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2019-2020学年高中数学 数列求和（第2课时）学案新人教A 版
必修5
学习目标 1.能用错位相减法求和；
2.能灵活的选择求和方法和快速准确的进行计算
学习重点 掌握数列求和的方法-错位相减法，并能灵活运用 学习难点 灵活运用错位相减法解决问题 学 习 内 容 学法指导 一．复习
数列求和的方法？
二．新课
题型五：错位相减法----若在数列{}n n b a •中，{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列，则可采用错位相减法求和。
例1：求和：)0(43211
32≠+⋅⋅⋅++++=-x nx x x x S n n
例2：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
自主复习
归纳方法和步骤
当堂练习：
已知数列{}n a 的首项3
2
1=
a ，121+=+n n n a a a ，
（1） 求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n a n 的前n 项和为n S
知识的综合运用。
错位相减法是非等差等比数列求和中运算较繁琐的一种。
教师不是直接给出方法，再让学生进行针对性解题练习，而是留出足够时间，先让学生先经历迷茫，由此产生强烈的求知欲望，老师“点到为止”，再让学生尽量自己找到解决办法，通过经历求解过程来充分暴露方法的利弊，最终找到解决的最佳途径。
具体设计如下：老师：在前面我们已经复习了等差等比数列的求和公式，本节课我们来研究非等差等比数列的求和问题。
你回想一下当初等比数列前n项和的公式的推导过程．学生：等比数列前n项的和的公式的推导过程是这样的：先写出一式，再写出二式，然后把两式相减，再分情况化简求得．老师：你能将这种方法应用到一个等差数列乘以一个等比数列形式的数列求和吗？学生：数列的各项由一个常数等差数列和一个等比数列对应项相乘而得的，那么这种求和的方法一定可以参考。
这句话激起了下面学生的兴趣，好多学生情绪高涨，班里传出窃窃讨论声。
学生：我把两式相减，左式按次数提取公因式老师：这样的结果是否正确？有一个学生指出最后一项前的运算符号应是“减号”．老师：说得对．这种提公因式的方法很巧妙，不但简化了计算，还转化为等比数列的求和问题．但因为项数比较多，大家是否会觉得容易算错？学生很有感触地点点头。
老师：现在教你们一个方法。
这时学生都瞪大眼睛，全神贯注地听着。
老师：我们把计算时的书写格式作一下改变，使之上下行且下一行往后错一项，两式错项对应相减即可得。
学生：这样对应着写就不容易搞错了！老师:因为是前面乘以等比数列的公比，我们把这种求和的方法叫做错位相减法．现在，请你们总结一下什么样的数列求和可用此法?给学生留一段思考空间后，老师请一位学生起来回答：如果这个数列是由等差和等比数列对应项相乘而得的，可用错位相减法．老师:总结的很好．能否再说说看求解的时候要注意哪些地方?学生1:相减是错开一项后相减，且右式的最后一项是“减号”．学生2:还要注意相减后的等比数列的首项、公比和项数．老师总结：同学们把要注意的地方已经找出来了．错位相减法求和，实质都是把非等差等比数列转化为等差或等比数列的求和问题来解决这种转换的思想即为数学中的“化归”思想。
数列求和（二）——错位相减法教学设计教材：《数学》必修5（人教版）
课堂小结
通过提问，引导学生
知识与技能，思想与方法
这两个层面进行总结，培
养学生总结知识点的能
力。
§知识与技能
1、什么数列可以用错位相减法来求和？ 通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？每一步要注意哪些问题？
①展开：将Sn 展开
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐
④相减
⑥ 解出Sn §思想方法：
通过本节课的学习，你体会到解决数学问题的什么思想方法？ 化陌生为熟悉，化未知为已知的转化思想 课后作业
作业分层设计，满足不同
板书设计
学生的学习需求： 1、 基础题这两道题，
都是对错位相减法的直接应用。
不过第1题的（2）比较容易出错，学生会忘记讨论x=0的情况。
2、 提高题是一道综合
题，更前面的知识结合起来考察，比较综合，供基础好的学生选做。
《错位相减法求和》教学设计一、目标分析1.知识目标使学生掌握等差、等比数列求通项的基本方法，掌握错位相减法求和，熟练解决数列中与错位相减法相关的综合问题。
2.能力目标培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想、化归思想和方程思想并加深认识；通过等差、等比数列、通项与前n项和关系以及错位相减法之间的综合问题的探究，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决综合问题的能力等．3.情感目标通过微视频引导学生经历直观感知、类比、转化，实际操作等交流探索活动,使学生经历数学思维的过程, 激发学生的学习兴趣，培养学生勤于思考，善于自主学习的良好习惯。
小组合作，分享成功的快乐，体会集体力量的强大。
