八年级数学上册 7 平行线的证明专题训练(十二)三角形内角和与外角的综合运用(选做)(新版)北师大版

∠ DAE 的度数.(直接写出结论)


解：(3)∠ DAE ＝ (α－β).
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34Biblioteka 567第七章 平行线的证明
专项突破19
三角形内角、外角关系应用
的七种常见题型
题型1三角形内角和在叠放中的应用
1. [2024舟山中学月考] 如图，有一块直角三角尺 DEF 放置
在△ ABC 上，三角尺 DEF 的两条直角边 DE ， DF 恰好分
别经过点 B ， C . 请写出∠ BDC 与∠ A ＋∠ ABD ＋
∠ ACD 之间的数量关系，并说明理由.
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解：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD . 理由如下：
∵∠ BDC ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝180°，∠ A ＋∠ ABC ＋
∠ ACB ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝
180°，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD .
∴∠ BAC ＝180°－100°＝80°.


∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°.
∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°.
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7. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中， AD ⊥
BC ， AE 平分∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.
∵ AE 平分∠ BAC ，




∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ (180°－∠ B －∠ C )

）
在△ ACD中，∠ 1=30°，∠ ACB=85°
∴∠ EDP=180°- ∠1- ∠ACB
=180°- 30°- 85°
=65°
（ __________________________）_
∵PE⊥ AD
（ __________________________）_
∴∠ EPD=90°
（ __________________________）_
证自明的“基本事实” ，可以当做已知的大前提来进行使用．而其中的三条，
是我们在几何证明中不经意间多次用到的，下面对它们来进行简单的解释．
当我们证明时，会遇到如下的推理：
∵a=b，b=c
∴a=c
在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知道它的依据
是什么．其实，它的依据就是欧几里得公理体系中 5 条公理中的第一条：“（1）
∴∠ A+∠ C=90°（等量代换）
这里推理的依据就是第一条公理， 我们把它简记为 “等量代换”．“等量代换”
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A
D
B
C
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6. 已知：如图， AB∥CD，∠ BAE=∠DCE=45°． 求证：∠ E=90°．
A
B
1 E
Байду номын сангаас
2
C
D
7. 已知：如图， EF⊥BC， DE⊥AB，∠ B=∠ADE． 求证： AD∥EF． A
E
B
F
D
C
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思考小结
1. 在证明过程中： （1）由平行可以想 ________相等、 __________相等、 ________互补；
=180°- 30°- 85°

