高中数学人教A版选修4-5 2.1比较法 同步训练 (4)

第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒a b ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的ab ＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝⎛⎭⎫27348＝⎝⎛⎭⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a 2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( ) A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3 B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3 C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3 D ．不能确定 解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a－b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a 的大小关系是______________． 答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________． 解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝⎛⎭⎫a 2b 12＋⎝⎛⎭⎫b2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以a b ＋ba －(a ＋b )≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .证法二 左边－右边＝a b ＋ba －(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝（a －b ）（a －b ）ab ＝（a ＋b ）（a －b ）2ab ≥0，所以a b ＋ba≥ a ＋b .证法三 左边右边＝a b ＋ba a ＋b ＝（a ）3＋（b ）3ab （a ＋b ）＝a ＋b －ab ab ＝1＋（a －b ）2ab ≥1，所以a b ＋ba≥ a ＋b .三层练习12．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明：∵2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝(2a 3－2ab 2)＋(a 2b －b 3)＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )．又∵a ≥b >0，∴a ＋b >0，a －b ≥0，2a ＋b >0， ∴(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0， ∴2a 3－b 3－2ab 2－a 2b ≥0， ∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .13．设不等式|2x －1|<1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 解析：(1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1， 解得 0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1，0<b <1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b .14．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 证明：由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． 当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0； 当a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．。

＜ a＜b⇔a－b________0
练习1：比较下面两个代数式值的大小：
x2与x2－x＋1； 解析：当x＝1时x2＝x2－x＋1； 当x＞1时x2＞x2－x＋1； 当x＜1时x2＜x2－x＋1； 练习2：比较下面两个代数式值的大小： x2＋x＋1与(x＋1)2.
解析：当x＝0时x2＋x＋1＝(x＋1)2；
10. 若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则abc与
答案：abc≤
的大小关系
三层练习
11．若 a，b
a21 b21 均为正数，求证： ＋ b 2 a 2≥
a＋ b.
分析：可用三种方法来证明．证法一：将不等式左边通 分后， 可以看到分子化为( a)3＋( b)3 的形式， 结合右边 a＋ b的形式，可考虑用差比法．证法二：作差后局部通分．证 法三：不等式两边都是正值，且左式通分后与右式有公因式， 可考虑用商比法．
跟踪训练
已知 a≥1，求证： a＋1－ a＜ a－ a－1.
分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判 断差的符号，故可用求差法进行证明．又因为a≥1，所以 不等式两边都大于0，故还可以用作商法进行证明．
解析：证法一：∵( a＋1－ a)－( a－ a－1) 1 1 ＝ － a＋1＋ a a＋ a－1 ＝ ∴ a－1－ a＋1 a＋1＋ a a＋ a－1 ＜0，
当x＞0时；x2＋x＋1＜(x＋1)2； 当x＜0时x2＋x＋1＞(x＋1)2；
已知a＜b＜c，求证a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2. 证明：因为a＜b＜c，
所以a－b＜0，b－c＜0，a－c＜0，
所以(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2) ＝(a2b－ca2)＋(b2c－bc2)＋(ac2－ab2) ＝(b－c)[a2－a(b＋c)＋bc] ＝(b－c)(a－b)(a－c)＜0，

一 比较法练习1．下列四个数中最大的是（ ) A ．lg2 B ．C ．(lg2）2D ．lg （lg2）2．已知a ，b 都是正数，P，Q ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ≤Q 3．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab ＜b 2＜1 B ．1122loglog 0b a <<C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1 4．如果log a 3＞log b 3且a ＋b ＝1,那么( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．1＜a ＜bD ．1＜b ＜a5．已知a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,m，n 则m 与n的大小关系是（ ）A ．m ＜nB ．m ＞nC ．m ≥nD ．m ≤n 6．若－1＜a ＜b ＜0，则1a ,1b,a 2，b 2中值最小的是________．7．设a ＞b ＞c ＞0，x ＝y ＝z 则x ，y ，z 的大小关系为__________．8．设A ＝1122a b +，B ＝2a b+（a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系为________．9．设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，求证:a a b b＞2()a bab +.10．设a ，b 为非负实数,求证：a 3＋b 322)a b +．参考答案1. 答案：A 因为lg2＞lg 2，（lg2)2＝lg2·lg2＜lg2,而lg(lg2)＜0,所以lg2最大．2. 答案:D ∵a ，b 都是正数， ∴P ＞0，Q ＞0. ∴P 2－Q 2＝2()2a b +－2()a b + ＝2()2a b --≤0。

∴P 2－Q 2≤0.∴P ≤Q 。

3．答案：C ∵0＜b ＜a ＜1， ∴ab ＞b ·b ＝b 2，故A 项不正确．∵0＜b ＜1，0＜a ＜1，∴12log b ＞0，12log a ＞0,故B 项不正确．选项D 中，a 2＞ab ，故D 项不正确．而选项C 正确，故选C.4。

第二讲证明不等式的基本方法1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解.2.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法・，利用代数恒等变换以及放大.缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法.分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的.但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景.所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中.2. 1 比较法1.了解用作差比较法证明不等式.2.了解用作商比较法证明不等式.3.提高综合应用知识解决问题的能力.1.作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a > bUa——b_____ 0a=b0a—b0a < b0a——b_____ 0答案：> =<思考1比较两个代数式值的大小：X与X2-x+l.解析：当x=l时，x2=x2—x+1;当X>1 时，x2>x2—x+1; 当X<1 时，x2<x2—x+l.2.作商法:由于当方>0时，a>b今¥>\,因此要证明a>b(b>0)9可以转化为证明与之等价的f>l(^>0),这种证明方法即为作商法.思考2求证：1618>1816-证明:釦分层演探日圍画国］1.设m=a~\-2bf〃=a+Z/+i,贝0( )A・m>n B・m三n C・m<n D・mWn答案:D2・已知实数a, b, c 满足b+c=6—4a+3/, c—方=4—4。

