因式分解之套公式法
【知识精读】
1.把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 常用公式有：平方差公式 a b a b a b 2
2
-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2
2
2
2±+=±()
立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3
3
2
2
±=±⋅+()()μ 2. 补充：欧拉公式：
a b c abc a b c a b c ab bc ca 3
3
3
2
2
2
3++-=++++---()() =
++-+-+-1
2
222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
【典例精析】
（一）运用公式分解因式
1. 把a a b b 22
22+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2
D. ()()a b b a 2
2
22--
分析：a a b b a a b b a b 2
2
2
2
2
2
22212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时
要注意分解一定要彻底。
2.因式分解：x xy 3
2
4-=________。
解：x xy x x y x x y x y 3
2
2
2
4422-=-=+-()()()
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
3.分解因式：2883223
x y x y xy ++=_________。
解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222
xy x y () 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 4.分解因式：x 3
-9x+8． 将常数项8拆成-1+9． 原式=x 3
-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9
=(x-1)(x 2
+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 5.分解因式：-2x
5n-1y n +4x
3n-1y n+2
-2x n-1y n+4
；
解 (1)原式=-2x n-1y n
(x 4
n-2x 2
ny 2
+y 4
) =-2x n-1y n
[(x 2
n)2
-2x 2
ny 2
+(y 2)2
] =-2x n-1y n
(x 2
n-y 2)2
=-2x n-1y n
(x n
-y)2
(x n
+y)
2
6.将下列式子因式分解
2
2
2
x y z - 2
4
2
2
a x
b y - 2
24
x xy y ++
229()4()x y x y --+ 22()()a b c a b c ++-+-
2()6()9x y x y ++++ 224()a b c -+
53x x - 22344xy x y y --
（二）.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
7. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可
求出m 的值。
解：根据已知条件，设2213
2
2
x x m x x ax b -+=+++()() 则222123
2
3
2
x x m x a x a b x b -+=+++++()()
由此可得211120
23a a b m b
+=-+==⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪()()()
由（1）得a =-1
把a =-1代入（2），得b =
1
2
把b =12代入（3），得m =1
2
8. 已知：a m b m c m =+=+=+1211221
2
3，，，
求a ab b ac c bc 2
2
2
222++-+-的值。 解：a ab b ac c bc 2
2
2
222++-+-
=+-++()()a b c a b c 22
2 =+-()a b c 2
Θa m b m c m =
+=+=+1211221
2
3，， ∴原式=+-()a b c 2
=+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥
=()()()12112212314
2
2
m m m m
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式
因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
9. 已知a b c a b c ++=++=00333
，， 求证：a b c 5550++=
证明：Θa b c abc a b c a b c ab bc ca 333222
3++-=++++---()() ∴把a b c a b c ++=++=00333
，代入上式， 可得abc =0，即a =0或b =0或c =0 若a =0，则b c =-， ∴++=a b c 555
若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++= 说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。
10. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22
+的值。 解：Θx y x y x xy y 3322
27+=+-+=()() 且x xy y 22
9-+=
)1(9232
2
=++=+∴y xy x y x ， 又x xy y 2
29
2-+=()
