最新中考16讲苏科版数学 第1讲 一点的遐想

《1.2活动思考》【过程与方法目标】让学生经历观察、实验、操作、猜想和归纳等数学活动，引发思考，并尝试从不同角度寻找解决问题的方法，进而有效地解决问题，通过收集、选择、处理数据信息，做出合理的推断或大胆的猜测。

【情感与态度目标】通过活动的开展，使学生感受到数学就在我们日常的生活中，感受“做数学”的乐趣，并获得成功的体验，建立学习数学的信心。

【重点】让学生在活动中感受“做”数学的乐趣，提高学习数学的好奇心和求知欲。

【难点】合理地表述自己的观点。

【教学资源】 1.多媒体辅助教学；2.牙签、长方形纸片、剪刀等实物。

【教学过程】活动一：（一）创设情景把一张长方形纸片按下图折叠、裁剪、展开.（学生将事先准备好的纸片按图进行操作，由于有生活的经验，学生兴趣很浓，也很容易动起来.）（二）操作实践问题1：你得到的是什么图形？说说你的理由.(学生很顺利地回答是正方形，但至于为什么，学生一时可能说不全面，教师要引导学生通过动手测量来对其加以判断.)(三)探索思考问题2：你得到的正方形是最大的吗？你有其它方法剪成正方形吗？分组动手试一试.(这一问题可以激发学生动手的兴趣和欲望.通过分组操作、探索和交流，让学生充分展示自己的方法，教师引导学生对剪出的正方形进行对比，使学生经历“猜想——操作——探索——归纳”的全过程.需要说明的是，一定要给时间让学生真正动起来，在活动中去体会，不要从理论上去挖掘.)(四)总结应用问题3：就这一张纸片，你还能剪出其它的图形吗？(相对与前2个问题，这个问题更具开放性，可以充分发挥学生的想象力和创造力，对良好学习氛围的营造起到积极的作用.)活动二:(一)创设情境用牙签按图示的方式搭正方形.师：我们做一个用牙签搭正方形的活动。

下面，同学们先拿出准备好的牙签，我介绍一下搭法。

（学生拿牙签，教师操作，屏幕显示图1.）如图①如图②如图③师：按图1的方式搭配正方形，能看明白吗？（……）（师操作，屏幕显示图②③.）(二)操作实践(学生根据老师介绍的方法动手搭，并思考解答屏幕上的几个小题.)问题1: 如图①，搭1个这样的正方形需___根牙签;问题2: 如图②，搭2个这样的正方形需___根牙签;问题3: 如图③，搭3个这样的正方形需___根牙签;问题4: 搭4个这样的正方形需根牙签;(通过搭牙签，学生很快解决前3个问题.对于第4个问题，老师可在学生搭之前先让学生猜测或思考一下，再通过搭进行验证，这也为下一步“探索思考”做好必要的准备.)(三)探索思考(学生在解答完上面4个小题后，老师可根据情况提出下面问题)问题5: 如果要搭10个这样的正方形，需要根牙签;问题6: 如果要搭100个这样的正方形，需要根牙签;问题7: 由以上的问题，你能发现什么规律？说说你的理由.(由于有了前4个问题解决的经验，学生可能较快说出(5)(6)两个问题，对于第(7)个问题，学生的方法有多样，如:①第1个正方形有4根牙签搭成，每增加1个就需增加3根牙签，即搭n个正方形需根; ②每个正方形看作由3根牙签搭成，则搭n个正方形需(3n+1)根; ③每个正方形看作由4根牙签搭成，则搭n个正方形需根; ④搭n个正方形，横排需2n根，竖排需(n+1)根，共需根等. 老师要对学生总结出的每一种结果给以充分的鼓励，激发学生的求知欲.)(四)总结应用问题8: 若要搭10000个这样的正方形，需多少根牙签？(根据上面探索的结论，学生很快会计算出结果，此时老师也可以随机说几个数让学生算一算，从而增强“图形变化与数量变化”规律的认识. 初步建立这一类有规律递增问题的数学模型。

课 题：1.2 活动 思考【学习目标】经历观察、实验、操作、猜想和归纳等数学活动，引发思考，并尝试从不同角度寻找解决问题的方法，进而有效地解决问题，通过收集、选择、处理数据信息，做出合理的推断或大胆的猜测．【学习重点】在活动中感受“做”数学的乐趣，提高学习数学的好奇心和求知欲．【问题导学】问题1．把一张长方形纸片按下图折叠、裁剪、展开．你得到的是什么图形？说说你的理由．问题2．按图示的方式，用火柴棒搭成三角形．搭1个三角形需要火柴棒 根；搭2个三角形需要火柴棒 根； 搭3个三角形需要火柴棒 根； 搭10个三角形需要火柴棒 根； 搭100个三角形需要火柴棒 根．【问题探究】问题1．做一做：（1）将一个长方形纸片对折再对折，如图，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两个部分，将①展开后能得到什么图形？画在后面．问题2．下面是某月的日历：星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30 31仔细观察这个日历，你能找出其中的若干规律吗？探究过程：①横排、竖排相邻各数之间有什么关系？②对角线上相邻各数之间有什么关系？③若在这个日历中任意框出2×2的4个日期，它们之间有什么关系？若在日历中任意框出3×3的9个日期，它们之间有什么关系？④小明一家外出旅游5天，这5天的日期之和是20，小明几号回家？…【问题评价】1．春秋时代，人们用算筹摆放图形：来表示1、2、3、4、5、6、7．你认为他们会用_________图来表示“8”，用____ ___图形来表示“9” ．2．一个数减去2，加上6，然后除以5得7，则这个数是（）A．35 B．31 C．20 D．263．如下图，是某宾馆楼梯示意图（一楼至二楼），若要将此楼梯铺上地毯，则至少需要________米．4．若干个偶数按每行8个数排成下图．2.5米3.5米（1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？（2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数，写出你的计算步骤．5．一列扬州开往南京的火车，已知火车途中要依停靠两个站点，如果任意两个站点间的票价都不同，那么请你想一想：（1）在这些站点之中，要制作多少种不同的票？（2）在这些票中，有多少种不同的票价？1、Be honest rather clever 20.7.77.7.202014:0014:00:46Jul-2014:002、By reading we enrich the mind; by conversation we polish it.二〇二〇年七月七日2020年7月7日星期二3、All things are difficult before they areeasy.14:007.7.202014:007.7.202014:0014:00:467.7.202014:007.7.20204、By other's faults, wise men correct their own.7.7.20207.7.202014:0014:0014:00:4614:00:465、Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. So let us seize it, not in fear, but in gladness. Tuesday, July 7, 2020July 20Tuesday, July 7, 20207/7/20206、I have no trouble being taken seriously as a woman and a diplomat [in Ghana].。

