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遂宁二中高中2022届2020-2021学期期末试题数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过点(0,3)且倾斜角为0的直线方程为 A ．3x =B ．3y =C ．3y x =+D ．23y x =+ 2．圆心为(3,4)-，半径是2的圆标准方程为A ．22(3)(4)4x y ++-=B ．22(3)(4)4x y -++= C ．22(3)(4)2x y ++-=D ．22(3)(4)2x y -++=3．若直线1:260l ax y ++=与直线()22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a 的值为 A ．2a =-或1a =B ．2a = C ．2a =或1a =-D ．1a =-4．下列茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是A ．甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数。
B ．甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数。
C ．甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数。
D ．甲组学生得分的方差大于乙组选手得分的方差。
5．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题，其中正确命题的序号是①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ； ②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④6．某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色､黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色､紫色两种颜色的毛线编织的概率是A ．13B ．14C ．12D ．347．设x y 、满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则Z x y =+的最小值是A ．-7B ．2C ．3D ．-58．下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是A ．43πB ．623π+C ．12πD ．423π+9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足12PA PB =．当,,P A B 三点不共线时，PAB ∆面积的最大值为 A ．24B ．12C ．43310．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4,AB BC AA E ===为棱1CC 的中点，异面直线AE 与CD 所成角为α，则2sin 2cos αα+的值为A ．213B ．223C ．213D ．223 11．直线10x y +-=与直线240x y --=交于点P ，则点P 到直线120()kx y k k R -++=∈的最大距离为A 2B ．2C ．25．412．已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点：①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积为定值；④E 为AD 中点，过点1,B 且与平面1A BE 6⑤若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +的最小值为22+ 以上命题为真命题的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2020届四川省遂宁市高三二诊数学（文）试题一、单选题1．已知集合|A x y ⎧==⎨⎩，{2,1,0,1,2,3}B =--，则()A B =R I ð（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】利用函数定义域，化简集合A ，利用集合交集、补集的运算，即得解 【详解】由题意得集合|A x y ⎧==⎨⎩(,2)=-∞， 所以[2,)R A =+∞ð， 故(){2,3}R AB ⋂=ð． 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题2．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为12z i =，求出z ，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】Q 221sin cos 3322z i i ππ=-+=--，12i z ∴=，则z 在复平面内对应的点的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题. 3．“1x >”是“2log 0x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】2log 01x x >∴>∴Q “1x >”是“2log 0x >”的充要条件，选C.4．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π，所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.6．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.7．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值.【详解】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+.因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．2D ．3【答案】B【解析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，联立方程，求得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由16PF OP =，列出相应方程，求出离心率.【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--， 由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．11．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦【答案】C【解析】由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x--'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，进而得出结论. 【详解】解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解， 即2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=， 则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件．故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．12．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③【答案】B【解析】由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论. 【详解】解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-， 根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称， 所以直线//AE y 轴．所以②正确．如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．二、填空题13．已知平面向量(),2a m =r ，()1,3b =r ，且()b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与b r的夹角的大小为________． 【答案】4π 【解析】由()b a b ⊥-r r r ，解得4m =，进而求出2cos ,2a b =r r .【详解】解：因为()b a b ⊥-r r r，所以()()1,31,1130m m ⋅--=--=，解得4m =，所以22224,21,32cos ,24213a b ⋅==+⋅+r r ，所以向量a r 与b r 的夹角的大小为4π．都答案为：4π. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．