新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理(1)

（股）b勾股定理知识点一:勾股定理1.我国古代把直角三角形中的较短直角边称为“勾”，把较长的直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.“勾三股四弦五”实际上就是勾股定理的具体应用之一.如图①所示：① ②2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图②，在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，BC=，AC=，AB=，则有.a b c 222c b a =+例1：如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 长度的平方为（ ）.A. 5B. 6C. 7D. 25知识点二：勾股定理的验证1.我国古代数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，证明了勾股定理.这个图形称为“弦图”或“勾股圆方图”.若设直角三角形的较短直角边长为，较长直角边为，斜边长为，则围成的a b c 大正方形的面积为，四个直角三角形的面积之和为，中间围成的小正方2c ab 2形的面积为，而，由此得到.2)(a b -222)(2b a a b ab +=-+222c b a =+2.如图，用四个全等的直角三角形，可得到一个以为边长的小正方形和一个以为c )(b a +边长的大正方形.因为大正方形边长为，所以其面积为.又大正方形还可以)(b a +2)(b a +看成由4个全等的直角边分别为的直角三角形和一个边长为的正方形组成，所以其b a ,c 面积为：，即：2214c ab +⨯⨯2222222,214)(c ab ab b a c ab b a +=+++⨯=+所以，其中，为直角三角形的直角边，为斜边.222c b a =+a b c 例2：如图，以为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角b a ,c 形拼在一起，使A ，E ，B 这三点在一条直线上.请利用这个图形证明勾股定理.拓展例题拓展点一：计算求值问题例1：一个零件形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm ，求CD 的长.拓展点二：实际应用问题例2：如图，这是一个底面周长为12m ，高为5m 的圆柱形储油罐，现准备从点A 开始，环绕储油罐建造一架梯子，使其正好到点A 正上方的B 点，那么梯子最短应造多长呢？拓展点三：证明问题例3：已知直角三角形纸片的两条直角边分别为和，过锐角顶点m n )(n m <把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）.A. B.0222=++n mn m 0222=+-n mn m C. D.0222=-+n mn m 0222=--n mn m 拓展点四：折叠问题例4：如图，在长方形纸片ABCD 中，AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为 .基础巩固1.下列说法正确的是（ ）.A.已知是三角形的三边，则.c b a ,,222c b a =+B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方.C.在Rt△ABC 中，∠C=90°，所以.222c b a =+D.在Rt△ABC 中，∠B=90°，所以.222c b a =+2.已知直角三角形的两直角边为6和8，那么斜边上的高为（ ）.A. 6B. 8C. 4.8D. 2.43.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（ ）. A. B. C. D.4.一直角三角形的三边分别为2、3、，那么以为边长的正方形的面积为（ ）.x x A. 13 B. 5 C. 13或5 D. 45.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 mm.6.如图，已知在△ABC 中，CD⊥AB 于D ，AC=20，BC=15，DB=9.（1）求DC 的长；（2）求AB 的长.7.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH 等于（ ）.A. 8B. 6C. 4D. 58.如图，A ，B 是直线同侧的两点。

苏科版数学八年级上册3.1《勾股定理》教学设计1一. 教材分析《勾股定理》是苏科版数学八年级上册第三章的第一节，本节课的主要内容是让学生掌握勾股定理的内容、证明及应用。

教材通过生活中的实例引入勾股定理，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。

同时，本节课还引导学生通过探究、合作、交流的方式，感受数学的探究过程，培养学生的数学思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、勾股数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和数学探究能力。

但部分学生对勾股定理的理解可能仍停留在死记硬背的层面，对勾股定理的应用和证明过程可能还不够清晰。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生深入理解勾股定理，提高学生的数学思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的内容、证明及应用。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，让学生体验数学的探究过程，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学的趣味性与魅力，培养学生的数学应用意识。

四. 教学重难点1.重点：勾股定理的内容、证明及应用。

2.难点：勾股定理的证明过程，以及如何将实际问题转化为数学问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入勾股定理，让学生感受数学与生活的紧密联系。

2.探究教学法：引导学生通过自主探究、合作交流的方式，探索勾股定理的证明过程。

3.启发式教学法：教师提问引导学生思考，激发学生的数学思维。

六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的相关课件，包括生活中的实例、证明过程、应用实例等。

2.教学素材：准备一些与勾股定理相关的实际问题，用于课堂练习和拓展。

3.板书设计：设计简洁清晰的板书，突出勾股定理的关键信息。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的实例，如直角三角形的家具尺寸、建筑物的设计等，引导学生感受数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。

《3.1勾股定理（一）》学案一、【学习目标】能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.二、【学习重难点】重点：探索勾股定理.难点：利用数形结合的方法验证勾股定理．三、【自主学习】说一说1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。

观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？四、【合作探究】做一做1、分别以直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？（见课本P78 图3-1）2、这三个面积之间是否存在什么样的未知关系，如果存在，那么它们的关系是什么？ 议一议是否所有的直角三角形都有这个性质呢？请动手验证。

练一练1、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。

(2、如图，在⊿（1），AC 的长； （2）⊿ABC 的面积； （3）CD 的长。

五、【达标巩固】1、在Rt △ABC 中，∠C =90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。

2、已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙俩人相距3、在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是 （ ）A 、5、4、3、；B 、13、12、5；C 、10、8、6；D 、26、24、104、若等腰三角形中腰为10cm,底边为16 cm,那么底边上的高为 ( )A. 12 cmB. 10 cmC. 8 cmD. 6 cm5、如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD ，∠︒=90DBC ，12,4,3===BC AB AD ，求CD .C A。