一、选择题1．下列四个命题中为真命题的是（ ）A ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B ．若1∠和2∠是对顶角，则12∠=∠C ．三角形的一个外角大于任何一个内角D ．22a b =，则a b =2．如图，△ABC 中，∠BAC ＝58°，∠C ＝82°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AC 上一点，且∠ADE ＝∠B ，则∠CDE 的度数是（ ）A ．29°B ．39°C ．42°D ．52° 3．如图，直线AB ､CD 被BC 所截，若//AB CD ，150∠=︒，240∠=︒，则3∠的大小是（ ）A ．80︒B ．70︒C ．90︒D ．100︒ 4．下列四个命题中，假命题有（ ）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等．（2）如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠．（3）一个锐角的余角一定小于这个锐角的补角．（4）如果1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，那么1∠和2∠互补．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题是假命题的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直角三角形的两个锐角互余C ．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形6．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝105°，则∠DAC 的度数为（ ）A ．80°B ．82°C ．84°D ．86°7．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（ ）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23° 8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ） A ．垂直B ．两条直线互相平行C ．同一条直线D ．两条直线垂直于同一条直线 9．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（ ）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；（5）∠5＝∠DA ．1B ．2C ．3D ．410．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF 11．如图，AB ∥DE ，80,45B D ︒︒∠=∠=则C ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒12．在统一平面内有三条直线a 、b 、c ，下列说法：①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥，其中正确的是（ ）A ．只有①B ．只有②C ．①②都正确D ．①②都不正确二、填空题13．如图，已知CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1=∠4．试说明DF ∥AE ．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∵_________（___________）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴_____（_____），∴DF ∥AE （______）．14．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点，将Rt ABC ∆沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．15．如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知∠A ＝α，则∠A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．16．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定DE ∥BC 的条件___________.17．如图，△ABC 中,∠B=60°，∠C=80°，点D,E 分别在线段AB ，BC 上， 将△BDE 沿直线DE 翻折，使B 落在B′ 处, B′ D, B′E 分别交AC 于F,G. 若∠ADF=70°，则∠CGE 的度数为______.18．以下四个命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③数轴上的每一个点都表示一个实数；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，那么点 P 一定在第二象限．其中正确命题的序号为 ___．19．如图，已知△ABC ，∠B 的角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 D ，∠B 的外角角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 E ，则∠E+∠D=_____．20．如图，C 是线段AB 上一点，∠DAC ＝∠D ，∠EBC ＝∠E ，AO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC ．若∠DCE ＝40°，则∠O ＝______°．三、解答题21．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．22．如图，将△ABC 沿着平行于BC 的直线DE 折叠，点A 落到点A ′，若∠C ＝125°，∠A ＝20°，求∠BD A ′的度数.23．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，62A ∠=︒，35ACD ∠=︒，20ABE ∠=︒．求：（1）BDC ∠的度数；（2）BFD ∠的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学公式）解：（1）∵BDC A ACD ∠=∠+∠（ ）∴623597BDC ∠=︒+︒=︒（等量代换）（2）∵BFD BDC ABE ∠+∠+∠=______（ ）∴180BFD BDC ABE ∠=︒-∠-∠（等式的性质）1809720=︒-︒-︒（等量代换）63=︒24．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC=50°，∠C=70°，求:∠DAC 和∠BOA 的度数．25．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 延长线上的点，连接EF ，分别交AD 、BC 于点G 、H ．若12∠=∠，A C ∠=∠，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．补全解答过程．猜想：AB 与CD 的位置关系是 ① ．证明：∵12∠=∠（已知），1AGH ∠=∠（②），∴2AGH ∠=∠（③）．∴ ④ （同位角相等，两直线平行）．∴ADE C ∠=∠（⑤），∵A C ∠=∠（已知），∴ ⑥ （等量代换）．∴ ⑦ （⑧）．26．如图，在ABC 中，EF AB ⊥，CD AB ⊥，G 在AC 边上，AGD ACB ∠=∠．求证：（1）12∠=∠；（2）90BCD ADG ∠+∠=︒．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质逐项判断即可求解．【详解】解：A. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，判断错误，是假命题，不合题意；B. “若1∠和2∠是对顶角，则12∠=∠”，是真命题，符合题意；C. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，判断错误，是假命题，不合题意；D. “22a b =，则a b =，”是假命题，a 和b 也可以互为相反数，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质、真假命题等知识，熟知相关知识是解题关键．2．A解析：A【分析】根据三角形的内角和得到∠B ＝180︒-∠BAC -∠C ＝40︒，根据角平分线的定义得到∠BAD=12∠BAC=29︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC ＝58︒，∠C ＝82︒，∴∠B ＝180︒-∠BAC -∠C ＝180︒-58︒-82︒＝40︒，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝29︒， ∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝69︒，∵∠ADE ＝∠B ＝40︒，∴∠CDE ＝29︒，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．C解析：C【分析】先根据平行线的性质求出C ∠，再由三角形外角性质即可得解；【详解】∵//AB CD ，150∠=︒，∴150∠=∠=︒C ，∵240∠=︒，∴3290C ∠=∠+∠=︒；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 4．A解析：A【分析】按照命题的条件，结论，进行推理计算，或与定理，定义，法则对照，进行判断即可.【详解】∵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，∴（1）是假命题；∵对顶角相等，∴（2）是真命题；设锐角为x ，则其余角为90°-x ，补角为180°-x ，∴（90-x ）-（180-x ）=90°-x-180°+x=-90＜0，∴（3）是真命题；∵1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，∴1∠+3∠=90，2∠+（90-3∠）=180，∴2∠+1∠=180，∴（4）是真命题；故选A.【点睛】本题考查了对命题的真伪的甄别，解答时，熟练掌握数学的基本概念，基本定理，基本法则，基本性质是解题的关键.5．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理，直角三角形互余性质，三角形的外角性质，等边三角形的判定去分别判断即可.【详解】解：∵同旁内角互补，两直线平行，∴选项A 选项为真命题，不符合题意；根据三角形内角和定理，得直角三角形的两个锐角互余，∴选项B选项为真命题，不符合题意；∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，∴选项C选项为假命题，符合题意；根据等角对等边，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，∴选项D选项为真命题，不符合题意；故选C.【点睛】本题考查了对数学基础知识的掌握，全面规范掌握数学基础知识是解题的关键.6．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．【详解】解：∵∠BAC＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°−25°＝80°．故选A．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE，只要求出∠DAC，∠CAE即可．【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=31°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 8．D解析：D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选：D ．【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 9．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可得出结论．【详解】解：当12∠=∠时，//AD BC ，不符合题意；当34∠=∠时，//AB CD ， 符合题意；当5B ∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当180B BCD ∠+∠=︒时，//AB CD ；符合题意；当5D ∠=∠时，//AD BC ；不符合题意；综上所述，能判定//AB CD 的条件有（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．10．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D、∵∠D=∠DCF，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．11．B解析：B【分析】延长DE交BC于F，利用平行线的性质求出∠DFC=∠B=80°，再利用三角形的内角和定理求 的度数.出C【详解】延长DE交BC于F，如图，∵AB∥DE，∴∠DFC=∠B=80°，∵∠C+∠D+∠DFC=180°，∴∠C= =180°-∠D-∠DFC=55°，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；三角形的内角和定理.12．A解析：A【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．【详解】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故选：A．【点睛】此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．二、填空题13．CD ⊥DADA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等两直线平行【分析】先根据垂直的定义得到再根据等角的余角相等得出最后根据内错角相等两直线平行进行判定即可【详解】证明：∵CD解析：CD ⊥DA ，DA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】先根据垂直的定义，得到1290∠+∠=︒，3490∠+∠=°，再根据等角的余角相等，得出23∠∠=，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．【详解】证明：∵ CD ⊥DA ，DA ⊥AB （已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90° ( 垂直定义 )．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3 ( 等角的余角相等 )，∴DF ∥AE ( 内错角相等，两直线平行 )．故答案为：．CD ⊥DA ，DA ⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 14．【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ∠CDB=∠CDB′进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC 再利用平角的定义即可得出答案【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠使点B 落在AC 边解析：40︒【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC ，再利用平角的定义，即可得出答案．【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．故答案为：40°．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC 和∠B′DC 的度数是解题关键．15．【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A1＝∠A2＝∠A3＝据此找规律可求解【详解】解：在△ABC 中∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1 解析：202012α【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A 1＝12α，∠A 2＝212α，∠A 3＝312α，据此找规律可求解． 【详解】 解：在△ABC 中，∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1＝∠A 1CD ﹣∠A 1BC ＝12（∠ACD ﹣∠ABC ）＝12∠A ＝12α， 同理可得∠A 2＝12∠A 1＝212α， ∠A 3＝12∠A 2＝312α， …以此类推，∠A 2020＝202012α， 故答案为：202012α．【点睛】考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解题的关键． 16．【分析】根据平行线的判定进行分析可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论【详解】∵DE 和BC 被AB 所截∴当时AD ∥BC （内错角相等两直线平行）故答案为【点睛】此题考查平行线的性质难度不大解析：DAB B ∠=∠【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论．∵DE和BC被AB所截，∠=∠时,AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.∴当DAB B∠=∠故答案为DAB B【点睛】此题考查平行线的性质，难度不大17．500【分析】连接BB由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DBE=60°再根据三角形外角性质即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°进而得出∠CEG=50°再根据三角形内角和定理即可得到△C解析：500【分析】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，进而得出∠CEG=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°．【详解】如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，∵∠ADF是△BDB'的外角，∠CEG是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，又∵∠ADF=70°，∴∠CEG=50°，又∵∠C=80°，∴△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．①③【分析】依次分析判断即可得到答案【详解】①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数故该项正解析：①③【分析】依次分析判断即可得到答案.①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数，故该项正确；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，则x 与y 异号，那么点P 在第二或第四象限，故该项错误；故答案为：①③.【点睛】此题考查命题的正确与否，正确掌握各知识点并熟练运用解题是关键.19．90°【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：∵BDBE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线∴∠DBE=×180°=90°∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=9解析：90°．【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵BD ，BE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线，∴∠DBE=12×180°=90°， ∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．125【分析】利用平角的定义可得由角平分线的性质易得由三角形的内角和定理可得结果【详解】解：平分平分故答案为：125【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理熟练运用定理是解答此题的关键 解析：125【分析】利用平角的定义可得180********ACDBCE DCE ，由角平分线的性质易得11()1105522OABOBA DAC CBE ，由三角形的内角和定理可得结果． 【详解】解：40DCE ， 180********ACDBCE DCE ， DACD ，EBCE ∠=∠， 221802140220DACCBE ， 110DAC CBE ，AO平分DAC∠，BO平分EBC∠，∴11()1105522OAB OBA DAC CBE，180()18055125O OAB OBA，故答案为：125．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用定理是解答此题的关键．三、解答题21．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+∠．【分析】（1）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（2）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+12∠A．【详解】解：如下图所示，（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，∴∠2+∠4=20°+30°=50°，∴△BCP中，∠P=180°-50°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，∴∠2+∠4=12×110°=55°，∴△BCP中，∠P=180°-55°=125°，故答案为：125°；（3）∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，故答案为：135°；（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-⨯︒-∠=︒+∠∠． 故答案为：1902A ︒+∠． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．22．110°【分析】利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE ，∠A′DE ，即可解决问题．【详解】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝20°，∠C ＝125°，∴∠B ＝35°，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝35°，∠BDE ＋∠B ＝180°，∴∠BDE ＝180−∠B ＝180°−35°＝145°，∵△ADE 沿DE 折叠成△A′DE ，∴∠A′DE ＝∠ADE ＝35°，∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE ＝145°−35°＝110°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．23．（1）三角形的外角性质；（2）180，三角形内角和定理【分析】（1）在△ACD 中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；（2）在△BFD 中，利用三角形的内角和定理计算即可．【详解】（1）∵∠BDC=∠A+∠ACD （三角形的外角性质），∴∠BDC=62°+35°=97°（等量代换），故答案为：三角形的外角性质；（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°（三角形内角和定理），∴∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE （等式的性质），=180°-97°-20°（等量代换）=63°；故答案为：180°，三角形内角和定理．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．24．∠DAC =20°，∠BOA =125°．【分析】在Rt △ACD 中，根据两锐角互余得出∠DAC 度数；△ABC 中由内角和定理得出∠ABC 度数，继而根据AE ，BF 是角平分线可得∠BAO 、∠ABO ，最后在△ABO 中根据内角和定理可得答案．【详解】∵AD 是BC 上的高，∴∠ADC =90°，又∵∠C =70°，∴∠DAC =90°﹣∠C =20°，∵∠BAC =50°，AE 平分∠BAC ，∴∠ABC =180°﹣∠BAC ﹣∠C =60°，∠BAO =12∠BAC =25°， ∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABO =12∠ABC =30°， ∴∠AOB =180°﹣∠ABO ﹣∠BAO =180°﹣30°﹣25°=125°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°和三角形高线、角平分线的定义是解题的关键．25．①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD ∥BC ，进而得到∠ADE=∠C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB ∥CD ．【详解】猜想：AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠AGH （对顶角相等）∴∠2=∠AGH （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）∴∠ADE=∠C （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C （已知）∴∠ADE=∠A （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）故答案为：①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据同位角相等证得//DG BC ，根据垂直得到同位角相等进而得到//FE DC ，然后根据平行线的性质，利用等量代换即可证明；（2）根据90CDB ∠=︒，得到190ADG ∠+∠=︒，结合（1）中结论12∠=∠和1DCB ∠=∠，利用等量代换即可证明．【详解】（1）∵AGD ACB ∠=∠∴//DG BC∴1DCB ∠=∠∵EF AB ⊥，CD AB ⊥∴//FE DC∴2DCB =∠∠∴12∠=∠（2）由（1）得1DCB ∠=∠∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴190ADG ∠+∠=︒又∵1DCB ∠=∠∴90BCD ADG ∠+∠=︒【点睛】本题考查了平行的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是本题的关键．。