【答案】30【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 【详解】根据直方图知第二组的频率是0.040100.4⨯=，则样本容量是802000.4=， 又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15+⨯=， 则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530⨯=． 故答案为：30 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题. 15．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 【答案】210-【解析】试题分析：因344ππα<<,故,所以，,应填2-【考点】三角变换及运用．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】构造2()()g x f x x =-，先利用定义判断()g x 的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化2(2)(1)321f x f x x x -->+-为(2)(1)g x g x >-，结合奇偶性，单调性求解不等式即可. 【详解】令2()()g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，()()20g x f x x ''=-<，则()g x 在(0,)+∞上递减，于是在(,0)-∞上递增．由2(2)(1)321f x f x x x -->+-得22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---， 即(2)(1)g x g x >-， 于是(|2|)(|1|)g x g x >-， 则|2||1|x x <-， 解得113x -<<． 故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：()1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？()2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券．若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】()1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；()2815. 【解析】()1由题得2505.556 5.0249K =≈>，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率. 【详解】解析：()1由题得()222004040804050 5.556 5.02412080801209K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()34,B B ，共15个．其中仅有1人是女顾客的基本事件有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，共8个．所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率815P =． 【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．18．已知等差数列{}n a 满足11a =，公差0d >，等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，35b a =．()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ()2若数列{}n c 满足3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】()121n a n =-，13n n b -=；()23nn S =.【解析】()1由11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =.进而求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =，当2n …时，由3121123n n n c c c c a b b bb ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n c c c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，可得123n n c -=⋅，进而求出前n 项和n S ． 【详解】解：()1由题意知，11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列， 所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =． 所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．数列{}n b 的公比3q =，其通项公式13n n b -=．()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =．当2n ≥时，由3121123n n n c c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n cc c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=， 两式相减得1nn n nc a a b +=-，所以123n n c -=⋅．故13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩所以{}n c 的前n 项和231323232323n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()131332313n n-⎡⎤⨯-⎢⎥=+=-⎢⎥⎣⎦，2n ≥．又1n =时，1113S a ==，也符合上式，故3nn S =.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，10PC =，E 为线段AD 的中点．()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；()2是否存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAED PFB V V --=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】()1证明见解析；()2 2.【解析】()1利用面面垂直的判定定理证明即可；()2由PF FC λ=u u u r u u u r，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=，继而得出λ的值. 【详解】解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=， 所以AD ⊥平面PBE ． 又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ．()2由PF FC λ=u u u r u u u r ，知()1FC PC λ+=．所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=， 所以，2λ=．即存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAE D PFB V V --=，此时2λ=．【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．20．已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A在椭圆C 上，点B 在直线y =上的点，且OA OB ⊥．()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切； ()2求AOB V 面积的最小值．【答案】()1证明见解析；()2 1.【解析】()1由题意可得椭圆C 的方程为2212x y +=，由点B 在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，分类讨论当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆221x y +=相切；()2由()1知，AOB V 的面积为112S OA OB =⋅… 【详解】解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=．由点B在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0时，OA =OB =，于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212x y +=联立得()22122k x +=，所以22212Ax k =+，222212A k y k =+，从而2222212k OA k+=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B在y =上，故x =， 从而2222OB k =+，于是22111OAOB+=．此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切． 