.二、教学重点、难点重点等差等比数列公式的灵活运用，错位相减法求和。
难点数列相关知识与错位相减法求和间的综合应用。
三、教学模式与教法、学法采用观看微视频，问题启发、类比、归纳总结相结合的教学方法，让学生掌握并灵活应用错位相减法求和解决数列综合问题。
教师的教法翻转课堂教学法.学生的学法自主学习微视频，积极主动探究，效果检测，合作交流展示，。
四、教具：投影仪、多媒体课件。
五、教学环节（一）A课成果展示，分享收获（二）B课课标解读，知识梳理（三）效果检测，合作探究（四）分组展示，小结反思六、教学过程进阶练习题型一分类讨论求前n项和1.求数列{nx n} 的前n项和题型二等差、等比数列与错位相减法求和题型三通项与前n项和的关系以及错位相减法求和3.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n，n∈N*，数列{b n}满足a n＝4log2b n＋3，n∈N*.(1)求a n，b n；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.挑战高考组（1）学生代表展示解答并讲解解题思路，同组学生补充，其他组学生点评或质疑。
教师引导。
组（2）学生代表展示解答并讲解解题思路，同组学生补充，其他组学生点评或质疑。
教师引导，并PPT展示。
一、学情分析和教法设计1. 学情分析：学生已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，在前面的课程中对等比数列前 n 项和公式也进行过推导，其中用到的错位相减思想学生有些印象但是没有过应用。
学生对于非等差等比数列的前 n 项和求法没什么研究。
本节课将在学生现有认知的基础上对“等差等比”型数列前 n 项和的求法加以探究，从而应用错位相减法来解决这类问题。
培养学生观察、分析、类比能力、运算与化简变形的能力进而提高学生的逻辑思维能力。
2. 教法设计：本节课设计的指导思想是：启发、引导学生进行分析、探究、讨论、总结、反思。
先设置问题 1 “等差 + 等比”型数列求和让学生回顾基本定义与公式进而总结分组求和法和公式法，再通过问题 2 “等差等比”型数列的求和引发学生的认知冲突，引导学生回顾等比数列前 n 项和公式的推导，并类比这种推导方法解决问题 2 ，从而归纳出错位相减法的步骤。
再通过一道练习题巩固这种方法，一起讨论应用过程中的注意事项，最后让学生对本节课进行总结反思和提升。
在教学过程中通过设问，调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；与学生进行交流，及时发现问题，解决问题。
二、教学设计1. 教材的地位与作用：错位相减法是人教版必修 5 数列求和部分的延伸内容，此方法来源于课本，是数列求和中十分重要的方法之一，也是高考的热点问题。
2. 教学目标 :根据学生的认知水平和数列求和在新课程理念的要求 , 确定教学目标如下：◆知识目标：（ 1 ）初步掌握一些特殊数列求其前 n 项和的常用方法．（ 2 ）通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题．◆能力目标：培养学生观察、分析问题的能力，以及类比与转化的数学思想．◆情感目标：在面对新问题时培养学生用联系的观点看问题 , 从而帮助他们用科学的态度认识世界 .3. 教学重、难点重点：错位相减法的应用难点：错位相减法的计算过程4. 教学方法、手段通过设问、启发、探究的教学程序 , 采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力 , 借助幻灯片辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围 .5. 学法指导（ 1 ）自主性学习法 , （ 2 ）探究性学习法 , （ 3 ）巩固反馈法 ,6. 板书设计：三、教学流程。
《数列求和—错位相减法》课时学历案一、学习目标1.通过回顾等比数列前n 项和公式的推导方法，说明用错位相减法进行数列求和的适用条件、基本步骤和注意事项；2.通过典例分析，体会用错位相减法进行数列求和时的解题过程，体会转化与化归的数学思想；3.通过动手实践，小组讨论，学会用错位相减法求数列的前n 项和，并能够结合等差等比数列的知识，解决高考问题；4.通过对错位相减法的应用过程进行总结和反思，进一步体会数学中的转化与化归的数学思想。
1.达成目标1，完成回扣教材和思考；2.达成目标2，在典例1分析学习后，完成变式训练1；3.达成目标3，学生互助，完成变式训练2；4.达成目标4，回顾反思后，完成练习。
三、学法建议1.数列问题离不开数列的通项公式和求和公式，因此它们是每年的必考热点，既有客观题又有解答题，所以必须认真对待；2.错位相减法是由等差数列求和公式的推导过程引申出的一种求和方法，主要用来解决非等差、等比数列的求和问题；3.错位相减法的作用是将非等差、等比数列中的一部分转化为等比数列，从而利用公式进行求解，体现了数学中转化与化归的思想；4.本部分的难点是错位相减法运算的准确性，主要通过掌握正确的形式和强化运算来突破难点；5.你可以通过课后练习题的完成情况来判断自己对学习目标的掌握程度，本节课提供的A 组练习是合格作业，B 组练习是较高要求，供你选择。