好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，
C.△ABC 中 ， ∠ A ＝ 30° ， 则 ∠ ABC ＋ ∠ ACB ＝
________，∠XBC＋∠XCB＝________.
150°
90°
(2)如图②，改变直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ 的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么 ∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例 说明；若不变化，请求出
3 【教材P187复习题T16(1)变式】如图，在△ABC中， 点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数．
解：∵BP，CP 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠PBC＋∠PCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(180°－∠A)＝12× (180°－60°)＝60°. ∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－60°＝120°.
7 如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证∠EAC＝∠B.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.
(2)若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x. 由(1)知∠EAC＝∠B＝50°， ∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°. 在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°， ∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°. ∴3x＝48°，即∠E＝48°.
8 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于 点O，D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交 点，∠BOC＝120°.
(1)求∠A的度数；
解：∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＋∠OCB＝60°. ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ ABC＋ ∠ ACB＝2∠ OBC＋ 2∠ OCB＝2(∠OBC＋ ∠OCB)＝120°.∴∠A＝60°.

B
第2课时 三角形的外角
A
第2课时 三角形的外角
76
第2课时 三角形的外角
75
第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角
知识点2 三角形的外角定理2 D
第2课时 三角形的外角
D
C 拓广探究创新练
76 6
第2课时 三角形的外角
第七章平行线的证明
5 三角形内角和定理
第七章 平行线的证明
第2课时 三角形的外角
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
第2课时 三角形的外角
A 知识要点分类练
知识点1 三角形的外角定理1 50° 130° ∠BCE
第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角
B 规律方法综合练
C
第2课时 三角形的外角Fra bibliotek第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角
第2课时 三角形的外角

7.5三角形内角和定理第二课时知能操练提高ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提高1.如图 , a∥b, ∠ 1=65°, ∠ 2=140°, 则∠ 3 等于 ()A. 100°B. 105°C.110°D. 115°2.将一副直角三角尺如图搁置, 使含 30°角的三角尺的直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,则∠1的度数为 ()A. 60°B. 75°C. 65°D. 70°3.一副三角尺有两个直角三角形, 如图叠放在一同 , 则∠α的度数是 ()A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°(第 3题图)(第 4题图)4. 如图,平面上直线 a, b 分别过线段 OK两头点(数据如图),则 a, b 订交所成的锐角是()A. 20°B. 30°C. 70°D. 80°5. 如图,在△ ABC中,∠ A=30°,∠ B=50°,延伸 BC到点 D,则∠ ACD=.(第 5题图)(第 6题图)6.如图 , ∠ 1=30°, ∠B=60°, ∠C=20°, 则∠ 2=,∠A=.7 .如图 , 已知∠AOB=α, 在射线, 上分别取点1, 1,使11,连结 1 1,在11,1上分别取点OAOB A B OA=OB A B BA BB2,2,使12 1 2,连结 2 2按此规律下去, 记∠ 2 1 21,∠ 3232,, ∠n+1 n n+1n,则A BBB=BA A B A BB =θ A B B =θ A BB =θ(1) θ1=;(2)θn=.8.如图 , ∠BAF, ∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角.你能猜想这三个角的和等于多少度吗?并证明你的结论 .9.已知 , 如图 , ∠ACE是△ABC的一个外角 , ∠ABC的均分线与∠ACE的均分线交于点D, 若∠A=80°, 求∠D的度数 .创新应用10.阅读理解如图①, △中, 沿∠的均分线AB折叠 , 剪掉重叠部分 ; 将余下部分沿∠BA C的均分线111A1B2折叠,剪掉重叠部分将余下部分沿∠B n A n C的均分线A nB n+1折叠 , 点B n与点C重合.不论折叠多少次 , 只需最后一次恰巧重合, 我们就称∠BAC是△ABC的好角.小丽展现了确立∠ BAC是△ ABC的好角的两种情况 . 情况一:如图②,沿等腰三角形 ABC顶角∠BAC的均分线 AB1折叠,点 B 与点 C重合;情况二:如图③,沿△ ABC的∠ BAC的均分线 AB1折叠,剪掉重叠部分 ; 将余下的部分沿∠B1A1C的均分线A1B2折叠 , 此时点B1与点C重合.研究发现(1) △ABC中 , ∠B=2∠C, 经过两次折叠, ∠BAC是否是△ABC的好角 ?( 填“是”或“不是”).(2)小丽经过三次折叠发现了∠ BAC是△ ABC的好角,请研究∠ B 与∠ C(不如设∠ B>∠ C)之间的等量关系 .依据以上内容猜想: 若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角 , 则∠B与∠C( 不如设∠B>∠C) 之间的等量关系为.应用提高(3) 小丽找到一个三角形, 三个角分别为15°,60 °,105 °, 发现60°和 105°的两个角都是此三角形的好角 .请你达成 , 假如一个三角形的最小角是 4°, 试求出三角形此外两个角的度数 , 使该三角形的三个角均是此三角形的好角 .答案：能力提高1. B把图中的线适合延伸, 如图.∵∠ 1=65°, ∠ 2=140°( 已知 ),∴∠ 4=75°( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) .又 a∥b(已知),∴∠ 3=180° - ∠4=180° - 75° =105°( 两直线平行, 同旁内角互补 ) .2. B3. A 如图 , ∵∠ 2=90° - 30° =60°( 余角的定义 ),∴∠ 1=∠ 2- 45° =15°( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) .∴∠ α=180° - ∠ 1=165°( 补角的定义 ) .4. B 设 a , b 订交所成的锐角为 α, 则∠ α=100° - 70° =30° .5. 80°∵∠ A=30°, ∠ B=50°( 已知 ),∴∠ ACD=∠ A+∠B=30° +50° =80°( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ) .6. 50° 70°∠ 2=∠ FEC+∠ C=∠ 1+∠ C=30° +20° =50° . ∴∠ A=180° - ∠ B-∠ 2=180° - 50° -60° =70° .180° + ??(2??- 1) ·180° + ??180° - ??7. (1)2(2)2??由等腰三角形的性质 , 可解得∠ OA 1B 1=2 , 再依据三角形外角180° + ??3×180° + ??7×180° + ??(2??- 1) ·180° + ??和定理 , 得 θ1=2. 同理 , 可推得 θ 2=22, θ 3=23, ,θn =2??.8. 解 ∠ BAF+∠ CBD+∠ACE=360° . 证明以下 :∵∠ BAF=∠ 2+∠3, ∠ CBD=∠ 1+∠ 3, ∠ACE=∠ 1+∠ 2( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ),∴∠ BAF+∠ CBD+∠ ACE=2( ∠ 1+∠ 2+∠3)( 等式的性质 ) .∵∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°( 三角形内角和定理 ),∴∠ BAF+∠ CBD+∠ ACE=2×180° =360°( 等量代换 ) .9. 解 ∵BD 是∠ ABC 的均分线 ( 已知 ),1∴∠ DBC=∠ABC (角均分线的定义) .2∵CD 是∠ ACE 的均分线 ( 已知 ),1∴∠ DCE=∠ACE (角均分线的定义) .2∵∠ ACE 是△ ABC 的外角 , ∠ DCE 是△ BCD 的外角 ( 外角的定义 ),1 1 1 1 1 ∴∠ D=∠ DCE-∠DBC=∠ ACE- ∠ ABC=( ∠ ACE-∠ ABC ) = ∠ A= ×80° =40°( 三角形的一个外角等22222于和它不相邻的两个内角的和 ) .创新应用10. 解 (1)是(2) ∵经过三次折叠∠ BAC 是△ ABC 的好角 ,∴第三次折叠的∠ A 2B 2C=∠ C.以下图 .∵∠ ABB 1=∠ AA 1B 1, ∠ AA 1B 1=∠ A 1B 1C+∠ C ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ),又∠ A 1B 1C=∠ A 1A 2B 2, ∠ A 1A 2B 2=∠ A 2 B 2C+∠ C ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ),∴∠ ABB 1=∠ A 1B 1C+∠ C=∠ A 2B 2C+∠C+∠ C=3∠C ( 等量代换 ) .∠ ∠ C 由上边的研究发现 , 若∠ 是△的好角 , 折叠一次重合 , 有∠ ∠ ; 折叠二次 B=n BAC ABC B= C重合,有∠ 2∠ ; 折叠三次重合 , 有∠ 3∠ 由此可猜想若经过 n 次折叠∠ 是△ 的好B= CB= CBAC ABC角, 则∠ B=n ∠ C.(3) ∵最小角 4°是△ ABC 的好角 , ∴依据好角定义 , 则可设此外两角的度数分别为 4m °,4 mn °( 此中 m , n 都是正整数 ) .由题意 , 得 4m+4mn+4=180,∴m ( n+1) =44.∵m , n 都是正整数 , ∴m 与 n+1 是 44 的整数因子 , 所以有 m=1, n+1=44; m=2, n+1=22; m=4, n+1=11; m=11, n+1=4; m=22, n+1=2.∴m=1, n=43; m=2, n=21; m=4, n=10; m=11, n=3; m=22, n=1.∴4m=4,4 mn=172;4 m=8,4 mn=168;4 m=16,4 mn=160;4 m=44,4 mn=132;4 m=88,4 mn=88.∴该三角形的此外两个角的度数分别为4°,172 °;8 °,168 °;16 °,160 °;44 °,132 °;88 °,88 °.。

