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25两个重要极限和求极限方法

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2.5两个重要极限

2.5两个重要极限

例5 求 lim e x 1 . x0 x
解 令u ex 1,则x ln(1 u),当x 0时, u 0, 有
ex 1
u
1
lim
lim
lim
1
x0 x
u0 ln(1 u) u0 1 ln(1 u)
u
练习
7.lim n
1+
1 n
n1
1
8.lim 1 2 x x x0
9.lim x
1 2
练习
1.lim tan x x0 x
1 cos x
2.lim x0
x2
x sin 2x 3.lim
x0 x sin 2 x
sin5( x a ) 4.lim
xa x a
5.lim x0
1 x
sin
x+x
sin
1 x
6.lim x
1 x
sin
x+x
sin
1 x
二 、lim(1 1 )x e
2
22
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由sin x,cos x的奇偶性知
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由夹逼定理得 lim sin x 1 x0 x
我们不难证得: lim x 1
x0 sin x
例1 求 lim sinax (a为 非 零 常 数)
x
x2
x2
例3 求 lim(1 1 )3x .
解
x
lim(1
x
x 1 )3x x
lxim(1
1 x
)
x
3
lxim(1

浅谈两个重要极限解题技巧

浅谈两个重要极限解题技巧

浅谈两个重要极限解题技巧极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列或函数在无限接近某个值时的行为。

在解决极限问题时，有一些重要的技巧可以帮助我们更好地理解问题和找到解题的思路。

本文将浅谈两个重要的极限解题技巧。

首先是夹逼定理。

夹逼定理是一种用于确定极限存在和确定其值的方法。

当我们想要求解一个复杂的极限问题时，可以通过夹逼定理将其转化为一个更容易求解的问题。

夹逼定理的核心思想是通过将待求极限的函数夹在两个已知的函数之间，来确定极限的存在和值。

具体的操作步骤如下：1. 设待求极限的函数为f(x)，已知上下限函数分别为g(x)和h(x)，即有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。

2. 如果已知当x趋向于某个值a时，g(x)和h(x)的极限存在且相等，即lim (x→a) g(x) = lim (x→a) h(x) = L。

那么我们可以得到lim (x→a) f(x) = L。

夹逼定理常用于解决一些无法直接计算的极限问题。

通过找出与待求极限函数相邻的两个已知函数，确定它们的极限存在且相等，从而确定待求极限的值。

当我们要求解极限lim (x→0) x·sin(1/x)时，可以利用夹逼定理将其转化为极限lim (x→0) –|x| ≤ x·sin(1/x) ≤ |x|，由于已知lim (x→0) –|x| = lim (x→0) |x| = 0，因此可以得到lim (x→0) x·sin(1/x) = 0。

第二个重要的极限解题技巧是分子有理化。

有时候，我们在计算一个极限时会遇到分母含有根式的情况，这时候通过分子有理化可以简化计算过程。

分子有理化的思想是通过一定的变换将包含根号的分子转化为一个有理式，从而方便计算极限。

具体的操作步骤如下：1. 先将分子的根式进行有理化。

有理化的方法包括乘以共轭式、利用等式、平方分解等。

2. 完成有理化后，可以将有理化后的分子和原始的分母进行合并，得到一个简化的表达式。

高等数学--25极限存在性定理与两个重要极限

高等数学--25极限存在性定理与两个重要极限

lim
x
1
1 1 [x] 1
e
lim
x
1
1 x
x
e.
19
信息学院 罗捍东
令 t x,
lim
x
1
1 x
x
lim
t
1
1 t
t
lim
t
1
t
1
t
1
lim
t
1
t
1
1
t
1
1
t
1
1
e.
lim
x
1
1 x
x
e
令 t 1, x
lim(1
x0
1
x) x
lim
t
1
1 t
t
e
1
lim(1 x) x e
信息学院 罗捍东
第五节 极限存在性定理与两个重要极限
2.5.1 极限存在性定理
定理 : (夹逼定理) 设在x0的某空心邻域内恒有：
(1) g(x) f (x) h(x),
(2) lim g(x) A, lim h(x) A
x x0
x x0
那末极限 lim f (x) A 存在. xx0
An
A0 (1
r )n n
令n→∞，则表示利息随时计入本金，这样， 一年后 其本利和为：
lim
n
A0 (1
r )n n
lim
n
A0
(1
rn )r
n
r
A0e r
25
an 是单调递增的
an 2 2 2 2 2 2 22 2
7
信息学院 罗捍东

