特征函数-习题

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

习题第一讲1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率.2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率.3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r ≤只, 求下列事件的概率:(1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子.4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率:(1) (1) 取得以A 为打头的顺次同花色5张;(2) (2) 有4张同花色;(3) (3) 5张同花色;(4) (4) 3张同点数且另2张也同点数.思考题:1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。

I. I. 若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率；若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。

2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率：（1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10.第二讲1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于0.01?2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。

在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的.3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率.4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件:(1) (1) 四个事件至少发生一个;(2) (2) 四个事件恰好发生两个;(3) (3) A,B 都发生而C, D 不发生;(4) (4) 这四个事件都不发生;(5) (5) 这四个事件至多发生一个;(6) (6) 这四个事件至少发生两个;(7) (7) 这四个事件至多发生两个.5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率.7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ⋃===, 求)(B A P 及)(B A P .思考题1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；第三讲1. n 件产品中有m 件废品, 任取两件, 求:(1) (1) 在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;(2) (2) 在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.2. 袋中有)3(≥a a 只白球, b 只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.3. 敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比. 假如这三部分面积之比为0.1, 0.2, 0.7. 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.4. 甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.(1) (1) 如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大?(2) (2) 如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.(3) (3) 如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.(4) (4) 乙先摸是否对甲有利?(5) (5) 如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.5. 设事件A, B, C 相互独立, 求证: B A AB B A -⋃,,也相互独立.思考题1. 甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。

第四章 大数定律与中心极限定理4.1特征函数容提要1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =ϕ为X 的特征函数,其表达式如下(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i iitX itx x e P X x t E e t e p x dx ϕ+∞-∞⎧=⎪==-∞<<+∞⎨⎪⎩∑⎰由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ϕ总是存在的.2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤ϕϕt ;(2) ),()(t t ϕϕ=-其中)(t ϕ表示)(t ϕ的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ϕϕ=(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ϕϕϕ⋅=+(5) 若()l E X 存在,则)(t X ϕ可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =ϕ (6) 一致连续性 特征函数)(t ϕ在),(+∞-∞上一致连续(7) 非负定性 特征函数)(t ϕ是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j nk nj k z z t t ϕ(8) 逆转公式 设F (x )和)(t ϕ分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有=-+--+2)0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21lim21dt t it e e TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有;)(21lim)()(2112dt t it e e x F x F TT itx itx T ϕπ⎰-+∞→-=-(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10) 若连续随机变量X 的密度函数为p (x ),特征函数为).(t ϕ如果+∞<⎰+∞∞-dt t )(ϕ,则dt t e x p itx )(21)(ϕπ⎰∞+∞--=3. 常用的分布函数特征表习题与解答4.11. 设离散随机变量X 的分布列如下,试求X 的特征函数.解 t i t i it x e e e t 321.02.03.04.0)(+++=ϕ2. 设离散变量X 服从几何分布 .,2,1,)1()(1 =-===-k p p k X P k 试求X 的特征函数,并以此求E(X )和V a r(x ).解 记q =1-p , 则ititK itit k k itk itxqe pe q e pe p qe e E t -====∑∑+∞=+∞=-1)()()(111ϕ,()2'1)(it itqe ipe t -=ϕ,42'')1()1(2)1()(it itit it it it qe qe qe pe qe pe t -=----=ϕ, p q p i X E 1)1()0(1)(2'=-==ϕ,242''21)1()1(2)1()0(1)(pqq q pq q p i X E +=--+-==ϕ,22222)1(1)]([)()(pqp p q X E X E X Var =-+=-= 3．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布 ,)1(11)(rk r p p r k k X P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== ,1,,k r r =+试求X 的特征函数.解 设r X X X ,,,21 是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p 的几何分布Ge(p ),则由上一题知j X 的特征函数为,1)(X ititqepe t j -=ϕ 其中q =1-p . 又因为r X X X X +++= 21,所以X 的特征函数为∏=-==rj ritit x X qe pe t t j 1)1()()(ϕϕ. 4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.(1)dt e a x F x t a ⎰∞--=2)(1 (a >0); (2) dt a t a x F x⎰∞-+=2221)(π (a >0). 解 (1)因为此分布的密度函数为 ,2)(1xa e a x p -= .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为010()22itx ax itxax a at e e dx ee dx ϕ+∞--∞=⋅+⋅⎰⎰(cos sin )(cos sin )22ax axa atx i tx e dx tx i tx e dx +∞--∞=+⋅++⋅⎰⎰=.cos 222ta a dx txea ax+=⎰+∞-又因为,)(2)(2222'1t a ta t +-=ϕ ,0)0('1=ϕ ,)()3(2)(322222''1t a a t a t +-=ϕ ,2)0(2''1a -=ϕ 所以 0,(0)1)('1==ϕi X E V a r(X )= .a2(0)1)(2''122==ϕi X E(2) 因为此分布的密度函数为 ,1)(222a x ax p +⋅=π .+∞<<∞-x 所以此分布的特征函数为,cos 2)(022222⎰⎰+∞+∞∞-+=+=dx ax txadx a x e ax itx ππϕ 又因为当t >0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表).2cos 022⎰+∞-=+ate a dx a x tx π 所以当t >0时,有 .22)(2at ate e aa t --=⋅=ππϕ 而当t <0时,有 ,)()(22t a e t t -=-=ϕϕ所以.22)(2ta at e e aa t --=⋅=ππϕ 又因为)(2t ϕ在t =0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.注：⎰+∞∞-+=dx ax e ax itx222)(πϕ也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t >0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋅=+=⎰+∞∞-ai z a z e i adx a x e ax itz itx ,Res 2)(22222πππϕ ta taitz ai z e ai e ai ai z e i a--→==+⋅=22lim 2ππ5. 设),,(~2σμN X 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩. 解 因为正态分布),(2σμN 的特征函数为,)(2/22t t i e t σμϕ-=所以,)0('μϕi = ,)0()('μϕ==iX E,)0(22''σμϕ--= ,)0()(222''2σμϕ+==i X E ,3)0(23'''μσμϕi i --= ,3)0()(333'''3μσμϕ+==i X E,36)0(4224''''σσμμϕ++= .36)0()(42244''''4σσμμϕ++==i X E由此得X 的3阶及4阶中心矩为,0)(3)(3)())((2233=+-=-μμX E X E X E X E X E.3)(4)(6)(4)())((44343344σμμμμ=+-+-=-X E X E X E X E X E X E6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X 与Y 独立,则X+Y ~ b(n + m, p).证 记q=1-p, 因为 n it X q pe t )()(+=ϕ, m it Y q pe t )()(+=ϕ, 所以由 X 与Y 的独立性得()()()()it n m X Y X Y t t t pe q ϕϕϕ++==+,这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P ).7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~P (λ1),Y ~ P (λ2),且X与Y 独立,则X +Y ~P (λ1+λ2).证：因为 ,)(,)()1()1(21====it ite Y eX et e t λλϕϕ 所以由X 与Y 独立性得,)()()()1)2(-+==+it e et t t Y X Y X λλϕϕϕ这正是泊松分布 P (λ1+λ2).的特征函数,由唯一性定理知X +Y ~ P (λ1+λ2). .8. 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~1λa Ga X),(~2λa Ga Y ,且X 与Y 独立,则),(~21λa a Ga Y X ++.证 因为 1)1()(a X it t --=λϕ,2)1()(a Y itt --=λϕ,所以由X 与Y 的独立性得)(21)1()()()(a a Y X Y X itt t t +-+-==λϕϕϕ,这正是伽玛分布),(21λa a Ga +的特征函数,由唯一性定理知),(~21λa a Ga Y X ++.9.试用特征函数的方法证明2χ分布的可加性：若)(~2n X χ,)(~2m Y χ,且X 与Y 独立,则).(~2m n Y X ++χ。