综上，直线AB 与圆221x y +=相切．()2由()1知，AOB V 的面积为2211211122k S OA OB ++⎛=⋅===≥，上式中，当且仅当0k =等号成立， 所以AOB V 面积的最小值为1． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．21．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．（1）求证：00ln 0x x +=；（2）若0x x …时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）[1,)e -+∞.【解析】（1）对()f x 求导，令()ln 1xg x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=，即得证；（2）分00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00110x a x ++-…时，转化()n 20mi 0001()f x f x x x a x ==++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解.【详解】（1）由题意()ln 1xf x e x a '=-+-，令()ln 1xg x e x a =-+-，则1()xg x e x'=-，知()g x '为(0,)+∞的增函数， 因为(1)10g e '=->，1202g '⎛⎫=<⎪⎝⎭， 所以，存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=．所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数， 当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数，故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '取得最小值．故00x t =，于是有0010x e x -=，即001x e x =， 所以有00ln 0x x +=，证毕．（2）由（1）知，()ln 1xf x e x a '=-+-的最小值为0011x a x ++-，①当00110x a x ++-…，即0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数， 所以()020min 0000001()ln xf x f x e x x x a x x a x ==-+=++， 2000000011111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫++-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦…， 由（1）中0112x <<，得00111x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()1f x >． 故0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…满足题意． ②当00110x a x ++-<，即0011a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ， 且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x xf x e x a a x e '=-+-=⇒=-+，若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（） 若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数， 所以()f x 的最小值为()2f x ．注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…， 所以201x <…，即210x -≥，又()()()22222222222222ln ln ln 11xxxxf x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+()()22111x x e =--+，而210x e ->，所以()()221111xx e --+>，即()21f x >．由于在0112x <<下，恒有001x e x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以00111e x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭． （ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=， 所以201x x >>，所以由（）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，所以()(1)1f x f e a <=+<，不满足0x x …时，()1f x …恒成立，故舍去． 故00111e a x x ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭…满足条件． 综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞． 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，且AOB V 为正三角形．（1）求点A ，B 的极坐标；（2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求||BM 的最大值． 【答案】（1）A 2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，B 2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）12+【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C 的方程，可得点M在以12Q ⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上，所以||BM 的最大值为1||2BQ +，即得解. 【详解】（1）因为点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，AOB V 为正三角形，所以点A 在曲线(0)6πθρ=>上．又因为点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上， 所以点A 的极坐标是2,6π⎛⎫⎪⎝⎭， 从而，点B 的极坐标是2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭．（2）由（1）可知，点A的直角坐标为，B的直角坐标为1)- 设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C的方程，有1cos ,211sin ,22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即点M在以122Q ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上．||BQ == 所以||BM的最大值为11||22BQ += 【点睛】本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|21|f x x =+． （1）解不等式：()(2)6f x f x +-…； （2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-…．【答案】（1）{|12}x x -剟； （2）见解析. 【解析】（1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，()22(1)22f x af x a+--+…，222232323x a x a a a a ++++--+…，比较22323,22a a a -++大小即可.【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-， 于是原不等式化为|21||23|6x x ++-…，若21x <-，则21(23)6x x ----…，解得112x -<-…； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-…，解得1322x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-…，解得322x <…．第 21 页 共 21 页 综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟． （2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+…． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…， 由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…， 于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-…．【点睛】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.。
