河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试数学(理)试题及答案

邯郸市2015届高三年级摸底考试理科数学一．选择题1。

已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则A.N M ⊆ B 。

N M = C.}3,2{=N M D.)4,1(=N M 2.复数+1i z i=(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3。

某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于 A 、660 B 、720 C 、780 D 、8004。

设2log 3a =,4log 6b =，8log 9c =，则下列关系中正确的是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 5.设{}na 是公差为正数的等差数列，若12315a aa ++=,12380a a a =，则111213a a a ++=A 、75B 、90C 、105D 、1206。

阅读程序框图，运行相应程序,则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．67。

如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 cm ，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 。

2 cm 3 B 。

4 cm 3 C. 6 cm 3 D.8 cm 3 8.函数x x x f tan 2)(-=在)2,2(ππ-上的图象大致为A B CD 9。

设y x z +=,其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为A ．—5B ．-4C ．-3D ．—2 10. 把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，，此点落在星形内的概率为A ．14-πB ．π2C ．214-πD ．2111.已知,,A B C 点在球O 的球面上，90BAC ︒∠=，2AB AC ==.球心O 到平面ABC 的距离为1,则球O 的表面积为 .12A π .16B π .36C π .20D π 12. 抛物线)0(2:2>=p px yC 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为A ．2B ．4C ．6D ．8 二．填空题 13.二项式521-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中x 的系数为___________________．—1014。

2014-2015学年河北省普通高中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[1，3）B．（1，3]C．（﹣1，+∞）D．（1，3）2．（5分）已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，且其渐近线的方程为x±y=0，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1B．﹣x2=1C．﹣=1D．﹣=14．（5分）下列结论中正确的是（）A．“x≠1”是“x（x﹣1）≠0”的充分不必要条件B．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，1），且P（4≤ξ≤6）=0.7，则P（ξ＞6）=0.15C．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化D．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法从中抽取样本5．（5分）若=，则tan2α=（）A．B．C．﹣D．﹣6．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=2，b1=1，且，则（a4+b4）（a5﹣b5）=（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是（）A．8B．13C．21D．348．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．12+4πB．20+6πC．12+6πD．16+4π9．（5分）已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减10．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x+2）与抛物线交于A，B 两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为（）A．0B．2C．﹣4D．411．（5分）函数f（x）=|x﹣3|（﹣1）﹣1（﹣3≤x≤9）的所有零点之和为（）A．6B．10C．12D．1812．（5分）已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．14．（5分）已知=1，=2，∠AOB=，=﹣，则•=．15．（5分）若x，y满足约束条件，且z=kx+y取得最小值的点有无数个，则k=．16．（5分）已知△ABC中，sinA+sinB=sinC（cosB+cosA），则sinA+sinB+sinAsinB 的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知公差大于零的等差数列{a n}，各项均为正数的等比数列{b n}，满足a1=l，b1=2，a4=b2，a8=b3（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列c n=，求数列{c n}的前2n项和T2n．18．（12分）2014年我国公布了新的高考改革方案，在招生录取制度改革方面，普通高校逐步推行基于统一高考和高中学业水平考试成绩的综合评价、多元录取机制，普通高校招生录取将参考考生的高中学业水平考试成绩和职业倾向性测试成绩．为了解公众对“改革方案”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（I ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若年龄在[15，25），[55，65）的被调查者中赞成人数分别为4人和3人，现从这两组的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“改革方案”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱柱BCG﹣ADE中，四边形ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，AE=DE=2，FD=EF．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角B﹣CF﹣A的平面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，a∈R．（1）若函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．【选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（I）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正三角形ABC的边长为3，求A，E，F，D所在圆的半径．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：（φ为参数），经过坐标变换得到曲线C2．A，B是曲线C2上两点，且OA⊥OB．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离．【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣1|（Ⅰ）若f（x）≤m的解集为R，求m的最小值；（Ⅱ）若f（x）最大值为n且a+b+c=n，求证：a2+b2+c2≥．2014-2015学年河北省普通高中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[1，3）B．（1，3]C．（﹣1，+∞）D．（1，3）【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M=（﹣1，3），由N中y=，得到lgx＞0=lg1，即x＞1，∴N=（1，+∞），则M∩N=（1，3）．故选：D．2．（5分）已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z===，∴z﹣|z|=﹣=+i对应的点所在的象限为第二象限．故选：B．3．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，且其渐近线的方程为x±y=0，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1B．﹣x2=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：抛物线x2=8y的焦点为（0，2），即有双曲线的c=2，且焦点在y轴上，设双曲线的方程为﹣=1，则渐近线方程为y=±x，由渐近线的方程为x±y=0，则=，又c2=a2+b2=4，解得a=，b=1，即有双曲线的标准方程为﹣x2=1．故选：B．4．（5分）下列结论中正确的是（）A．“x≠1”是“x（x﹣1）≠0”的充分不必要条件B．已知随机变量ξ服从正态分布N（5，1），且P（4≤ξ≤6）=0.7，则P（ξ＞6）=0.15C．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化D．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法从中抽取样本【解答】解：A．“x≠1”是“x（x﹣1）≠0”的必要不充分条件，因此不正确；B．随机变量ξ服从正态分布N（5，1），且．P（4≤ξ≤6）=0.7，则P（ξ＞6）==0.15，因此正确；C．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数变小，而方差没有改变，因此不正确；D．为了解该单位职工的健康情况，应采用分层抽样的方法从中抽取样本，因此不正确．故选：B．5．（5分）若=，则tan2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵=，即sin2α=2cos2α+2，sin22α+cos22α=1，∴（2cos2α+2）2+cos22α=1，即（cos2α+1）（5cos2α+3）=0，解得：cos2α=﹣1（此时sin2α=0，不合题意）或cos2α=﹣，∴sin2α=2×（﹣）+2=，则tan2α==﹣．故选：D．6．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=2，b1=1，且，则（a4+b4）（a5﹣b5）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，两式相加，得a n+b n=a n﹣1+b n﹣1+2，两式相减，得a n﹣b n=（a n﹣1﹣b n﹣1）∵a1=2，b1=1，∴{a n+b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，{a n﹣b n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴a4+b4=3+3×2=9，a5﹣b5=1×=，∴（a4+b4）（a5﹣b5）=9×=．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是（）A．8B．13C．21D．34【解答】解：框图首先给变量a，b，k赋值，a=1，b=1，k=0，执行k=0+1=1；判断1＜6成立，执行c=1+1=2，a=1，b=2，k=1+1=2；判断2＜6成立，执行c=1+2=3，a=2，b=3，k=2+1=3；判断3＜6成立，执行c=2+3=5，a=3，b=5，k=3+1=4；判断4＜6成立，执行c=3+5=8，a=5，b=8，k=4+1=5；判断5＜6成立，执行c=5+8=13，a=8，b=13，k=5+1=6；判断6＜6不成立，跳出循环，输出c=13．故选：B．8．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．12+4πB．20+6πC．12+6πD．16+4π【解答】解：由题意，几何体由两个相同的半圆和一个长方体拼接而成，所以表面积S=2×4+1×2×2+1×4×2+π×12×2+2π×1×2=20+6π．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为y=sin2（x+）=sin（2x+）．对于A，当x=﹣时，y=sin（﹣）≠0．图象不关于点（﹣，0）中心对称，∴A不正确；对于B，当x=﹣时，y=sin0=0，图象不关于x=﹣轴对称，∴B不正确对于C，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，x=﹣时，函数取得最小值，∵[﹣，﹣]⊂[﹣，]，∴在区间[﹣，﹣]单调递增，∴C正确；对于D，y=sin（2x+）的周期是π．当x=时，函数取得最大值，∴在[﹣，]单调递减不正确，∴D不正确；故选：C．10．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x+2）与抛物线交于A，B 两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为（）A．0B．2C．﹣4D．4【解答】解：如图所示，F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，（k≠0）．由于△＞0，∴x1+x2=，x1x2=4．∴直线FA与直线FB的斜率之和=+=，分子=k（2x1x2﹣8）=0，∴直线FA与直线FB的斜率之和为0．故选：A．11．（5分）函数f（x）=|x﹣3|（﹣1）﹣1（﹣3≤x≤9）的所有零点之和为（）A．6B．10C．12D．18【解答】解：令|x﹣3|（﹣1）﹣1=0，﹣1=，（x≠3）；作函数y=﹣1与函数y=在[﹣3，9]上的图象如下，结合图象可知，函数y=﹣1与函数y=在[﹣3，9]上关于x=3对称；函数y=﹣1与函数y=在[﹣3，9]上有6个交点；故函数f（x）=|x﹣3|（﹣1）﹣1（﹣3≤x≤9）的所有零点之和为3×6=18；故选：D．12．（5分）已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x ∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是21．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r=+1令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．14．（5分）已知=1，=2，∠AOB=，=﹣，则•=．【解答】解：∵=1，=2，∠AOB=，∴==﹣1，∵=﹣，则•===，故答案为：15．（5分）若x，y满足约束条件，且z=kx+y取得最小值的点有无数个，则k=1或﹣2．【解答】解：由目标函数作出可行域如图：目标函数z=kx+y可化为直线l：y=﹣kx+z，依题意﹣k≠0，当﹣k＞0，即k＜0时，当l运动至与BC重合时，最优解有无数个，符合题意，此时﹣k=2，得k=﹣2；当﹣k＜0，即k＞0时，当l运动至与AB重合时，最优解有无数个，符合题意，此时﹣k=﹣1，得k=1．综上①②可知，k=1或﹣2．故答案为：1或﹣2．16．（5分）已知△ABC中，sinA+sinB=sinC（cosB+cosA），则sinA+sinB+sinAsinB 的取值范围是（1，+] ．【解答】解：sinA+sinB=sinC（cosB+cosA），由正弦定理和余弦定理得：整理得：a2+b2=c2所以：cosC=0则：sinB=cosA设sinA+cosA=t则：sinAcosA=sinA+cosA=由于：所以：sinA+sinB+sinAsinB=由于：所以：故答案为：（1，]三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知公差大于零的等差数列{a n}，各项均为正数的等比数列{b n}，满足a1=l，b1=2，a4=b2，a8=b3（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列c n=，求数列{c n}的前2n项和T2n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d＞0，等比数列{b n}的公比为q＞0，∵a1=l，b1=2，a4=b2，a8=b3，∴1+3d=2q，1+7d=2q2，解得d=1，q=2．∴a n=1+（n﹣1）=n，b n=2n．（II）∵c n=，∴数列{c n}的前2n项和T2n=（1+3+…+2n﹣1）+（22+24+…+22n）=+=n 2+．18．（12分）2014年我国公布了新的高考改革方案，在招生录取制度改革方面，普通高校逐步推行基于统一高考和高中学业水平考试成绩的综合评价、多元录取机制，普通高校招生录取将参考考生的高中学业水平考试成绩和职业倾向性测试成绩．为了解公众对“改革方案”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（I ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若年龄在[15，25），[55，65）的被调查者中赞成人数分别为4人和3人，现从这两组的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“改革方案”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1， ∴图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01， 由此作出被调查人员的频率分布直方图如右图所示． （Ⅱ）由已知得X 的可能取值为0，1，2，3， P （X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）=CC =，P（X=3）==．∴X的分布列为：∴X的数学期望为EX==．19．（12分）如图，在三棱柱BCG﹣ADE中，四边形ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，AE=DE=2，FD=EF．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角B﹣CF﹣A的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD和AC交于O，连接OF，∵O为BD的中点，F是DE的中点，∴OF∥BE，∵BE⊄平面ACF，CD⊂平面ACF；∴BE∥平面ACF；（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面ACF，∴AE⊥CD，∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE；∴CD⊥平面DAE，∵DE⊂平面DAE，∴CD⊥DE，故以D为原点，以DE为x轴，建立如图所示的坐标系，则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0），由AE=DE=2，得AD=2，CD=2，故C（0，2，0），由=（2，2，2），故B（2，2，2）．设平面ACF的法向量为=（x，y，z），=（﹣2，2，﹣2），=（1，﹣2，0），由，得，令y=1，则x=2，z=﹣，即=（2，1，﹣），设平面BCF的法向量为=（x，y，z），=（﹣2，0，﹣2），=（1，﹣2，0），由，得，令y=1，则x=2，z=﹣2，即=（2，1，﹣2），cos＜，＞===即二面角B﹣CF﹣A的平面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆x2+y2=r2（1＜r＜）、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，∴，解得a=，b=1，∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，设A（x1，y1），B（x0，y0），∵直线l与圆M相切，∴=r，即m2=r2（k2+1），①联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线l与椭圆G相切，得△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，即m2=2k2+1，②由①②得k2=，m2=，设点B（x0，y0），则=，=1﹣=∴|OB|2===3﹣，∴|AB|2=|OB|2﹣|OA|2=3﹣﹣r2=3﹣（r2+）≥3﹣2=3﹣2，∵1，∴1＜r2＜2，∴r2→2时，|AB|取得最大值=．21．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，a∈R．（1）若函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，得：f′（x）=2（e x﹣x+a），∵y=f（x）在x=0处切线与x轴平行，即在x=0切线斜率为0，即f′（0）=2（a+1）=0，∴a=﹣1；（2）f′（x）=2（e x﹣x+a），令g（x）=2（e x﹣x+a），则g′（x）=2（e x﹣1）≥0，∴g（x）=2（e x﹣x+a）在[0，+∞）内单调递增，g（0）=2（1+a）．（i）当2（1+a）≥0，即a≥﹣1时，f′（x）=2（e x﹣x+a）≥f′（0）≥0，f（x）在[0，+∞）内单调递增，要想f（x）≥0，只需要f（0）=5﹣a2≥0，解得，从而．（ii）当2（1+a）＜0，即a＜﹣1时，由g（x）=2（e x﹣x+a）在[0，+∞）内单调递增知，存在唯一x0使得，有，令f′（x0）＞0，解得x＞x0，令f′（x0）＜0，解得0≤x＜x0，从而f（x）在x=x0处取最小值，又，，从而应有f（x0）≥0，即，解得0＜x0≤ln3，由可得，有ln3﹣3≤a＜﹣1．综上所述，．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．【选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（I）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正三角形ABC的边长为3，求A，E，F，D所在圆的半径．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=，∴BE=，在正△ABC中，AD=，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，∴∠ADF+∠AEF=π，∴A，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：如图，取AE中点G，连结GD，则GA﹣GE=，∵AE=，∴GA=GE==1，∵AD=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=1，即GA=GE=GD=1，∴G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为1，∴A，E，F，D所在圆的半径为1．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：（φ为参数），经过坐标变换得到曲线C2．A，B是曲线C2上两点，且OA⊥OB．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）求点O到直线AB的距离．【解答】解：（1）根据曲线C1：（φ为参数），得x2+y2=1，经过坐标变换得到曲线C2：，（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位，建立极坐标系，∴，∴=设A（ρ1，θ）B（ρ2，θ+），则|AB|=∴点O到直线AB的距离，===，∴点O到直线AB的距离．【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣1|（Ⅰ）若f（x）≤m的解集为R，求m的最小值；（Ⅱ）若f（x）最大值为n且a+b+c=n，求证：a2+b2+c2≥．【解答】（Ⅰ）解：∵||x﹣2|﹣|x﹣1||≤|（x﹣2）﹣（x﹣1）|=1，即有﹣1≤|x﹣2|﹣|x﹣1|≤1，由于f（x）≤m的解集为R，∴m≥1，即m的最小值为1．（Ⅱ）证明：由﹣1≤f（x）≤1，可得f（x）的最大值为1，即n=1．由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，即有a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由a+b+c=1，得1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．（当且仅当a=b=c时取等号）。