第二讲DIERJIANG 证明不等式的基本方法一 比较法课后篇巩固探究1.若A=1x 2+3与B=1x +2,则A ,B 的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A ≥BD.不确定A-B=1x 2+3-(1x +2)=(1x -12)2+34≥34>0,所以A>B.2.若a>2,b>2,则( ) A.a+b>abB.a+b<abC.a+b ≥abD.a+b ≤ab=1a +1b ,因为a>2,b>2,所以1a <12,1b <12.因此a+b ab =1a +1b <1,故a+b<ab.3.若α,β∈(0,π2),记M=sin αcos β,N=sin α+cos β-1,则M 与N 的大小关系是( )A.M>NB.M<NC.M=ND.大小关系不确定M-N=sin αcos β-(sin α+cos β-1)=(sin α-1)(cos β-1),而α,β∈(0,π2),所以(sin α-1)(cos β-1)>0,故M>N.4.已知a ,b 都是正数,P=√a+√b √2,Q=√a +b ,则P ,Q 的大小关系是( ) A.P>QB.P<QC.P ≥QD.P ≤Qa ,b 都是正数,∴P>0,Q>0. ∴P 2-Q 2=(√a+√b √2)2-(√a +b )2=-(√a -√b)22≤0(当且仅当a=b 时,等号成立).∴P2-Q2≤0.∴P≤Q.5.导学号26394030若q>0,且q≠1,m,n∈N+,则1+q m+n与q m+q n的大小关系是()A.1+q m+n>q m+q nB.1+q m+n<q m+q nC.1+q m+n=q m+q nD.不能确定+q m+n-(q m+q n)=1+q m+n-q m-q n=(1-q m)+q n(q m-1)=(1-q m)(1-q n).若0<q<1,由m,n∈N+,知0<q m<1,0<q n<1,∴1-q m>0,1-q n>0,∴(1-q m)(1-q n)>0.若q>1,由m,n∈N+,知q m>1,q n>1,∴1-q m<0,1-q n<0,∴(1-q m)(1-q n)>0.综上可知1+q m+n-(q m+q n)>0,即1+q m+n>q m+q n.6.当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系是.x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),又x>1,∴x-1>0,x2+1>0.∴x3-(x2-x+1)>0,即x3>x2-x+1.3>x2-x+17.若x∈R,则x 2+2x+1x2+1与2的大小关系是.解析因为x 2+2x+1x2+1-2=x2+2x+1−2x2-2x2+1=-(x-1)2x2+1≤0,所以x2+2x+1x2+1≤2.28.若a>b>c,求证bc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.bc2+ca2+ab2)-(b2c+c2a+a2b)=(bc2-c2a)+(ca2-b2c)+(ab2-a2b)=c2(b-a)+c(a+b)(a-b)+ab(b-a)=(b-a)(c2+ab-ca-cb)=(b-a)(c-a)(c-b).因为a>b>c,所以b-a<0,c-a<0,c-b<0,从而(b-a)(c-a)(c-b)<0,故bc2+ca2+ab2<b2c+c2a+a2b.9.导学号26394031若a,b>0,求证:a2b b2a≤(ab)a+b.a,b>0,所以a2b b2a>0,(ab)a+b>0.又a 2b b 2a (ab)a+b =a b-a ·b a-b =(b a )a -b,当a=b 时,(b a )a -b =10=1;当a>b>0时,0<b a <1,a-b>0,所以(b a )a -b<1;当b>a>0时,b a >1,a-b<0,所以(b a )a -b<1.所以a 2b b2a (ab)a+b =(b a )a -b≤1.综上可知a 2b b 2a ≤(ab )a+b .10.导学号26394032已知θ∈(π4,π2),且a=cos 2θ,b=cosθ-sin θ,试比较a 与b 的大小.θ∈(π4,π2),所以2θ∈(π2,π).所以a=cos 2θ<0,且cos θ<sin θ,所以b<0.因为ab =cos2θcosθ-sinθ=cos 2θ-sin 2θcosθ-sinθ=cos θ+sin θ=√2sin (θ+π4),又θ∈(π4,π2),所以θ+π4∈(π2,3π4),所以sin (θ+π4)∈(√22,1).所以√2sin (θ+π4)∈(1,√2).即ab >1,故a<b.。

第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课 不 等 式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________． 答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32， 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值． 故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时． 解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2， 即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)． 思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立． 答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立， 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一 当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________． 解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错． 答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2； 当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______． 答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______． 答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法 答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾． 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。