中考16讲苏科版数学第1讲一点的遐想中考16讲苏科版数学第 1讲一点的遐想一、填空题（本大题共3小题，共9.0分）1.判断点P(a,a＋2)不在第几象限，并说明理由．2.已知平面上点O(0,0)，A(3,2)，B(4,0)，直线y＝mx－3m＋2将△OAB分成面积相等的两部分，求m的值．3.4.5.6.7.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0,2)，点M的坐标为(其中m为实数)．当PM的长最小时，m的值为________．二、解答题（本大题共7小题，共56.0分）8.如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的纵坐标、点B的横坐标如图所示．9.10.(1)求直线AB的解析式；11.(2)过原点O的直线把△ABO分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式．12.13.14.15.16.17.18.19.如图，在平面直角坐标系中，A(1,4)，B(3,2)，C(m,－4m＋20)，若OC恰好平分四边形OA CB的面积，求点C的坐标．20.21.22.23.24.25.如图，已知在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A(0,0)，C(10,4)，直线y＝ax－2a－1将ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．26.27.28.29.30.如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0)，A(0,6)，B(4,6)，C(4,4)，D(6,4)，E(6,0)．若直线l经过点M(2,3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数解析式．31.32.33.34.35.36.已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．37.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．38.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．39.40.41.42.43.44.45.46.已知点D与点A(8,0)，B(0,6)，C(a,－a)是一平行四边形的四个顶点，求CD长的最小值．47.48.49.50.51.52.53.54.先阅读下列材料，然后解决问题在平面直角坐标系中，已知点P(m－1,m＋3)，当m的值发生改变时，点P的位置也会发生改变．为了求点P运动所形成的图象的解析式，我们令点P的横坐标为x，纵坐标为y，得到方程组消去m得y＝x＋4，可以发现，点P(m－1,m＋3)随m的变化而运动所形成的图象的解析式是y＝x＋4．（1）求点Q(m,1－2m)随m的变化而运动所形成的图象的解析式；（2）如图①，正方形ABCO，A(0,2)，C(2,0)，点P在OC边上从O 向C运动，点Q在CB边上从C向B运动，且始终保持OP＝CQ，连接PQ，设PQ的中点为M，求M运动的路径长度；（3）已知A(－2,0)，B(4,0)，C(0,m)，以BC为斜边按如图②所示作Rt△PBC，使∠BPC＝90°，且tan∠BCP＝2，连接AP，问：当m为何值时AP最短？答案和解析1.【答案】解：一定不在第四象限.若点在第四象限，则a＞0，a+2＜0，此时a无解，∴点一定不再第四象限.【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系中由点到坐标的确定，由坐标到点的确定.【解答】解：一定不在第四象限.若点在第四象限，则a＞0，a+2＜0，此时a无解，∴点一定不再第四象限.2.【答案】解：∵直线y=mx-3m+2将三角形OAB分成面积相等的两部分∴直线必经过OA中点C∵OA的重点坐标C（，1），将它代入y=mx-3m+2中得：即．【解析】此题考查三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.3.【答案】【解析】【分析】本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出关于m的二次函数关系式．【解答】解：，∴当时，PM长最小．4.【答案】解：(1)根据题意得，A(0，2)，B(4，0)，设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，则∴，∴直线AB的解析式为；(2)设解析式为y=kx，过(0，0)和(2，1)，代入得，．【解析】试题分析：(1)把点A(0，2)，B(4，0)代入一次函数y=kx+b即可求出k及b的值；(2)当过0点作一直线交AB于一点，设出此点的坐标为(x，y)，由题意建立x，y的关系式求出x和y的值，再设出y=kx，代入求出k，即可．5.【答案】解：∵OC恰好平分四边形OACB的面积，∴对角线OC与AB的交点E是AB的中点，∵A(1，4), B(3，2)，∴E（2，3），设OC所在的直线关系式y=kx，得3=2k，解得，，所以OC所在的直线关系式为；由点C的坐标可知，点C在直线y=-4x+20上，点C是直线上一动点，所以C是这两条直线的交点，解得.故点C的坐标为.【解析】本题考查了直线和四边形的关系，待定系数法求直线的解析式，两个一次函数的交点一，确定点C的位置是解决本题的关键.OC恰好平分四边形OACB 的面积，则对角线OC与AB的交点E是AB的中点，可求得直线OC的解析式，由点C的坐标可知，点C在直线y=-4x+20上，列方程组求出的解即为点C的坐标.6.【答案】解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C 作CF⊥x轴于点F∵C（10，4），∴AF=10，CF=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AM=CM，即=，∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠MEA=∠CFA=90°，∴ME∥CF，∴∠AME=∠ACF，∠AEM=∠AFC，∴△AME∽△ACF，∴AMAC=AEAF=12，即E为AF的中点，∴ME为△AFC的中位线，∴AE=12AF=5，ME=12CF=2，∴M（5，2），∵直线y=ax-2a-1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y=ax-2a-1经过点M，将M（5，2）代入y=ax-2a-1得：a=1．【解析】本题主要考查了平行四边形的性质和用待定系数法求解一次函数.连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由直线将平行四边形分成面积相等的两部分，得到此直线过平行四边形对角线的交点M，接下来求M的坐标，由平行四边形的对角线互相平分，得到M为AC的中点，再由ME与CF都与x轴垂直，得到ME与CF平行，可得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得三角形AME与三角形ACF相似，由M为AC的中点得到相似三角形的相似比为1：2，可得E为AF的中点，由C的坐标得到AF与CF的长，又ME为三角形ACF的中位线，根据中位线定理得到ME为CF的一半，求出ME 的长，由AE为AF的一半，求出AE的长，确定出M的坐标，把M的坐标代入直线方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．7.【答案】解：延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE 相交于点N，∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又∵点N（5，2）是矩形CDEF的中心，∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．∴直线MN即为所求的直线L，设直线l的解析式为y=kx+b，则2k+b=3，5k+b=2，解得k=−，b=，因此所求直线l的函数表达式是：y=-x+，故答案为y=-x+.【解析】本题考查了矩形的性质：过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．也考查了待定系数法求直线的解析式．延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，由O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0），得到四边形OABC，四边形CDEF都为矩形，并且点M（2，3）是矩形OABF 对角线的交点，则直线l还必须过N（5，2）点，设直线l的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式即可得出答案．8.【答案】解：（1）存在．∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．∴OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，∴EG==1.5，∴E（1，2），F（4，2），∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；（2）如图2，∵BC=OA=5，BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠AOC+∠OAB=180°，∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ=∠AOC，∠OAQ=∠OAB，∴∠AOQ+∠OAQ=90°，∴∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，∴点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，∴CF=OC，BF=AB，而OC=AB，∴CF=BF，即F是BC的中点．而F点为（4，2），∴此时m的值为6.5，当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，综上所述，m的值为3.5或6.5．【解析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为（4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长．9.【答案】解：有两种情况：①CD是平行四边形的一条边，如图1：那么有AB=CD==10；②CD是平行四边形的一条对角线，如图2，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF 于N，则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，∵四边形ACBD是平行四边形，∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，∴∠BDF=∠FQA，∴∠DBN=∠CAM，在△DBN和△CAM中，，∴△DBN≌△CAM（AAS），∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，∴D（8-a，6+a），由勾股定理得：CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8a2-8a+100=8（a-）2+98，当时，CD有最小值，是，∵，∴CD的最小值是．【解析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．分两种情况讨论：①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D（8-a，6+a），由勾股定理得：CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8a2-8a+100=8（a-）2+98，求出即可．10.【答案】【答案】解：（1）∵点Q（m，12m），∴令m=x，1-2m=y，∴y=1-2x；（2）∵C（2，0），∴OC=2，设P（t，0）（0≤t≤2），∴OP=t，∵CQ=OP，∴CQ=t，∵四边形OABC是正方形，∴BC⊥x轴，∴Q（2，t），∵M是PQ的中点，∴M（，），令=x，=y，∴y=x-1（1≤x≤2），当x=1时，y=0，∴M（1，0），当x=2时，y=1，∴M'（2，1），∴MM'==；（3）如图2，在Rt△BPC中，tan∠PCB==2，∴PB=2PC，设P（a，b）（由题意知，ab≤0）过点P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，∴E（a，0），F（0，b），∠PEB=∠PFC=90°，∴四边形OEPF是矩形，∴∠EPF=90°，∵∠BPC=90°，∴∠BPE=∠CPF，∵∠PEB=∠PFC=90°，∴△PEB∽△PFC，∴=2，∴BE=2CF，PE=2PF，∴|b|=2|a|，∴b2=4a2，∵A（-2，0），P（a，b），∴AP2=（a+2）2+b2=a2+4a+4+b2=a2+4a+4+a2=5a2+4a+4=5（a+）2+，∴a=-时，AP最短，最短值为，∴b=-2a=，∴P（-，），∴点P在第二象限，如图1所示∵B（4，0），C（0，m），∴BE=4-a=，CF=m-，∵BE=2CF，∴2（m-）=，∴m=3．【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了材料提供的信息的理解和应用，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出点P的横坐标是解本题的关键．（1）直接利用材料提供的信息即可得出结论；（2）先确定出点P，Q坐标，进而求出M的运动轨迹，即可得出结论；（3）先确定出PE=2PF，进而求出AP，利用AP最短，求出a的值，进而求出b，即可求出m的值．。