极限运算法则两个重要极限

极限运算法则两个重要极限

极限运算法则两个重要极限1.极限四则运算法则：极限四则运算法则是指对任意两个函数的极限进行加、减、乘、除运算时的运算规则。

具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：a) 两个函数的和的极限：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2b) 两个函数的差的极限：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2c) 两个函数的乘积的极限：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L1 * L2d) 两个函数的商的极限：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L1 / L2 (当L2≠0时)这些极限四则运算法则可以帮助我们简化极限运算，并且可以通过已知函数的极限值来确定复合函数的极限。

2.极限复合运算法则：极限复合运算法则是指对复合函数的极限进行计算的运算规则。

复合函数是由两个或多个函数组成的函数，记作f(g(x))或g(f(x))。

具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：lim(x→a) [f(g(x))] = L1 (若L2 = a)lim(x→a) [g(f(x))] = L2 (若L1 = a)这意味着通过已知函数的极限值，我们可以确定复合函数在特定点的极限值。

以上是对极限四则运算法则和极限复合运算法则的详细解释。

这两个极限运算法则在微积分中具有重要的应用，能够帮助我们确定函数在特定点处的极限值，进而推导出更复杂的极限运算。

理解和掌握这两个极限运算法则对于解决微积分中的问题和应用具有重要意义。

极限的计算两个重要极限

极限的计算两个重要极限

极限的计算两个重要极限初等函数的极限是微积分中的重要概念之一，它能够帮助我们研究函数在其中一点的趋势。

在微积分中，极限是指当自变量趋近于其中一特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。

可以说，极限是描述函数在无穷接近其中一特定点时的行为。

在本文中，我们将探讨两个重要的极限：无穷大极限和无穷小极限。

1.无穷大极限无穷大极限也称为“函数趋向于无穷”的极限。

当自变量趋近于一些特定值时，函数的取值趋向于正无穷或负无穷。

例如，考虑函数f(x)=x^2，当x趋近于正无穷时，f(x)也趋向于正无穷。

这意味着不论多大的正实数M，只要x足够大，都能找到一个正实数N，使得当x>N时，f(x)>M成立。

我们可以用数学符号表示无穷大极限：lim(x→∞) f(x) = ∞类似地，当x趋近于负无穷时，f(x)也趋向于负无穷，可以表示为：lim(x→-∞) f(x) = -∞2.无穷小极限无穷小极限也称为“函数趋向于零”的极限。

当自变量趋近于一些特定值时，函数的取值趋向于零。

例如，考虑函数f(x)=1/x，当x趋近于正无穷时，f(x)趋向于零。

这意味着无论多小的正实数ε，只要x足够大，都能找到一个正实数N，使得当x>N时，f(x)，<ε成立。

我们可以用数学符号表示无穷小极限：lim(x→∞) f(x) = 0类似地，当x趋近于负无穷时，f(x)也趋向于零，可以表示为：lim(x→-∞) f(x) = 03.极限的计算方法计算极限的方法有很多种，常见的有代入法、夹逼定理、洛必达法则等。

代入法是最简单直接的计算极限的方法，即直接将极限点的值代入函数中进行计算。

但有时函数在极限点处可能没有定义，此时代入法就不适用。

夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，该原理是利用一个已知的不等式夹住相同极限点的函数，以确定其极限值。

洛必达法则是一种用于解决极限问题的有力工具。

它可以用来解决函数极限的不定型问题，它的基本思想是将极限问题转化为导数问题，通过求导数来确定极限值。

2.5两个重要极限

2.5两个重要极限
须注意
= e 时，
条件： ） 条件：1）1∞ 型幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 ); 2）括号里第一项为 ，第二项与括号 ）括号里第一项为1， 外的指数互为倒数关系。 外的指数互为倒数关系。 变形： 变形：
推广： 推广：
1 lim 1+ f ( x)→∞ f (x)
2
( 2 + t )t (4 + t ) ( 2 + t )t (4 + t ) ====== lim = lim t → 0 sin π ( 2 + t ) t →0 sin πt = 8 .
令x − 2 = t
π
1 + x sin x − cos x ex5.计算 lim . x →0 x sin x
小结： 小结： 结论1 结论 sin nx n sin x lim lim =1 = x→0 x → 0 mx x m 结论2 结论
tan x 结论3 结论 tan nx n lim =1 lim = x→0 x x→0 m m
例3 求下列函数的极限
1 − cos x (1) lim x →0 x2
.
k lim 1 + x→ ∞ x
x
=e
k
例2 求下列极限
x + 1 ( 3) lim x→∞ x − 1
2 x (1)lim(1 − ) x →∞ x −1
x
x2 x (2) lim( 2 ) x →∞ x − 1
( 4 ) lim 1 − x 2
x→ 0
于是有sin x = BD,
x = 弧 AB,
tan x = AC,

极限存在准则与两个重要极限资料


1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn

11
1 2!
1 n!