第二讲证明不等式的基本方法2.1 比较法A级基础巩固一、选择题1．若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为() A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q解析：因为p－q＝b2a＋a2b－a－b＝（b－a）2（b＋a）ab≤0，所以p≤q.答案：B2．已知a，b都是正数，P＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是()A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q解析：因为a，b都是正数，所以P＞0，Q＞0.所以P2－Q2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫a＋b22－(a＋b)2＝－（a－b）22≤0.所以P2－Q2≤0.所以P≤Q.答案：D3．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列一定正确的是( )A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c解析：因为log a c ·log b c ＝（lg c ）2lg a ·lg b ＝4，所以lg 2c ＝4lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )2＝(lg ab )2. 又c ＞1，a ＞1，b ＞1， 所以lg c ≤lg ab ，即c ≤ab . 答案：B4．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为( )A ．a 5＞b 5B ．a 5＜b 5C ．a 5＝b 5D ．不确定解析：由等比数列的性质知a 5＝a 23a 1，由等差数列的性质知b 5＝2b 3－b 1.又a 1≠a 3，故a 5－b 5＝a 23a 1－2b 3＋b 1＝a 23－2a 3a 1＋a 21a 1＝（a 3－a 1）2a 1＞0.因此，a 5＞b 5. 答案：A5．已知a ＞0且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．大小不确定解析：P －Q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当0＜a ＜1时，0＜a 3＋1＜a 2＋1，0＜a 3＋1a 2＋1＜1，所以log a a 3＋1a 2＋1＞0，即P －Q ＞0，所以P ＞Q .当a ＞1时，a 3＋1＞a 2＋1＞0，a 3＋1a 2＋1＞1，所以log a a 3＋1a 2＋1＞0，即P －Q ＞0，所以P ＞Q .故应选A.答案：A 二、填空题6．若－1＜a ＜b ＜0，则1a ，1b ，a 2，b 2中最小的是________．解析：依题意，有1a ＞1b ，a 2＞b 2，故只需比较1b 与b 2的大小．因为b 2＞0，1b＜0，所以1b ＜b 2.所以1a ，1b ，a 2，b 2中最小的是1b .答案：1b7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a ，b 应满足的条件是________．解析：由x ＞y 得a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2＞0，故a ＝－2，b ＝－12不同时成立．答案：a ＝－2，b ＝－12不同时成立8．若0＜a ＜b ＜1，P ＝log 12⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝log 12(a ＋b )，则P ，Q ，M 的大小关系是________．解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以a ＋b2＞ab ，所以log 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2＜log 12ab ＝12log 12 (ab )＝ 12(log 12a ＋log 12b )，即P ＜Q ，又a ＋b 2＜a ＋b ，所以log 12a ＋b2＞log 12(a ＋b )，即P ＞M ，所以Q ＞P ＞M . 答案：Q ＞P ＞M 三、解答题9．已知a ∈R ，求证：3(1＋a 2＋a 4)≥(1＋a ＋a 2)2.证明：3(1＋a 2＋a 4)－(1＋a ＋a 2)2＝3(1＋a 2＋a 4)－(1＋a 2＋a 4＋2a ＋2a 3＋2a 2)＝2－2a －2a 3＋2a 4＝2(1－a )2(1＋a ＋a 2)≥0，即3(1＋a 2＋a 4)≥(1＋a ＋a 2)2.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.证明：因为a ，b ，c 是正数，不妨设a ≥b ≥c ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1.因为a ab bc c（abc ）a ＋b ＋c3＝a 2a －b －c 3b2b －a －c 3c2c －a －b3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1，所以a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.B 级 能力提升1．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，m ＝ac －bd ，n ＝（a －b ）（c －d ），则m 与n 的大小关系是( ) A ．m ＜n B ．m ＞n C ．m ≥nD ．m ≤n解析：因为a ＞b ＞0，c ＞d ＞0， 所以ac ＞bd ＞0，ac ＞bd ， 所以m ＞0，n ＞0.又因为m 2＝ac ＋bd －2abcd ，n 2＝ac ＋bd －(ad ＋bc )， 又由ad ＋bc ＞2abcd ， 所以－2abcd ＞－ad －bc ， 所以m 2＞n 2，所以m ＞n . 答案：B2．已知a ＞0，对于大于1的自然数n ，总有n －1a n＜na n ＋1，则a 的取值范围是________．解析：因为0＜a nn －1＜a n ＋1n，且nn －1＞n ＋1n ，所以0＜a ＜1.答案：(0，1)3．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )·(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0. 从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log a b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)成立知所要证明的不等式成立．。