4．如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且 ∠C＝2∠B，∠BFC比∠BEC大20°.求∠C的度数．
解：由三角形外角的性质，得∠BFC＝∠A＋∠C， ∠BEC＝∠A＋∠B. ∵∠BFC比∠BEC大20°， ∴(∠A＋∠C)－(∠A＋∠B)＝20°， 即∠C－∠B＝20°. ∵∠C＝2∠B，∴∠B＝20°.∴∠C＝40°.
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C.
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝ 1 ∠BAC＝ － 1(∠B＋∠C2)．
1 2
(180°－∠B－∠C)＝90°
2
因为 AD⊥BC，所以∠ADE＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B， 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B) ＝12(∠B－∠C)． 因为∠B－∠C＝40°，所以∠DAE＝12×40°＝20°.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝
1 2
∠BAC＝40°，
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
(2)探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成
∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数，你认为能吗？
若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 解：能．因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.
(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x. 由(1)知∠EAC＝∠B＝50°， ∴∠EDA＝∠EAD＝x＋50°. 在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°， ∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°. ∴3x＝48°，即∠E＝48°.
(3)设∠B＝α，∠C＝β(α>β)，请用含α，β的式子表示∠DAE 的度数(直接写出结论)．

第七章 平行线的证明
三角形内角 和定理 5
(nèi jiǎo)
12/10/2021
第一页，共二十三页。
第七章
平行线的证明(zhèngmíng)
第1课时 三角形内角和定理(dìnglǐ)
的证明
A 知识要点分类练
B 规律方法综合练
12/10/2021
C 拓广探究创新练
第二页，共二十三页。
第1课时(kèshí) 三角形内角和定理的证明
直角三角形．故选 B.
12/10/2021
第三页，共二十三页。
第1课时(kèshí) 三角形内角和定理的证明
2．2017·株洲如图 7－5－1，在△ABC 中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠
C＝3x，则∠BAD＝( B )
A．145°
B．150°
C．155°
D．160°
图 7－5－1
[解析] 在△ABC 中，因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠BAC＝x，∠B ＝2x，∠C＝3x，所以 6x＝180°，所以 x＝30°，所以∠BAC＝30°，所以 ∠BAD＝180°－30°＝150°.故选 B.
12/10/2021 所以∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°， 即 EG⊥FG.
第十四页，共二十三页。
第1课时(kèshí) 三角形内角和定理的证明
12．如图 7－5－8 所示，在△ABC 中，已知∠C>∠B，AD⊥BC 于
1
点
D，AE
平分∠BAC，判断∠EAD
1
与2(∠C－∠B)的关系，并说明理由．
5．2016·宁波如图 7－5－4，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD∥
AB，∠ACD＝40°，则∠B 的度数为( B )

图 7－5－16
[解析] 如图，根据题意，可知∠2＝90°，∠3＝45°，因此∠4＝45°. 又因为∠5＝30°，所以∠1＝75°.
第七页，共二十一页。
第 课时 2
(kèshí)
三角形的外角
6．如图 7－5－17 所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC 的度数．
所以∠ABC＝2∠1，∠ACD＝2∠2.
因为∠HCD 是△BCH 的外角， 所以∠H＝∠2－∠1.
图 7－5－25
因为∠ACD 是△ABC 的外角，
所以∠A＝∠ACD－∠ABC＝2∠2－2∠1＝2(∠2－∠1)＝2∠H.
第十七页，共二十一页。
第2课时(kèshí)
三角形的外角
(2)设∠A＝x，由(1)得∠H＝x2. 180°－x
第十九页，共二十一页。
图 7－5－26
2 第 课时(kèshí)
三角形的外角
[解析] 因为 A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，所以∠1＝∠2＝90°－7°＝83°， 所以∠A＝∠1－∠AOB＝76°.
如图，当 MN⊥OA 时，光线沿原路返回，所以∠4＝∠3＝90°－7°＝83°， 所以∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，所以∠8＝ ∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝69°＝90°－3×7°，所以∠9＝∠8－∠AOB ＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，由以上规律可知∠A＝90°－n·7°.当 n＝12 时，∠A 取得最小值，最小度数为 6°.
因为 AB＝AC，所以∠ABC＝ 2 . 180°－x
因为 BH 是∠ABC 的平分线，所以∠1＝ 4 . 因为∠2 是△BCH 的外角，

10 如图，△ABC中，高BD，CE交于点G，假设∠A＝70 °，那么∠BG1C1＝0°________.
11 如图是某建筑工地上的人字架．∠1＝120°，那 么∠3－∠2的度数为_____6_0_°_．
12 【2021·石家庄43中期末】如图，∠1＝20°，∠2＝ 30°，∠BDC＝95°，那么∠A的度数是_4_5_°_____．
4 【中考·黔东南州】将一副直角三角尺如图放置， 假设AE∥BC，那么∠AFD的度数是D ( ) A．45° B．50° C．60° D．75°
5
假设一个三角形的三个内角度数的比为2:7:4，那么这
个三角形是(C )

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是 6
第七章
平行线的证明
集课训题课2堂 测 素 质
三角形的内角和
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答案呈现
1 如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°， AD是△ABC的角平分线，那么∠CAD的度A数为 () A．40° B．45° C．50° D．55°
19 (10分)：如图，在△ABC中，∠A＝60°， ∠ACB＝40°，D为BC边延长线上一点，BM平 分∠ABC，E为射线BM上一点． (1)如图，连接CE. ①假设CE∥AB，求∠BEC的度数；
解：∵∠A＝60°，∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝80°. ∵BM 平分∠ABC，