新苏科版八年级数学上册3.1勾股定理1学案内容：勾股定理 【知识建构】1、 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。

求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2、 如何判定一个三角形是直角三角形：先确定最大边（如c ），验证2c 与22b a +是否具有相等关系。

若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a +则△ABC 不是直角三角形。

3、 勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。

如：（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4） ； （5） ； （6） .【典例导学】例1: 如图所示，在多边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，求多边形ABCD 的面积．定理：222c b a =+应用:主要用于计算直角三角形的性质:勾股定理直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足222c b a =+ 则它是一个直角三角形.勾股定理例2: 如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例3: 如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G 处，若AB=3cm,BC=5cm,BF=6cm,问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这 时蜘蛛走过的路程是多少厘米？【随堂检测】1、下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( ) A ．222a c b -= B ．()()20a b a b c -++= C ．∠A=∠B=∠C D ．∠A=2∠B=2∠C2、如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使 点C 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为( )A 、258 B 、78 C 、256 D 、763、如图所示：是一段楼梯，高BC 是3m ，斜边AB 是5m ，如果在楼梯上铺地毯，那么至少HEDGFCB A需要地毯（ ）A.5mB.6mC.7mD.8m4、如图所示，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞 米.（3） （4） （5）5、如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为______.6、在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．（6） （7）7、如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 的长为______．8、如图，在△ABD 中，∠A 是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD 的面积.9、如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，求AB 的长【能力提升】1、如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？8cm6cm8cm6cm8cm 6cm2、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建 成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的 面积．3、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积 关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠ BAC =90°，AB =3，AC =4，点D，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，求矩形KLMJ 的面积。

八年级上数学教学案 使用时间：课题：勾股定理（1） 班级： 姓名：一、学习目标：1、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。

2、会运用勾股定理解决简单问题。

二、学习新课：（一）勾股定理：1、小组讨论完成课本上有关探究实验的网格题：（1）你能发现图中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？（2）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（3例1：①如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是8 cm 2、10 cm 2、14 cm 2，则正方形D 的面积是_______cm 2．②如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a ，b ，c 三个方形的面积和为③如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．2、直角三角形三边之间的数量关系是： ，即勾股定理。

数学符号语言为(右上图)：在Rt △ABC 中，∵∠C=90° ∴ 。

3.完成练习：①、做课本第79页练习1、2。

②、Rt △ABC 的两边长分别是3和4，则第三边长的平方为多少？③、学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）。

（二）勾股定理的应用：例2：（1）如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，AD ⊥BC 于D ，求AD 长． b（2）已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.4、一棵大树原来高度为18米，在一次台风袭击中，大树在离地面某一高度处折断，经测量，大树顶部离底部的水平距离为12米，问折断处离地面有多高5、如图，将长为10米的梯子AB斜靠在墙上，BC长为6米(1) 求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.(2) 若梯子下部B向后移动2米到E点，那么梯子上部A向下移动了多少米？三、归纳小结：四、当堂测试：1、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为 .2、正方形的面积是4，则它的对角线长是3、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，则AC=__ _，BC=__ _4、如图△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=5、如5图,长为10米的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A距地面的垂直距离为8米，由于不小心梯子的顶端A下滑到D，同时梯子的底端B下滑到点E，细心的小明发现AD与BE的长度相等，那么梯子顶端下滑了米。

新苏科版八年级数学上册《3.1勾股定理（1）》学习案预习目标1．能说出勾股定理，并能运用勾股定理解决简单的问题．2．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想，教材导读阅读教材P78～P79内容，回答下列问题：1．常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．2．网格图中正方形的面积的求法．教材P78的图3－1中，以AB为一边的正方形的面积的常见求法有两种：(1)用“补”的方法：将边长为AB的正方形面积看成边长为_______的正方形面积与4个两直角边长分别为_______的小直角三角形面积的差；(2)用“割”的方法：将边长为AB的正方形面积看成边长为_______的正方形面积与4个两直角边长分别为_______的小直角三角形面积的和．3．勾股定理(1)直角三角形_______的平方和等于_______的平方．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则_______2＋_______2＝c2．(2)我国古代把直角三角形较短的直角边称为“_______”，较长的直角边称为“_______”，斜边称为“_______”，所以勾股定理又称勾股弦定理，也叫毕达哥拉斯定理．例题精讲例(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC、AB为直径向三角形外作的3个半圆的面积S1、S1和S3之间有什么关系？请说明理由．若AB＝4，求S1＋S2的值．(2)如图②，若Rt△ABC的面积为10，分别以AC、BC、AB为直径在AB的同侧作3个半圆，面积分别为S1、S2和S3，求阴影部分的面积S．提示：先利用圆的面积公式把S1、S2和S3分别用AC、BC、AB表示，再结合勾股定理探索它们之间的关系．用(1)中的结论解决(2)中的问题．点评：探索与面积相关的数量关系时，通常从和差或倍数方面考虑，(2)是(1)的变式，热身练习1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．942．如图，在△ABC中，AC＝17，BC＝10，AB边上的高CD＝8，则边AB的长为( ) A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则AB的长是_______．4．已知直角三角形两条直角边的长分别为6、8，则斜边上的高为_______．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，/BAC的平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝_______．6．斜边长为17，一条直角边长为15的直角三角形的面积为_______．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，求AB2＋AC2＋BC2的值．参考答案1．C 2．A 3．5 4．4.8 5．4 6．60 7．50。