课后导练基础达标1设t=a+2b,s=a+b 2+1,则t 与s 的大小关系是（ ）A.t>sB.t ≥sC.t<sD.t ≤s 解析:∵s=a+b 2+1≥a+2b=t,故选D.答案:D2设a,b ∈R +,且a ≠b,n ∈N *，则ab n +a n b-a n+1-b n+1的值（ ）A.恒为正B.恒为负C.与a,b 的大小有关D.与n 的奇偶性有关解析:∵ab n +a n b-a n+1-b n+1=a n (b-a)+b n (a-b)=-(a-b)(a n -b n ),当a>b>0时，a n >b n ;当0<a<b 时，a n <b n ,∴-(a-b)(a n -b n )<0.故选B.答案:B3下列命题中，真命题是（ ）①当b>0时，a>b ⇔b a >1 ②当b>0时，a<b ⇔ba <1 ③当a>0,b>0时，b a >1⇔a>b ④当ab>0时，ba >1⇔a>b A.①②③ B.①②④C.④D.①②③④解析:①正确.∵b>0,∴b1>0. 又∵a>b,∴a ×b 1>b ×b 1,即ba >1. 反之，∵ba >1,b>0, ∴b a ×b>1×b,即a>b.同理，可证②③正确，④错.∵若令a=-2,b=-1,则ba =2>1,但a<b. 答案:A4在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1=b 1>0,a 3=b 3>0,a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为（ ）A.a 5>b 5B.a 5=b 5C.a 5<b 5D.不确定解析:∵a 32=a 1a 5,2b 3=b 1+b 5, ∴a 5=123a a ,b 5=2b 3-b 1=2a 3-a 1, a 5-b 5=123a a -(2a 3-a 1)=1213)(a a a -. ∵a 1≠a 3,∴(a 3-a 1)2>0. 又a 1>0,∴1213)(a a a ->0.故a 5>b 5. 答案:A5设ab>0且d c >ba ,则下列各式中成立的是( ) A.bd<ad B.bc>ad C.a b c d > D.ab c d < 解析:∵ab>0,∴ba >0. 把d c >b a 两边同除以b a 得adbc >1. 由题意d c >b a >0,则c,d 同号. 但a,d 不一定同号.若a,d 同号,则ad>0.∴bc>ad.故A 错.若a,d 异号,则ad<0.∴bc<ad,则B 错. 由d c >b a >0,根据函数f(x)=x1在x ∈(0,+∞)上单调递减,∴a b c d < 答案:D综合应用6已知a,b,c 均大于1,且log a c ·log b c=4,则下列各式中,一定正确的是( )A.ac ≥bB.ab ≥cC.bc ≥aD.ab ≤c解析:∵log a c ·log b c=4,∴1=4log c a ·log c b ≤4·(2log log b a c c +)2 =log c 2ab,即log c 2ab ≥1.又a,b,c 均大于1,∴log c ab>0.∴log c ab ≥1.∴ab ≥c.答案:B7a 克糖水中,含有b 克糖(b<a),向糖水中加入m 克糖,糖水就比原来变甜了.这一现象用一个不等式表示为________________.解析:这是糖水浓度变高了. 原来的浓度为a b ,现在的浓度为ma mb ++. 答案:m a m b ++>a b 8已知a 、b 、m 都是正数，并且a<b,求证:m b m a ++>ba .证明:m b m a ++-ba =)()()()()(mb b a b m m b b m b a m a b +-=++-+, ∵a,b,m 都是正数，且a<b,∴b+m>0,b-a>0. ∴,0)()(>+-m b b a b m 即ba mb m a >++. 9已知a,b,c 均为正数，求证:ac c b b a c b a +++++≥++111212121. 证明:)(4)()(44)()(141412b a ab b a b a ab ab b a a b a b b a b a +-=+-+++=+-+≥0, 同理，)(4)(14141,0)(4)(1414122c a ac a c a c a c c b bc c b c b c b +-=+-+≥+-=+-+≥0, 各式相加即可证.拓展探究10已知a+b>0,n ∈N *且为偶数，证明b a b a a b n n n n 1111+≥+--. 证明: nn n n n n n n n ab b a b a b a b a a b )())((111111------=--+. (1)当a>0,b>0时，不妨设a ≥b>0,则a n ≥b n ,a n-1≥b n-1,(ab)n >0, ∴n n n n n ab b a b a )())((11----≥0. ∴ba b a a b n n n n 1111+≥+--. (2)当a,b 有一个负值时，不妨设a>0,b<0.∵a+b>0,n ∈N *且为偶数，∴a>-b=|b|>0,a n >|b|n =b n .而b n-1<0,∴a n-1-b n-1>0.又∵(ab)n>0,∴n n n n n ab b a b a )())((11---->0, 即b a ba ab n n n n 1111+>+--. 综合(1)(2)，得ba b a a b n n n n 1111+≥+--. 备选习题11已知0<x ≠1,p,q ∈N *,那么( )A.1+x p+q <x p +x qB.1+x p+q >x p +x qC.1+x p+q ≤x p +x qD.1+x p+q ≥x p +x q 解析:1+x p+q -(x p +x q )=x p (x q -1)+(1-x q )=(x q -1)(x p -1). 当0<x<1时,∵p,q ∈N *,则x q <1,x p <1.∴(x q -1)(x p -1)>0.当x>1时,∵p,q ∈N *,同理,(x q -1)(x p -1)>0.总之,1+x p+q >x p +x q .答案:B12已知a<b<0,c<0,则(a-2)c____________(b-2)c. 解析:∵a<b<0,∴a-2<b-2<0.又∵c<0,∴(a-2)c>(b-2)c.答案:>13若n>0，则24n 与3-n 的大小关系是________________-. 解析:222222)2)(1(34)3(4n n n n n n n n -+=+-=--≥0,∴24n ≥3-n. 答案:24n ≥3-n 14已知a,b ∈R ,则a 2+b 2与2(2a-b)-5的大小关系是_______________. 解析:∵a 2+b 2-2(2a-b)+5=(a-2)2+(b+1)2≥0, ∴a 2+b 2≥2(2a-b)-5. 答案:a 2+b 2≥2(2a-b)-5 15设0<a<21,f(x)=2x 2-3x,则f(a)与f(1-a)的大小关系是_____________. 解析:作差f(a)-f(1-a) =(2a 2-3a)-［2(1-a)2-3(1-a)］ =2［a 2-(1-a)2］+3(1-a)-3a =1-2a.∵0<a<21, ∴-1<-2a<0.∴1-2a>0.∴f(a)-f(1-a)>0,即f(a)>f(1-a).答案:f(a)>f(1-a)16已知ab ≠0,试比较22b a +与333b a +的大小. 解析:∵ab ≠0,∴22b a +>0. 当333b a +<0时,22b a +>333b a +; 当333b a +≥0时, (22b a +)6-(333b a +)6=(a 2+b 2)3-(a 3+b 3)2 =a 2b 2(3a 2+3b 2-2ab). ∵(a-b)2≥0,ab ≠0, ∴2(a 2+b 2)+(a-b)2>0. ∴3a 2+3b 2-2ab>0. ∴a 2b 2(3a 2+3b 2-2ab)>0. ∴22b a +>333b a +.。