11
1 2

1 2n1

3

1 2n1

3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an

bn

cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1

25极限存在准则与两个重要极限


ltim11t 2
ltim11t t
3
12
e3
e3
目录 上一页 下一页 退 出
一 般 地 ， 若limfxAA0, limgxB,则
xx0
x
xx0
x
limfxgx AB
xx0
x
例8 求lim(tanx)tan2x. x/4
解 令 t ta n x 1 ， 则 ta n x t 1 ， 当 x 时 ， 有 t 0 4
2.5.3 连续复利
设 初 始 本 金 为 p ( 元 ) , 年 利 率 为 r , 按 复 利 付 息 , 若 一 年 分 m
次 付 息 ,则 第 n 年 末 的 本 利 和 为 snp 1m r m n.
目录 上一页 下一页 退 出
如 果 利 息 按 连 续 复 利 计 算 , 即 计 算 复 利 的 次 数 m 趋 于 无 穷 大 时 ， t 年 末 的 本 利 和 可 按 如 Fra bibliotek 公 式 计 算
（ 1 ） 在 某 极 限 过 程 中 ， 若 lim u ( x )
u(x)
则lim1u(1x) e；
目录 上一页 下一页 退 出
（ 2 ） 在 某 极 限 过 程 中 ， 若 lim u ( x ) 0 ， 则
1
lim1u(x)u(x) e.
例6
求
lim
x
1
2 x
x
.
解
lim
x
1
2 x x
再 由 代 换 法 可 证 lim (11)xe x x
由此得lim(11)x e. x x
目录 上一页 下一页 退 出
在 上 式 中 ， 令 t 1 ， 则 当 x 时 ， t 0 ， 则 上 式 变 成 x

归纳求极限的方法

求极限的方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又若0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

例1：求2422lim---→x x x 解：原式=()()()02222lim lim22=+=-+---→→x x x x x x⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用1sin lim=→xxx 来求极限 1sin lim=→xxx 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有()()1sin lim=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞→x g x g x例2：xxx -→ππsin lim解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim==-→→t tx x t x ππ例3：求()11sin 21lim--→x x x解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 122121lim lim =--⋅+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)11(lim 来求极限e xx =+∞→)11(lim的另一种形式为e =+→ααα1)1(lim .事实上，令.1x =α∞→x .0→⇔α所以=+=∞→x x x e )11(lim e =+→ααα1)1(lim例4: 求xx x 1)21(lim +→的极限解：原式=221210)21()21(lime x x x x x =⎥⎦⎤+⋅⎢⎣⎡+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

极限存在准则-两个重要极限公式


2
举例2
使用公式2计算 lim(x→1) (x² - 1) / (x - 1)
重要极限公式的意义和应用
这两个重要极限公式不仅帮助我们更容易地计算函数的极限值，还能在实际 问题中应用。了解这些公式将使我们更精确地理解和解决数学和科学中的难 题。
例子
计算极限 lim(x→2) [3x + 2x²]
重要极限公式2: 复合函数的极限等于 函数内外极限的复合
1 公式说明
当我们计算复合函数的极限时，可以将外部函数的极限值与内部函数的极限值进行复合 计算。
2 例子
计算极限 lim(x→0) sin(x) / x
重要极限公式的应用
1
举例1使用公式1计算 lim(x→) [2x + 5x²]
极限存在准则-两个重要 极限公式
本节介绍两个重要的极限公式，能够帮助我们计算函数的极限值。第一个公 式是两个函数的极限的和等于函数和的极限，第二个公式是复合函数的极限 等于函数内外极限的复合。
重要极限公式1: 函数极限的和等于和 的极限
公式说明
当我们计算两个函数在某一点的极限值时，可以将两个函数的极限分别计算，然后将其结果 相加。
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1-8
1 2.5两个重要极限和求极限方法
n 两个重要极限 n 求极限的基本方法
1-8
2 1. 两个重要极限
lim sin x = 1 x→0 x
lim(1+ 1 )x = e
x→∞
x
1-8
3 证明之要点(1)
C
sin x = BD