2020年高考数学第二次监测试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．05．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．14．若，则sin2α＝．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：由（x﹣1）（x﹣3）≤0得1≤x≤3，所以集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}，又B＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i【分析】直接根据复数的四则运算化简即可求解．解：因为复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，故．故选：B．3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差【分析】由图数形结合可逐项判断选项的正误，解：根据统计图表可知，A，由图周跑步里程有增有减，故周跑步里程逐渐增加，故A错误，B，由图周跑步里程有8周里程在30km及以上，且最高里程为35km，有12周在35km 以下且最低为15km，故估算这20周跑步里程平均数远小于30km，故B错误，C项这20周跑步里程从小到大排列中位数是第十周和十一周里程数的平均值小于30km，故C错误；D项由图前10周的周跑步里程的极差为第十周里程减第三周里程，大于后10周的周跑步里程的极差为第十五周里程减第十一周里程，故D正确．故选：D．4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．0【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的可行域是以（0，0），A（2，0），B （0，2）为顶点的三角形及其内部，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当目标函数z＝2x+y过点B（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，为2×2+0＝4，故选：B．5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．【分析】根据正弦定理求得b＝2a，再根据余弦定理可得c＝a．解：由sin B＝2sin A，据正弦定理有b＝2a；又，据余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得c2＝3a2．故．故选：A．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】画出图形，通过直线与圆的位置关系，转化求解写出即可．解：由题意知，PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关【分析】由题意可得SO⊥平面ABC，可得球心O1在SO上，设球的半径为R，在Rt△O1AO中由勾股定理可得R的值．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+（）2＝R2，解得R ＝2．故选：A．9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比得答案．解：设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为，△ABC面积为，所求概率．故选：C．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】利用已知条件画出图形，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），通过，推出x1x2＝﹣16，求解直线OP的斜率为k的表达式，利用基本不等式转化求解即可．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），依题意，，即x1x2+y1y2＝0，即，即x1x2＝﹣16，从而直线OP的斜率为k，则＝，，当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，从而解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故答案为：．14．若，则sin2α＝．【分析】法一：由已知直接利用二倍角的余弦及诱导公式求解；法二：展开两角差的余弦，整理后两边平方即可求得sin2α．解：法一：由，得．法二：由，得，两边平方得，∴，即．故答案为：．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图可还原几何体直观图如图，易知S＝2×3，S'＝3×4，＝，h＝4，代入公式则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）＝．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．【分析】法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，利用函数的导数求解切线方程，转化求解a的最小值．解：法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值．所以，则a的最小值为．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），由题，当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点（x0，lnx0），切线斜率为，则切线方程为，过点（0，1），则，解得，切线斜率为，所以a的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．【分析】（1）直接利用数列的定义的应用求出数列的通项公式．（2）利用前n项和公式的应用求出结果．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2．当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减得a n＝2a n﹣1．所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知：．所以＝﹣n2+21n＝当n＝10或11时，取最大值．．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．【分析】（1）由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，得DE∥BC且DE＝．在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得GF∥BC且GF＝．得到四边形DEGF 为平行四边形，得DF∥EG．再由直线与平面平行的判定可得DF∥平面PBE；（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，得S△BEC＝4S△DEC，求得V C﹣PBE＝1．再把三棱锥C﹣PBE的体积用含有a的代数式表示，则a值可求．【解答】（1）证明：由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，依题意得BE＝2a，BC＝4a，DE∥BC且DE＝．如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，∵，∴GF∥BC且GF＝．∴DE∥GF且DE＝GF．∴四边形DEGF为平行四边形，得DF∥EG．又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，∴DF∥平面PBE；（2）解：由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，∴S△BEC＝4S△DEC，∴．则V C﹣PBE＝1．由，解得a＝1．∴BE＝2．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数零点的个数，确定满足条件的a的范围即可．解：（1）由题，．…………………………（1分）则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，．……………………………………此时，由f'（x）＝0得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数．………………………………（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，所以f（x）只有一个零点，不符合题意．……………………………………若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………………………②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝0，由x≤0得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，所以当a＜0时，f（x）始终有两个零点．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，0）．………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。