四、学习过程回扣教材：回顾等比数列前n 项和公式的推导方法思 考：（1）数列的通项公式满足什么条件时，可以用错位相减法求和？（2）错位相减法的基本步骤是什么?（3）利用错位相减法求和有哪些注意事项？典 例：已知{}1n 1,21,,.2n n n n n n n a b n c a b c n S +==-=（）若求数列的前项和变式训练: (1) {}n ,.n n n n b c c n S a =若求数列的前项和(2)2015. 湖北高考{}{}{}{}{}n 11210n q.,2,,100.(1)(2)1,.n n n n n n n n a d n S b a q d S a b a d c c n b ====>=设等差数列的的公差为，前项和为，等比数列的公比为已知b b 求数列，的通项公式当时，记求数列的前项和T学后反思：（请自主梳理本节课的知识，你是通过什么方法策略学会的，还有什么地方比较薄弱，需要老师提供什么帮助，你有什么好的经验和大家分享，你可以选择其中一点或几点写下来）五、课后作业A 组 1. {}2n n n n n a a n ==（教材改编）已知数列的前n 项和为S ,,则S2. {}{}{}2n n n n (1),0(1)(2),.3n n n n n n n a d n S S a a a a b b n =+>=设等差数列的的公差为，前项和为，4且求证数列是等差数列，并且通项公式设求数列的前项和TB 组 1.2314...n x x x nx -+++=（教材改编）1+2+3 2. {}{}{}{}{}1123352n =1,+2,-3=7.(1)(2),.n n n n n n n n a b a a a a b c a b c n ===已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且b b b b 求数列，的通项公式记求数列的前项和T。
人教版高中数学《数列求和方法3——错位相减》教学设计（精品）教学设计数列求和方法3——错位相减一.教学内容分析本节内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第二章中，学生在学习了等差数列和等比数列的通项公式以及前n项和公式的基础上，学习了求和方法：公式法、分组求和法之后的第3种求和方法，主要体现数学中的转化思想。
即将不能直接求和的问题通过错位相减，转化为能用等比求和的问题。
重点：会用错位相减法求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n 项和。
难点：错位相减后的项数、符号问题，以及对转化数学思想的理解。
二.教学目标分析1.知识与技能:会用错位相减求通项为等差数列与等比数列对应项乘积的数列前n项和。
2.过程与方法：通过两等式错位相减，将不能求和的问题转化成能用等比数列求和的问题，在探究的过程中让学生体会数学的转化思想。
3.情感、态度与价值观：在问题导练的过程中，培养学生的探究能力、化归能力、运算能力。
三.学情分析本节课之前学生已经学习了等差和等比数列前n项和公式，数列求和方法：公式法、分组求和法，在推导等比数列前n项和公式时，错位相减法已经使用过，本节课需要再次阅读课本，探究方法，通过学生自己的努力学会错位相减的流程，但是错位相减的目的、错位相减后的项数及符号需要在学生尝试练习、巩固练习之后通过老师的引导、点评才能理解掌握。
同时转化的数学思想更需要在老师的启发中得以理解。
四.教学策略分析数列求和方法3---错位相减，需要学生在不断的尝试练习、巩固练习中得到掌握，此方法在等比数列前n项和公式推导过程中已经运用过，按照知识的发生、发展过程和学生的思维规律，本节课首先给出用公式法和分组求和法能够解决的两道练习题，对前一节内容进行复习，然后对第一道练习题目进行变式，设置障碍，创设情境，把学生的注意力引到再读课本，探究方法，引出课题，再次尝试，提炼方法，限时训练，互命试题，让学生在层层练习中掌握方法，整个设计过程中学生是学习的主体，老师仅仅是帮助者、服务者，这样设计重视了新旧知识实质性联系，让重点知识和重要数学思想方法得到螺旋式巩固和提高。
错位相减法数列求和教学设计
教学目标：理解用错位相减法推导等比数列前n 项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式。
教学重点：错位相减法的初步应用。
教学难点：错位相减法的初步应用。
教学过程：
1、复习回顾已学过的四种求和方法及等比数列前n 项和公式利用错位相减法推导的过程。
2、典例分析
(1)
－(2)可得： 2311231S 22222n n n n n --=+++++ 解 解得 例1：求数列 的前n 项和S n 2n n
n a =
（1）-（2）可得：
23
+113333(21)3n n n ⨯+⨯++-⨯23413335373(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯ 解： 解得 例2：求数列 的前n 项和S n . (21)3n n a n =-⋅
练习：已知数列 的前 项和 , 设 求数列 的前 项之和 .