第七章平行线的证明1定义与命题定义与命题的概念A.基础夯实1. 下列语句是命题的是（）A. 你喜欢数学吗？B. 小明是男生C. 太和香椿D. 加强体育锻炼2. 下列语句中，不是命题的是（）A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短C. 作角A的平分线D. 内错角相等3. 下列命题是真命题的是（）A. 8的立方根是±2B. 4的平方根是2C. 同位角相等D. 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定4. 下列命题的结论不成立的是（）A. 两直线平行，同位角相等B. 两直线平行，内错角相等C. 两直线平行，同旁内角互补D. 两直线平行，同旁内角相等5. 对假命题“若a>b，则a2>b2”举反例，正确的反例是（）A. a=−1，b=0B. a=−1，b=−1C. a=2，b=1D. a=−1，b=−26. 命题“若a≠b，b≠c，则a≠c”是命题.（填“真”或“假”）B.能力提升7. 说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是a= .8. 把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式.9. 下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）两直线平行，同位角相等；（2）对顶角相等.10. 指出下列命题的条件和结论.（1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；（2）两条直线平行时没有交点；（3）锐角小于它的余角.C.拓展思维11. 命题：直角三角形的两锐角互余.（1）将此命题写成“如果……那么……”的形式；（2）请判断此命题的真假.若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程.12. 已知命题“如果a=b，那么|a|=|b|”.（1）写出此命题的条件和结论；（2）写出此命题的逆命题；（3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明.2 平行线的判定A.基础夯实1. 如图，在平移三角板画平行线的过程中，理由是（）第1题图A. 两直线平行，同位角相等B. 两直线平行，内错角相等C. 同位角相等，两直线平行D. 内错角相等，两直线平行2. 如图，下列不能判定DE//BC的条件是（）第2题图A. ∠B=∠ADEB. ∠2=∠4C. ∠1=∠3D. ∠ACB+∠DEC=180∘3. 如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠4=∠5；③∠2+∠5=180∘；④∠1=∠3；⑤∠6=∠1+∠2.其中能判定直线l1//l2的有（）第3题图A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，若∠1=50∘，∠2=158∘，则∠3的度数为（）第4题图A. 50∘B. 68∘C. 72∘D. 78∘5. 在下列图形中，由∠1=∠2能得到AB//CD的是（）A. B.C. D.6. 如图表示钉在一起的木条a，b，c.若测得∠1=50∘，∠2=75∘，要使木条a// b，木条a至少要旋转∘ .第6题图B.能力提升7. 如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1=∠3；②如果∠2=30∘，那么AC//DE；③如果∠2=30∘，那么BC//AD；④如果∠2=30∘，那么∠4=∠C.其中正确的有 .（填序号）第7题图8. 如图，已知∠ADE=70∘，DF平分∠ADE，∠2=35∘，求证：DF//BE.9. 按要求完成下列证明：已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E是AC上一点，且∠1+∠2= 90∘ .求证：DE//BC.证明：∵CD⊥AB（已知），∴∠1+=90∘（）.∵∠1+∠2=90∘（已知），∴=∠2（）.∴DE//BC（）.C.拓展思维10. 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.（1）判断图中的FC和AB有怎样的位置关系,并说明理由；（2）计算图中∠DFC的度数.11. 如图1，已知AC//BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN//AC.（1）MN与BD的位置关系是什么？请说明理由；（2）试说明∠APB=∠PBD+∠PAC；（3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由.3 三角形内角和定理三角形的内角和定理的证明A.基础夯实1. 下列说法中错误的是（）A. 三角形的三个内角中至少有两个角是锐角B. 有一个角是锐角的三角形是锐角三角形C. 一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60∘D. 如果三角形的两个内角之和小于90∘，那么这个三角形是钝角三角形2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=25∘，点D在AB边上，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′的度数为（）第2题图A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘3. 如图，点O是△ABC内一点，∠A=80∘，∠1=15∘，∠2=40∘，则∠BOC等于（）第3题图A. 95∘B. 120∘C. 135∘D. 无法确定4. 如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于（）第4题图A. 165∘B. 135∘C. 105∘D. 75∘5. 一副三角板按如图所示放置，AB//DC，则∠CAE的度数为（）第5题图A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘6. △ABC中，∠A比∠B大10∘，∠C=50∘，则∠A= .B.能力提升7. 如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=120∘，则∠A =∘ .第7题图8. 如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A= 72∘，则∠D−∠E=∘ .9. 已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180∘ .10. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=50∘，∠BCE= 30∘ .（1）求∠ACE的度数；（2）求∠ADB的度数.C.拓展思维11. 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.（1）【操作判断】操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD；操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直线上.完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是，直线BC，AE的位置关系是；（2）【深入探究】操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平.根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由；（3）【结论应用】如图1，已知∠ABC=58∘，∠ACB=48∘，请直接写出∠BDC的度数.章末复习A.基础夯实1. 有甲、乙、丙三位老师，一位是语文老师，一位是数学老师，一位是英语老师.已知甲不是英语老师，英语老师的年龄比乙小，丙比数学老师年龄大.那么，下面的判断正确的是（）A. 甲是语文老师，乙是英语老师，丙是数学老师B. 甲是数学老师，乙是语文老师，丙是英语老师C. 甲是数学老师，乙是英语老师，丙是语文老师D. 甲是语文老师，乙是数学老师，丙是英语老师2. 下列各命题的逆命题成立的是（）A. 全等三角形的对应角相等B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C. 两直线平行，同位角相等D. 如果两个角都是45∘，那么这两个角相等3. 下列说法正确的有（）①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a//b，b//c，则a//c.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 如图，将一副三角板摆放在直线AB上，∠ECD=∠FDG=90∘，∠EDC=45∘，设∠GDB=x，则用含x的代数式表示∠EDF的度数为（）A. xB. x−15∘C. 45∘−xD. 60∘−x5. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A=30∘，∠1=45∘，则∠2=（）A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 15∘6. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式： .B.能力提升7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE//BC，∠A=44∘，∠1=57∘，则∠2= .8. 如图，点E在AC的延长线上，请添加一个恰当的条件：，使AB// CD.9. 如图，CB平分∠ACD，∠1=∠3.求证：AB//CD.10. 如图，在△ABC中，∠A=70∘ ,△ABC的外角∠BCD的平分线CE//AB,求∠B 和∠ACB的度数.C.拓展思维11. 在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D.（1）如果点F与点A重合，且∠C=50∘，∠B=30∘，如图1，求∠EFD的度数；（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD=12(∠C−∠B)；（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C−∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由.第七章平行线的证明1定义与命题定义与命题的概念A.基础夯实1．B2．C3．D4．D5．D6．假B.能力提升7．08．解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行9．（1）解：条件：两直线平行；结论：同位角相等.（2）条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.10．（1）解：条件为两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论为这两条直线平行.（2）条件为两条直线平行，结论为这两条直线没有交点.（3）条件为有一个角是锐角，结论为这个角小于它的余角.C.拓展思维11．（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.（2）此命题是真命题；已知：△ABC中，∠B=90∘ .求证：∠A+∠C=90∘ .证明：∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴∠A+∠C=180∘−∠B.∵∠B=90∘，∴∠A+∠C=180∘−90∘=90∘ .12．（1）解：此命题的条件为a=b，结论为|a|=|b|.（2）此命题的逆命题为如果|a|=|b|，那么a=b.（3）此命题的逆命题是假命题，当a，b互为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a=2，b=−2时，|2|=|−2|，而2≠−2.2 平行线的判定A.基础夯实1．C2．C3．C4．C5．A6．25B.能力提升7．①②④8．证明：∵DF平分∠ADE，∴∠1=1∠ADE.2∵∠ADE=70∘，∴∠1=35∘ .∵∠2=35∘，∴∠2=∠1，∴DF//BE.9．∠EDC；垂直的定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行C.拓展思维10．（1）解：FC//AB，理由：∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠3=∠B=45∘ .∵∠DCE=90∘，CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=45∘，∴∠1=∠3，∴FC//AB.（2）∵∠2=45∘，∠E=60∘，∴∠DFC=∠2+∠E=45∘+60∘=105∘ .11．（1）解：平行.理由如下：∵AC//BD，MN//AC，∴MN//BD.（2）∵AC//BD，MN//AC，∴AC//BD//MN,∴∠PBD=∠1，∠PAC=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PBD+∠PAC.（3）不成立.它们的关系是∠APB=∠PBD−∠PAC.理由：如图，过点P作PQ//AC.∵AC//BD，∴PQ//AC//BD，∴∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ，∴∠APB=∠BPQ−∠APQ=∠PBD−∠PAC.3三角形内角和定理三角形的内角和定理的证明A.基础夯实1．B2．D3．C4．A5．B6．70∘B.能力提升7．608．36【解析】∵∠A =72∘ ，∴∠ABC +∠ACB =180∘−72∘=108∘ .∵BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，∴∠EBC +∠ECB =23(∠ABC +∠ACB )=23×108∘=72∘ ，∠DBC +∠DCB =13(∠ABC +∠ACB )=13×108∘=36∘ ，∴∠D =180∘−(∠DBC +∠DCB )=180∘−36∘=144∘ ，∠E =180∘−(∠EBC +∠ECB )=180∘−72∘=108∘ ，∴∠D−∠E =144∘−108∘=36∘ .9．证明：如图，过点C 作CF //AB ，则∠B =∠BCF ，∴∠B +∠ACB =∠ACF .∵CF //AB ，∴∠A +∠ACF =180∘ ，∴∠B +∠ACB +∠A =180∘ .10．（1）解：∵CE是△ABC的高，∴∠ACE+∠BAC=90∘ .∵∠BAC=50∘，∴∠ACE=40∘ .∠BAC.（2）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC=12∵∠BAC=50∘，∴∠DAC=25∘ .∵∠ACE=40∘，∠BCE=30∘，∴∠ACD=70∘，∴∠ADB=∠DAC+∠ACD=25∘+70∘=95∘ .C.拓展思维11．（1）∠ABD=∠CBD；BC⊥AE（2）解：∠DBF=∠BDF，理由如下：由（1）得∠CBD=∠FBD，AE⊥BC，AE⊥DF，∴DF//BC，∴∠CBD=∠FDB，∴∠DBF=∠BDF.（3）∵∠ABC=58∘，∠ACB=48∘，∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=74∘ .∠ABC=29∘，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=12∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=103∘ .章末复习A.基础夯实1．B2．C3．A4．C5．D6．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行B.能力提升7．101∘8．∠1=∠2（答案不唯一）9．证明：∵CB平分∠ACD,∴∠1=∠2.∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB//CD.10．解：∵CE//AB,∴∠DCE=∠A=70∘ ,∠B=∠ECB.又∵CE平分∠DCB,∴∠B=∠ECB=70∘，∴∠ACB=180∘−∠DCE−∠ECB=180∘−70∘−70∘=40∘ .C.拓展思维11．（1）解：∵∠C=50∘，∠B=30∘，∴∠BAC=180∘−50∘−30∘=100∘.∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=50∘ .在△ACE中，∠AEC=80∘，在Rt△ADE中，∠EFD=90∘−80∘=10∘ .（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=180∘−∠B−∠C2=90∘−12(∠C+∠B).∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+90∘−12(∠C+∠B)=90∘+12(∠B−∠C).∵FD⊥BC，∴∠FDE=90∘ .∴∠EFD=90∘−90∘−12(∠B−∠C)，∴∠EFD=12(∠C−∠B).（3）解：没有发生变化，∠EFD=12(∠C−∠B).理由：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=180∘−∠B−∠C2.∵∠DEF为△ABE的外角，∴∠DEF=∠B+180∘−∠B−∠C2=90∘+12(∠B−∠C).∵FD⊥BC，∴∠FDE=90∘ .∴∠EFD=90∘−90∘−12(∠B−∠C)，∴∠EFD=12(∠C−∠B).。