特征函数知识点总结归纳一、定义及用处1. 定义特征函数是描述输入数据特征的函数，其作用是将输入数据映射到输出数据的过程中。

特征函数可以是简单的数学函数，也可以是复杂的复合函数，其形式通常由具体的问题和建模任务所决定。

特征函数在统计学和机器学习中有着广泛的应用，它是数据建模和分析中不可或缺的组成部分。

2. 用处特征函数在机器学习和统计建模中有着重要的作用，它可以用于描述输入数据的特征，帮助模型更好地理解和理解数据。

通过特征函数，我们可以将原始数据映射到模型可理解和可处理的特征空间中，从而提高模型的表达能力和泛化能力。

此外，特征函数还可以帮助模型更好地适应现实世界中复杂多变的数据分布，从而提高模型的预测精度和鲁棒性。

二、常见类型特征函数的类型多种多样，根据其在模型中的位置和作用不同，可以将其划分为输入特征函数、隐变量特征函数、输出特征函数等不同类型。

下面我们分别对这几种常见的特征函数进行介绍和分析。

1. 输入特征函数输入特征函数是描述输入数据特征的函数，其作用是将原始输入数据映射到模型可理解和可处理的特征空间中。

输入特征函数通常用于对原始数据进行预处理和特征提取，帮助模型更好地理解和利用数据。

输入特征函数的形式多种多样，可以是简单的数学函数，也可以是复杂的数据转换算法。

常见的输入特征函数包括多项式特征、核函数特征、傅立叶变换特征等。

2. 隐变量特征函数隐变量特征函数是描述隐变量特征的函数，其作用是将隐变量映射到模型可理解和可处理的特征空间中。

隐变量特征函数通常用于隐变量模型的建模和推断，帮助模型更好地理解和解释数据。

隐变量特征函数的形式多种多样，可以是简单的数学函数，也可以是复杂的变分推断算法。

常见的隐变量特征函数包括指数族分布特征、隐变量模型特征、潜在变量特征等。

3. 输出特征函数输出特征函数是描述输出数据特征的函数，其作用是将模型预测的输出数据映射到可观测的特征空间中。

输出特征函数通常用于对模型输出进行后处理和特征解释，帮助模型更好地理解和利用预测结果。