邯郸市2015届高三质检考试理科数学【试卷综述】重点考查基本知识和基本技能，侧重通性通法 注重对基本知识和基本技能的考查，重点考查通性通法，避免偏题、怪题，适当控制运算量，加大思考量，在大题中，每个题的难度按照由易到难的梯度设计，学生入口容易，但是又不能无障碍的获得全分， 本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力. 【题文】一．选择题【题文】1.已知集合{}{}2160,5,0,1A x x B =-<=-则A ．AB φ= B.B A ⊆ C.{}0,1A B ⋂= D.A B ⊆【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C 解析：∵A={x|-4<x<4}, B={-5，0，1}.∴{}0,1A B ⋂=正确.故选C. 【思路点拨】化简集合A ，再判断每个选项的正误. 【题文】2.已知i 是虚数单位，则复数4334iz i+=-的虚部是 A. 0 B. i C. i - D. 1 【知识点】复数的概念与运算. L4 【答案】【解析】D 解析：因为()()()()4334432534343425i i i iz i i i i +++====--+，所以其虚部是1，故选D. 【思路点拨】把已知复数化为a+bi(a,b ∈R)形式，从而确定其虚部.【题文】3. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为x y 25-=，则它的离心率为 A. 32 B. 23 C.355 D.52【知识点】双曲线的几何性质. H6【答案】【解析】A 解析：由已知得22222253242b a ac c a a b c ìïïï=ï?=?íïï+=ïïî,故选A. 【思路点拨】根据已知得关于a,b,c 的方程组，解得离心率.【题文】4设,a b 是两个非零向量，则“0<⋅”是“,a b 夹角为钝角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】向量的数量积；充分条件；必要条件. F3 A2【答案】【解析】B 解析：因为0<⋅时，,a b r r夹角为钝角或平角，而,a b 夹角为钝角时，0<⋅成立，所以“0<⋅b a ”是“,a b 夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.【思路点拨】：因为0<⋅时，,a b r r夹角为钝角或平角，而,a b 夹角为钝角时，0<⋅成立，所以“0<⋅”是“,a b 夹角为钝角”的必要不充分条件.【题文】5. 执行如右图所示的程序框图,若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于 A.5 B.6 C.7 D.8【知识点】程序框图的准确阅读与理解. L1【答案】【解析】C 解析：图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3; (3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.所以若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于7.故选C.【思路点拨】根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n 值. 【题文】6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OA AM =⋅的最大值为A ．5-B ．1-C ．1D ．0 【知识点】向量的数量积；线性规划问题. F3 E5 【答案】【解析】C 解析：(2,1)(x2,y 1)2x y 5z =?-=+-，画出可行域，平移目标函数得点（2,2）为最优解，所以z OA AM =⋅的最大值为22251?-=，故选C.【思路点拨】利用向量数量积的虚部形式，变形目标函数，画出可行域，平移目标函数得，目标函数取得最大值的最优解.【题文】7. 如图，在底面边长为a 的正方形的四棱锥P ABCD -中，已知PA AC ⊥平面，且PA a =，则直线PB 与平面PCD 所成的角的余弦值为1.2A 1.3B.2C2D【知识点】线面角的求法；等体积求高. G11【答案】【解析】D 解析：设B 到平面PCD 的距离h,则由B PCD P BCD V V --=得，1133PCD BCD h S PA S 鬃=鬃V V 1122h PD DC PA BC DC 拮鬃=鬃?2h a a h 拮=邹=，令线PB 与平面PCD 所成的角为q ，则1sin cos 22h PB q q ===?，故选D. 【思路点拨】由等体积求高法求得B 到平面PCD 的距离，从而求得直线PB 与平面PCD 所成的角的余弦值.【题文】8. 已知{}(,)1,1x y x y Ω=≤≤，A 是由曲线y x =与2y x =围成的封闭区域，若向Ω上随机投一点p ，则点p 落入区域A 的概率为 A.16 B. 18 C. 112 D.124【知识点】几何概型；微积分基本定理. K3 B13 【答案】【解析】D 解析：区域A 的面积S 122310111()()|236x x dx x x =-=-=ò，而{}(,)1,1x y x y Ω=≤≤表示的区域的面积为4，所以p 落入区域A 的概率为124,故选D. 【思路点拨】利用微积分基本定理求得线y x =与2y x =围成的封闭区域的面积，再求得Ω表示的区域的面积，这两个面积比为所求概率.PA BCD【题文】9.下列三个数：33ln,ln ,ln 3322a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是 A.a c b >> .B a b c >> .C a c b << .Db a c >>【知识点】函数的单调性比较数值的大小. B3【答案】【解析】A 解析：设函数()()1ln (0)f 1f x x x x x x'=->⇒=-， 由()01f x x '<⇒>，所以分f(x)是()1,+∞的减函数，又332π<<，所以a c b >> 【思路点拨】构造函数f(x)=lnx-x,利用此函数的单调性，确定a,b,c 的大小顺序. 【题文】10.已知等差数列{}n a 中，前10项的和等于前5项的和.若06=+a a m 则=mA 10B 9C 8D 2【知识点】等差数列的性质. D2【答案】【解析】A 解析：∵105105678910,0S S S S a a a a a =∴-=++++=6a +10a =7a 9a +=28a ，所以8a =0，所以m+6=28⨯=16，所以m=10,故选A.【思路点拨】根据等差数列的性质求解.【题文】11．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.10 B.20 C.40 D.60【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】B 解析：由三视图可知此几何体是四棱锥P-ABCD 如图，其中四边形ABCD 是边长为5 的正方形，有一个侧面与底面垂直，且以P 为直角顶点，两直角边长分别为3,4的直角三角形，所以该几何体的体积为213452035V ⨯=⨯⨯=,故选 B. ：345正视图侧视图俯视图 3【思路点拨】由三视图得此几何体的直观图，及此几何体的某些边长和边间位置关系，从而求得此几何体的体积.【题文】12. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是A 59(,)24-- B ．9(,1)4--C ．599(,)(,1)244----D ．5(,1)2--【知识点】偶函数的性质；二次方程的实根分布. B4 B5【答案】【解析】C 解析：当0,1x 轾Î犏臌时，()50,4f x 轾犏Î犏臌，且()f x 是0,1轾犏臌上增函数； 当)1,x é??êë时，()51,4f x 纟çúÎççúèû，且()f x 是)1,é+?êë上减函数. 令()f x t =，则要使关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，根据函数f(x)的对称性，需使关于t 的方程20t at b ++=有两个不同实根12,t t ，且：（1）1201514t t ìï<<ïïíï<<ïïî或（2）121514t t ìï=ïïíï<<ïïî或（3）1254514t t ìïï=ïïíïï<<ïïïî，由（1）得9,14a 骣÷ç÷?-ç÷ç÷桫，由（2）得9,24a 骣÷ç÷?-ç÷ç÷桫，由（3）得59,24a 骣÷ç÷?-ç÷ç÷桫. 所以实数a 的取值范围是：599(,)(,1)244----.故选C. 【思路点拨】画出函数f(x)的图像，求得函数f(x)的值域，结合图像与值域得，要使关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，需使需使关于t 的方程20t at b ++=有两个不同实根12,t t ，且：（1）1201514t t ìï<<ïïíï<<ïïî或（2）121514t t ìï=ïïíï<<ïïî或（3）1254514t t ìïï=ïïíïï<<ïïïî，由此解得a范围. 【题文】二、填空题【题文】13. 如图，正六边形ABCDEF 则AC DB ⋅=______；【知识点】向量的数量积. F3【答案】【解析】92-解析：因为23AC DB ==⋅=，,AC DB 夹角120°， 所以AC DB ⋅=933cos1202⨯⨯=-. 【思路点拨】结合正六边形的性质求出两向量的模及夹角，再由向量数量积的定义求解. 【题文】14. 已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则14x y +的最小值为 ；【知识点】基本不等式法求最值. E6 【答案】【解析】3 解析：由312()2x y -=得x+y=3,所以14x y +()1143x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()141554333x y y x ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3142x y x x y y y x+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩(,(0,)x y ∈+∞)时 等号成立. 【思路点拨】由312()2x y -=得x+y=3,然后构造使用基本不等式的条件求得结论.【题文】15. 已知圆4:22=+y x C ，过点)3,2(A 作C 的切线，切点分别为Q P ,，则直线PQ 的方程为 ；【知识点】直线与圆的位置关系；直线的方程. H1 H4【答案】【解析】2x+3y-4=0 解析：以O(0，0),A(2，3)为直径端点的圆的方程为： X(x-2)+y(y-3)-0即22230x y x y +--=，与圆4:22=+y x C 相减得：2x+3y-4=0， 所以直线PQ 的方程为2x+3y-4=0【思路点拨】根据以OA 为直径的圆与已知圆的交线就是直线OQ 得结论.【题文】16. 如图，在ABC Rt ∆中，90=∠A ,D 是AC 上一点，E 是BC 上一点，若EB CE BD AB 41,21==. 120=∠BDE ,3=CD ,则BC= .【知识点】余弦定理；勾股定理；平行线分线段成比例定理. C8 N1解析：取BD 中点F ，BE 中点G ，连接AF 、FG ，可得30FAD EDC AF DE ∠=∠=⇒,FG 是△BDE 的中位线，所以FG ∥DE ，所以A 、F 、G 三点共线，设AB=a,则BD=2a,AD=，由12CD CE a DA EG ===⇒=，在△BDC 中，由余弦定理得(222323BC =+-⨯⨯=93，所以.【思路点拨】取BD 中点F ，BE 中点G ，连接AF 、FG ，证明A 、F 、G 三点共线，由已知及平行线分线段成比例定理得线段AD 的长，从而得线段BD 长，然后在△BDC 中，由余弦定理求得BC 长. 【题文】三．解答题【题文】17. (本小题满分10分)等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S .CEDAB（1） 求n a 及n S ；（2）设11+=n n n a a b ，n n b b b T +++= 21，求n T . 【知识点】等差数列及其前n 项和；数列求和. D2 D4【答案】【解析】(1) 23n a n =-，n n s n 22-=；（2）21n nT n =--.解析：（1）由题意可得2362a a a =⋅又因为11-=a 2=∴d … 2分32-=∴n a n n n s n 22-= ………………… 4分（2）)121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分)]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n12)1211(21--=---=n nn ………………10分 【思路点拨】（1）由等差数列的通项公式及632,,a a a 成等比数列，求得公差d ， 进而求得n a 及n S ；（2）由裂项相消法求n T .【题文】18. (本小题满分12分)已知23cos 2sin 23)(2-+=x x x f (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值; (2) 在ABC ∆中, A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-， 求ABC ∆周长L 的最大值.【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；sin()y A x w f =+的性质；解三角形. C6 C5 C4 C8【答案】【解析】(1) 最小正周期为π ，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是0；（2）6. 解析：(1)1cos 231()22cos2x-1=sin(2)12226x f x x x x π+=+-=++- ()sin(2)16f x x π∴=+-， ………2分∴最小正周期为π………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是0. ………6分 (2)1()2f A =-,3A π∴= ………8分由余弦定理得,2222222223()()2cos ()3()44b c b c a b c bc A b c bc b c bc b c ++=+-=+-=+-≥+-=即4b c +≤=,当且仅当2b c ==时取等号.ABC ∆∴的周长的最大值是6. ……………12分法二：由1()2f A =-，得3A π∠=，由正弦定理可得，sin sin sin b c a B C A ====………8分,,bB cC ∴==22sin )2sin())3L B C B B π=++=++-224sin()(0)63B B ππ=++<<所以，当3B π=时，L 取最大值，且最大值为6 ………12分【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数将函数化为()sin(2)16f x x π=+-，从而)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值；（2）由（1）及已知求得3A π∠=，再利用余弦定理及基本不等式求出L 取最大值；或利用正弦定理转化为角利用三角函数求L 取最大值.【题文】19. (本小题满分12分)如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，M 为PD 的中点，∠ADC =45o，AD =AC =1，PO=a (1)证明：DA ⊥平面PAC ；(2)如果二面角M −AC −D 的正切值为2，求a 的值.【知识点】线面垂直的判定；二面角的应用. G5 G11 【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）2.解析：(1)证明：由题意，∠ADC =45o，AD =AC =1,故∠DAC =90o即DA ⊥AC .又因为 PO ⊥平面ABCD,所以，DA ⊥PO ，DA ⊥平面PAC ……………4分（2）法一：连结DO,作MG ⊥DO 于G ，作GH ⊥AO 于H ，因为M 是PD 中点，且MG ⊥DO ，所以G 为DO 中点，且MG ⊥平面ABCD ，显然，∠MHG 即为二面角M-AC-D 的平面角.…………8分 因为GH ⊥AO ，且G 为DO 中点，所以11=22GH AD =，而t a n 2MG MHG GH∠==，故=1MG ，PO=2MG=2. ……………12分法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则1(,00)2A ，,1(,00)2C -，，1(,10)2D -，，(0,0,)P a ，11(,)422a M -，设平面MAC 的法向量为(,,)n x y z =，11=(,,)222a MA --，(1,0,0)AC =，则11-0222a x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，所以n 的一个取值为(0,,1)a ……………10分平面ACD 的法向量为=(0,0,)OP a . 设二面角的平面角为θ， 因为tan 2θ=，所以cos θ==, 所以a =2 ……………12分 【思路点拨】(1)只需证明DA 垂直于平面DAC 中两条相交直线即可；（2）法一、找到二面角M −AC −D 的平面角(如图)∠MHG ，因为2aMG =,所以设法求出MG 即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【题文】20. (本小题满分12分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）根据直方图求x 的值，并估计该小区100户居民的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从该小区已抽取的100户居民中，随机抽取月用电量超过250度的3户，参加节约用电知识普及讲座，其中恰有ξ户月用电量超过300度，求ξ的分布列及期望.【知识点】统计；频率分布直方图；数据的读取；随机变量的分布列及数字特征. I5 K8 【答案】【解析】（1）0.0044x =，该小区100户居民的月均用电量为186度；（2）所以ξ的分布列是解析：（1）解:由已知得10060.00036.020024.00012.050=+++⨯+⨯）（x0044.0=∴x ……………2分设该小区100户居民的月均用电量为S则+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=225500044.0175500060.0125500036.075500024.0S=⨯⨯+⨯⨯325500012.027*******.09+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186………6分（2）该小区用电量在]300,250(的用户数为12100500024.0=⨯⨯，用电量在]350,300(的用户数为6100500012.0=⨯⨯=0ξ时，31231855(=0)204C p C ξ==，=1ξ时，2112631833(=1)68C C p C ξ⨯==, =2ξ时，1212631815(=2)68C C p C ξ⨯==,=3ξ时，363185(=3)204C p C ξ==………10分 所以ξ的分布列是)3(3)2(2)1(1)0(0=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=E ξξξξξp p p p ）（=1 ………12分【思路点拨】（1）根据频率和是1求x 值，利用均值公式1ni ii S x p ==∑估计该小区100户居民的月均用电量；（2）由直方图求得该小区用电量在]300,250(的用户数为12，用电量在]350,300(的用户数为6，则ξ的可能取值为：0,1,2,3，利用组合数公式求得ξ取各值时 的概率，进而得ξ的分布列及期望.【题文】21. (本小题满分12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 过点A )23,22(-，离心率为22，点21,F F 分别为其左右焦点.（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若x y 42=上存在两个点N M ,，椭圆上有两个点Q P ,满足，2,,F N M 三点共线，2,,F Q P 三点共线，且MN PQ ⊥.求四边形PMQN 面积的最小值.【知识点】椭圆的标准方程及其几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系. H5 H8【答案】【解析】(1) 1222=+y x ;(2) 24. 解析：（1）由题意得：22=a c ，得c b =，因为)0(1)23()22(2222>>=+-b a ba ，得1=c ，所以22=a ，所以椭圆C 方程为1222=+y x . ……………4分 （2） 当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S .当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k 与x y 42=联立得0)42(2222=++-k x k x k ；令),(),,(2211y x N y x M ，24221+=+kx x ，121=x x . 442+=kMN ，……………6分 MN PQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)1(1--=x ky 将直线与椭圆联立得，0224)2(222=-+-+k x x k令),(),,(4433y x Q y x P ,24243+=+k x x ，2222243+-=k k x x ；2)1(2222++=k k PQ ，……………8分 ∴四边形PMQN 面积S=)2()1(242222++k k k ，令)1(,12>=+t t k ，上式S ==)111(241112412422222-+=-+-=-t t t t t 24>所以S ≥最小值为24 ……………12分【思路点拨】（1）待定系数法求椭圆的方程；（2）分类讨论：当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S ；当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k ，与x y 42=联立，得442+=k MN . MN PQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)1(1--=x k y ，将此直线与椭圆联立得， 2)1(2222++=k k PQ .所以四边形PMQN 面积S= 1||||2MN PQ ×=)2()1(242222++k k k , 因为211k +>，可求得，此时S>24,综上，S ≥最小值为24. 【题文】22.(本小题满分12分)己知函数2()(22)ln 25f x a x ax =+++ (1)讨论函数f （x ）的单调性；(2)设1a <-，若对任意不相等的正数12,x x ，恒有1212()()8f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.【知识点】导数的应用；不等式恒成立问题. B12 E8 【答案】【解析】(1) 当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增 当1a -…时，()f x 在(0,)+∞单调递减；当10a -<<时，()f x在0,⎛ ⎝单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减； （2）--2].a ∞的取值范围为(，解析：(1)()f x 的定义域为()0,+∞.2222(21)()4a ax a f x ax x x+++'=+= 当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增 当1a -…时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；当10a -<<时，令()0f x '=，解得x =即0,x ⎛∈⎝时，()0f x '>；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0.f x '<； 故()f x在0,⎛ ⎝单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减；…6分 （2）不妨设12x x <，而1a <-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有1212()()8f x f x x x -≥-⇔1212()()8f x f x x x -≥-⇔1221()()8()f x f x x x -≥-⇔1122()8()8f x x f x x +≥+ ……………8分令()()8g x f x x =+，则22()48a g x ax x+'=++ ，原不等式等价于()g x 在(0,)+∞单调递减，即1()240a g x ax x+'=++…，从而 22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++…， 故a 的取值范围为(],2.-∞- …………….12分.如果考生将1212()()f x f x x x --视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分.【思路点拨】（1）先求函数的定义域和导函数，再根据a 的取值条件，确定导函数大于零，或小于零的x 的取值区间，得函数的单调区间；（2）不妨设12x x <，而1a <-时，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，所以对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有1212()()0f x f x x x -<-，所以1212()()8f x f x x x -≥-⇔1221()()8()f x f x x x -≥-⇔1122()8()8f x x f x x +≥+恒成立， 令()()8g x f x x =+，则22()48a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在(0,)+∞单调递减，即1()240a g x ax x+'=++…，从而 22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++…，故a 的取值范围为(],2.-∞- 【典例剖析】本题第二问较典型，利用函数的单调性去掉绝对值，转化为求一个新函数在某区间上单调的条件，即转化成立另一个恒成立问题.。