2018秋八年级数学上册第七章平行线的证明7.5 三角形内角和定理（第1课时）课时训练题（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018秋八年级数学上册第七章平行线的证明7.5 三角形内角和定理（第1课时）课时训练题（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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7。

5三角形内角和定理(1）基础导练1。

三角形三个内角之比为2:3:4，则这个三角形是( ）A 锐角三角形 B. 直角三角形C。

钝角三角形 D。

以上都比对。

2. （2012·肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥B C,∠B＝60°，∠AED＝40°，∠A 的度数为( )A. 100° B。

90° C。

80° D。

70°3. 如图，在三角形纸片ABC中,∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠（折痕为DE），使点C落在△ABC内的C′处,若∠AEC′=20°，则∠BDC′的度数是( )A．30° B．40° C．50° D．60°能力提升4。

如图，已知AD∥BC,∠EAD=50°，∠ACB=40°，则∠BAC是 ______度．5.如图，在△ABC中,∠A=50°，∠B=60°，CD平分∠AC B,则∠ACD的度数是______．参考答案1. A2. C3。

一、选择题1．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）①OE 平分AOD ∠；②AOC BOD ∠=∠；③15AOC CEA ∠-∠=︒；④180COB AOD ∠+∠=︒ A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题是真命题的是（ ） A ．平行于同一直线的两条直线平行 B ．两直线平行，同旁内角相等 C ．同旁内角互补D ．同位角相等3．下列命题中，属于假命题的是（ ） A ．相等的角是对顶角 B ．三角形的内角和等于180° C ．两直线平行，同位角相等D ．两点之间，线段最短 4．下列选项中，可以用来证明命题“若,a b >则a b >”是假命题的反例是（ ） A ．1,0a b ==B ．1,2a b ==-C ．2,1a b =-=D ．2,1a b ==-5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A ．3的平方根是3 B ．5是无理数 C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等6．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（ ）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23°7．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．B D∠=∠D ．12180B ∠+∠+∠=︒8．已知下列命题（1）等边三角形的三个内角都相等； （2）平行四边形相邻的两个角都相等；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等； （4）底角相等的两个等腰三角形全等． 其中原命题和逆命题均为真命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．任何非负数的算术平方根是非负数D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 10．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF11．下列说法正确的是（ ） A ．同位角相等B ．相等的角是对顶角C ．内错角相等，两直线平行D ．互补的两个角一定有一个锐角 12．在ABC 中，若+,A B C ∠=∠∠那么这个三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形二、填空题13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝52°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB 为_____．14．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．15．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．16．如图，AB ∥CD ，EF 交AB 、CD 于点G 、H ，GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，GM 、HM 交于点M ，则∠GMH ＝_________．17．如图，已知：AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1＝40°，求∠2的度数．完成下面的证明过程： 证明：∵AB ∥CD （ ）， ∴∠1＝∠BCD ＝40°（ ）． ∵BD ⊥BC ， ∴∠CBD ＝ ．∵∠2+∠CBD+∠BCD ＝ （ ）， ∴∠2＝ ．18．如图，已知AD ∥BC ，∠1=∠2，∠A=112°，且BD ⊥CD ，则∠C=_____．19．如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1＋∠2＝90°，M 、N 分别是BA ，CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ．下列结论：①AB ∥CD ；②∠AEB ＋∠ADC ＝180°；③DE 平分∠ADC ；其中结论正确的有______________20．数学课上，同学提出如下问题：老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB ，CD 被直线所截EF ，AB ∥CD ，那么∠EOB=EO D '∠．” 如图2，假设∠EOB≠EO D '∠，过点O 作直线A'B'，使EOB '∠=EO D '∠，可得A B ''∥CD ．这样过点O 就有两条直线AB ，A B ''都平行于直线CD ，这与基本事实_________矛盾，说明∠EOB≠EO D '∠的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO D '∠．小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．请补充上述证明过程中的基本事实：_________________________三、解答题21．如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，若1E ∠=∠，试说明：23∠∠=．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．∵AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G （已知）， ∴90ADC EGC ∠=∠=︒ ∴//AD EG （ ） ∴12∠=∠（ ） ∵1E ∠=∠（已知）， ∴E ∠=_______（等量代换） 又∵//AD EG （已证）， ∴______3=∠（ ） ∴23∠∠=（等量代换）．22．如图，//AD BC ，∠1=∠C ，∠B =60°，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ， 试说明//AB DE ．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵//AD BC ，（已知） ∴∠1=∠ =60°．（ ） ∵∠1=∠C ，（已知） ∴∠C =∠B =60°．（等量代换） ∵//AD BC ，（已知）∴∠C +∠ =180°．（ ）∴∠ =180°-∠C =180°-60°=120°．（等式的性质） ∵DE 平分∠ADC ，（已知） ∴∠ADE =12∠ADC =12×120°=60°．（ ） ∴∠1=∠ADE ．（等量代换） ∴//AB DE ．（ ）23．如图所示，已知，A F ∠=∠，C D ∠=∠．（1）求证： //BD CE ；（2）已知:2:3ABD DEC ∠∠=，求DEC ∠的度数． 24．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．（1）如图①，如果80A ∠=︒，求BPC ∠的度数；（2）如图②，作ABC 外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线，且交于点Q ，试探索Q ∠，A ∠之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段BP ，QC 交于点E 若BQE △中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A ∠的度数．25．如图已知12B C ∠=∠∠=∠,，求证：//AB CD ． 证明：∵12∠=∠（已知）， 且14∠=∠（__________），∴24∠∠=（__________）． ∴//BF _____（__________）．∴∠____3=∠（__________）． 又∵B C ∠=∠（已知）， ∴_____________（等量代换）． ∴//AB CD （__________）．26．在数学课上，学习了角平分线后，王老师给同学们出了如下题目：已知直线MN ⊥直线PQ ，垂足为O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图①，AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，点A 、B 在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求AEB ∠的大小．王老师又让各小组经过认真思考后，改编题目中的条件，提出问题，并解答．以下是两个小组提出的问题，请同学们继续解答．（2）创新小组：如图②，点F 是BAP ∠和ABM ∠的角平分线的交点，点A 、B 在运动过程中，F ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由．并求出F ∠的大小．（3）探索小组：如图③，点F 是平面内一点，连接AF 、BF ，将F ∠沿直线CD 翻折后与E ∠重合，已知AB 与CD 不平行，问E ∠、BCE ∠，ADE ∠存在怎样的数量关系（直接写出结论，不必证明）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD ；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD=180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°． 【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°， ∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB ， 即∠AOC=∠BOD ，故②正确； ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确； 如图，AB 与OC 交于点P ，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．综上，②③④正确，共3个，故选：D．【点睛】本题考查了余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．A解析：A【分析】对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.【详解】∵平行于同一直线的两条直线平行，∴选项A正确；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项B错误；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项C错误；∵两直线平行，同位角相等，∴选项D错误；故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键.3．A解析：A【分析】利用对顶角、三角形内角和、平行线的性质等分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、三角形三个内角的和等于180°，是真命题；C、两直线平行，同位角相等，是真命题；D、两点之间，线段最短，是真命题；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角、平行线的性质和三角形内角和，难度不大．4．B解析：B 【分析】需要证明一个结论不成立，可以举反例证明； 【详解】∵当1a =，2b =-时，1＜2-，∴证明了命题“若,a b >则a b >”是假命题； 故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，准确分析判断是解题的关键．5．C解析：C 【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可． 【详解】A 3的逆命题是：3的平方根，是假命题；B C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题； 故选：C ． 【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．6．C解析：C 【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE ，只要求出∠DAC ，∠CAE 即可． 【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C ，∠B=45°，∠C=73°， ∴∠BAC=62°， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠DAC=12∠BAC=31°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．B解析：B【解析】A不可以；∵∠1=∠3，∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB∥CD，∴A不可以；B可以；∵∠2=∠4，∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B可以；C、D不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB∥CD；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB∥BC；∴C、D不可以；故选B.8．B解析：B【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的判定和直线定理、平行四边形的判定和性质定理、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质定理判断即可．【详解】解：（1）等边三角形的三个内角都相等，是真命题，逆命题为：三个角相等的三角形是等边三角形，是真命题；（2）平行四边形相邻的两个角互补，但不一定相等，本说法是假命题，逆命题为：相邻的两个角都相等的四边形是平行四边形，是真命题；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题，逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；（4）底角相等的两个等腰三角形不一定全等，本说法是假命题，逆命题为：两个全等的等腰三角形的底角相等，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．C解析：C【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义逐一分析即可．【详解】解：A．对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，该项为假命题；B．两直线平行，内错角相等，该项为假命题；C．