遂宁二中高2020届高三上期第二学月考试数 学 试 卷（文科）（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知M ＝{y |y ＝x ＋1}，N ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则集合MN 中元素的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．多个2、命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或B.若11<<-x ，则12<xC.若11-<>x x ，或，则12>xD.若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3、设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 4．已知函数f(x)＝6x－2log x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)5．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．25 B ．35 C ．45 D ．656、函数()3sin 2f x x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象为C ，有以下三个论断：①图象C 关于直线1112x =π对称；②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．37、若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D8．已知点A B C 、、在函数())(0)3f x x πωω=+>，如图，若AB BC ⊥，则=ω( )A ．1 B.π C ．12 D ．2π9．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164D ．1或－16410．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R 。
文四川省遂宁市第二中学2020届高三数学上学期11月周考试题 : 150分: 120分钟满分时间60分）第I卷（选择题，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题小题，共60一、选择题：本大题共12 目要求的。
????1x|x??2xB??A?x|?BA?，已知集合，则1.????????1|??2x?x|?2?x?1x|xx2x|x??A. B. C. D.i2??zi复数2.（为虚数单位）在复平面对应的点位于i第三象限 D.第四象限A.第一象限 B.第二象限 C. 3.一个三棱锥的正视图与侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为A.4B.8C.16D.241x???,?0x?y?12yx?z?3y,x满足约束条件4.设实数则的最小值为??0?1x?y??A.1B.2C.3D.6n}{a?SaS?a?2a?5.设为等差数列，则项和，的前n735n6A.28 B.14 C.7 D.2下列判断正确的是6.”)?0“ln(x?3”“x??2. A.的充分不必要条件是12??9x)?xf(的最小值为B.2.函数29x???????sinsin，R???”的逆否命题为真命题C.当时，命题“若时，则.xx0?x??2019?,x??0201900?2019?2019”，”的否定“命题“D.00n的值为 7.执行如图所示的程序框图，则输出- 1 -A.5B.7C.9D.11????????，将函数，图象相邻两条对称轴的距离为8.已知函数)xsin(?f(x)??|?0,|2??2???的图象向左平移的图象个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数y)(?fy?f(x)xy3??22对称 B.关于直线A.关于直线对称??x?x33??22????对称关于点C.关于点 D.对称,0,0?????33????????????1x?0x?xfx?'0,??fy?fx?1?x若对称，当9.函数成立，的图象关于????202.0.??loga?2,c2f2?logfln,b?2fln，则的大小关系是ca,b,??1144??直线时，??1122．． B CD．． A CABCDO A D BC//AD，是球为梯形，，，的球面上的五个点，四边形，，10.已知BP OABCDAD?2DCAB??4?PABC??PA，的体积为，面，则球?264?216?16? A．． D B． C．21633- 2 -?分）第卷（非选择题，共90 分。
2020届四川省遂宁市高三二诊数学(文)试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 3 . “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 4 . 函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则(★★) 6 . 已知实数、满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．(★★) 7 . 已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（）A．B．C．D．(★) 8 . 《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“ ”表示一个阳爻，“ ”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★★) 11 . 函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★★) 12 . 已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①直线与直线的斜率乘积为；② 轴；③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题(★) 13 . 已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________．(★) 14 . 某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间的学生人数是__________．(★) 15 . 已知，且，则__________．(★★★★) 16 . 已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．三、解答题(★★) 17 . 某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女 是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 人发放价值元的购物券．若在获得了 元购物券的 人中随机抽取 人赠其纪念品，求获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率．附表及公式： ．(★★) 18 . 已知等差数列满足 ，公差 ，等比数列 满足 ， ，． 求数列 ， 的通项公式；若数列满足，求 的前 项和．(★★★★★) 19 . 如图，在四棱锥中底面 是菱形，，是边长为 的正三角形，， 为线段的中点．求证：平面平面；是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(★★★★★)20 . 已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．证明：直线与圆相切；求面积的最小值．(★★★★) 21 . 已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．（1）求证：；（2）若时，恒成立，求的取值范围．(★★) 22 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形．（1）求点，的极坐标；（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值．(★★) 23 . 已知函数．（1）解不等式：；（2）求证：．。