自主广场我夯基我达标1.下列关系中对任意a<b<0的实数都成立的是 ……（ ）A.a 2<b 2B.lgb 2<lga 2C.a b>1 D.(21)2a >(21)2b思路解析:∵a<b<0,∴-a>-b>0.(-a)2>(-b)2>0,即a 2>b 2>0. ∴22a b <1.又lgb 2-lga 2=lg 22a b <lg1=0.∴lgb 2<lga 2.答案:B2.已知a>0且a≠1,P=log a (a 3+1),Q=log a (a 2+1),则P,Q 的大小关系是（） A.P>Q B.P<QC.P=QD.大小不确定思路解析:P-Q=log a (a 3+1)-log a (a 2+1)=log a 1123++a a .当0<a<1时,0<a 3+1<a 2+1,0<1123++a a <1,∴log a 1123++a a >0.即P-Q>0,∴P>Q.当a>1时,a 3+1>a 2+1>0, 1123++a a >1,∴log a 1123++a a >0.即P-Q>0,∴P>Q.答案:A3.a,b 都是正数,P=2ba +,Q=b a +,则P,Q 的大小关系是（ ）A.P>QB.P<QC.P≥QD.P≤Q思路解析:∵a,b 都是正数,∴P>0,Q>0.∴P 2-Q 2=(2ba +)2-(b a +)2 =2)(2b a --≤0.∴P 2-Q 2≤0.∴P≤Q.答案:D4.已知0<x<1,a=x 2,b=1+x,c=x-11,则其中最大的是（ ） A.a B.b C.c D.不能确定思路解析:因为0<x<1,所以a>0,b>0,c>0,又a 2-b 2=(x 2)2-(1+x)2=-(1-x)2<0,所以a 2-b 2<0,a<b.又c-b=x-11-(1+x)=x x -12>0, 所以c>b,所以c>b>a.答案:C5.已知a,b,c,d ∈{正实数}且b a <dc ,则（ ） A.b a <d b c a ++<dc B.d b c a ++<b a <d c C.b a <d c <d b c a ++ D.以上均可能 思路解析:因为b a -)(d b b bc ad d b c a +-=++. 又因为a,b,c,d ∈{正实数}且b a <dc ， 所以)(d b b bc ad +-,<0.所以db c a b a ++<. 又因为d d b bc ad d c d b c a •+-=-++)(<0,所以d c d b c a <++. 答案:A6.若-1<a<b<0,则a 1,b1,a 2,b 2中值最小的是____________. 思路解析:依题意,知a 1>b 1,a 2>b 2,故只需比较b1与b 2的大小. 因为b 2>0, b 1<0,∴b1<b 2. 答案:b 1 7.已知x ∈R ,求证:1+2x 4≥x 2+2x 3.证法一:1+2x 4-(x 2+2x 3)=2x 3(x-1)-(x-1)(x+1)=(x-1)(2x 3-x-1)=(x-1)2(2x 2+2x+1)=(x-1)2［(x+1)2+x 2］≥0,即1+2x 4-(x 2+2x 3)≥0.所以1+2x 4≥x 2+2x 3.证法二:1+2x 4-(x 2+2x 3)=x 4-2x 3+x 2+x 4-2x 2+1=x 2(x-1)2+(x 2-1)2≥0.即1+2x 4-(x 2+2x 3)≥0.所以1+2x 4≥x 2+2x 3.8.已知a>b>c>0,求证:a 2a b 2b c 2c >a b+c b a+c c a+b .证明:由a>b>c>0,得a b+c b c+a c a+b >0. 作商b a a c c b cc b b a a b a a c c b c b a cc b b a a c c b b a a c b a c b a =+++222 =a a-b a a-c b b-c b b-a c c-a c c-b =(b a )a-b (c a )a-c (cb )b-c . 由a>b>c>0,得a-b>0,a-c>0,b-c>0, 且b a >1,c a >1,cb >1. ∴(b a )a-b (c a )a-c (c b )b-c >1. ∴a 2a b 2b c 2c >a b+c b c+a c a+b .9.已知x>0,x≠1,m>n>0,比较:x m +mx 1与x n +n x 1的大小. 解:x m +m x1-(x n +n x 1) =x m -x n +m x 1-n x 1 =x m -x n +mn m n x x x +- =(x m -x n )(1-n m x +1).当0<x<1时,由m>n>0,知x m <x n 且x m+n <1,则有1-n m x +1<0, 所以(x m -x n )(1-n m x +1)>0.当x>1时,由m>n>0,知x m >x n 且x m+n >1,则有1-n m x +1>0.所以(x m -x n )(1-nm x +1)>0.综上所述:x m +m x1>x n +n x 1. 我综合我发展10.已知a ∈R ,b ∈R ,且a≠b,在①a 2+3ab>2b 2;②a 5+b 5>a 3b 2+a 2b 3;③a 2+b 2≥2(a -b-1);④b a +a b >2.四个式子中恒成立的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个思路解析:①④举反例很容易排除,对②利用作差法a 5+b 5-a 3b 2-a 2b 3=a 3(a 2-b 2)-b 3(a 2-b 2)=(a 2-b 2)(a 3-b 3)=(a-b)2(a+b)(a 2+ab+b 2),因为(a-b)2>0,a 2+ab+b 2>0,而a+b 的符号是不确定的,故差值符号不能确定,因此②不正确.对于③a 2+b 2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，故a 2+b 2≥2(a -b+1),故③正确.综合以上分析,只有③正确.答案:D11.已知x=bt a a t b 22)()(---,y=a-b,其中a,b 均为正数,t ∈R ,则下列结论成立的是（ ） A.当a≤b 时,x≥y B.当a≤b 时,x≤yC.x≥yD.x≤y.思路解析:x-y=at b 2)(--a+b-b t a 2)(- =bt a b t b a a a t b t b a ))(())((+--++---+ =abt b a )(-+(b 2-a 2+at-bt)=ab t b a 2)(-+·(b-a), 故当a≤b 时,x≥y.答案:A12.设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<a 1,当x ∈(0,x 1)时,求证:x<f(x)<x 1.证明:令F(x)=f(x)-x=ax 2+(b-1)x+c.由x 1,x 2是方程f(x)-x=0的两根,则F(x)=a(x-x 1)(x-x 2).又∵x ∈(0,x 1),由0<x 1<x 2<a1,a>0, ∴F(x)=a(x-x 1)(x-x 2)>0,∴f(x)-x>0,∴f(x)>x.又∵x 1-f(x)=x 1-［x+F(x)］=x 1-x-a(x-x 1)(x-x 2)=a(x 1-x)［a1+x-x 2］, 又∵0<x 1<x 2<a1, ∴x 1-x>0,a 1+x-x 2>0.∴x 1-f(x)>0,∴x 1>f(x).故x<f(x)<x 1.13.求证:|log a (1-tanx)|>|log a (1+tanx)|,其中a>0,a≠1,x ∈(0,4π). 证明:由x ∈(0,4π),∴tanx ∈(0,1). ∴1-tanx ∈(0,1),1+tanx ∈(1,2).∵|log a (1-tanx)|>0,|log a (1+tanx)|>0,|)tan 1(log ||)tan 1(log |x x a a +-=|log (1+tanx)(1-tanx)| =-log (1+tanx)(1-tanx)=log (1+tanx)xtan 11- =log (1+tanx)tan)1)(tan 1(tan 1+-+x x =1+log (1+tanx)x2tan 11-. ∵1+tanx>1,0<1-tan 2x<1, ∴x2tan 11->1. ∴1+log (1+tanx)x 2tan 11->1. ∴|log a (1-tanx)|>|log a (1+tanx)|.14.设函数f(x)=12+x -ax,其中a>0.若函数f(x)在［0,+∞)上是单调函数,求a 的取值范围. 解:设取x 1,x 2∈［0,+∞),且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=112221+-+x x -a(x 1-x 2) =1122212221+++-x x x x -a(x 1-x 2)=(x 1-x 2)(11222121++++x x x x -a). (1)当a≥1时,由11222121++++x x x x <1,易知f(x 1)>f(x 2),所以,当a≥1时,函数f(x)在区间［0,+∞)上是单调递减函数.(2)当0<a<1时,在区间［0,+∞)上存在两点x 1=0,x 2=212aa -,满足f(x 1)=f(x 2)=1,从而f(x)在［0,+∞)不是单调函数.∴所求a 的取值范围是a ∈［1,+∞).15.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,a 3=7,S 4=24.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设p,q 是正整数,且p≠q,求证:S p+q <21(S 2p +S 2q ).(1)解:设等差数列{a n }的公差是d,依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得a 1=3,d=2. ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d=2n+1.(2)证明:∵a n =2n+1,∴S n =2)(1n a a n +=n 2+2n. ∵2S p+q -(S 2p +S 2q )=2［(p+q)2+2(p+q)］-(4p 2+4p)-(4q 2+4q)=-2(p-q)2, 而p≠q,故2S p+q -(S 2p +S 2q )<0.∴S p+q <21(S 2p +S 2q ).。