任何非负数的算术平方根是非负数，该项为真命题；D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项为假命题；故选：C．【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．【详解】解：A、∵∠1=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；B、∵∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），但不能判定AD∥BC；C、∵∠EAD=∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；D、∵∠D=∠DCF，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．11．C解析：C【分析】直接利用平行线的性质、判定以及对顶角的定义、补角的特征分别判断得出答案．【详解】A 、两直线平行，同位才能角相等，此项错误；B 、相等的角不一定是对顶角，此项错误；C 、内错角相等，两直线平行，此项正确；D 、互补的两个角不一定有一个锐角，有可能是两个直角，此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、判定以及对顶角的定义等，掌握平行线与相交线的相关知识是解题关键．12．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理得到180A B C ∠+∠+∠=︒，则180B C A ∠+∠=︒-∠，变形得180A A ︒-∠=∠，解得90A ∠=︒，即可判断△ABC 的形状．【详解】解：∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴180B C A ∠+∠=︒-∠，又∵+A B C ∠=∠∠，∴180A A ︒-∠=∠，解得：90A ∠=︒，∴△ABC 为直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考察了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．二、填空题13．14°【分析】根据∠A ＝52°可求∠B 由折叠可知∠DA′C=52°利用外角性质可求【详解】解：∵∠ACB ＝90°∠A ＝52°∴∠B=90°-52°=38°由折叠可知∠DA′C=∠A ＝52°∠A′DB解析：14°【分析】根据∠A ＝52°，可求∠B ，由折叠可知∠D A′C=52°，利用外角性质可求．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝52°，∴∠B=90°-52°=38°，由折叠可知∠D A′C=∠A ＝52°，∠A′DB=∠D A′C -∠B=52°-38°=14°，故答案为：14°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质，解题关键是灵活运用三角形的性质和轴对称性质建立角之间的联系．14．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点 解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．15．如果两个角相等那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论部分写在那么的后面即可【详解】解：命题等角的余角相等写成如果…那么…的形式为：如果两个角是相等角的余角那么这两个角相 解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．16．90°【分析】由平行线性质可得到再由角平分线定义可得到【详解】解：∵AB ∥CD ∴∠BGH+∠GHD=180（两直线平行同旁内角互补）又GMHM 分别平分∠BGH ∠GHD ∴∠MGH+∠GHM=90（角平解析：90°【分析】由平行线性质可得到180BGH GHD ∠+∠=︒，再由角平分线定义可得到90GMH ∠=︒．【详解】解：∵AB ∥CD∴∠BGH+∠GHD=180︒（两直线平行，同旁内角互补）又GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，∴∠MGH+∠GHM=90︒（角平分线的定义）∴ ∠GMH=180︒-（∠MGH+∠GHM ）=180︒-90︒=90︒（三角形内角和定理）． 故答案为 90°．【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线及平行线的综合应用，熟练掌握有关性质、定义和定理是解题关键．17．已知；两直线平行同位角相等；90°；180°；三角形内角和定理；50°【分析】由平行线的性质和垂线的定义可得∠1＝∠BCD ＝40°∠CBD ＝90°由三角形内角和定理可求∠2的度数【详解】∵AB ∥CD解析：已知；两直线平行，同位角相等；90°；180°；三角形内角和定理；50°【分析】由平行线的性质和垂线的定义可得∠1＝∠BCD ＝40°，∠CBD ＝90°，由三角形内角和定理可求∠2的度数．【详解】∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠BCD＝40°（两直线平行，同位角相等）．∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°．∵∠2+∠CBD+∠BCD＝180°（三角形内角和定理），∴∠2＝50°．故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，90°，180°，三角形内角和定理，50°．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．18．56°【解析】解：∵AD∥BC∴∠2=∠ADB又∵AD∥BC∠A=112°∴∠ABC=180°-∠A=68°∵∠1=∠2∴∠1=∠2=∠ADB=34°∵BD⊥CD∴∠2+∠C=90°∴∠C=90°﹣解析：56°【解析】解：∵AD∥BC，∴∠2=∠ADB．又∵AD∥BC，∠A=112°，∴∠ABC=180°-∠A=68°，∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ADB=34°，∵BD⊥CD，∴∠2+∠C=90°，∴∠C=90°﹣34°=56°，故答案为56°．点睛：此题综合运用了三角形的内角和定理、平行线的性质．三角形的内角和是180°；两条直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．19．①③【分析】先根据AB⊥BCAE平分∠BAD交BC于点EAE⊥DE∠1+∠2=90°∠EAM和∠EDN的平分线交于点F由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论【详解】解：∵AB⊥BCAE⊥DE解析：①③【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确，故答案为：①③．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．20．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案【详解】解：假设∠EOB≠∠EOD过点O作直线解析：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．【详解】解：假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，依据基本事实同位角相等，两直线平行，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【点睛】本题考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题的关键．三、解答题21．见解析【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=∠EGC=90°，根据平行线的判定得到AD∥EG，由平行线的性质得到∠1=∠2，等量代换得到∠E=∠2，由平行线的性质得到∠E=∠3，等量代换即可得到结论．【详解】∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠E=∠1（已知）∴∠E=∠2（等量代换）∵AD∥EG，∴∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠2=∠3（等量代换）．【点睛】考查了平行线的性质、垂直的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质．22．B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线性质；内错角相等，两直线平行．【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空．【详解】解∵//AD BC，（已知）∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠C，（已知）∴∠C=∠B=60°．（等量代换）∵//AD BC，（已知）∴∠C+∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质）∵DE平分∠ADC，（已知）∴∠ADE=12∠ADC=12×120°=60°．（角平分线性质）∴∠1=∠ADE．（等量代换）∴//AB DE．（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．23．（1）见解析；（2）∠D EC =108°【分析】（1）由AC//DE可得∠D=∠ABD，根据等量代换得到∠C=∠ABD，从而可证BD//C E；（2）设∠ABD=2x，∠D EC=3x，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】（1）证明∵∠A=∠F，∴AC//DE，∴∠D=∠ABD，∵∠D=∠C ，∴∠C=∠ABD ，∴BD//C E ；（2）∵BD//C E ，DF//BC ，∴∠ABD =∠C ，∠D EC +∠C=180°，∵∠ABD ：∠DEC=2:3，∴设∠ABD=2x ，∠D EC=3x ，则2x+3x=180°，∴x=36°，∴∠D EC =3x=108°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．24．（1）130︒；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）A ∠的度数是90°或60°或120° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE 中，由于∠Q=90°12-∠A ，求出∠E=12∠A ，∠EBQ=90°，所以如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E ；④∠E=2∠Q ；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）∵80A ∠=︒，∴100ABC ACB ∠+∠=︒，又∵点P 是ABC ∠和ACB ∠的平分线的交点，∴50PBC PCB ∠+∠=︒，∴()180********P PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）∵外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线交于点Q ， ∴12QBC MBC ∠=∠，12QCB NCB ∠=∠， ∵180ABC MBC ∠+∠=︒，180ACB NCB ∠+∠=︒，∴180MBC ABC ∠=︒-∠，180NCB ACB ∠=︒-∠， ∴()12QBC QCB MBC NCB ∠+∠=∠+∠()13602ABC ACB =︒-∠-∠ ()1360180-2A =︒-︒∠⎡⎤⎣⎦ ()11802A =︒+∠ 1902A =+∠︒， ∴()180Q QBC QCB ∠=︒-∠+∠1180902A ⎛⎫=︒-︒+∠ ⎪⎝⎭1902A =︒-∠； （3）延长BC 至F ，∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的角平分线，∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线，∴∠ACF=2∠ECF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC=2∠EBC ，∵∠ECF=∠EBC+∠E ，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E ，即∠ACF=∠ABC+2∠E ，又∵∠ACF=∠ABC+∠A ，∴∠A=2∠E ，即∠E=12∠A ， ∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC =12（∠ABC+∠A+∠ACB ） =90°．如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E ，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q ，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．25．见解析【分析】根据平行线的判定和性质解答．【详解】解：证明：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠4（对顶角相等），∴∠2=∠4（等量代换），∴BF ∥EC （同位角相等，两直线平行），∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B=∠C （已知），∴∠3=∠B （等量代换），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 26．（1）AEB ∠的大小不变，理由见解析；135AEB ∠=︒；（2）AFB ∠的大小不变，理由见解析；45F ∠=︒；（3）2ADE BCE E ∠+∠=∠．【分析】（1）根据三角形内角和定理结合角平分线性质解题；（2）由邻补角的定义结合三角形内角和定理解得270BAP ABM ∠+∠=︒，由角平分线的性质得到12EAB OAB ∠=∠，12EBA OBA ∠=∠，据此整理解题； （3）由翻折的性质，得到F E ∠=∠，FDC EDC ∠=∠，FCD ECD ∠=∠，再由三角形内角和定理结合角的和差解题即可.【详解】解：（1）结论：AEB ∠的大小不变，理由：∵90AOB ∠=︒，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线， ∴12EAB OAB ∠=∠，12EBA OBA ∠=∠，∴1()452EAB EBA OAB OBA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴18045135AEB ∠=︒-︒=︒． （2）结论：AFB ∠的大小不变，理由：∵90AOB ∠=︒，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∴270BAP ABM ∠+∠=︒，∵AF 、BF 分别是BAP ∠和ABM ∠的平分线， ∴12FAB PAB ∠=∠，12FBA MBA ∠=∠， ∴1()1352FAB FBA PAB MBA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴180()18013545F FAB FBA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒； （3）2ADE BCE E ∠+∠=∠，理由如下：∵将F ∠沿直线CD 翻折后与E ∠重合，∴F E ∠=∠，FDC EDC ∠=∠，FCD ECD ∠=∠，∵180E ECD EDC ∠+∠+∠=︒，∴180ECD EDC E ∠+∠=︒-∠，又∵1802ADE EDC ∠=︒-∠，1802BCE ECD ∠=︒-∠，∴3602()ADE BCE ECD EDC ∠+∠=︒-∠+∠()36021802E E =︒-︒-∠=∠．【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.。