邯郸市高三摸底考试化学试题2014.9本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共100分。

考试时间90分钟。

考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

可能用到的相对的原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 Br 80 Ag 108I卷（44分）一、选择题（1-10题，每题2分，11-18题，每题3分，共44分，每题只有一个最佳答案）1．化学与生活息息相关,下列说法不正确的是A．干燥的Cl2和氯水均能使鲜花褪色B．Si可用于制造半导体材料C．次氯酸钠溶液是生活中常用的消毒剂D．经常食用含明矾的食品能中和过多的胃酸2．下列化学用语只能用来表示一种微粒的是A．B．C．CH4O D．C3．下列有关物质组成、分类正确的是A．盐酸、硫酸、硝酸都是强氧化性酸B．新制氯水的溶质主要是次氯酸分子C．纯碱、烧碱的成分分别是碳酸钠、氢氧化钠D．苯、聚苯乙烯、聚乙烯的组成元素以及元素质量比相等4．下表各组物质之间通过一步反应不可以实现如右图所示转化关系的是选项X Y Z箭头上所标数字的反应条件A Na2O2NaOH NaCl ①常温遇水B AlCl3NaAlO2Al(OH)3②通入CO2C NO NO2HNO3④加入铜粉D Cl2NaClO HClO ③加浓盐酸5．用N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A．用含0.1mol FeCl3的溶液与足量沸水反应制得的Fe(OH)3胶体中胶粒数为0.1N AB．46g NO2和N2O4的混合气体中含N原子总数为N AC．标准状况下，5.6L CCl4含有的分子数为0.25N AD．等物质的量的NH4＋和OH－含电子数均为10N A6．短周期元素X、Y、Z的原子序数依次递增，其原子的最外层电子数之和为13，X与Y、Z位于相邻周期，Z原子最外层电子数是X原子内层电子数的3倍或者是Y原子最外层电子数的3倍，下列说法正确的是A．X的氢化物溶于水生成弱酸B．Z的氢化物的水溶液在空气中存放不易变质C．Y与X可生成Y3X2型化合物D．Z的单质在氧气中燃烧可以生成两种酸性氧化物7．下列实验操作完全正确的是编号实验操作A 钠与水反应用镊子从煤油中取出金属钠，切下绿豆大小的钠，小心放入装满水的烧杯中B 配制一定浓度的氯化钾溶液1000mL准确称取氯化钾固体，放入到1000mL的容量瓶中，加水溶解，振荡摇匀，定容C 排除碱式滴定管尖嘴部分的气泡将胶管弯曲使玻璃尖嘴斜向上，用两指捏住胶管，轻轻挤压玻璃珠，使溶液从尖嘴流出D 取出分液漏斗中所需的上层液体下层液体从分液漏斗下端管口放出，关闭活塞，换一个接受容器，上层液体继续从分液漏斗下端管口放出8．下列叙述错误的是A．生铁中含有碳，抗腐蚀能力比纯铁弱B．用锡焊接的铁质器件，焊接处易生锈C．铁管上镶嵌锌块，铁管不易被腐蚀D．在铁制品上镀铜时，镀件为阳极，铜盐为电镀液9．有机物的结构可用“键线式”表示，如：CH3CH=CHCH3可简写为，有机物X的键线式为，下列说法不正确的是A．X的化学式为C8H8B．X能使酸性高锰酸钾溶液褪色C．X与足量的H2在一定条件下反应可生成环状的饱和烃Z，Z的一氯代物有4种D．Y是X的同分异构体，且属于芳香烃，则Y的结构简式可以为10．2010年4月中旬全球核安全峰会在华盛顿举行，发展核电、制裁核武器发展是会议主题，各式各样电池的发展是化学对人类的一项重大贡献，下列有关电池的叙述正确的是A．手机上用的锂离子电池属于一次电池B．锌锰干电池中，锌电极是负极C．氢氧燃料电池工作时氢气在负极被还原D．太阳能电池的主要材料为二氧化硅11．海洋中资源丰富，以海水为原料可制得一系列产品，如下图所示：下列有关说法正确的是A．第①步除去粗盐SO42－、Ca2＋、Mg2＋、Fe3＋等杂质离子，加入的药品顺序为：Na2CO3溶液→NaOH溶液→BaCl2溶液→过滤后加盐酸B．将第②步结晶出的MgCl2 6H2O在空气中加热分解制备无水MgCl2C．在第③④⑤步中溴元素均被氧化D．电解饱和食盐水时，在阴极区生成NaOH12．为了确定某物质是否变质，所选试剂（括号内物质）错误的是A．Na2SO3是否被氧化（BaCl2）B．FeCl2是否被氧化（KSCN）C．KI是否被氧化（淀粉溶液）D．氯水是否失效（pH试纸）13．用石墨电极电解CuCl2溶液（见右图）。

2 2
（1）求抛物线 C2 的标准方程； （2）设 C1 与 C2 在第一象限的交点为 A，过 A 的斜率为 k（k＞0）的直线 l1 与 C1 的另一
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2
B．[
3 8
，1）
C． （
，1）
2
D ．[
8
，3] ）
8． （5 分） 已知 1﹣x+x ﹣x +…+x ＝a0+a1 （x+1） +a2 （x+1） +…+an （x+1） ， 则 a2＝ （ A．120 B．84 C．72 D．48 ）
9． （5 分）已知函数 f（x）＝cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（ A．若 f（x1）＝f（x2） ，则 x1﹣x2＝kπ，k∈Z B．f（x）的图象关于点（ C．f（x）的图象关于直线 D．f（x）的图象向右平移 ，0）对称 对称 个单位长度后得
＝2Sn+n+4，且 a2﹣
19． （12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAC⊥底面 ABCD，BC＝CD＝ AC＝2，∠
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ACB＝∠ACD＝
．
（1）证明：AP⊥BD； （2）若 AP＝ ，AP 与 BC 所成角的余弦值为 ，求二面角 A﹣BP﹣C 的余弦值． ．
A．
B．
C．
D．
6． （5 分）在正方体 ABCD﹣A1 BlC1D1 中，AB＝2，点 A，B，C，D 在球 O 上，球 O 与 BA1 的另一个交点为 E，且 AE⊥BA1，则球 O 的表面积为（ A．6π B．8π C．12π ） D．16π ）
7． （5 分）非零向量 ， 夹角为 120°，且| ﹣ |＝1，则| + |的取值范围为（ A． （1， ]

2015年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知复数z＝+i，则z•＝（）A．﹣1B．1C．﹣D．2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}则图中阴影部分所表示的集合为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，2）C．[1，2）D．（1，2] 3．（5分）命题“∀x∈R，tan x≠1”的否定是（）A．∀x∉R，tan x≠1B．∀x∈R，tan x＝1C．∃x∉R，tan x≠1D．∃x∈R，tan x＝14．（5分）已知点A，B是双曲线﹣＝1的顶点，P为双曲线上除顶点外的一点，记k P A，k PB分别表示直线P A，PB的斜率，若k P A•k PB＝，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．5．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x为6，则输出的y的值为（）A．6B．4C．3D．2.56．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（0＜φ＜）的部分图象如图所示，则（）A．A＝2，φ＝B．A＝2，φ＝C．A＝2，φ＝D．A＝2，φ＝7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知锐角α满足sinα+cosα＝，则tan（）＝（）A．﹣B．C．D．9．（5分）已知点A是半径为1的⊙O外一点，且AO＝2，若M，N是⊙O一条直径的两个端点，则＝（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知a、b、c、d是实数，e是自然对数的底数，且e b＝2a﹣1，d＝2c+3，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．4B．5C．6D．711．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若P A＝AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，且P A⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．B．C．12πD．15π12．（5分）设函数f（x）＝，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2at2+at，则正实数a的最小值是（）A．1B．C．D．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（x+1）（x﹣1）3展开式中含x3项的系数为（用数字表示）14．（5分）公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高X服从正态分布N（170，72）（单位：cm），参考以下概率P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，点Q是MN的中点，|QF|＝2，则p＝．16．（5分）已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题：①若tan A+tan B+tan C＞0，则△ABC是锐角三角形②若acoA＝b cos B，则△ABC是等腰三角形③若b cos C+c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形④若＝，则△ABC是等边三角形其中正确命题的序号是．三、解答题17．（12分）设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，a22+a23＝a24+a25，S7＝7（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）若1+2log2b n＝a n+3（n∈N*），求数列{a n b n}的前n项和T n．18．（12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，A1B⊥B1C（Ⅰ）证明：A1C1⊥CC1（Ⅱ）若A1B＝2，在棱CC1上是否存在点E，使得二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°若存在，求CE的长，若不存在，说明理由．20．（12分）已知圆M：（x+）2+y2＝16，点N（，0），点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线MP于点Q，设动点Q的轨迹为C（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与轨迹C交于G，H两点，O为坐标原点，若△GOH 的重心恰好在圆x2+y2＝上，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝e x﹣2（Ⅰ）求函数r（x）＝x+x2f′（x）﹣2在区间（0，+∞）上的最小值（Ⅱ）是否存在实数k，使得对∀x∈（0，e]，f（x）≤k（x﹣1）≤g（x）？若存在，求出所有满足条件的k，若不存在，说明理由．四、请考生从22、23、24三题中任选一题作答选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的参数方程为（θ是参数），直线l的极坐标方程为（ρ∈R）（Ⅰ）求C的普通方程与极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．2015年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知复数z＝+i，则z•＝（）A．﹣1B．1C．﹣D．【解答】解：∵z＝+i，则z•＝＝．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}则图中阴影部分所表示的集合为（）A．（﹣1，0]B．[﹣1，2）C．[1，2）D．（1，2]【解答】解：∵B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A），∴∁U A＝{{x|x≥1或x≤﹣1}，∴B∩（∁U A）＝{x|1≤x＜2}．故选：C．3．（5分）命题“∀x∈R，tan x≠1”的否定是（）A．∀x∉R，tan x≠1B．∀x∈R，tan x＝1C．∃x∉R，tan x≠1D．∃x∈R，tan x＝1【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，tan x＝1，故选：D．4．（5分）已知点A，B是双曲线﹣＝1的顶点，P为双曲线上除顶点外的一点，记k P A，k PB分别表示直线P A，PB的斜率，若k P A•k PB＝，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：由题意，可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（m，n）∴k P A•k PB＝＝．∵点P是双曲线上的点，可得，化简整理得n2＝．∴k P A•k PB＝∵k P A•k PB＝，∴＝，可得e＝＝．故选：C．5．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x为6，则输出的y的值为（）A．6B．4C．3D．2.5【解答】解：模拟执行程序框图，可得x＝6，y＝4，不满足条件|y﹣x|＜1，x＝4，y＝3不满足条件|y﹣x|＜1，x＝3，y＝2.5满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为2.5．故选：D．6．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（0＜φ＜）的部分图象如图所示，则（）A．A＝2，φ＝B．A＝2，φ＝C．A＝2，φ＝D．A＝2，φ＝【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（0＜φ＜）的部分图象可得A＝2，再把（0，）代入，可得2sinφ＝，即sinφ＝，∴φ＝，故选：A．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解；某几何体的三视图如图得出该几何体是圆锥的，三棱锥，高为，r＝1，底面积为：×π×12＝，×＝×＝，故选：A．8．