到一般，发现变化规律，写出结果．【例8－1】 拉面馆拉面时，先把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，……，如此往复，对折10次后，会拉出多少根面条呢？解：拉出的面条数是：210＝1 024(根)．答：对折10次可拉出1 024根面条．【例8－2】如图所示，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分，如此进行下去．试根据图形计算：第8次等分后得到的小正方形的面积是多少？解：观察图形可知，每一次按12的倍数递减，所以第n 次等分后得到的小正方形面积是12的n 次方，所以第8次等分后得到的小正方形面积为⎝⎛⎭⎫128.9.利用乘方解决规律性问题乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方运算中有很多规律性变化，目前主要有三种：①一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律，②乘方运算中的数或数列的变化呈现一定的规律性，如：－2,4，－8，16，－32，…，③等式运算中的规律性变化，如：12－02＝1,22－12＝3,32－22＝5，42－32＝7，….乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难．解技巧 规律型问题解法 由特殊到一般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律．由特殊入手，猜想、验证，得出正确结论．【例9－1】 观察下列各式：1＝1＝12；1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42，….请猜想前15个奇数的和是__________．解析：1个奇数等于12，前2个奇数的和等于22，前3个奇数的和等于32…，猜想前15个奇数的和是152.答案：1＋3＋5＋7＋9＋…＋29＝152＝225【例9－2】 观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128，…，通过观察，用你所发现的规律确定227的个位数字是()．A．2 B．4 C．6 D．8解析：观察式子的变化发现，从2的1,2,3,4,5，…次方的结果看，个位数以2,4,8,6,2,4，…循环，所以每四次一循环，而27÷4＝6余3，所以227的个位数字是8.故选D.答案：D【例9－3】观察下面一列数：2,5,10，x,26,37,50，65，…，根据规律，其中x表示的数是__________．解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺序号的平方加1，即2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1，…，所以它们之间的排列规律是n2＋1，所以x＝42＋1，所以x＝17.答案：17。