{}n a n n n S n +=2n n n a b 2=n T n {}n b 错位相减法的一般步骤：
① 等式同乘以公比，错位；
② 两式相减(最后一项为负)；
③ 等比求和(确定项数)；
④ 计算、化简.
3、课堂小结
若一个数列具备有如下特征:它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的,其求和则用错位相减法(此法即为等比数列求和公式的推导方法)。
高中数学备课精选第二章《数列数列求和》复习教案新人教B版必修5 一、等差数列与等比数列等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的符号定义通项公式对应函数图像等差数列{}n a的通项公式是n的一次函数。
等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nna cq=，其中1acq=分类递增数列：0d>递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：中项主要性质等和性：等差数列{}n a若m n p q+=+则推论：若2m n p+=则等积性：等比数列{}n a前n 项和nS==中间项求和公式：对应函数图像nS是关于n的一个的二次函数，即：2nS An Bn=+(0≠d)等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nns cq c q=-≠其 它 性 质1、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。
即： 232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为2m d2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列 为 数列）3、{}{},n n a b 等差，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka b +，{}n n pa qb +是 数列。
4、在等差数列中，}S{nn 为等差数列1、等比数列中连续m 项的和，组成的新数列是 数列。
即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为 。
2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列 为 数列）3、{}{},n n a b 等比，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka ，}{}{},{nn n n n a b b a a k，是 数列。
数列求和（二）——错位相减法教学设计教材:《数学》必修5（人教版）
课
堂
小
结 通过提问，引导学生知识与技能，思想与方法这两个层面进行总结，培养学生总结知识点的能力。
§知识与技能 1、什么数列可以用错位相减法来求和？ 通项公式是“等差×等比”型的数列 2、错位相减法的步骤是什么？每一步要注意哪些问题？ ①展开：将Sn 展开 ②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比 ③错位：让次数相同的相对齐 ④相减 ⑥ 解出Sn
§思想方法：
通过本节课的学习，你体会到解决数学问题的什么思想方法？ 化陌生为熟悉，化未知为已知的转化思想
课后作业 作业分层设计，满足不同
板
书
设
计
学生的学习需求：
1、 基础题这两道题，
都是对错位相减法
的直接应用。
不过
第1题的（2）比较
容易出错，学生会
忘记讨论x=0的情
况。
2、 提高题是一道综合
题，更前面的知识
结合起来考察，比
较综合，供基础好
的学生选做。
数列求和
【学习目标】
1、等差数列、等比数列的前n 项和公式；
2、掌握一般数列求和的常见方法：错位相减、裂项求和、分组转化求和。
【重点难点】
1、 错位相减法、裂项相消法、分组转化法求和
2、 转化与化归思想、分类讨论思想的渗透
【新课导入】
公式法： 直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和
（1）等差数列的前n 项和公式：S n = = （其中a 1为首项，d 为公差）
（2）等比数列的前n 项和公式：
①当q=1时，S n = （ 其中a 1为首项，q 为公比）
②当q ≠1时，S n = =
【新课探究】
探究一：错位相减法求和
例1：（1）求数列{121-⋅
n n }的前n 项和； （2）求数列{1-n nx }的前n 项和；
变式1：已知首项都是1的两个数列{n a },{),0}(+∈≠N n b b n n 满足0211=+-++n n n n n n b b b a b a
（1） 令n
n n b a c =，求数列{n c }的通项公式； （2） 若13
-=n n b ，求数列{n a }的前n 项和n S
【小结错位相减法】
探究二 裂项相消法求和
例2：求和：(1) )
1(1431321211+⨯++⨯+⨯+⨯n n （2）
)2(1531421311+⨯++⨯+⨯+⨯n n
变式2：数列{n a }的前n 项和)(12+∈+=N n n S n
(1) 求数列{n a }的通项公式；
(2) 设1
1+⋅=
n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和n T
【小结裂项相消法】
探究三 分组转化法求和
例3：求和：（1）n
n n n S 2128254923+⋅++++= （2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++
=
变式3：（1）求数列 ,8
1,4,41,2,21,1的前2n 项和n S 2 （2）数列{}n a 中，)(,)1(1,2,1221++∈-+=-==N n a a a a n n n ，求前n 项和n S
【小结分组求和法】
课后训练
（1）求数列{n n 3)12(⋅-}的前n 项和
（2）求数列{)
23()13(1+⋅-n n }的前n 项和。