（5分）已知锐角α满足sinα+cosα＝，则tan（）＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵锐角α满足sinα+cosα＝，可得α∴sinα+cosα＝，∴sin（）＝＜，∴0＜，∴cos（）＝＝，∴tan（）＝＝．故选：B．9．（5分）已知点A是半径为1的⊙O外一点，且AO＝2，若M，N是⊙O一条直径的两个端点，则＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如右图：0A＝2，OM＝ON＝1，∵＝，＝，∴＝（）•（）＝+++＝++＝4+0﹣1＝3，故选：C．10．（5分）已知a、b、c、d是实数，e是自然对数的底数，且e b＝2a﹣1，d＝2c+3，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由题意可得点（a，b）在e y＝2x﹣1即函数y＝ln（2x﹣1）图象上，同理可得点（c，d）在直线y＝2x+3上，对y＝ln（2x﹣1）求导数可得y′＝，令＝2可解得x＝1，代入y＝ln（2x﹣1）可得y＝0，∴曲线y＝ln（2x﹣1）上的点（1，0）到直线y＝2x+3的距离为＝∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）2＝5故选：B．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若P A＝AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，且P A⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．B．C．12πD．15π【解答】解：∵AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，∴BC＝＝，∴三角形ABC的外接圆直径2r＝＝＝，∴r＝，∵P A⊥面ABC，P A＝2，由于三角形OP A为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R＝＝，∴该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝．故选：A．12．（5分）设函数f（x）＝，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2at2+at，则正实数a的最小值是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝，∴当x≤0时，f（f（x））＝＝x；当0＜x≤1时，log2x≤0；故f（f（x））＝＝x；当x＞1时，f（f（x））＝log2（log2x）；故f（f（x））＝；分析函数在各段上的取值范围可知，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2at2+at，则f（f（x））＞1，即2at2+at＞1，又∵t∈（1，+∞），a＞0；∴2a+a≥1即可，即a≥；故选：C．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（x+1）（x﹣1）3展开式中含x3项的系数为﹣2（用数字表示）【解答】解：∵（x+1）（x﹣1）3＝（x+1）（x3﹣3x2+3x﹣1），故展开式中含x3 的项的系数为﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．14．（5分）公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高X服从正态分布N（170，72）（单位：cm），参考以下概率P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为184cm．【解答】解：∵公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，∴利用P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，男子身高X服从正态分布N（170，72）（单位：cm），可得车门的高度（单位：cm）至少应设计为170+2×7＝184cm．故答案为：184cm．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，点Q是MN的中点，|QF|＝2，则p＝．【解答】解：如图，由抛物线的几何性质可得，以AB为直径的圆与准线l相切，且切点为Q，△MFN是以∠MFN为直角的直角三角形，则|MN|＝2|QF|＝4，即|BD|＝4，∴|AB|＝，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得12x2﹣20px+3p＝0．则，∴|AB|＝，∴，则p＝．故答案为：．16．（5分）已知，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题：①若tan A+tan B+tan C＞0，则△ABC是锐角三角形②若acoA＝b cos B，则△ABC是等腰三角形③若b cos C+c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形④若＝，则△ABC是等边三角形其中正确命题的序号是①③④．【解答】解：对于①，∵tan A+tan B＝tan（A+B）（1﹣tan A tan B），∴tan A+tan B+tan C＝tan（A+B）（1﹣tan A tan B）+tan C＝tan A tan B tan C＞0，∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故①正确；对于②，若acoA＝b cos B，则sin A cos A＝sin B cos B，则2sin A cos A＝2sin B cos B，则sin2A＝sin2B，则A＝B，或A+B＝90°，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②错误对于③，若b cos C+c cos B＝b，sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故③正确；④对于④，若＝，则，即tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题17．（12分）设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，a22+a23＝a24+a25，S7＝7（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）若1+2log2b n＝a n+3（n∈N*），求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a22+a23＝a28+a23，∴（a4﹣a2）（a4+a2）＝（a3+a5）（a3﹣a5），化为2d×2a3＝﹣2d×2a4，d≠0，∴a3＝﹣a4．∵S7＝7，∴S7＝＝7a4＝7，解得a4＝1，∴a3＝﹣1，d＝2．∴a n＝a4+（n﹣4）×2＝2n﹣7．（Ⅱ）∵1+2log2b n＝a n+3（n∈N*），∴1+2log2b n＝2n﹣1，∴．∴a n b n＝（2n﹣7）×2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n＝﹣5×1﹣3×2﹣1×22+1×23+…+（2n﹣7）×2n﹣1，2T n＝﹣5×2﹣3×22﹣1×23+1×24+…+（2n﹣7）×2n，∴﹣T n＝﹣5+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣7）×2n＝﹣5+﹣（2n﹣7）×2n＝﹣5+2n+1﹣4﹣（2n﹣7）×2n，∴T n＝（2n﹣9）×2n+9．18．（12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解（Ⅰ）根据频率定义，0.2+0.25+b+0.3＝1，解得b＝0.25；200：0.2＝a：0.25，解得a＝250，200：0.2＝c：0.3，c＝300，…（2分）第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．…（6分）（Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为．…（8分）由题意知ξ～B（4，），则P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，4．ξ的分布列为：…（10分）Eξ＝4×＝1…（12分）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，A1B⊥B1C（Ⅰ）证明：A1C1⊥CC1（Ⅱ）若A1B＝2，在棱CC1上是否存在点E，使得二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°若存在，求CE的长，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接BC1∵BCC1B1为平行四边形，且BC＝CC1＝2，∴BCC1B1为菱形，∴BC1⊥B1C…（2分）又∵A1B⊥B1C，∴B1C⊥平面A1C1B∴B1C⊥A1C1，…（4分）又∵AC⊥CB，∴A1C1⊥C1B1∴A1C1⊥平面CBB1C1∴A1C1⊥CC1，…（6分）（Ⅱ）∵A1B＝2，A1C1＝2，∴BC1＝2，∴CC1⊥BC∴AC，CB，CC1两两垂直…（8分）以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），B （0，2，0），设E（0，0，a），则＝（﹣2，0，a），＝（﹣2，2，2），＝（0，﹣2，2），易知，BC1⊥平面AB1C，则平面AB1C的一个法向量＝（0，﹣1，1）设＝（x，y，1）是平面AB1E的一个法向量则，得＝（，﹣1，1）…（10分）则|cos＜，＞|＝＝＝，解得：a＝1，∴在棱CC1上存在点E，当CE＝1时，得二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°．…（12分）20．（12分）已知圆M：（x+）2+y2＝16，点N（，0），点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线MP于点Q，设动点Q的轨迹为C（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与轨迹C交于G，H两点，O为坐标原点，若△GOH 的重心恰好在圆x2+y2＝上，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）如图，∵|QP|＝|QN|，∴|MQ|+|QN|＝|MP|＝4，故点Q的轨迹是以M、N为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设点G（x1，y1），H（x2，y2），方程联立得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由韦达定理，得x1+x2＝，所以y1+y2＝，所以△GOH的重心的坐标为（，），∴[]2+[]2＝，整理得：①依题意△＝（8mk）2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）＝16（1+4k2﹣m2）＞0，得m2＜1+4k2②由①、②易得k≠0，设t＝1+16k2（t＞1），则，所以m2＝＝，当且仅当t＝3取等号，所以实数m的取值范围是．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝e x﹣2（Ⅰ）求函数r（x）＝x+x2f′（x）﹣2在区间（0，+∞）上的最小值（Ⅱ）是否存在实数k，使得对∀x∈（0，e]，f（x）≤k（x﹣1）≤g（x）？若存在，求出所有满足条件的k，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由得r（x）＝x﹣1﹣lnx，∴．∴当0＜x＜1时，r′（x）＜0，当x＞1时，r′（x）＞0．∴r（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．∴r min＝r（1）＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得lnx≤x﹣1，∴．讨论在（0，e]上恒成立时k的取值．①当1＜x≤e时，由，得恒成立，∵在（1，e]上单调递减，∴，又恒成立，∴k≥1；②当0＜x＜1时，由，得恒成立，∵在（0，1）上单调递减，∴，又恒成立，∴k≤1；③当x＝1时，无论k取何值都恒成立，由①②③可得k＝1．∴由恒成立可得k＝1．设h（x）＝e x﹣2﹣x+1，则h′（x）＝e x﹣2﹣1，令h′（x）＝e x﹣2﹣1＝0，解得x＝2．当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，e]时，h′（x）＞0，∴在（0，e]上h（x）min＝h（2）＝0，即h（x）＝e x﹣2﹣x+1≥0，∴e x﹣2≥x﹣1．∴当（0，e]时，对于k（x﹣1）≤g（x），在k＝1时成立．综上所述，存在唯一的k＝1使结论成立．四、请考生从22、23、24三题中任选一题作答选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP＝90°，∴∠ONB+∠BNP＝90°∵OB＝ON，∴∠OBN＝∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO＝90°，故∠BNP＝∠BMO＝∠PMN，PM＝PN∴PM2＝PN2＝P A•PC（Ⅱ）∵OM＝2，BO＝2，BM＝4∵BM•MN＝CM•MA＝（2+2）（2﹣2）（2﹣2）＝8，∴MN＝2选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的参数方程为（θ是参数），直线l的极坐标方程为（ρ∈R）（Ⅰ）求C的普通方程与极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由sin2θ+cos2θ＝1，可得圆C的普通方程是（x ﹣）2+（y ﹣）2＝1，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，又x2+y2﹣x＝0，即有ρ2＝ρ（cosθ+sinθ），即有圆的极坐标方程是ρ＝2cos（θ﹣）；（Ⅱ）由圆的极坐标方程可得，当时，ρ＝2cos（﹣）＝2×＝，故|AB|＝．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2|x﹣1|+|x﹣3|＝，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a ）＝，故g（a）的最小值为2．第21页（共21页）。