2.1 比较法（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、已知a ＞2，b ＞2，则( )A ．ab ≥a ＋bB ．ab ≤a ＋bC ．ab ＞a ＋b D.ab ＜a ＋b2．已知a ＞b ＞－1，则1a ＋1与1b ＋1的大小关系为( ) A.1a ＋1＞1b ＋1B.1a ＋1＜1b ＋1C.1a ＋1≥1b ＋1D.1a ＋1≤1b ＋1 3．a ，b 都是正数，P ＝a ＋b 2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ≥QD.P ≤Q4．下列四个数中最大的是( ) A ．lg 2B ．lg 2C ．(lg 2)2 D.lg(lg 2) 5．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．ab ＜b 2＜1B ．1122log log 0b a <<C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜16、在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系是( )A ．a 5<b 5B ．a 5>b 5C ．a 5＝b 5D.不确定二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P >Q ，则实数a ，b 满足的条件为________.8、若x ＜y ＜0，M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，则M ，N 的大小关系为________．9、2a 1＋a 2与1的大小关系为________． 10．已知a ＞0,1＞b ＞0，a －b ＞ab ，则1＋a 与11－b 的大小关系是________．三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11、已知a<b<c，求证：a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.12、已知a＞2，求证：log a(a－1)＜log(a＋1)a.13．已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n 与b n的大小，并说明理由．。