2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集U＝{x|x>0}，M＝{x|1<e x<e2}，则∁U M＝（）A.(1, 2)B.(2, +∞)C.(0, 1]∪[2, +∞)D.[2, +∞)【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】∵U＝{x|x>0}，M＝{x|0<x<2}，∴∁U M＝[2, +∞)．2. 已知i为虚数单位，复数z满足z⋅i＝1+2i，则z的共轭复数为（）A.2−iB.2+iC.l−2iD.i−2【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】∵z⋅i＝1+2i，∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴z的共轭复数为：2+i，3. 已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（）A.10B.12C.13D.15【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】由分层抽样的定义得5045+50+55×30=13×30＝10人，4. 己知向量a→=(l, 2)，b→=(−l, x)，若a→ // b→，则|b→|＝（）A.√52B.52C.√5D.5【答案】 C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】利用向量平行先求出a ，由此能求出|b →|． 【解答】∵ 向量a →=(l, 2)，b →=(−l, x)，a → // b →，∴ −11=x2， 解得x ＝−2，∴ |b →|=√(−1)2+(−2)2=√5．5. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】通过证明，可判断充要性． 【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．6. 已知M(−2, 0)，P 是圆N:x 2−4x +y 2−32＝0上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A.x 29+y 25=1 B.x 25−y 29=1 C.x 25+y 29=1D.x 29−y 25=1【答案】 A【考点】 轨迹方程 【解析】结合已知条件根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以M、N为焦点，长轴长等于6的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．【解答】圆N:x2−4x+y2−32＝0，化为(x−2)2+y2＝36的圆心为N(2, 0)，半径r＝6，M(−2, 0)，|MN|＝4．连结QN，由已知得|QN|＝|QP|∵|QN|+|QM|＝|QM|+|QP|＝MP＝r＝6>MN|．根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以M、N为焦点，长轴长等于6的椭圆，即a＝3，c＝2，b2＝a2−c2＝9−4＝5，∴点Q的轨迹方程为：x29+y25=1．7. 己知某产品的销售额_y与广告费用x之间的关系如表：中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是20【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．【解答】由线性回归方程y＝6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A.1 8B.14C.38D.12【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率． 【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况， 甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14， 9. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A.√2B.2C.√3D.3 【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出双曲线的右焦点F ，直线OA ，OB 的方程，过F 平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A 的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a ，b 的关系，进而得到所求离心率． 【解答】 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F(c, 0)，设OA 的方程为bx −ay ＝0，OB 的方程为bx +ay ＝0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为√b 2+a 2=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c, bc2a )， 则平行四边形OAFB 的面积为S ＝b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2＝3a 2， 则e =ca=√1+b 2a 2=√1+3=2．10. 已知圆C:x 2+y 2−2x −8＝0，直线l 经过点M(2, 2)，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A.x −2y +2＝0 B.2x +y −6＝0 C.2x −y −2＝0 D.x +2y −6＝0 【答案】 D【考点】点与圆的位置关系【解析】由题意可知，当直线l与CM垂直时，直线l分圆C的两部分的面积之差的绝对值最大，再利用两直线垂直时斜率相乘等于−1，可求出直线l的斜率，从而求出直线l的方程．【解答】如图所示：圆C:x2+y2−2x−8＝0，化为标准方程为：(x−1)2+y2＝9，∴圆心C(1, 0)，当直线l与CM垂直时，直线l分圆C的两部分的面积之差的绝对值最大，∵k CM=2−02−1=2，∴直线l的斜率k=−12，∴直线l的方程为：y−2=−12(x−2)，即x+2y−6＝0，故选：D．11. 己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求导可知，函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，进而把原问题等价为f(log2m)<f(1)，则−1<log2m<1，解出即可．【解答】当x≥0时，f′(x)＝cosx−xsinx−cosx+x2＝x2−xsinx＝x(x−sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log2m)+f(log12m)<2f (1)等价为f(log2m)+f(−log2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴ −1<log 2m <1， ∴ 12<m <2． 故选：A ．12. 函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【答案】 D【考点】函数零点的判定定理 【解析】运用零点存在性定理可知，实数a 应满足f(0)f(1a )≤0，由此得到2≤a ≤3，观察选项即可得解． 【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0，∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0 ，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________． 【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行， ∴ a4=−(a+1)−6，解得a ＝2，∴ 实数a 的值为2．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是________．【答案】30.8【考点】茎叶图【解析】先通过茎叶图计算出成绩，再求出方差．【解答】由茎叶图可知五人成绩为：110，114，119，121，126．五人平均成绩为：x=110+114+119+121+1265=118，方差为：S2=(110−118)2+(114−118)2+(119−118)2+(121−118)2+(126−118)25=30.8．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【答案】2π3【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由周期求ω，由五点法作图求φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的零点以及图象的对称性，求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a+b+c+d=2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y2＝4x交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，若S△MBF＝4S△MAF，则△ABF的面积为________．【答案】3【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】利用S△MBF＝4S△MAF，得y2＝4y1，联立解方程组，求出k，利用S△ABF＝S△MFB−S△AMF＝3S△AMF，求出即可．【解答】不妨设A(x1, y1)，B(x2, y2)，且A，B在x轴上方，S△MBF＝4S△MAF，得y2＝4y1，设AB的方程为x＝ky−1，与y2＝4x联立得y2−4ky+4＝0，y1+y2＝4k，y1y2＝4，把y2＝4y1，代入上式得y1=4k5，y2=16k5，由y1y2＝4得，k=54，y1＝1，y2＝4，S△ABF＝S△MFB−S△AMF＝3S△AMF=3⋅12⋅|FM|⋅y1=3⋅12⋅2⋅1=3，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．