x
=
AB
tan x = AC
∴sinx < x < tanx,
lim ϕ ( x) = l, lim f (u) = B,
x→ x0
u→ l
且当
x
≠
x
时
0
，u
≠
l,
则复合函数f
(ϕ ( x ))
的极限为
lim f (ϕ ( x )) = lim f (u) = B.
x→ x0
u→ l
1-8
10 两个重要极限的推广
应用复合函数求极限的定理, 我们有:
设在 x 的某变化过程 p 中，ϕ ( x) 是无穷小量，则
lim sin ϕ ( x ) = 1 p ϕ(x)
1
lim(1+ϕ( x))ϕ(x) = e p
1-8
11 例题1
求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 = lim x→0
2 x2
=
1 lim sin2
x 2
2 x→0 ( x)2
2
x
=
1 2
sin lim( x→0 x
2
)2
= 1 ⋅ 12 2
x
= lim x→0
x−x x3
=0
1-8
16 一些常用的等价无穷小量
设在某一极限过程 p 中，α ( x) 是 无穷小量，则
sin α ( x ) ~ α ( x )
tanα( x) ~ α( x)
1− cosα ( x) ~ 1 α ( x)2 2
1-8
17 思考题
( )1
求极限 lim 3x + 9x x x→+∞
= 1. 2
2
1-8
12 例题2
求 lim(3 + x )2x . x→∞ 2 + x
解
原式
=
lim[(1 +
x→∞
x
1 +
) x+2 ]2 (1 + 2
x
1 +
)−4 2
=
e2.
1-8
13 例题3
求 lim(1 − 1 ) x .
x→∞
x
解
原式 = lim[(1 + 1 )− x ]−1
x→∞
1-8
5 证明之要点(2)
极限 lim(1+ 1 )n 的存在性的证明
n→∞
n
证明要 点：
{x n } 是有界的 ; {xn}是单调递增的;
运用极限存在判别准则
1-8
6 递增性之证明
xn
=
(1
+
1 )n n
=
1+
n⋅ 1!
1 n
+
n(n − 2!
1)
⋅
1 n2
+ L+
n(n
−
1)L(n n!
−
n
(1
−
n
1 +
)(1 1
−
n
2 +
)L 2
(1
−
n
Байду номын сангаас
n +
). 1
显然 xn+1 > xn , ∴{xn}是单调递增的;
1-8
7 有界性之证明
xn
=
1+
1+
1 (1 − 2!
1)+L+ n
1 (1 − n!
1 )(1 − n
2 )L(1 − n
n − 1). n
<1+1+ 1 +L+ 1
2!
n!
<
1
−x
= lim x→∞ (1 +
1 1
)−x
= 1.
−x
e
1-8
14 等价无穷小量替换定理
定理：设在某一变化过程 p 中 α 和 β 是等价
无穷小量， y 是一个变量 . 则
lim αy = lim βy
p
p
lim y = lim y
pα
pβ
1-8
15 判别下列解法的正确性
lim
x→0
tan
x − sin x3
B
o
x
D
A
注意面积
即 cos x
<
sin x x
< 1,
在−π 2
<
x < 0也成立(偶函数)
∀x ∈U 0 (0, π ), 2
0<
1 − cos x = 2 sin2
x 2
< 2( x )2 2
=
x2 , 2
1-8
4 数 e 之定义
e = lim (1 + 1 ) n
n→ ∞
n
( e = 2 .71828 L )
x→∞ 2x
x→∞ x
1
6、 lim(1 + x) x = _________ . x→0
8、 lim(1 − 1 ) x = _________ .
x→∞
x
1-8 19
练习题答案
一、1、ω ； 5、0；
2、2 ； 3
6、e ；
二、1、2；
5、3.
三、 lim x→∞
xn
=
2.
2、1 ； e
3、1； 7、e 2 ； 3、e 2a ；
2、 lim sin 2x = __________ . x→0 sin 3 x
3、 lim arccot x = __________ .
x→0
x
4、 lim x ⋅ cot 3x = __________ .
x→0
5、 lim sin x = __________ . 7、 lim(1 + x )2x = _________ .
+
1)
⋅
1 nn
= 1 + 1 + 1 (1 − 1) + L + 1 (1 − 1)(1 − 2)L(1 − n − 1).
2! n
n! n n
n
x n+1
=
1
+
1
+
1 (1 − 2!
n
1 +
) 1
+
L
+
1 (1 n!
−
n
1 +
)(1 1
−
n
2 +
)L (1 2
−
n n
− +
1) 1
+
(n
1 +
1)!
4、 1 ； 3
8、 1 ； e
4、e −1 ；
1
( ) ( ) lim 3x + 9x
x→+∞
1 x
= lim 9x x→+∞
1 x

1 3x
+
1
x
1
=
9⋅
lim
x→+∞

1
+
1 3x
3 x
3x⋅x
=
9 ⋅ e0
=
9
1-8 18
一、填空题:
练习题
1、 lim sinωx = _________ . x→0 x
+
1
+
1 2
+
L
+
1 2n−1
=
3
−
1 2n−1
< 3,
∴{xn}是有界的;
∴ lim n→∞
xn
存在.
1-8
8 数 e 的极限表达式
lim (1 + 1 )n = e
n→ ∞
n
lim(1+ 1 )x = e
x→∞
x
1
lim(1 + x) x = e
x→0
1-8
9 复合函数求极限
定理：
设 函数 y = f (u)及 u = ϕ ( x )构成复合函数 y = f (ϕ ( x )). 若