- 1 -第二讲 证明不等式的基本方法2.1 比较法A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＜0，b ＜0，则p ＝b 2a＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q 解析：因为p －q ＝b 2a＋a 2b－a －b ＝（b －a ）2（b ＋a ）ab≤0，所以p ≤q .答案：B2．已知a ，b 都是正数，P ＝a ＋b2， Q ＝a ＋b ，则P ，Q的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ≤Q- 1 -解析：因为a ，b 都是正数， 所以P ＞0，Q ＞0.所以P 2－Q 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－(a ＋b )2＝－（a －b ）22≤0. 所以P 2－Q 2≤0.所以P ≤Q . 答案：D3．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列一定正确的是( )A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c 解析：因为log a c ·log b c ＝（lg c ）2lg a ·lg b ＝4，所以lg 2c ＝4lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )2＝(lg ab )2. 又c ＞1，a ＞1，b ＞1， 所以lg c ≤lg ab ，即c ≤ab . 答案：B4．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为( )A ．a 5＞b 5B ．a 5＜b 5- 1 -C ．a 5＝b 5D ．不确定解析：由等比数列的性质知a 5＝a 23a 1，由等差数列的性质知b 5＝2b 3－b 1.又a 1≠a 3，故a 5－b 5＝a 23a 1－2b 3＋b 1＝a 23－2a 3a 1＋a 21a 1＝（a 3－a 1）2a 1＞0.因此，a 5＞b 5. 答案：A5．已知a ＞0且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．大小不确定解析：P －Q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log aa 3＋1a2＋1.当0＜a ＜1时，0＜a 3＋1＜a 2＋1，0＜a 3＋1a2＋1＜1，所以log aa 3＋1a 2＋1＞0，即P －Q ＞0，所以P ＞Q .当a ＞1时，a3＋1＞a 2＋1＞0，a 3＋1a2＋1＞1，所以log aa 3＋1a2＋1＞0，即P －Q ＞0，所以P- 1 -＞Q .故应选A.答案：A 二、填空题6．若－1＜a ＜b ＜0，则1a ，1b， a 2，b 2中最小的是________．解析：依题意，有1a ＞1b ，a 2＞b 2，故只需比较1b与b 2的大小．因为b 2＞0，1b＜0，所以1b ＜b 2.所以1a ，1b ，a 2，b 2中最小的是1b.答案：1b7．设x ＝a 2b 2＋5， y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a ，b 应满足的条件是________．解析：由x ＞y 得a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2＞0，故a ＝－2，b ＝－12不同时成立．答案：a ＝－2，b ＝－12不同时成立- 1 -8．若0＜a ＜b ＜1，P ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M＝log 12(a ＋b )，则P ，Q ，M 的大小关系是________．解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以a ＋b2＞ab ，所以log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜log 12ab ＝12log 12(ab )＝12(log 12a ＋log 12b )，即P ＜Q ，又a ＋b2＜a ＋b ， 所以log12a ＋b2＞log 12(a ＋b )，即P ＞M ，所以Q ＞P ＞M .答案：Q ＞P ＞M 三、解答题9．已知a ∈R，求证：3(1＋a 2＋a 4)≥(1＋a ＋a 2)2.证明：3(1＋a 2＋a 4)－(1＋a ＋a 2)2＝3(1＋a 2＋a 4)－(1＋a 2＋a 4＋2a ＋2a 3＋2a 2)＝2－2a －2a 3＋2a 4＝2(1－a )2(1＋a ＋a 2)≥0，即3(1＋a 2＋a 4)≥(1＋a ＋a 2)2.- 1 -10．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.证明：因为a ，b ，c 是正数，不妨设a ≥b ≥c ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a3≥1. 因为a ab bc c（abc ）a ＋b ＋c3＝a 2a －b －c 3b2b －a －c 3c2c －a －b3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a3≥1，所以a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c3.B 级 能力提升1．已知a ＞b ＞0， c ＞d ＞0，m ＝ac －bd ，n ＝（a －b ）（c －d ），则m 与n 的大小关系是( ) A ．m ＜n B ．m ＞n C ．m ≥nD ．m ≤n解析：因为a ＞b ＞0，c ＞d ＞0， 所以ac ＞bd ＞0，ac ＞bd ，所以m ＞0，n ＞0.- 1 -又因为m 2＝ac ＋bd －2abcd ，n 2＝ac ＋bd －(ad ＋bc )， 又由ad ＋bc ＞2abcd ， 所以－2abcd ＞－ad －bc ， 所以m 2＞n 2，所以m ＞n . 答案：B2．已知a ＞0，对于大于1的自然数n ，总有n －1a n ＜na n ＋1，则a 的取值范围是________．解析：因为0＜a nn －1＜a n ＋1n，且n n －1＞n ＋1n，所以0＜a ＜1. 答案：(0，1)3．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1， 所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy ) 2.将上式中的右式减左式，得y ＋x ＋(xy )2]－xy (x ＋y )＋1]＝(xy )2－1]－xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )·(xy －1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由换底公式得log c a＝1xy，log b a＝1x，log ab＝1y，log ac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)成立知所要证明的不等式成立．- 1 -。

第二讲 一 比较法提能达标过关一、选择题1.m －1与m 的大小关系是( ) A.m －1>m B.m －1<m C.m －1＝mD ．不确定解析：∵m －1≥0，∴m ≥1，∵m 2－(m －1)＝m 2－m ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋34>0，∴m 2>m －1，∴m >m －1.答案：B2．设a >0，b >0，下列不等式中不正确的是( ) A ．a 2＋b 2≥2abB.b a ＋a b≥2 C.b 2a ＋a 2b≥a ＋b D.1a ＋1b ≤1a ＋b解析：∵a >0，b >0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， b 2a ＋a 2b a ＋b ＝a 3＋b 3ab a ＋b ＝a 2－ab ＋b 2ab ≥2ab －abab ＝1， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . ∴B ，C 正确，易知A 正确． 答案：D3．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为( )A ．a 5>b 5B ．a 5<b 5C ．a 5＝b 5D ．不确定解析：由等比数列的性质知，a 5＝a 23a 1，由等差数列的性质知b 5＝2b 3－b 1，∵a 1＝b 1>0，a 3＝b 3，∴a 5－b 5＝a 23a 1－2b 3＋b 1＝a 23－2a 3a 1＋a 21a 1＝a 3－a 12a 1>0，∴a 5>b 5. 答案：A4．(2019·安徽合肥一中月考)已知a ，b 都是正实数，则下列关系式成立的是( )A ．a a b b ＝a b b aB ．a a b b ≥a b b aC ．a a b b <a b b aD ．a a b b ≤a b b a解析：∵a >0，b >0，∴a b b a >0，又a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b， 当a >b >0时，a b >1，且a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b ba b b a >1；当b >a >0时，0<a b <1，且a －b <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b ba b b a >1；当a ＝b 时，a a b ba b ba ＝1.综上所述a a b ba b b a ≥1，∴a a b b ≥a b b a ，故选B.答案：B5．若a ，b 为不相等的正数，则(ab k ＋a k b )－(a k ＋1＋b k ＋1)(k ∈N *)的符号( ) A ．恒正B ．恒负C ．与k 的奇偶性有关D ．与a ，b 大小无关解析：(ab k ＋a k b )－a k ＋1－b k ＋1＝b k (a －b )＋a k (b －a )＝(a －b )(b k －a k )，∵a >0，b >0，若a >b ，则a k >b k ， ∴(a －b )(b k －a k )<0；若a <b ，则a k <b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0. 答案：B 二、填空题6．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a .∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a .答案：c ≥b >a7．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b (a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系是________．解析：A －B ＝12a ＋12b －2a ＋b ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab2ab a ＋b＝a －b 22ab a ＋b，∵a >0，b >0，∴2ab >0，a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴A －B ≥0，即A ≥B . 答案：A ≥B8．设m ＝|a |＋|b ||a ＋b |，n ＝|a －b |||a |－|b ||，那么它们的大小关系是m ________n .解析：mn＝|a |＋|b ||a ＋b ||a －b |||a |－|b ||＝|a |＋|b |||a |－|b |||a ＋b |·|a －b |＝|a 2－b 2||a 2－b 2|＝1，∴m ＝n .答案：＝ 三、解答题9．(2019·四川资阳期中)若0<x <1，证明：|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|(a >0且a ≠1)．证明：证法一：①当a >1时， 因为0<1－x <1,1＋x >1.所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)>0；②当0<a <1时，因为0<1－x <1,1＋x >1，所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)>0.综合①②知|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|. 证法二：|log a (1－x )|－|log a (1＋x )| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1－x lg a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪lg 1＋x lg a ＝|lg 1－x ||lg a |－|lg 1＋x ||lg a |＝|lg 1－x|－|lg 1＋x ||lg a |＝－lg 1－x －lg 1＋x |lg a |＝－lg 1－x 2|lg a |，∵0<x <1，∴0<1－x 2<1，∴lg(1－x 2)<0， ∴－lg 1－x 2|lg a |>0，∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.10．(2019·湖南长郡中学模拟)已知函数f (x )＝|x －1|，关于x 的不等式f (x )<3－|2x ＋1|的解集记为A .(1)求A ；(2)已知a ，b ∈A ，求证：f (ab )＞f (a )－f (b )．解：(1)由f (x )<3－|2x ＋1|，得|x －1|＋|2x ＋1|<3，即⎩⎨⎧x ≤－12，1－x －2x －1<3或⎩⎨⎧－12<x <1，1－x ＋2x ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋2x ＋1<3.解得－1<x ≤－12或－12<x <1，所以，集合A ＝{x ∈R |－1<x <1}． (2)证明：∵a ，b ∈A ，∴－1<ab <1，∴f (ab )＝|ab －1|＝1－ab ，f (a )＝|a －1|＝1－a ，f (b )＝|b －1|＝1－b ， ∵f (ab )－(f (a )－f (b ))＝1－ab －1＋a ＋1－b ＝(1＋a )(1－b )>0， ∴f (ab )>f (a )－f (b )．。

