河北省邯郸市2021届高三上学期模底考试数学试题 含答案

邯郸市2021届高三数学上学期开学摸底检测卷一、单选题1．已知集合3|01x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．(1,2]B ．[2,1)-C ．(3,2]-D ．(3,2]--2．已知复数2020(12)z i i =+⋅，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．12i --3．已知向量(2, )a t =-，(1,1)b =-，若() //a b b -，则实数t =（ ）A ．2B ．4-C ．2D ．44．已知函数()()31,31,3x e x f x f x x -⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()ln 2f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e + 5．若命题:p “x ∀∈R ，2210ax ax --≤”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(8],-∞B ．[8,0]-C ．(,8)-∞-D ．(8,0)-6．已知x ，y 均为正数，且1x ，12，2y 成等差数列，则x y +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．22 D ．322+7．如图是函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．1-C ．32-D ．128．函数ln ||()2x x f x x=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．2019年4月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．选物理的考生可报大学专业占47.53%B ．选历史的考生大学录取率为2.83%C ．选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%D ．选历史的考生可报大学专业占52.47% 10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，()21111n n a a -=++-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a = B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+11．如图已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是该椭圆在第一象限内的点，12F PF ∠的角平分线交x 轴于Q 点，且满足24OF OQ =，则椭圆的离心率e 可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．3412．已知定义在(1,)+∞上的函数ln 32()1x x x f x x +-=-，定义函数(),()(),()f x f x m g x m f x m≥⎧=⎨<⎩（其中m 为实数），若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m 可以为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7三、填空题13．已知随机变量()2~4,N ξσ，若(6)0.4P ξ>=，则(2)P ξ>=_________.14．某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“省园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有__________种.15．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，设点P 是该双曲线与以12F F 为直径的圆在第一象限的交点，若21310sin 10PF F ∠=，则双曲线的离心率为_________. 16．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且有23PB PA =+，23PC PA =-，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_________. 四、解答题 17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B b A =.（1）求角B 的大小；（2）给出三个条件①2b =，②ABC 外接圆半径233r =，③23a c +=，试从中选择两个可以确定ABC 的条件，并求ABC 的面积.18．已知数列{}n a 满足123a =，()*1132n n n n a a a a n ++-=∈N .（1）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，证明：49n S <.19．某工厂为提高某手工制品的质量，决定引进新技术，现从改进技术前后生产的大批手工制品中各随机抽取200件进行质量指标检测，规定指标值在[)20,40的为合格品，其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率分布直方图和改进技术后手工制品的顿率分布表如下：改进技术后手工制品的频率分布表质量指标值频数频率[)15,20 40.02[)20,25 m0.18 [)25,30 96 0.48 [)30,35 28 0.14[)35,4032n[)40,454 0.02 合计2001（1）（i ）求表中数据m 和n ；（ii ）完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关；改进技术前改进技术后合计 合格品 次品 合计（2）根据（1）的数据，从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考临界值表：()20P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.0100k2.7063.841 5.0246.63520．如图在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为边长为2的菱形，113πAA B ∠=，1112AC B C ==，116AC =.（1）求证：1A B ⊥平面11AB C ；（2）求直线1A B 与平面111A B C 所成角的正弦值.21．已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+.（1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当1x >时，()0f x <，求实数a 的取值范围.22．已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，横坐标为1的点P 在抛物线上，且以F 为圆心，||PF 为半径的圆与C 的准线相切. （1）求抛物线C 的方程；（2）设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，设直线OA 、OB 的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l 恒过定点.