2023年苏州中考数学第16解析在2023年的苏州中考数学试卷中，第16题是一道难度适中的综合题，主要考察学生的数学应用能力和思维能力。

本文将对这道题进行解析，帮助考生们更好地理解题目，掌握解题方法。

一、题目内容题目内容：给定一个中心为原点的直角坐标系，坐标轴上各有三个点（分别是边长为4的正方形的三个顶点），正方形一边所在的直线L与坐标轴相交于点A，另一边上的三个顶点与另一个坐标轴相连接，求该正方形的中心G的坐标。

二、解题思路这道题主要考察学生的几何知识和代数知识，需要将几何问题与代数问题相结合，通过坐标系来解决。

解题思路如下：1. 确定正方形中心G的位置：根据正方形的对称性，可以确定G 点在原点O的对称点上。

2. 求直线L的方程：根据已知条件，可以求出直线L的方程，即斜率为k的直线方程。

3. 求出A点的坐标：根据已知条件，可以求出A点在哪个轴上，再根据A点坐标与直线L的关系，求出A点坐标。

4. 根据对称性，求出G点坐标：根据已知条件和求解的A点和直线L的方程，可以求出G点的坐标。

三、解题过程根据上述思路，我们可以进行以下步骤：1. 确定正方形中心G的位置：由于正方形中心是对称性中心，所以G点在原点O的对称点上。

因此，可设G点的坐标为(x, y)，其中x + y = 0。

2. 求直线L的方程：已知直线L与坐标轴相交于点A，可设直线L的方程为y = kx + b(其中k为斜率)。

由于已知正方形一边的长度为4，可得到一个方程；再根据A点的坐标与直线L的关系，可得到另一个方程。

解这个方程组即可得到k和b的值，进而得到直线L的方程。

3. 求出A点的坐标：根据已知条件，可以求出A点在哪个轴上（比如x轴或y轴），再根据A点坐标与直线L的关系，即可求出A点的坐标。

这里需要注意将A点坐标代入直线L的方程中，检验是否符合题意。

4. 根据对称性，求出G点坐标：由于正方形是关于两轴对称的图形，所以G点和A点关于两轴对称。

第16讲图形的初步认识知识点：一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。

二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。

三、射线：1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。

2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。

”四、线段：1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。

2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。

五、线段的中点：1、定义如图1一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1－1AC的中点。

2、表示法：∵AB＝BC∴点 B为 AC的中点或∵ AB＝ MAC ∴点 B为AC的中点，或∵AC＝2AB，∴点B为AC的中点，反之也成立∵点 B为AC的中点，∴AB＝BC 或∵点B为AC的中点，∴AB= AC或∵点B为AC的中点，∴AC=2BC六、角1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必须有一个公共端点。

另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。

2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

表示法有三种：如图1—2（1）∠AOC＝∠BOC（2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB（3）∠AOC＝∠COB=∠AOB七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。

把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。

1度=60分；1分=60秒。

八、角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的角（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。