专题训练(十二) 三角形内角和与外角的综合运用(本专题的部分习题有难度，请根据实际情况选做)1．如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．(广西中考)如图，△AB C中，∠A＝40°，点D为AB延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．(威海中考)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________.4．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝________度．5．如图所示．平面上六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭折线图形．求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F.6．如图所示，已知AB∥CD，DE与BF相交于点E，试探究∠3与∠1、∠2之间的等量关系，并证明你的结论．7．如图，△ABC中，延长BC到D，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P，爱动脑筋的晓敏同学在写作业时，发现如下规律：(1)若∠A＝50°，则∠P＝25°；(2)若∠A＝60°，则∠P＝30°；(3)若∠A＝70°，则∠P＝35°；(4)根据上述规律，若∠A ＝100°，则∠P ＝________；(5)请你用数学表达式归纳出∠P 与∠A 的关系：________________；(6)请说明你的结论正确的理由．参考答案1．B 2.C 3.40° 4.205.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠A ＋∠B ＝∠3，∠C ＋∠D ＝∠1，∠E ＋∠F ＝∠2.又∵∠1、∠2、∠3是一个三角形的三个外角，∴(180°－∠1)＋(180°－∠2)＋(180°－∠3)＝180°. ∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°.6.∠1＋∠2＝∠3＋180°. 证明：连接BD ，∵∠3是△BDE 的外角，∴∠3＝∠BDE ＋∠D BE.∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＋∠CDB ＝180°.∴∠1＋∠2＝∠ABD ＋∠DBE ＋∠CDB ＋∠BDE ＝180°＋∠3.7.(4)50° (5)∠P ＝12∠A (6)∵∠ACD ＝∠ACP ＋∠PCD ＝∠A ＋∠ABC ，又∵∠ACP ＝∠PCD ，∠ABP ＝∠PBC ，∴2∠PCD ＝∠A ＋2∠PBC.∵∠PCD ＝∠P ＋∠PBC ，∴2(∠P ＋∠PBC)＝∠A ＋2∠PBC.∴∠P ＝12∠A.。