2015届高三质检考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题1—5 CDABC 6—10 CDDAA 11—12 BC 二、填空题 13.29-，14.3，15.0432=-+y x ，16.93 三．解答题17. 解：（1）有题意可得2362a a a =⋅又因为11-=a 2=∴d ………… 2分32-=∴n a n n n s n 22-= ………………… 4分 （2）)121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分 )]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n12)1211(21--=---=n n n ………………10分 18.解：(1)1cos 231()22cos2x-1=sin(2)12226x f x x x x π+=+-=++- ()sin(2)16f x x π∴=+-，………2分 ∴最小正周期为π ………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是0. ………6分(2)1()2f A =-,3A π∴= ………8分由余弦定理得,2222222223()()2cos ()3()44b c b c a b c bc A b c bc b c bc b c ++=+-=+-=+-≥+-=即4b c +≤=,当且仅当2b c ==时取等号.ABC ∆∴的周长的最大值是6. ……………12分法二：由1()2f A =-，得3A π∠=，由正弦定理可得，sin sin sin b c a B C A ====………8分,,b B c C ∴==22sin )2sin())3L B C B B π=++=++-224sin()(0)63B B ππ=++<<所以，当3B π=时，L 取最大值，且最大值为6 ………12分19.(1)证明：由题意，∠ADC = 45o ，AD = AC = 1,故∠DAC = 90o 即DA ⊥AC .又因为 PO ⊥平面ABCD,所以，DA ⊥PO ，DA ⊥平面PAC ……………4分（2）法一：连结DO,作MG ⊥DO 于G ，作GH ⊥AO 于H ，因为M 是PD 中点，且MG ⊥DO ，所以G 为DO 中点，且MG ⊥平面ABCD ，显然，∠MHG 即为二面角M-AC-D 的平面角.…………8分因为GH ⊥AO ，且G 为DO 中点，所以11=22GH AD =，而tan 2MGMHG GH∠==，故=1MG ，PO=2MG=2. ……………12分法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则1(,00)2A ，,1(,00)2C -，，1(,10)2D -，，(0,0,)P a ，11(,)422a M -， 设平面MAC 的法向量为(,,)n x y z =，11=(,,)222aMA --，(1,0,0)AC =，则11-02220a x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，所以n 的一个取值为 (0,,1)a ……………10分平面ACD 的法向量为=(0,0,)OP a . 设二面角的平面角为θ，因为tan 2θ=，所以cos θ==a =2 ……………12分20.（1）解:由已知得10060.00036.020024.00012.050=+++⨯+⨯）（x 0044.0=∴x ……………2分设该小区100户居民的月均用电量为S则+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=225500044.0175500060.0125500036.075500024.0S=⨯⨯+⨯⨯325500012.027*******.09+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186………6分（2）该小区用电量在]300,250(的用户数为12100500024.0=⨯⨯，用电量在]350,300(的用户数为6100500012.0=⨯⨯=0ξ时，31231855(=0)204C p C ξ==，=1ξ时，2112631833(=1)68C C p C ξ⨯==, =2ξ时，1212631815(=2)68C C p C ξ⨯==,=3ξ时，363185(=3)204C p C ξ==………10分 所以ξ的分布列是)3(3)2(2)1(1)0(0=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=E ξξξξξp p p p ）（=1……………12分21.解：（1）由题意得：22=a c ，得cb =，因为)0(1)23()22(2222>>=+-b a ba ，得1=c ，所以22=a ，所以椭圆C 方程为1222=+y x . ……………4分（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S .当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k 与x y 42=联立得0)42(2222=++-k x k x k ； 令),(),,(2211y x N y x M ，24221+=+kx x ，121=x x . 442+=kMN ，……………6分 MN PQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)1(1--=x ky 将直线与椭圆联立得，0224)2(222=-+-+k x x k 令),(),,(4433y x Q y x P ,24243+=+k x x ，2222243+-=k k x x ；2)1(2222++=k k PQ ，……………8分 ∴四边形PMQN 面积S=)2()1(242222++k k k ， 令)1(,12>=+t t k ，上式S ==)111(241112412422222-+=-+-=-t t t t t 24>所以S ≥最小值为24 ……………12分22.解：(1)()f x 的定义域为()0,+∞.2222(21)()4a ax a f x ax x x+++'=+= 当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增当1a -…时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减； 当10a -<<时，令()0f x '=，解得x =即0,x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0.f x '<； 故()f x在0,⎛⎝单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减；…6分 （2）不妨设12x x <，而1a <-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有1212()()8f x f x x x -≥-⇔1212()()8f x f x x x -≥-⇔1221()()8()f x f x x x -≥-⇔1122()8()8f x x f x x +≥+ ……………8分 令()()8g x f x x =+，则22()48a g x ax x+'=++ 原不等式等价于()g x 在(0,)+∞单调递减，即1()240a g x ax x+'=++…，从而 22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------==-+++…， 故a 的取值范围为(],2.-∞- …………….12分另解：min 241()21x a x --≤+ 设241()21x x x ϕ--=+， 则222222222224(21)(41)48448444(21)(1)()(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x ϕ-+---⋅+-+--+'====++++ 当1(0,)()0,()2x x x ϕϕ'∈<时，为减函数，1(,)()0,()2x x x ϕϕ'∈+∞>时，为增函数。