第1讲一元二次方程新知新讲一元二次方程的概念：只含有______个未知数(______元)，并且未知数的最高次数是______(______次)的整式方程，叫做一元二次方程．题一：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．(1)3x+2=5x；(2)x2 = 4；(3)x2 x+2)2．一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．题二：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)6y2 = y；(2)(x2)(x+3)=8；(3)(x+3)(3x4)=(x+2)2．金题精讲题一：关于x的方程mx m+1+3x=6是一元二次方程，求m的值．题二：已知关于x的方程(a+8)x2 +2x+3+a=0是一元二次方程，则a_______．题三：关于x的方程(m x2 +nx+m=0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？第1讲一元二次方程新知新讲题一：(2)．题二：略．金题精讲题一：1．题二：≠－8．题三：当m≠3时，关于x的方程(m x2 +nx+m=0为一元二次方程；当3mn=⎧⎨≠⎩时，关于x的方程(m x2 +nx+m=0为一元一次方程．第2讲一元二次方程的根新知新讲能使方程左右两边________的未知数的值叫做方程的解，也叫做方程的根．一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根．题一：下面哪些数是方程2x2 +10x+12=0的根？-4，，，，0，1，2，3，4．金题精讲题一：已知方程5x2 +mx6=0的一个根是x=3，则m的值为________．题二：如果x=2是方程x2-m=0的一个根，求m的值和方程的另一个根．题三：你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)x2-64=0；(2)3-27x2 =0；(3)4(1-x)2-9=0．题四：若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2010(a+b+c)的值．第2讲 一元二次方程的根新知新讲 题一：，．金题精讲 题一：．题二：4，．题三：(1)28x =，2x =8；(2)113x =，213x =-；(3)112x =，252x =．题四：0． 第3讲 解一元二次方程 直接开平方法新知新讲直接开平方法：对于形如x 2=a (a ≥0)的方程，利用开平方根的定义，可解得x 1x 2=-二次方程的方法叫做开平方法(也称做直接开方法)．题一：用直接开方法解下列方程．(1)x 2-16=0；(2)4x 2-25=0．形如(mx +p )2=a (a ≥0)的方程，利用直接开方法可解得：mx +p mx +p =-题二：解下列方程．(1)(2x 2 = 49；(2)3(x 2 ．金题精讲题一：解下列方程．(1)(x +2)(x ；(2)x 2 +6x +9=2；(3)x 2 +2x +1=0；(4)4x 2 x +9=0．第3讲 解一元二次方程——直接开平方法新知新讲题一：(1)1x =-4，2x =4；(2)152x =，252x =-．题二：(1)15x =，22x =-；(2)11x =，21x =．金题精讲题一：(1)13x =-，23x =；(2)13x =，23x =；(3)12x x ==1；(4)12x x ==32． 第4讲 解一元二次方程 配方法新知新讲配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法称为配方法．题一：(1)x 2+8x +_____=(x +_____)2(2)x 2-10x +_____=(x -_____)2 (3)x 232-x +_____=(x -_____)2配方法的步骤：(1)化二次项系数为(2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项(3)方程两边各加上 的平方，使方程变形为2()(0)x m n n +=≥的形式(4)用直接开方法求方程的解题二：解下列方程．(1)x 2 x ；(2)3x 2 x +4=0．金题精讲题一：解下列方程．(1)2x 2 +1=3x ；(2)x (x + 4)=8x +12．第4讲 解一元二次方程——配方法新知新讲题一：(1)16，4；(2)25，5；(3)916，34．题二：(1)1x =1，21x =-；(2)方程无实数解．金题精讲题一：(1)1x =1，2x =12；(2)1x =6，2x =2．第5讲 解一元二次方程 公式法 一新知新讲公式法：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法题一：解方程：2x 2-x -1=0公式法的步骤：(1)首先要把方程化为一般形式(2)确定a ，b ，c 的值，计算b 2-4ac(3)金题精讲题一：解下列方程.(1)2102x += (2)4x 2-3x +2=0新知新讲题一：1x =1，212x =-．金题精讲题一：(1)12x x ==；(2)方程无解． 第6讲 解一元二次方程 公式法 二新知新讲当b 2-4ac ＞0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个不相等的实数根当b 2-4ac =0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个相等的实数根当b 2-4ac ＜0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）没有实数解题一：解方程：23x +=(2)(13)6x x --=金题精讲题一：m 取什么值时，方程22(21)40x m x m +++-= 有两个相等的实数解．题二：关于x 的一元二次方程 2210kx x +-= 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．题三：无论p 为何值，方程2(3)(2)0x x p ---=总有两个不相等的实数根？试证明？新知新讲题一：12x x =；方程无实数根．金题精讲 题一：174-．题二：1k >-且0k ≠．题三：略． 第7讲 解一元二次方程 因式分解法 一新知新讲因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．题一：解下列方程：(1)(2)20x x x -+-=；(2)221352244x x x x --=-+．用因式分解法解一元二次方程的步骤：1．方程右边化为零2．将方程左边分解成两个一次因式的乘积3．至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程4．两个一元一次方程的解就是原方程的解金题精讲题一：解下列方程：(1)241210x -=；(2)3(21)42x x x +=+；(3)22(4)(52)x x -=-．新知新讲题一：(1)11x =-，22x =；(2)112x =，212x =-．金题精讲题一：(1)1112x =，2112x =-；(2)123x =，212x =-；(3)11x =，23x =． 第8讲 解一元二次方程 因式分解法 二因式分解：一提，二套，三十字题一：解下列方程：(1)2(2)24x x -=-(2)23x -=-新知新讲十字相乘：2()()()x a b x ab x a x b -++=--题一：解下列方程：(1)x 2-3x -4=0(2)x 2-7x +6=0(3)x 2+4x -5=0金题精讲题一：今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m 2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长a m ，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m ，问鸡场长与宽各为多少？（其中a ≥20m ）题一：(1)x 1=2，x 2=4；(2)x 1=x 2新知新讲题一：(1)x 1=1-，x 2=4；(2)x 1=1，x 2=6；(3)x 1=1，x 2=5-．金题精讲题一：长15m ，宽10m 或长20m ，宽7.5m ．第9讲 一元二次方程综合知识点回顾：1. 一元二次方程的定义2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法4.一元二次方程实数根的判定金题精讲题一：若关于x 的方程()2310m m x x -+-=是一元二次方程，则m 的值是________．