【考点】独立性检验【解析】（1）由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5，得出中位数m的值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项．数列{b n}的通项公式为b n＝2a n+3．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n+√b n(n∈N∗)，求数列c n的前n项和S n．【答案】等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项，可得a4a7＝27，即(a1+6)(a1+12)＝27，解得a1＝−3或−15，由a3>0即a1+4>0，即a1>−4，可得a1＝−3（−15舍去），故a n＝−3+2(n−1)＝2n−5；b n＝2a n+3=22n−2＝4n−1；c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，前n项和S n＝(−3−1+...+2n−5)+(1+2+4+...+2n−1)=12n(−3+2n−5)+1−2n1−2=n2−4n+2n−1．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）运用等差数列的通项公式和等比中项性质，解方程可得首项a1，进而得到舍去a n，b n；（2）求得c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】等差数列{a n}的公差d＝2，a3>0，且−3√3为a4与a7的等比中项，可得a4a7＝27，即(a1+6)(a1+12)＝27，解得a1＝−3或−15，由a3>0即a1+4>0，即a1>−4，可得a1＝−3（−15舍去），故a n＝−3+2(n−1)＝2n−5；b n＝2a n+3=22n−2＝4n−1；c n＝a n+√b n=2n−5+2n−1，前n项和S n＝(−3−1+...+2n−5)+(1+2+4+...+2n−1)=12n(−3+2n−5)+1−2n1−2=n2−4n+2n−1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．【答案】∵(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)＝c(c+b)，即a2＝b2+c2+bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵0<A<π，∴A=2π3．∵在△ABC中，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12BC⋅AD，即√32bc＝a⋅AD，由已知BC＝2√3AD，可得AD=2√3，∴3bc＝a2，∴在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2−2bccos120∘，即3bc＝b2+c2+bc，整理可得(b−c)2＝0，即b＝c，∴B＝C=π6，∴sinB＝sinπ6=12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知可得a2＝b2+c2+bc，由余弦定理可得cosA=−12，结合范围0<A<π，可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求AD=2√3，可得3bc＝a2，进而由余弦定理可得b＝c，可求A＝B=π6，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】∵(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)＝c(c+b)，即a2＝b2+c2+bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵0<A<π，∴A=2π3．∵在△ABC中，S△ABC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12BC⋅AD，即√32bc＝a⋅AD，由已知BC＝2√3AD，可得AD=2√3，∴3bc＝a2，∴在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2−2bccos120∘，即3bc＝b2+c2+bc，整理可得(b−c)2＝0，即b＝c，∴B＝C=π6，∴sinB＝sinπ6=12．已知椭圆C：$${\{}$\${dfrac\{\{x\}^{\wedge}\{2\}\}\{2\}\, + \, \{y\}}$^${\{2\}\, = }$ （1）},动直线{l}过定点{(2,\, 0)}且交椭圆{C}于{A},{B}两点({A},{A}不在{x}轴上).{(l)}若线段{AB}中点{Q}的纵坐标是{ - \dfrac{2}{3}},求直线{l}$的方程；（2）记A点关于x轴的对称点为M，若点N(n, 0)满足MN→=λNB→，求n的值．【答案】设A(x, y)(x′, y′)，设直线AB的方程：x＝ty+2，联立与椭圆的方程整理得：(2+t2)y2+4ty+2＝0，△＝t2−2>0，得t>√2或t<−√2，y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，因为AB的中点的纵坐标为−23，所以−4t2+t2=2⋅(−23)，解得：t＝1或t＝2，由判别式得，t＝2，所以直线AB的方程：x−2y−2＝0；由题意知M(x, −y)，由MN→=λNB→，知，M，N，B三点共线，即k MN＝k MB，即yn−x =y+y′x′−x，n=y(x′−x)y+y′+x，将x＝ty+2，x′＝ty′+2，得n=2tyy′y+y′+2，联立直线与椭圆的方程：(2+t2)y2+4ty+2＝0，∴y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，∴n＝1【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）设直线AB的方程，联立与椭圆的方程，求出纵坐标之和，写出中点的纵坐标，由题意求出参数，进而写出直线l的方程；（2）由（1）得M的坐标，由向量的关系，求出n的值．【解答】设A(x, y)(x′, y′)，设直线AB的方程：x＝ty+2，联立与椭圆的方程整理得：(2+t2)y2+4ty+2＝0，△＝t2−2>0，得t>√2或t<−√2，y+y′=−4t2+t2，yy′=22+t2，因为AB的中点的纵坐标为−23，所以−4t2+t2=2⋅(−23)，解得：t＝1或t＝2，由判别式得，t＝2，所以直线AB的方程：x−2y−2＝0；由题意知M(x, −y)，由MN→=λNB→，知，M，N，B三点共线，即k MN＝k MB，即yn−x =y+y′x′−x，n=y(x′−x)y+y′+x，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2，得n =2tyy ′y+y ′+2，联立直线与椭圆的方程：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2， ∴ n ＝1己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a ≥3，记函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），求f(x 2)−f(x I )的最大值． 【答案】f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x (x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，①当a ≤0或△≤0时，即a ≤2√2时，得f ′(x)≥0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f ′(x)>0，得0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82，由f ′(x)<0，得a−√a2−82<x <a+√a 2−82，∴ 函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a2−82, a+√a 2−82)上单调递减，综上所求，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增， 当a >2√2时，函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上单调递减；由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)， 则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根， ∴ x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)＝2ln x 2x 1+12(x22−x 12)−a(x 2−x 1)＝2ln x2x 1−x 22−x 122 ＝2ln x 2x 1−x 22−x 12x 1x 2＝2ln x 2x 1−x 2x 1+x 1x 2， 令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)＝ℎ(t)＝2lnt −t +1t ，由a ≥3，得a 22=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2≥92，即2t 2−5t +2≥0，解得t ≥2， ∵ ℎ′(t)=2t −1−1t 2=−t 2+2t−1t 2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在[2, +∞)上单调递减， ∴ ℎ(t)max ＝ℎ(2)＝2ln2−32， 即f(x 2)−f(x 1)的最大值为2ln2−32． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x(x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，利用导数结合△对a 分情况讨论，分别求函数f(x)的单调区间；（2）由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)，则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，利用根与系数的关系得到f(x 2)−f(x 1)＝2ln x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)＝ℎ(t)＝2lnt −t +1t，再利用导数得到ℎ(t)max ＝ℎ(2)＝2ln2−32，即f(x 2)−f(x 1)的最大值为2ln2−32． 【解答】f ′(x)=2x +x −a =x 2−ax+2x(x >0)，令g(x)＝x 2−ax +2，则△＝(−a)2−8，①当a ≤0或△≤0时，即a ≤2√2时，得f ′(x)≥0恒成立， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f ′(x)>0，得0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82，由f ′(x)<0，得a−√a2−82<x <a+√a 2−82，∴ 函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a2−82, a+√a 2−82)上单调递减，综上所求，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增， 当a >2√2时，函数f(x)在(0, a−√a2−82)和(a+√a 2+82, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−82, a+√a 2−82)上单调递减；由（1）得，当a >2√2时，f(x)有极值点其中(x 2>x 1)， 则x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根， ∴ x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴f(x2)−f(x1)＝2ln x2x1+12(x22−x12)−a(x2−x1)＝2ln x2x1−x22−x122＝2ln x2x1−x22−x12x1x2＝2ln x2x1−x2x1+x1x2，令t=x2x1(t>1)，则f(x2)−f(x1)＝ℎ(t)＝2lnt−t+1t，由a≥3，得a 22=(x1+x2)2x1x2=t+1t+2≥92，即2t2−5t+2≥0，解得t≥2，∵ℎ′(t)=2t −1−1t2=−t2+2t−1t2=−(t−1)2t2<0，∴ℎ(t)在[2, +∞)上单调递减，∴ℎ(t)max＝ℎ(2)＝2ln2−32，即f(x2)−f(x1)的最大值为2ln2−32．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+rcosφy=rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P(2, π3)，曲线C2的直角坐标方程为x2−y2＝1．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．【答案】将曲线C1的参数方程转化成普通方程为：(x−1)2+y2＝r2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C1得r2＝3，∴曲线C1的普通方程为：(x−1)2+y2＝3，C2可化为ρ2cos2θ−ρ2sin2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2的极坐标方程，得p12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）将参数方程转化成普通方程，直角坐标方程转化成极坐标方程；（2）将点带入可求等式，将所求转化成极坐标表示的长度，联立带入化简，计算，求值．【解答】将曲线C1的参数方程转化成普通方程为：(x−1)2+y2＝r2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C1得r2＝3，∴曲线C1的普通方程为：(x−1)2+y2＝3，C2可化为ρ2cos2θ−ρ2sin2θ＝1，即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2的极坐标方程，得p12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【答案】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）由绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，由恒成立思想，解对数不等式可得所求范围． 【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。
四川省遂宁市第二中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离为9，则椭圆E的离心率等于( )A． B． C．D．参考答案：答案:B2. 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则∴∴∴故选B 【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；3. 设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是（）A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]参考答案：D，所以，因为，所以，所以，即，即导数的取值范围是，选D.4. 若集合，且，则集合可能是A. B. C. D.参考答案：A5. 某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A. B.C. D.300参考答案：A6. 设a，b，c是平面向量，则a·b＝b·c是a=c的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知函数的最大值和最小值分别是，则为A．1 B．2 C．-1 D．-2参考答案：A8. 双曲线上一点到左焦点的距离为4，则点到右准线的距离为（）A.1 B.2 C.3D. 1或3参考答案：D9. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）参考答案：A略10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴端点分别为A1，A2，记双曲线的其中的一个焦点为F，一个虚轴端点为B，若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点P i（i=1，2），使得∠A1P i A2=，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（1，）D．（，+∞）参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出直线BF的方程为cx+by﹣bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．【解答】解：由题意可设F（0，c），B（b，0），则直线BF的方程为cx+by﹣bc=0，∵在线段BF上（不含端点）有且只有不同的两点P i（i=1，2），使得∠A1P i A2=，∴线段BF与以A1A2为直径的圆相交，即＜a，化为b2c2＜a4，又b 2=c 2﹣a 2，e=，∴e 4﹣3e 2+1＜0，解得＜e 2＜，又e ＞1∴1＜e ＜，∵在线段BF 上（不含端点）有且仅有两个不同的点P i （i=1，2），使得∠A 1P i A 2=，可得a ＜b ，∴a 2＜c 2﹣a 2，解得e ＞， 综上得，＜e ＜．故选：A ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______________. 参考答案： 2412. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于、，若满足，则双曲线的离心率是.参考答案：13. 等比数列{a n }的前n 项和，则a =________．参考答案：114. 已知，则参考答案：略14、设，，则的值是____________。