高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-->，{|0}B x x =>，则AB =（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞ 2.若复数z 满足(1)23i z i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．43.在ABC ∆中，若4AB AC AP +=，则PB =（ ）A ．3144AB AC - B ．3144AB AC -+ C ．1344AB AC -+ D ．1344AB AC -4. 12,F F 分别是双曲线C ：22197x y -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且1||8PF =，则12PF F ∆的周长为（ ）A ． 15B ．16 C. 17 D ．185.用电脑每次可以从区间(0,1)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127 B ．23 C. 827 D ．496.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n 个面是矩形，体积为V ，则（ ）A ．4,10n V ==B ．5,12n V == C. 4,12n V == D ．5,10n V ==7.若sin()2cos )4πααα+=+，则sin2α=（ ）A ．45-B ．45 C. 35- D ．358. 设函数()f x 的导函数为'()f x ，若()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则'()f x 的图像可能为（ ）A ．B ．C. D ．9. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）10.已知函数2()1f x ax bx =-+，点(,)a b 是平面区域201x y x my +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩内的任意一点，若(2)(1)f f -的最小值为-6，则m 的值为（ ）A ． -1B ． 0 C. 1 D ．211. 若函数sin(2),6()cos(2),62x x m f x x m x ππππ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩恰有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．11(,](,]126123ππππ-- B ．1125(,](,](,]123126123ππππππ---- C. 11[,)[,)126123ππππ-- D ．1125[,)[,)[,)123126123ππππππ----12.直线y x a =+与抛物线25(0)y ax a =>相交于,A B 两点，(0,2)C a ，给出下列4个命题：1P ：ABC ∆的重心在定直线730x y -=上；2p ：||AB3p ：ABC ∆的重心在定直线370x y -=上；4p ：||AB 其中的真命题为（ ）A ．12,p pB ．14,p p C. 23,p p D ．34,p p第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:4:6A B C =，则cos B = ． 14.若2332log (log )log (log )2x y ==，则x y += ． 15.若5()(12)x a x ++的展开式中3x 的系数为20，则a = ．16.已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面积，且AB CD a ==，AC AD BC BD ====a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，记数列21{}n a -的前n 项和为n S . （1）求n S ； （2）设数列1{}n nn a S +的前n 项和为n T ，若25,,m a a a 成等比数列，求m T .18. 如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PB AB ⊥. （1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）若异面直线PC 与BD 所成角为60，PB AB =，PB BC ⊥，求二面角B PD C --的大小.19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)4 1.1yx =+，方程乙：(2)26.41.6y x=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：i i i e y y =-，i e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（也叫随机误差））；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6,0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4,0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.20. 如图，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F为右焦点，直线6y x =与C 的交点到y 轴的距离为27，过点B 作x 轴的垂线l ，D 为l 上异于点B 的一点，以BD 为直径作圆E . （1）求C 的方程；（2）若直线AD 与C 的另一个交点为P ，证明：直线PF 与圆E 相切.21. 已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. （1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2M π，以极点O 为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线2:12x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且||||MA MB >.（1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P 的极坐标；（2）求||||MA MB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-.（1）求不等式()5|1|f x x ≤--的解集； （2）若函数1()(2)g x f x a x =--的图像在1(,)2+∞上与x 轴有3个不同的交点，求a 的取值范围. 试卷答案一、选择题1-5: CBADC 6-10: DCCBA 11、12：BA二、填空题13.2936 14. 593 15. 14- 16. 三、解答题17.（1）∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，∴11a =，∴21n a n =-，∴212(21)143n a n n -=--=-，2(143)22n n nS n n +-==-（2）若25,,m a a a 成等比数列，则225m a a a =，即23(21)9m -=，∴14m = ∵11111()(21)(21)22121n nn a S n n n n +==--+-+，∴141111111114(1)(1)2335272922929m T T ==-+-++-=-=. 18. （1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥， ∵PB AB ⊥，PBBC B =，∴AB ⊥平面PBC.又//CD AB ，∴CD ⊥平面PBC .∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD .（2）解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1PB AB ==，(0)BC a a =>，则(0,0,0)B ，(0,0,)C a ，(1,0,0)P ，(0,1,)D a ，所以(1,0,)PC a =-，(0,1,)BD a =，则||cos60||||PC BDPC BD ∙=，即22112a a =+， 解得1a =（1a =-舍去）.设111(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量，则0n BP n BD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即11100x y z =⎧⎨+=⎩，可取(0,1,1)n =-.设222(,,)m x y z =是平面PCD 的法向量，则00m PD m CD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即22220x y z y -++=⎧⎨=⎩，可取(1,0,1)m =，所以1cos ,2||||n m n m n m ∙<>==-，由图可知二面角B PD C --为锐角，所以二面角B PD C --的大小为60.19. 解：（1）①经计算，可得下表：②22210.1(0.1)0.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好.（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为100.660.48.4⨯+⨯=， 所以一天的总利润为(8.4 1.7)800053600-⨯=（元） 若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为26.41.6 1.66410+=（元）， 每辆车一天收入期望为100.460.67.6⨯+⨯=，所以一天的总利润为(7.6 1.664)1000059360-⨯=（元） 所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆. 20.（1）解：由题可知，12c a =，∴2a c =，223b c =， 设椭圆C 的方程为2222143x y c c+=，由22221436x y c c y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22||77c x ==，∴1c =，2a =，23b =，故C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可得：(1,0)F ，设圆E 的圆心为(2,)(0)t t ≠，则(2,2)D t ， 圆E 的半径为||R t =， 直线AD 的方程为(2)2ty x =+. 设过F 与圆E 相切的直线方程为1x ky =+，||t=，整理得：212tkt-=，由2(2)2112ty xtx yt⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得22262363txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又∵22222626()()33143t tt t-+++=，∴直线PF与圆E相切.21.（1）由'1()f x ax bx=-+，得'(1)1f a b=-+，l的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x--++=-+-，又l过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222a b a b--++=-+-，解得0b=.∵21()()(1)ln(1)12g x f x a x x ax a x=--=-+-+，∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x xax a x ag x ax a ax x x--+-+-+=-+-==>，当1(0,)xa∈时，'()0g x>，()g x单调递增；当1(,)xa∈+∞时，'()0g x<，()g x单调递减.故2max111111()()ln()(1)1ln22g x g a a aa a a a a==-+-+=-.（2）证明：∵4a=-，∴2212121211221212()()3ln21ln213f x f x x x x x x x x x x x x x++++=++++++++，212121212ln()2()22x x x x x x x x=++++-+=，∴2121212122()ln()x x x x x x x x+++=-令12(0)x x m m=>，()lnm m mϕ=-，'1()mmmϕ-=，令'()0mϕ<得01m<<；令'()0mϕ>得1m>.∴()mϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)1mϕϕ≥=，∴212122()1x x x x+++≥，12x x+>，解得：1212x x+≥.22. （1）2cos2sin)4πρθθθ=+=+，02θπ≤<，∴当4πθ=时，ρ取得最大值P的极坐标为)4π.（2）由2cos 2sin ρθθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+，即22220x y x y +--=， 故曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=.将212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(1)(1)2x y -+-=并整理得：210t -=，解得t =，∵||||MA MB >，∴由t的几何意义得，||2MA =，||2MB =，故||2||MA MB ==23.（1）由()5|1|f x x ≤--，得|1||2|5x x -+-≤，∴2235x x >⎧⎨-≤⎩或1215x ≤≤⎧⎨≤⎩或1325x x <⎧⎨-≤⎩，解得14x -≤≤，故不等式()5|1|f x x ≤--的解集为[1,4]-.（2）122,111()(2)|22|1122,12x x xh x f x x x x x x x⎧-+≥⎪⎪=-=--=⎨⎪+-<<⎪⎩，当112x <<时，1()2222h x x x =+-≥=，当且仅当12x x=，即2x =时取等号，∴min ()2h x =， 当1x ≥时，1()22h x x x=-+递减， 由1()(2)0g x f x a x=--=，得()h x a =， 又1()(1)12h h ==，结合()h x的图像可得2,1)a ∈.高中经典试题。

2015届高三7月调研考试数学（理）试题一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()U M N I ð等于 ( ) A.｛0， 4｝B.｛3，4｝C.｛1，2｝D. ∅2.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( )A.命题q p ∨是假命题B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题 3. 函数12(01)x y aa a -=+>≠且图象一定过点 ( )A （1,1）B （1,3）C （2,0）D （4,0） 4.已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ）A 2B 3C 4D 5 5. 把函数x1y -=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为（ ）A 1x 3x 2y --=B 1x 1x 2y ---=C 1x 1x 2y ++= D 1x 3x 2y ++-= 6. 设函数1,()=0,x D x x ⎧⎨⎩有理理为数为无数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数7．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 8．圆5cos 53sin ρθθ=-的圆心是（ ） A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 9. 若0.52a=，πlog 3b =，2log 0.5c =，则（ ）A a b c >>B b a c >>C c a b >>Db c a >>10. 设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A. 2026(,]33 B. 2026(,)33 C. 11(,6]3D. 11(,6)311. 已知()g x 是R 上的奇函数，当0x <时，ln (()1)x g x =--，函数3(0)()()(0)x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩ ,若2(2)()f x f x -> ，则实数x 的取值范围是（ ）A.（-∞，1）∪(2，+∞)B. （-∞，-2）∪(1，+∞)C.（1,2）D.（-2,1）12.设偶函数()f x 对任意x R ∈都有1()(3)f x f x =--，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =，则(119.5)f =（ ）A ．10B ．10-C ．110D ．110-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 已知“命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为_________________. 14. 函数(x)1lg(x 2)f =--的定义域为15. 已知函数)12(log 221++=x ax y 的值域为R ,则实数a 的取值范围是16. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=三、解答题 ：本大题共6小题，满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知a > 0,a ≠1,设p:函数y =log a (x+1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y =x 2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点,如果p 且q 为假命题,p 或q 为真命题,求a 的取值范围.19. 已知常数a 、b 满足a>1>b>0，若()lg()x x f x a b =-(1)求y ＝f(x)的定义域；(2)证明：y ＝f (x )在定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)内取正值，且f (2)＝lg 2，求a 、b 的值．20.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。