题二：解方程：2230x x --=题三：若关于x 的方程)23ax a 1x a 0--+=有实根，则a 的取值范围是什么？第9讲 一元二次方程综合金题精讲 题一：2．题二：3，1．题三：12a ≤．第10讲 一元二次方程根与系数关系金题精讲题一：求方程22430x x +-=的两根的和与两根的积．题二：已知方程22530x x --=的一个根是3，不解方程求这个方程的另一个根．题三：已知方程23580x x +-=的两根x 1，x 2，利用根与系数的关系求1211(1)x x +2212(2)x x +12(3)(2)(2)x x --212(4)()x x -金题精讲题一：2，32-．题二：12-．题三：(1)58；(2)739；(3)143；(4)1219．第11讲一元二次方程的应用（一）金题精讲题一：某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过550个．(1)设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的函数关系式．(2)求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润6000元？（售出一个旅行包的利润=实际出厂单价成本）金题精讲题一：(1)y= 0.02x+62，(100<x≤550)；(2)500．第12讲一元二次方程的应用（二）一元二次方程解应用题的一般步骤：第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式(简称关系式)，从而列出方程；第四步：解这个方程，求出未知数的值；第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案(包括单位名称).金题精讲题一：一辆汽车以20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．(1)从刹车到停车用了多少时间？(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？(3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间？题二：一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，滚动10m后小球停下来．(1)小球滚动了多少时间？(2)平均每秒小球的运动速度减少多少？(3)小球滚动到5m时约用了多少时间？金题精讲题一：(1)2.5s；(2)8m/s；．题二：(1)4s；(2)1.25m/s；(3)(4-．第13讲圆的定义及垂径定理新知新讲1.圆的定义（从动态上讲）：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”．2.圆的定义（从静态上讲）：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．注意：①连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB；②经过圆心的弦叫做直径,线段AB；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. “以A、C为端点的弧记作AC”,读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧(如图所示ABC)叫做优弧,•小于半圆的弧(如图所示AC或BC)叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．3.垂径定理及其推论问题：圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？题面：如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．答案：（1）是轴对称图形,其对称轴是CD所在直线．（2）AM=BM,AC BC=,即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB．=,AD BD垂径定理：推论：金题精讲题一：如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD),点O是CD的圆心,•其中CD=600m,E 为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径．题二：有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施(当水面离拱顶距离小于3m时, 需要采取紧急措施)？请说明理由．第13讲圆的定义及垂径定理金题精讲题一：这段弯路的半径为545m 题二：不需采取紧急措施第14讲垂径定理的应用复习回顾垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧．金题精讲题一：如图,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,•错误的是（）．A．CE=DE B．BC BD= C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD题二：如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8题三：如图,在⊙O中,P是弦AB的中点,CD是过点P的直径,•则下列结论中不正确的是（）= D．PO=PDA．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．AD BD题四：如图,AB为⊙O直径,E是BC中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____．题五：P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．题六：如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长．第14讲垂径定理的应用金题精讲题一：D题二：D题三：D题四：8题五：最短弦长为8cm，最长弦长为10cm题六：详解：过点O作OM⊥CD，连结O、C（如图所示）∵AE=2,EB=6∴AB=8, OC=OA=12AB=4, OE=OA-AE=4-2=2在直角△OME中，∠DEB=30°,所以OM=1在直角△OMC中，MC∵根据垂径定理，可知12 MC DC=∴DC=第15讲弧、弦及圆心角的关系新知新讲如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A’OB’将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发现哪些等量关系？为什么？在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等．在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢？如图1,在⊙O和⊙O′中,•分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2,滚动一个圆,使O与O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合．定理：推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,•所对的弦也相等．在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,•所对的弧也相等．例1：如果两个圆心角相等,那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对金题精讲题一：如图,⊙O中,如果AB=2AC,那么（）．A．AB=AC B．AB=2AC C．AB<2AC D．AB>2AC第15讲弧、弦及圆心角的关系新知新讲例1：D金题精讲题一： C第16讲圆心角的应用复习回顾圆心角弧、弦及圆心角的关系金题精讲题一：交通工具上的轮子都是做成圆的,这是运用了圆的性质中的_________．题二：如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC、AD于E、F,若∠D=50°,求BE的度数和EF的度数．题三：如图,∠AOB=90°,C、D是弧AB三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证：AE=BF=CD．