第四章 能带理论§4.1能带理论的基本假定

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。

本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。

§ 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。

对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。

晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。

晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。

能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。

5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。

一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。

当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。

当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。

以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。

如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度 d e dt=-k E …………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。

由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。

《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

能带理论摘要阐述了能带理论提出的背景以及假设条件，在此基础上，主要给出了两个模型：近自由电子近似模型、紧束缚近似模型。

两者的假设不同，近自由近似模型认为价电子近似自由，晶体的周期性势场微扰很小；紧束缚近似模型认为电子受到原子核作用比较强，将其他原子的作用看做微扰。

两者共同基础是周期性势场中电子共有化运动，由两种模型研究电子的运动状态得出同一结论--能带。

在能带理论的基础上，定性的解释了绝缘体、半导体和导体。

Abstract This paper expounds the background and hypothesis of the theory of band theory,on the basis of it,two models are given:Near-free electron approximation model,tight-binding approximation model.Their assumptions are different,The near - free approximation model considers that the valence electrons are approximately free and the periodic potential of the crystal is very small;The tight-binding approximation model considers electrons are strongly affected by the nucleus,The role of other atoms as perturbation.The common basis of them is the electron co movement in the periodic potential field,It is concluded that the two models can be used to study the motion of electrons. On the basis of band theory, the properties of insulator, semiconductor and conductor are explained qualitatively.概述（背景、出发点）能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

1第四章固体的电子能带理论4-1 周期场和布洛赫定理晶体具有由大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构因此在固体中有关电子的研究实际上是一个多电子问题不仅应该包括电子与离子相互作用的单电子势还包括电子与电子相互作用的两电子势。

解决多体问题是非常复杂的而且严格解是不可能的。

要解决这些问题只能抓住主要矛盾建立模型作充分的近似才可以求解。

其中把多体问题简化为单电子问题需要经过多次简化。

第一是把原子核与核外内层电子考虑成一个整体——离子实使原子中的多体问题简化为离子实与外层电子的问题。

考虑到离子实的质量比较大离子运动速度相对慢位移相对小在讨论电子问题时可以认为离子是固定在瞬时的位置上这样多种粒子的问题就简化成多电子问题第二是忽略电子之间的相互作用理想电子气多电子问题简化为单电子问题每个电子是在固定的离子势场和其它电子的平均场中运动第三步的简化是认为所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场电子在固体中将受到周期性势场的作用。

在本章的讨论中我们做了独立电子近似。

电子在晶体中所受到的周期场可用一个函数Vr来表示称为有效单电子势函数。

周期性势场Vr应该具有布喇菲格子的周期性即VrRVr其中R为布喇菲格矢。

a电子可以在整个晶体中运动称为共公有化电子。

由于a的数量级为10-8cm势场Vr的周期与索末菲自由电子气模型中的电子德布罗意波长相当因此周期势场对电子运动的影响应在量子力学中考虑。

我们考虑单电子薛定谔方程其中势函数Vr具有布喇菲格子的周期性。

在独立电子近似中每个电子都遵循具有周期势场的单电子薛定谔方程这样的电子称为布洛赫电子。

2固体能带论的两个基本假设是什么布洛赫定理一个在周期场中运动的电子的波函数应具有哪些基本特点在量子力学建立以后布洛赫F.Bloch和布里渊Brillouin等人就致力于研究周期场中电子的运动问题。

他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。

布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子波函数的特点。

能带理论的认识能带理论的认识罗照明 1302042026摘要：在形成分⼦时，原⼦轨道构成具有分⽴能级的分⼦轨道。

晶体是由⼤量的原⼦有序堆积⽽成的。

由原⼦轨道所构成的分⼦轨道的数量⾮常之⼤，以⾄于可以将所形成的分⼦轨道的能级看成是准连续的，即形成了能带。

引⾔：能带理论[1]是研究固体中电⼦运动的⼀个主要理论基础。

在⼆⼗世纪⼆⼗年代末和三⼗年代初期，在量⼦⼒学运动规律确定以后，它是在⽤量⼦⼒学研究⾦属电导理论的过程中开展起来的。

最初的成就在于定性地阐明了晶体中电⼦运动的普遍性的特点。

例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、⾮导体的区别；晶体中电⼦的平均⾃由程为什么会远⼤于原⼦的间距等。

在这个时候半导体开始在技术上应⽤，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。

后来由于电⼦计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。

到⽬前，计算材料能带结构的⽅法有:近⾃由电⼦近似法、包络函数法(平⾯波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原⼦轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、 K.P ⽅法[12]。

⼈们⽤这些⽅法对量⼦阱[2， 8， 9，10]。

量⼦线[11，12，13]、量⼦点结构[16， 17]的材料进⾏了计算和分析，并取得了较好计算结果。

使得对这些结构的器件的设计有所依据。

并对⼀些器件的特性进⾏了合理的解释。

固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电⼦状态分为导带与价带，⼆者⼜以中间的禁带(带隙)分隔开。

从半导体的能带理论出发引出了⾮常重要的空⽳的概念，半导体中电⼦或光电⼦效应最直接地由导带底和价带顶的电⼦、空⽳⾏为所决定，由此提出的P-N 结及其理论⼰成为当今微电⼦发展的物理依据。

半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge 与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k 空间的位置也不同，GaAs,InP 等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中⼼位置，称为直接带隙材料，此结构电⼦-空⽳的带间复合⼏率很⼤，并以辐射光⼦的形态释放能量，由此引导⼈们研制了⾼效率的发光⼆极管和半导体激光器，在光电⼦及光⼦集成技术的发展中，其重要性可与微电⼦技术中的晶体管相⽐拟。