邯郸市2015届高三摸底考试理科数学答案一、选择题1-5CDBAC 6-10 BBDCA 11-12 AD 二、填空题13.-10 14.10 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,1623 16.②④三、解答题17. 解：（1）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，23a q =，∵1223+=s s，∴1)(221321++=++a a a a a ，……………2分则1)1(212++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去）， ∴12n n a -=……………4分（Ⅱ）121212n n n b n a n -=-+=-+……………6分()[]()12......21112.....31-++++-+++=n n n T 2[1(21)]1221212n n n n n +--=+=+--……………8分又∵122-+=n n n T 在[)+∞,1 上是单调递增的 ∴21=≥T T n∴2≥nT …………………………10分18. 解(1)在三角形ABC中B ac S sin 21=,由已知B ac S cos 23=可得B ac B ac cos 23sin 21=为三角形内角，B 3t a n =∴B 0﹤B ﹤π∴ 3B π=-------------5分(2)4cos 2222=+=+=+acBac b ac c a c a a c ac b B 332=∴=π 由正弦定理可得 CA B sin sin 3sin 2= 41sin sin 3=∴=C A B πCA BC A C A C A A C A C C C A A C A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1=+=+=+=+32sin sin 23==CA ----------12分19. （Ⅰ）证明：三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，∴⊥A A 1平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ， ∴BC A A ⊥1-AD ⊥平面1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ，∴BC AD ⊥. 又 ⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1,A AD A A =⋂1， ∴BC ⊥平面1A AB ，又⊂B A 1平面BC A 1，∴ B A BC 1⊥-----------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面1A AB ，⊂AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥ 如图,以B 为原点建立空间直角坐标系xyz B -AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,∴B A AD 1⊥.在Rt ABD ∠∆中，3AD =，AB=2，3sin 2AD ABD AB ∠==,060ABD ∠= 在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB . 在1Rt ABA ∠∆中， tan AA AB =⋅=016023,则B (0,0,0),)0,2,0(A ,C （2，0，0）,P （1，1，0）,1A （0，2，23）,)0,1,1(=BP=1BA （0，2，23）)0,0,2(=BC设平面B PA 1的一个法向量),,(1z y x n =则 ⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00111BA n BP n 即⎩⎨⎧=+=+03220z y y x 可得)3,3,3(1-=n设平面B CA 1的一个法向量),,(2z y x n =C1C PAD1B B1A xyz则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00122BA n BC n 即⎩⎨⎧=+=03220z y x可得)3,3,0(2-=n772,cos 212121=∙=n n n n n n∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是772 ………12分（Ⅱ）或的法向量即为平面则平面BC A AD 11A AD BC,⊥ 在Rt ABD ∠∆中，3AD =，AB=2,则BD=1 可得D()23,21,0 )23,23,0(-=AD 772cos 111=∙=∙ADn AD n AD n ∴二面角C B A P --1平面角的余弦值是772 ………12分20. 解：随机猜对问题A 的概率113P =，随机猜对问题B 的概率214P =. （1）设参与者先回答问题A ，且获得奖金25元为事件M , 则()12131(1)344P M P P =-=⨯=,即参与者先回答问题A ，且获得奖金25元概率为14-------------5分（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A 再回答问题B ，参与者获奖金额ξ可取0,25,55， 则12(0)13P P ξ==-=,121(25)(1)4P P P ξ==-=,121(55)12P PP ξ=== -------------8分130()12E ξ=②先回答问题B 再回答问题A ，参与者获奖金额η可取0，30，55 则23(0)14P P η==-=，211(30)(1)6P P P η==-=,121(55)12P PP η=== 115()12E η=因为()()E E ξη>，所以应该先答问题A,再答问题B 。

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天启元年乡试中举。

崇祯年间授任为南阳知县。

南阳这个地方四通八达，贼出没其间，多次被何腾蛟击败而离去。

后来，又讨伐平定土寇，更加知名。

升迁为兵部主事，进升为员外郎，离开朝廷担任怀来兵备佥事，调任口北道。

他才智精明敏悟，所任各职都被称道。

适逢何腾蛟母亲去世，巡抚刘永祚荐举他贤能，请求让他不等守丧期满而任职。

何腾蛟不同意，坚决推辞归家。

十六年冬，拜授右佥都御史，代替王聚奎巡抚湖广。

当时，湖北的土地全部失陷，只剩下武昌，左良玉大军屯驻其地，军队非常强横。

何腾蛟与左良玉结好，得以相安无事。

五月，福王即位，诏书至，左良玉驻军汉阳，他的部下有不同的议论，不想宣读皇上的圣旨。

何腾蛟说：“国家的安危，就在此一举，如果不奉诏，我以死相殉。

”不久，左良玉举兵反叛，邀约何腾蛟一同出发，何腾蛟不同意，左良玉便杀掉城中全部的人以劫持何腾蛟，士民争相藏到他的官署之中，何腾蛟坐在大门口，放任他们进入。

左良玉打破墙垣放火，避难的人全部被烧死。

何腾蛟急忙解下官印交付家人，命令他们迅速离开，将自杀，被左良玉部将簇拥离去。

左良玉想与他同船，何腾蛟不同意，便安置他于另外的船，以副将四人看守。

船停于汉阳门，他趁空隙跳入江中，四人怕被杀，也跳入江中。

何腾蛟漂流十几里，打鱼船把他救起来（的地方），正在汉前将军关壮缪侯庙的前面。

怀藏官印的家人也赶到了，相视大惊。

寻找渔船，却忽然不见了。

远近之人都说何腾蛟的忠诚得到神灵的保佑，更想诚心归附。

邯郸市2015年高三二模数学（理）参考答案一、选择题1-5：BBCAD: 6-10：ABBCD,11—12： AD二、填空题13. 20 14. 6-15. 16. 12c =-或1c <-三、解答题17..解：（Ⅰ）在ABD ∆中，由余弦定理可得3cos 4B =，所以sin 4B =…………3分 故13sin 2ABC S AB BC B ∆==………….6分 参考解法2：(平面几何法)作在DE AB ⊥，垂足为E ， 因为2DB AD ==且3AB =， 所以2DE =，又因为D 为BC 中点，所以三角形ABC 的AB故137722ABC S AB ∆==. （Ⅱ）设BAD α∠=，则105CAD α∠=-在ABD ∆中，由正弦定理可得sin 30,sin AD BD a= 又在ACD ∆中 ，由正弦定理可得sin 45sin(105)AD CD α=-， 因为，BD CD =，所以sin30sin 45,sin sin(105)a a =-……………………………….8分 即1sin(105)2αα-=，即sin105cos cos105sin 2sin ααα-=， sin105cos (2cos105)sin a a =+，解得tan a . …………….12分 B CDA18. 解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量2K 的观测值为：2180(60504030)9 6.635(6040)(3050)(6030)(4050)k ⨯-⨯==>++++由临界值表2( 6.635)0.010P k ≥≈，故有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关． …………………………….3分 （Ⅱ）①从样本中的B 、C 模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型． 事件M 表示“抽取的3节课中至少有一节课为C 模式课堂”.则33963916()21C C P M C -==． …………………………….6分 ②X 的所有取值为0,1,2,3．36395(0)21C P X C ===，21633915(1)28C C P X C ===1263393(2)14C C P X C ===，33391(3)84C P X C ===所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P521 1528 314 184…………………….10分51531()0123121281484E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….12分 19.证明（Ⅰ）：在等腰梯形CDFE 中，由已知条件可得，CD AC AE EF ====2AF AD ==，所以，222AE EF AF +=，∴EF EA ⊥；同理可证，EF AC ⊥；………………1分在四棱锥F AECD -中，二面角F AE C --为直二面角，∴平面AEF ⊥平面AECD,∴ EF ⊥平面AECD ，……………………2分AC ⊂平面AECD ，AC EF ∴⊥，又AC AE ⊥，∴AC ⊥平面AEF ，………………………………4分 ∴平面ACF ⊥平面AEF . ……………5分（Ⅱ）以E 为原点，EC 所在直线为x 轴，EF 所在直线为Z 轴建立如图所示的坐标系，则A(1，1，0),C(2.0,0),D(3，1，0),(00F …………….6分则，(110)AC =-，，.(110)CD =，，,(20CF =-， 显然，(110)AC =-，，为平面AEF 的法向量，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z =，则020x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以n的一个取值为(1,1- …………….9分故平面AEF 与平面CDF所成锐二面角的余弦值为2. …………….12分 20解：(Ⅰ)由题意，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，故设椭圆方程为222212x y m m+=，将带入上式，得21m =. 所以椭圆的标准方程为2212x y +=. …………….4分 （Ⅱ）设直线1PF 的方程为x=ny —1,与椭圆联立得，22(2)210n y ny -+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12222n y y n +=+，12212y y n -=+，∴12y y -== …………….8分 z yxFDCEA令21t n =+，则12y y -==≤， 当且仅当n=0时等号成立.由题意，因为2PQF ∆的周长为定值，因此当2PQF ∆面积取最大值时，它的内切圆面积S 也取得最大值，而21212121=2PQF SF F y y y y -=-，所以，当n=0时，S 取得最大值.此时，2PQF ∆的内切圆圆心一定在x 轴上，设其坐标为0(,0)x ，取点P 的坐标为(-1)2，，则2PF40y +=.∴01x r +==，得012x =-或02x =-（舍）∴12r =，圆心为1(,0)2-，此时圆的方程为2211()24x y ++= .……………12分 21. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞(21)()()=221m x x m f x x m x x+-'-+-=-， 当0m ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0m >时，若(0,)x m ∈，则()0f x '>，()f x 单调递增， 若(,)x m ∈+∞，则()0f x '<，()f x 单调递减 ,……………4分 （Ⅱ）设则12,t m x t m x =+=-，则12122,2t t m t t x +=-=1121212122()()ln()()(21)()ln 2t f t f t m t t t t m t t t m x m xm x-=--++--+=--……………6分()()ln2m xf m x f m x m x m x+∴+--=-- 设()ln2m xg x m x m x+=-- 则2222()m g x m x '=-，且0m >，0x m <<()0g x '∴>，()g x 在(0,)m 上递增 ()(0)0g x g m ∴>=>()()f m x f m x ∴+>- ……………8分（Ⅲ）设,A B 的横坐标分别为12,x x ，且12x x <则1202x x x += 由（Ⅰ）可知0m >，且120x m x <<<，由（Ⅱ）可得11112(2)(())(())()()0f m x f m m x f m m x f x f x -=+->--=== 又∵()f x 在(,)m +∞上单调递减∴122m x x -<即120022m x x x m x <+=⇔< 由（Ⅰ）0()0f x '<.……………12分 选做题 22证明：（Ⅰ）证明：因为CD 为半圆O 的切线，由弦切角定理得, DCA CBA ∠=∠,又因为090CDA BCA ∠=∠=,得BAC CAD ∠=∠,所以AC 平分BAD ∠…………5分方法二：连接OC ,因为OA OC =,所以OAC OCA ∠=∠,因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥,又因为A D C D ⊥,所以//OC AD ，所以OCA CAD ∠=∠,即OAC CAD ∠=∠,所以AC 平分BAD ∠. …………………………………5分 （Ⅱ）解：因为CD 为半圆的切线，由弦切角定理得 DCE CAD ∠=∠，又因为CAD CAB ∠=∠，所以DCE CAB ∠=∠，可得DC E C A B ∆∆,则DE CBCE AB=,又因为 EC BC =，3AB =，34DE =所以32BC = , 即8ABC S ∆= ………………10分 23解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为2213x y +=，……………………2分曲线2C的直角坐标方程为40x --=…………………5分（Ⅱ）设,sin )P ϕϕ，由题意知，点P 到直线2C 距离d 为d ==≥，……………8分当4πϕ=-时，d取最小值42-， 此时点P )2-.………………………………………………10分 24解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()5f x >可化为136x x <-⎧⎨->⎩或112x x -≤≤⎧⎨>⎩或134x x >⎧⎨>⎩，……………………………3分 解得2x <-或43x >， ∴不等式()5f x >的解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.…………5分 （Ⅱ）原不等式即为137x a x a +++>-恒成立 ，1|1|x a x a +++≥-，……………………………………8分 ∴137a a ->-，解得3a <……………………………………10分。