第16讲 圆心角的应用金题精讲题一：圆上的点到圆心的距离是定值 题二：80°，50°AOE BOF AOE BOFOA OBOAE OBF∆∆∠∠∠⎧⎪⎨⎪∠⎩在与中，＝＝＝ AOEBOF ∆≅∆∴（ASA ）∴AE =BF第17讲 圆周角新知新讲1.请说出圆心角的定义：顶点在圆心的角叫圆心角.2.如图,已知∠AOB =80°,①求弧AB 的度数；②延长AO 交⊙O 于点C ,连结CB ,则∠C 与圆心角∠AOB 有什么不同呢?3.圆周角: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角.例1：判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.4. 想一想:（1）一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种关系？请大家在练习本上画一画.（2）在这三个图中,哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？（3）圆周角∠BAC和圆心角∠BOC所对的弧分别是哪一条?（4）探索研究：如果圆周角和圆心角对着同一条弧,那么这两个角存在怎样的关系？请告诉大家你的数学猜想.命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：如图,∠BOC和∠BAC分别是BC所对的圆心角和圆周角求证：∠BAC=12∠BOC证明：（1）当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时∵OA=OC∴∠BAC=∠C∵∠BOC是△OAC的外角∴∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC∴∠BAC=12∠BOC(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,过点A作直径AD由(1)得∠BAD=12∠BOD∠DAC=12∠DOC∴∠BAD+∠DAC=12(∠BOD + ∠DOC)即: ∠BAC=12∠BOC(3)当圆心O在∠BAC的外部时,过点A作直径AD,则由(1)得∠DAC=12∠DOC∠DAB=12∠DOB∴∠DAC∠DAB=12(∠DOC∠DOB)即:∠BAC=12∠BOC5. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.金题精讲题一：如图,已知在⊙O中,∠BOC =150°,求∠A题二：已知一条弧所对的圆周角等于50°,则这条弧所对的圆心角是多少度？第17讲圆周角新知新讲例1：（3）是圆周角，其它都不是金题精讲题一：75°题二：100°第18讲圆周角的应用新知新讲问题一：已知一条弧的度数为40°,求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.问题二：一条弧所对的圆心角的度数为96°,求这条弧的度数和它所对的圆周角的度数.1.一个圆周角对着半圆,则此圆周角的度数是多少?2.一个圆周角对着圆的一条直径,这个圆周角多少度？3.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.例1：给你一把直尺和一把圆规,你能画出公共边为斜边的一对直角三角形么?金题精讲题一：在⊙O中,∠AOB=84°,则弦AB所对的圆周角是___________．A．42° B．138° C．84° D．42°或138°题二：如图,AC是⊙O的直径,AB,CD是⊙O的两条弦,且AB∥CD．如果∠BAC=32°,则∠AOD=___________．A．16° B．32° C．48° D．64°第18讲圆周角的应用新知新讲问题一：40°，20°问题二：96°，48°例1：先用圆规画一个圆, 并找出其直径AB. 在圆周上找任意异于A、B的两点C、D, 连接AC、BC、AD、BD.金题精讲题一：D 题二：D第19讲点与圆的位置关系新知新讲问题探究1. 观察图中点A, 点B, 点C与圆O的位置关系？2. 设⊙O半径为r, 说出点A, 点B, 点C与圆心O的距离与半径的关系.设⊙O的半径为r, 点P到圆心的距离OP=d, 则有：例1：⊙O的半径10cm, A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm, 则点A、B、C 与⊙O的位置关系是: 点A在__________；点B在__________；点C在__________.例2：已知AB为⊙O的直径, P为⊙O上任意一点, 则点关于AB的对称点P’与⊙O的位置为( )A 在⊙O内B 在⊙O外C 在⊙O上D 不能确定金题精讲题一：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米, AD=4厘米(1)以点A为圆心, 3厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？(2)以点A为圆心, 4厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？(3)以点A为圆心, 5厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？题二：如图：在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3,BC=4, CM是中线, 以C为圆心, 以 2.5为半径画圆, 则A、B、C、M四点, 圆上的点有____________, 圆外的点有____________,圆内的点有____________.题三：爆破时, 导火索燃烧的速度是每秒0.9cm, 点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的的安全区域, 已知这个导火索的长度为18cm, 如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离, 那么是否安全？为什么？第19讲点与圆的位置关系新知新讲例1：园内，圆上，圆外例2：C金题精讲题一：(1) B在圆上，C、D在圆外 (2) B在圆内，C在圆外，D在圆上(3) B、D在圆内，C 在圆上题二：圆上的点有M，圆外的点有A、B，圆内的点有C.题三：安全，原因略第20讲确定圆的条件新知新讲探究与实践1.平面上有一点A, 经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？2.平面上有两点A、B, 经过已知点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？思考：经过已知的三点作圆, 这样的圆能作出多少个？3.平面上有不共线的三点A、B、C, 经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？不在同一条直线上的三个点确定一个圆.经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点, 它到三角形三个顶点的距离相等.想一想：一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？做一做：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形, 再画出它们的外接圆, 观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.金题精讲题一：判断下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )(3)经过三点一定可以确定一个圆( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )题二：若一个三角形的外心在一边上, 则此三角形的形状为( ) A 锐角三角形 B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形第20讲确定圆的条件金题精讲题一：(1)√ (2)× (3)× (4)√题二：B第21讲直线与圆的位置关系新知新讲1.直线与圆的位置关系直线与圆有两个公共点时, 叫做直线与圆相交．直线与圆有唯一公共点时, 叫做直线与圆相切, 这条直线叫做圆的切线, 这个公共点叫做切点.直线与圆没有公共点时, 叫做直线与圆相离.2. 直线与圆的位置关系的量化如图, 圆心O到直线l的距离为d, ⊙O的半径为r.直线和圆相交d<r;直线和圆相切d=r;直线和圆相离d>r.