第二讲 证明不等式的基本方法第一节 比较法一、选择题1．若a ，b 为不等的正数，则(ab k ＋a k b )－(a k ＋1＋b k ＋1) (k ∈N *)的符号 ( )． A ．恒正 B ．恒负C ．与k 的奇偶性有关D ．与a ，b 大小无关解析 (ab k ＋a k b )－a k ＋1－b k ＋1＝b k (a －b )＋a k (b －a )＝(a －b )(b k －a k )∵a >0，b >0，若a >b ，则a k >b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0；若a <b ，则a k <b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0.答案 B2．设a 、b 、c 、d 、m 、n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·bm ＋dn ，则有 ()． A ．P ≥Q B ．P ≤QC ．P >QD ．P <Q解析 采用先平方后作差法∵P 2－Q 2＝(ab ＋cd ＋2abcd )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋cd ＋mn ad ＋n m bc＝2abcd －m n ad －n m bc ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫mn ad －nm bc 2≤0，∴P 2≤Q 2，又∵P >0，Q >0，∴P ≤Q .答案 B3．对x 1>x 2>0,0<a <1，记y 1＝x 11＋a ＋ax 21＋a ，y 2＝ax 11＋a ＋x 21＋a ，则x 1x 2与y 1y 2的关系为 ( )．A ．x 1x 2>y 1y 2B ．x 1x 2＝y 1y 2C ．x 1x 2<y 1y 2D ．不能确定，与a 有关答案 C4．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 当a 2>b 2时，a 2－b 2>0，即(a ＋b )(a －b )>0，当a ，b 同为正时，有a >b ；当a 、b同为负时，a <b ，所以当a 2>b 2时，不一定有a >b 成立．反之，当a >b 时，也不一定有a 2>b 2，例如1>－2，而12<(－2)2.答案 D二、填空题5．若c ＞a ＞b ＞0，比较大小：a c －a ________b c －b (填“＞”“＝”或“＜”) 解析 ∵c ＞a ＞b ＞0，∴c －b ＞c －a ＞0，∴1c －a ＞1c －b＞0， 又∵a ＞b ＞0，∴a c －a ＞bc －b .答案 ＞ 6．设m ＝|a |＋|b ||a ＋b |，n ＝|a －b |||a |－|b ||，那么它们的大小关系是m ________n . 解析 m n ＝|a |＋|b ||a ＋b ||a －b |||a |－|b ||＝|a |＋|b |||a |－|b |||a ＋b |·|a －b | ＝|a 2－b 2||a 2－b 2|＝1，∴m ＝n . 答案 ＝7．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b成立的充分条件有________． 解析 1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，①②④均能使b －a 与ab 异号． 答案 ①②④8．设a >5，则a －3－a －4与a －4－a －5的大小关系是_________________．解析 因为a >5，只需比较a －3＋a －5与2a －4的大小，两数平方，即比较a －3a －5与a －4的大小，再平方，只需比较a 2－8a ＋15与a 2－8a ＋16的大小．答案a －3－a －4<a －4－a －5三、解答题 9．设a 、b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，比较a 3b 2＋b 3a2与a ＋b 的大小．解a3b2＋b3a2－(a＋b)＝(a3－b3)⎝⎛⎭⎪⎫1b2－1a2＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)1a2b2，∵a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，∴a＋b，(a－b)2，(a2＋ab＋b2)，1a2b2均为正数，∴a3b2＋b3a2－(a＋b)>0，∴a3b2＋b3a2>a＋b.10．设m∈R，a>b>1，f(x)＝mxx－1，比较f(a)与f(b)的大小．解f(a)－f(b)＝maa－1－mbb－1＝m b－aa－1b－1.∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0，∴b－aa－1b－1<0.当m>0时，m b－aa－1b－1<0，f(a)<f(b)；当m<0时，m b－aa－1b－1>0，f(a)>f(b)；当m＝0时，m b－aa－1b－1＝0，f(a)＝f(b)．11．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a) ＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当a<b时，a<b，从而(a)5<(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]>0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．。