河北省邯郸市2015届高三数学第一次模拟考试试题理（扫描版）邯郸市2015届高三一模考试理科数学答案一、选择题1-5 BCDCD 6-10 AABCB 11-12 ACⅡ卷（非选择题 共90分） 二、填空题13. 0 ; 14.184cm; 15.3; 16.①③④ 三、解答题（Ⅱ）因为2312log n n b a ++=，所以212log 21n b n +=-，所以2log 1n b n =-，即12n n b -=,n *∈N所以()1272n n n a b n --＝ ……………………………………………8分因为11223311n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++⋅⋅⋅++ 所以()0123152321212272n n T n -=-⋅-⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅+- ① ()1234252321212272nn T n =-⋅-⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅+- ②①―②,得 ()()1231522222272n n n T n --=-++++⋅⋅⋅+--所以 ()9922nn T n -=-+-即 ()2929nn T n n *=-+∈，N ……………………………………12分 18．解（Ⅰ）根据频率定义， 300c =,250a =,0.25b =,……………………2分 第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆.……6分（Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为14.……………………8分由题意知1(4,)4B ξ:，则kk k C k P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==444341)(ξ，4,3,2,1,0=k .ξ的分布列为： ξ1234P81256 2764 27128 364 1`256……………………10分1414E ξ=⨯=……………………12分19.（Ⅰ）证明：连接1BC 11BCC B Q 为平行四边形，且12BC CC ==11BCC B ∴为菱形 11BC B C ⊥………….…2分又11A B B C ⊥Q ，1B C ∴⊥平面11A C B111B C AC ∴⊥ ……4分又1111A C C B ⊥Q 11A C ∴⊥平面11CBB C 111AC CC ∴⊥……6分（Ⅱ）123A B =Q 112A C = 122BC ∴= 1CC BC ∴⊥ 1AC CB CC ∴、、两两垂直……8分以C 为坐标原点，CA u u u r的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,2),(0,0,2),(0,2,0)C A B C B ，设(0,0,)E a11(2,0,),(2,2,2),(0,-2,2),AE a AB BC =-=-=u u u r u u u r u u u u r易知，11BC AB C ⊥平面，1(0,2,2)BC =-u u u u r，则平面1AB C 的一个法向量(0,1,1)m =-u r设(,,1)n x y =r是平面1AB E 的一个法向量zyxB 1C 1A 1BCA E则10n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r 202220x a x y -+=⎧∴⎨-++=⎩得(,1,1)22a a n =-r ……10分22|2|||32|cos ,|||||2()(1)122a m n m n m n a a-⋅<>===+-+u r ru r r u r r ，解得：1a = ∴在棱1CC 上存在点E ，当1CE =时，得二面角1E AB C --的大小为30o .……12分20.解：（Ⅰ）如图，||||QP QN =Q ||||||4MQ QN MP ∴+==……2分 故点Q 的轨迹是以M N 、为焦点，长轴长等于4的椭圆所以椭圆C 的方程为2214x y += ．……4分 （Ⅱ）设点()()1122,,G x y ,H x y方程联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，()222148440k x mkx m +++-=122814mk x x k ∴+=-+ ，1222m14y y k+=+……6分 所以GOH ∆的重心的坐标为2282,3(14)3(14)mk m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭2222824+=3(14)3(14)9mk m k k ⎛⎫⎛⎫-∴ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 整理得：()222214116k m k+=+ ①……8分22222(8)16(1)(14)16(14)mk m k k m ∆=--+=+-依题意 0∆>得 2214m k <+ ② 由①、②易得 0k ≠设2116(1)t k t =+>，则23144t k ++=……10分yO xQPN M2992t 66316164t t t m ⋅+++∴=≥=，当且仅当3t =取等号所以实数m 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U . ……12分 21.解法一：（Ⅰ）''21ln 11()()1ln ,()1x x f x r x x x r x x x x--==--∴=-=由得…………2分 ''01()0,1,()0x r x x r x ∴<<<>>当时当时min ()(0,1),(1,)(1)0.r x r r ∴+∞∴==在区间内单调递减在内单调递增………..4分③当1x =时，1(1)x k x x-≤-无论k 取何值都恒成立，…………………8分 由①②③可得1k =所以，由ln (1)xk x x≤-恒成立可得1k =………………………9分设2()1x h x ex -=-+，∴2()1x h x e -'=-，令2()10x h x e -'=-=解得2x =.当(0,2)x ∈时()0h x '<，当(2,]x e ∈时()0h x '>…………………10分 ∴在(0,]e 上min ()(2)0h x h ==即22()101x x h x ex e x --=-+≥⇒≥-∴当(0,]e 时，对于(1)()k x g x -≤，在1k =时成立.综上所述，存在唯一的1k =使结论成立……………………………….12分解法二：(Ⅰ)''21ln 11()()1ln ,()1x x f x r x x x r x x x x--==--∴=-=由得…………2分 ''01()0,1,()0x r x x r x ∴<<<>>当时当时min ()(0,1),(1,)(1)0.r x r r ∴+∞∴==在区间内单调递减在内单调递增…………..4分22.证明：延长BO 交⊙O 于K ，连接KN,因为PN 为⊙O 的切线，则PNB BKN ∠=∠,2PN PA PC =⋅ 又因为BO 垂直于直径AC所以BKN BMO ∠=∠，即PNB BKN BMO PMN ∠=∠=∠=∠AM OPCBNK所以PM PN =2PM PA PC =⋅ ………………………………5分因为⊙O 的半径为32，3OA OM OB ==，所以3BMO π∠=2MO =所以232,232MC MA =+=-MN MB AM MC =g g所以2MN = ……………………………………10分23.解：(1)圆的普通方程是2222122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆的极坐标方程是2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭……………………5分 (2)由圆的极坐标方程可得，当2cos3126ππθρ===时，，故|AB|=3…10分24.解：(1)当1a =时，351(x)2|x 1||x 3|113353x x f x x x x -+<⎧⎪=-+-=+≤≤⎨⎪->⎩由图可得，不等式(x)4f <的解集为1|33x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． ……………5分 (2)由绝对值的意义可知31g()21313aa a a a a -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以min g()2a =. ………………………………10分。

河北省邯郸市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（）A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i2．（5分）已知集合M={1，2，3，4}，N={2，4，5}，则{x|x∈M∪N，x∉M∩N}=（）A．{2，4，5} B．{1，3，5} C．{2，4} D．{1，2，3，4，5}3．（5分）某班的一次数学考试后，按学号统计前20名同学的考试成绩如茎叶图所示，则该样本数据的中位数为（）A．74.5 B．75 C．75.5 D．764．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（5分）已知抛物线y2=4x，过抛物线焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则|AB|=（）A．A B．C．5 D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的S值大于，则输入的正整数N的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7（5分）设数列{a n}的前n项之积为P n=a1a2…a n（n∈N*），若P n=2，则++…+= 7．（）A．B．C．D．8．（5分）设函数f（x）=sinωx+cosωx，ω∈（﹣3，0），若f（x）的最小正周期为π，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，0）B．（﹣，）C．（，）D．（，π）9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若F关于直线y=x的对称点P在双曲线上，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．+111．（5分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为（）A．B．C．2D．712．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx，对任意的b，c∈[﹣3，3]．f（x）在（﹣1，1）内既有极大值又有极小值的概率为（）A．B．C．D．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）我们把中间位数上的数字最大面两边依次减小的多位数成为“凸数”．如132、341等，那么由1、2、3、4、5可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是（用数字作答）14．（5分）若正方形ABCD的边长为3，=2，=2，则•=．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n（n∈N•）．若存在正实数λ使得数列|a n+1+λa n|为等比数列，则λ=．16．（5分）已知定义在区间[a，a+2]上的奇函数y=f（x），当0＜x≤a+2时，f（x）=（x﹣1）．若方程f（x）=x3+cx恰有三个不相等的实数根，则实数c的取值范围为．三、简答题，共5小题，共70分17．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线为AD．（1）若AD=BD=2，AB=3，求ABC的面积；（2）若∠ABC=30°，∠ACB=45°，求tan∠BAD的值．18．（12分）某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3：2：1（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节）高效非高效统计新课堂模式60 30 90传统课堂模式40 50 90统计100 80 180请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．（Ⅱ）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．①求至少有一节为C模式课堂的概率；②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．参考临界值表：P（K2≧K0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828参考公式：K2=，其中n =a +b +c +d19．（12分）如图，在等腰梯形CDFE中，A、B分别为底边DE，CE的中点．AD=2AB=2BC=2．沿AE将AEF折起，使二面角F﹣AE﹣C为直二面角，连接CF、DF．（Ⅰ）证明：平面ACF⊥平面AEF；（Ⅱ）求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1的直线与椭圆相较于P、Q两点，设△PQF2内切圆的面积为S，求S最大时圆的方程．21．（12分）已知函数f（x）=mlnx﹣x2+（2m﹣1）x，（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设m＞0，证明：当0＜x＜m时，f（m+x）＞f（m﹣x）；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，f′（x）为函数f（x）的导函数，证明f′（x0）＜0．四、选考题(从22、23、24中任选做一题作答。

2015年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分 1.3+2i 2−3i( )A −iB iC 1+iD 1−i2. 已知集合M ={1, 2, 3, 4}，N ={2, 4, 5}，则{x|x ∈M ∪N, x ∉M ∩N}=( ) A {2, 4, 5} B {1, 3, 5} C {2, 4} D {1, 2, 3, 4, 5}3. 某班的一次数学考试后，按学号统计前20名同学的考试成绩如茎叶图所示，则该样本数据的中位数为（ ）A 74.5B 75C 75.5D 764. 设a =log 3π，b =log 2√3，c =log 3√2，则a , b , c 的大小关系是（ ） A a >b >c B a >c >b C c >b >a D b >a >c5. 已知抛物线y 2=4x ，过抛物线焦点且倾斜角为π3的直线与抛物线交于A 、B 两点，则|AB|=( )A A 113 B 143 C 5 D 1636. 执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值大于53，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A 4B 5C 6D 77. 设数列{a n }的前n 项之积为P n =a 1a 2...a n (n ∈N ∗)，若P n =2n(n−1)2，则1a 1+1a 2+...+1a 9=( )A12764B511256C1023512D5115128. 设函数f(x)=√3sinωx +cosωx ，ω∈(−3, 0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一个单调递减区间是（ ）A (−π2, 0) B (−π6, π3) C (π3, 5π6) D (π2, π)9. 某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）A 5B 4C 3D 210. 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，若F 关于直线y =√3x 的对称点P 在双曲线上，则C 的离心率为（ ） A 2 B√5+12C √3D √3+111. 四面体ABCD 的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB 、AC 、AD 两两垂直，BA →⋅BC →=2，则该四面体体积的最大值为（ ） A7√26 B 73C 2√2D 7√2 12. 已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx ，对任意的b ，c ∈[−3, 3]．f(x)在(−1, 1)内既有极大值又有极小值的概率为（ ） A 13B 14C 15D 16二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13. 我们把中间位数上的数字最大面两边依次减小的多位数成为“凸数”．如132、341等，那么由1、2、3、4、5可以组成无理重复数字的三位凸数的个数是________（用数字作答） 14. 若正方形ABCD 的边长为3，DE →=2EC →，BF →=2FC →，则BE →⋅DF →=________．15. 已知数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n (n ∈N ⋅)．若存在正实数λ使得数列|a n+1+λa n |为等比数列，则λ=________．16. 已知定义在区间[a, a +2]上的奇函数y =f(x)，当0<x ≤a +2时，f(x)=14(x −1)．若方程f(x)=x 3+cx 恰有三个不相等的实数根，则实数c 的取值范围为________．三、简答题，共5小题，共70分17. 如图，在△ABC中，BC边上的中线为AD．（1）若AD=BD=2，AB=3，求ABC的面积；（2）若∠ABC=30∘，∠ACB=45∘，求tan∠BAD的值．18. 某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3:2:1（I）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节）请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．（II）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．①求至少有一节为C模式课堂的概率；②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．参考临界值表：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d19. 如图，在等腰梯形CDFE中，A、B分别为底边DE，CE的中点．AD=2AB=2BC= 2．沿AE将AEF折起，使二面角F−AE−C为直二面角，连接CF、DF．（1）证明：平面ACF⊥平面AEF；（2）求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值．20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，点(1, √22)在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)过F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，设△PQF2内切圆的面积为S，求S最大时圆的方程．21. 已知函数f(x)=mlnx−x2+(2m−1)x，(m∈R)．（1）讨论f(x)的单调性；（2）设m>0，证明：当0<x<m时，f(m+x)>f(m−x)；（3）若函数f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，f′(x)为函数f(x)的导函数，证明f′(x0)<0．四、选考题(从22、23、24中任选做一题作答。

邯郸市2015届高三年级摸底考试文科数学【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

一.选择题 【题文】1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 【知识点】交集的运算.A1 【答案解析】C 解析：因为{}{}142,3N x Z x =∈<<=，所以{2,3}M N =，故选C.【思路点拨】先化简集合N ，再进行判断即可.【题文】2.复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案解析】D 解析：∵()()()1+11•i i i z i i i i ，+-===--∴复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D ．【思路点拨】利用复数的代数运算将原式转化，即可判断它在复平面内的位置．【题文】3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于A 、660B 、720C 、780D 、800 【知识点】分层抽样方法．I1 【答案解析】B 解析：：∵高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，∴1378035600780n ＝++，解得n=720，故选：B ．【思路点拨】根据分层抽样的定义，建立条件关系即可得到结论． 【题文】4.设2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则下列关系中正确的是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【知识点】对数函数的性质；比较大小.B7【答案解析】A解析：因为242221log 6log 6log 6log 2b ====82log 9log c ==，又因为2log y x =是定义域内的增函数，且2>> a b c >>，故选A 。