例1: 已知圆的直径等于10厘米, 圆心到直线l的距离为d：(1)当d=4厘米时, 有d____r, 直线l和圆有____个公共点, 直线l与圆_______;(2)当d=5厘米时, 有d____r, 直线l和圆有____个公共点, 直线l与圆_______;(3)当d=6厘米时, 有d____r, 直线l和圆有____个公共点, 直线l与圆_______.金题精讲题一：Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=6cm, BC=8cm, 以C为圆心, r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？①r=4cm②r=4.8cm③r=6cm④与斜边AB只有一个公共点, 求r的取值范围.第21讲直线与圆的位置关系新知新讲例1：(1)<, 2, 相交；(2) =, 1, 相切；(3) >, 0, 相离.金题精讲题一：①相离②相切③相交④6cm<r8cm或r=4.8cm第22讲切线的判定定理复习回顾新知新讲探究与实践1.已知圆O上一点A, 怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？2.观察你所画的切线, 对圆的半径OA来说, 这条切线应该具有哪些个特征？3.如果一条直线符合了上面的两个特征, 这条直线是不是圆的切线？为什么？切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号表达：∵ OA是半径, l⊥ OA, 垂足为A∴ l是⊙O的切线.例1:判断题1. 过半径的外端的直线是圆的切线（）2. 与半径垂直的直线是圆的切线（）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）注意：利用判定定理时, 要注意直线须具备以下两个条件, 缺一不可:(1)直线经过半径的外端;(2)直线与这半径垂直.判断一条直线是圆的切线, 你现在有几种方法?1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.2.利用d与r的关系作判断:当d=r时直线是圆的切线.3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 金题精讲题一：已知：直线AB经过⊙O上的点C, 并且OA=OB, CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.题二：已知: O为∠BAC平分线上一点, OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切.第22讲 切线的判定定理新知新讲例1：×,×,×金题精讲题一：方法一：连结OC∵OA OB =又∵AC BC =∴OC AB ⊥∴AB 是⊙O 的切线.方法二：连结OC∵OA OB =∴O 一定在线段AB 的垂直平分线上又∵AC BC =，即C 是AB 的中点，C 也在AB 的垂直平分线上∴OC 是AB 的垂直平分线∴AB 是⊙O 的切线.题二：方法一：过点O 作OM AC ⊥∵AO 为∠BAC 的平分线又∵OD AB ⊥于点D ，OM AC ⊥于点M∴OD OM =∴⊙O 与AC 相切.方法二：过点O 作OM AC ⊥∵AO 为∠BAC 的平分线∴DAO MAO ∠=∠在△DAO 和△MAO 中：ODA OMADAO MAO AO AO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△MAO∴OD OM =∴⊙O 与AC 相切.第23讲切线判定定理的应用复习回顾1. 切线的判定定理.2. 判断切线的方法.金题精讲题一：如图, 已知⊙O的半径OA⊥OB, ∠OAC=30°, AC交OB于D, 交⊙O于C, E为OB延长线上一点, 且CE=DE.求证：CE与⊙O相切.题二：已知：如图A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点, OC=BC,AC=12 OB.求证：AB是⊙O的切线.题三：如图, AB为⊙O的直径, AC⊥直线MN于C, BD⊥直线MN于点D, 且AC+BD=AB 求证：直线MN为⊙O的切线第23讲 切线判定定理的应用金题精讲题一：连结OC在△AOD 中∵OA OB ⊥，30A ∠=︒∴60ADO ∠=︒∵60CDE ADO ∠=∠=︒∵CE DE =∴60ECD EDC ∠=∠=︒∵OA OC =∴30A OCA ∠=∠=︒∴90ECO OCA ECD ∠=∠+∠=︒∴CE OC ⊥∴CE 与⊙O 相切.题二：方法一：连结OA∵OC =BC ，AC =12OB∴ AC =OC =BC又∵OA OC =∴OA OC AC ==∴△OAC 是等边三角形∴60OAC ∠=︒又∵OAC CAB B ∠=∠+∠∵CAB B ∠=∠∴30CAB ∠=︒∴90OAB OAC CAB ∠=∠+∠=︒∴AB 是⊙O 的切线.方法二：连结OA∵OC =BC ，AC =12OB∴ AC = OC =BC∴O OAC ∠=∠，B BAC ∠=∠∵180B O OAB ∠+∠+∠=︒OAB OAC CAB ∠=∠+∠即2()180OAC CAB ∠+∠=︒∴90OAB OAC CAB ∠=∠+∠=︒∴AB是⊙O的切线.题三：过点O作OH MN⊥于点H ∵AC⊥MN，BD⊥直MN∴AC∥OH∥BD又∵点O为AB中点∴H为CD中点∴OH为梯形ABCD的中位线∵AC+BD=AB∴11()22 OH AC BD AB =+=∴OH OA=∴直线MN为⊙O的切线第24讲切线的性质定理新知新讲如图, 直线CD与⊙O相切于点A, 直径AB与直线CD有怎样的位置关系? 说说你的理由.直径AB垂直于直线CD小颖的理由是:∵下图是轴对称图形, AB是对称轴,∴沿直线AB对折图形时, AC与AD重合,因此, ∠BAC=∠BAD=90°.小亮的理由是: 直径AB与直线CD要么垂直, 要么不垂直假设AB与CD不垂直, 过点O作一条直径垂直于CD, 垂足为M, 则OM<OA, 即圆心到直线CD 的距离小于⊙O的半径, 因此, CD与⊙O相交. 这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.金题精讲题一：如图, AB是⊙O的直径, AC是⊙O的切线, A为切点, 连接BC交圆O于点D, 连接AD, 若∠ABC=45°, 则下列结论正确的是( )A、BC=2ADB、AC=2ADC、AC＞ABD、AD＞DC题二：如图, PA、PB是⊙O的切线, 切点分别为A、B, 如果∠P=60°, 那么∠AOB等于( )A、60°B、90°C、120°D、150°题三：如图, AB为⊙O的直径, PD切⊙O于点C, 交AB的延长线于D, 且CO=CD, 则∠PCA=( )A、30°B、45°C、60°D、67.5°题四：如图, AB是⊙O的直径, AC与⊙O相切, 切点为A, D为⊙O上一点, AD与OC相交于点E, 且∠DAB=∠C.求证：OC∥BD第24讲 切线的性质定理金题精讲题一：A 题二：C 题三：D题四：∵AB 是⊙O 的直径∴90ADB ∠=︒∵AC 与⊙O 相切∴90CAO ∠=︒∵∠DAB =∠C在直角△CAO 和直角△ABD 中∵∠DAB =∠C∴COA B ∠=∠∴OC ∥BD第25讲 切线性质定理的应用新知新讲已知: 如图, P 是⊙O 外一点, PA 、PB 都是⊙O 的切线, A 、B 是切点.请你观察猜想, PA 、PB 有怎样的关系?并证明你的结论.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等; 圆心和这一点的连线, 平分两条切线的夹角.例1：如图, AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线, 切点分别为P 、C 、D , 如果AB =5, AC =3, 求BD 的长.金题精讲题一：如图, 已知AB是⊙O的直径, C是AB延长线上一点, BC=OB, CE是⊙O的切线, 切点为D, 过点A作AE⊥CE, 垂足为E, 则CD:DE的值是( )A、12B、1C、2D、3题二：已知⊙O的半径为1, 圆心O到直线a的距离为2, 过a上任一点A作⊙O的切线, 切点为B, 则线段AB的最小值为( )A、1B、、2题三：如图, PA与⊙O相切, 切点为A, PO交⊙O于点C, 点B是优弧CBA上一点, 若∠ABC=32°, 则∠P的度数为__________.题四：如图, AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G, 且AB//CD, BO=6cm, CO=8cm, 求BC 的长.第25讲切线性质定理的应用新知新讲例1：2金题精讲题一：C题二：2题三：26° 题四：10。

6.3余角、补角、对顶角 （2）一教学目标，教材重难点分析 （1）教学目标1、 在具体情景了解对顶角概念2、知道对顶角的性质，对顶角相等3、经历观察—操作—说理，交流等过程，进一步发展宽间的观念和有条理的表达能力2教学重难点：1、对顶角的辨别 2、对顶角相等二教学过程 （1）、课题准备1、预习目的：通过预习能了解互余、互补、对顶角的概念，掌握余角、补角对顶角的性质。

2、预习练习：1、下列图形中的∠1 和∠2是对顶角吗？2、想一想如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，图中有多少对对顶角？分别把它们表示出来，并与同学交流。

3、对顶角的性质 直线AB 和CD 相交于点O ，试猜想∠AOC 和∠BOD 的大小关系，并说明理由。

（2）探究活动（一）、创设情景情境1、如何，测量古塔的底座的角度。

O DC B AEFAB CA C O DB情境2、小孔成像：我国古代的墨子对光学很有研究，它发现光是直线传播的。

利用这个原理，他让一个人站在屋外，在阳光的照射下，它在窗户上钻一个小孔，这时，在屋内的墙上出现一个倒立的人像。

这就是后来的摄影技术的先声。

（二）、新知探究1、概念：从上面的例子中，我们看到这样的一对角，它们的顶点重合，它们的两条边互为反向延长线。

我们把这样的2个角叫做互为对顶角。

其中一个角叫做另一个角的对顶角根据对顶角的图形特征，你能用手头的工具演示什么是对顶角吗？提示——用铅笔、吸管等工具，动手操作。

注释：（1）对顶角指的是2 个角之间的相互关系，正如“互余”、“互补”一样，我们说∠1和∠3是一对对顶角，或者说∠1是∠3的对顶角。

(2) 一对相交直线构成2 组对顶角（三）归纳小结（1）对顶角定义的辨析（2）对顶角相等（四）例题解析例1：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠AOE=250。

你能说出图中哪些角的度数？请与同学交流。

例2.：如图，AB、CD相交于点O，∠DOE=900，∠AOC=720。

水面上的圆
你儿童时代可能不止一次地欣赏过，把一块石块丢到平静的水面上所造成的那个圆形的波纹．而且，你毫不怀疑对于这个自然现象的解释，你从未感到过困难，水面受到石块掷击后，激起的波浪就会以相同的速度从这一点向四周展开，因此，每一瞬间的波浪的各点都是处在波浪发生点同样距离的地方，也就是说，各个点都处在同一个圆周上．上面是说在静水中的情形．那么，在流动着的水中，事情有没有变化呢？在快速流动的河水中，由于投石所激起的波纹向四周扩展的情形，究竟仍然是圆形的，还是被流水拉长的一个椭圆呢？
想象中，仿佛这个波纹在流水中一定会顺着水流的方向伸长，因为波纹的展开，在沿水流的方向上是要比在逆流或两旁的方向都要快．那么在流动水面上的波浪各点，似乎要形成一个伸长的封闭曲线，在任何情况下不会是一个标准的圆形．事实到底如何？即使你把石头丢到流速最大的河水中，你看到的也一定是激起圆形的波纹——标准的圆形——和在静水中投下石块的情形完全相同，这是为什么呢？
假如河水没有流动，波纹一定是圆形的．那么流动的水流对于这个波纹的影响，是把这个圆形波纹上的所有各点都沿着互相平行的方向，用相等的速度就是同时移动同样的距离，进行“平行移动”．所以一个圆周在平行移动之后，也必然得到一个全等的圆周．因此在平静的水面上和流动的水面上丢下的石块所击起的波纹只不过是：一个是不动的圆周；另一个是以水流的速度移动的圆周．它们都是标准的圆周，是没有疑问的．。