解析邯郸市2021届高三数学上学期开学摸底检测卷一、单选题1．已知集合3|01x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．(1,2] B ．[2,1)-C ．(3,2]-D ．(3,2]--【答案】A【解析】由A 集合描述可得(,3)(1,)A =-∞-⋃+∞，进而求A B 即可；【详解】由A 的描述，知：(,3)(1,)A =-∞-⋃+∞，而{}|22B x x =-≤≤， ∴(]1,2AB =.故选：A 【点睛】本题考查了集合的基本运算，应用分式不等式解法求集合，结合集合的基本运算求交集，属于简单题； 2．已知复数2020(12)z i i =+⋅，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．12i --【答案】A【解析】利用41i =即可得20201i =，进而求z 并得到z ； 【详解】∵1i i =，21i =-，3i i =-，41i =， ∴()5052020450511i i===，∴2020(12)12z i i i =+⋅=+，即12z i =-.故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算，利用41i =求复数，再由共轭复数的概念求共轭复数，属于简单题； 3．已知向量(2, )a t =-，(1,1)b =-，若() //a b b -，则实数t =（ ）A ．2B ．4-C ．2D ．4【答案】C【解析】先求出a b -的坐标，再由() //a b b -得3(1)0t -+=，从而可求出t 的值 【详解】解：因为向量(2, )a t =-，(1,1)b =-， 所以向量(3, 1)a b t -=-+，因为() //a b b -，所以3(1)0t -+=，解得2t =.故选：C 【点睛】此题考查由向量共线求参数，属于基础题4．已知函数()()31,31,3x e x f x f x x -⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()ln 2f =（ ）A ．2B ．3C ．21e+ D ．221e + 【答案】B【解析】由0ln 21<<可得出()()ln 23ln 2f f =+，代入计算即可得解.【详解】ln1ln 2ln e <<，即0ln 21<<，33ln34∴<+<，又()()31,31,3x e x f x f x x -⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，所以()()()()ln2ln 21ln 22ln 23ln 213f f f f e =+=+=+=+=.故选：B. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查计算能力，属于基础题.5．若命题:p “x ∀∈R ，2210ax ax --≤”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(8],-∞ B ．[8,0]-C ．(,8)-∞-D ．(8,0)-【答案】B【解析】对二次项系数进行讨论，分为0a =和0a ≠两种情形，结合判别式可得结果. 【详解】由题意，当0a =时，命题成立；当0a ≠时，280a a a <⎧⎨∆=+≤⎩，解得80a -≤<， 综上可得，实数a 的取值范围是[8,0]-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 6．已知x ，y 均为正数，且1x ，12，2y 成等差数列，则x y +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．22 D ．322+【答案】D【解析】由等差数列得121x y+=，“1”的巧用，基本不等式即得. 【详解】解析：由题121x y +=，∴122()3322x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当2,21,22y x x y ==+=+时等号成立）.故故故D 【点睛】此题为基础题，考查用基本不等式求最值,答题应注意取等条件.7．如图是函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．1-C ．32-D ．12【答案】B【解析】根据三角函数的图像求出解析式()2cos2f x x =-，将6x π=代入解析式即可求解.【详解】解析：由图可知2A =.最小正周期2Tππω==，∴2ω=，又由2sin 2222f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πϕ=-， ∴()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 即2cos 163f ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式、求特殊角的三角函数值，属于基础题. 8．函数ln ||()2x x f x x=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()f x 为奇函数可排除A ，B ，取特殊值1x =可排除D ，即可得出答案. 【详解】()f x 的定义域{}0x x ≠关于原点对称，且ln ||ln ||()()22x x x x f x f x x x --⎛⎫-=+=-+=- ⎪-⎝⎭， ∴函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ，B ，又因为1(1)2f =，排除D . 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的判断，利用函数的性质结合特殊值即可解决，属于基础题.二、多选题9．2019年4月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．选物理的考生可报大学专业占47.53%B ．选历史的考生大学录取率为2.83%C ．选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%D ．选历史的考生可报大学专业占52.47% 【答案】CD【解析】由图可知黑色部分占49.64%表示既可选物理也可选历史，这样可选物理和可选历史的都是两部分. 【详解】根据题中信息易知选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%， 选历史的考生可报大学专业占49.64%+2.83%=52.47%. 故选:CD 【点睛】本题为应用题关键在于审题，准确读取信息.10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，()21111n n a a -=++-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a = B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】由已知递推式可得数列{}1n a +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】()21111n n a a -=++-得()21111n n a a -+=++，∴1111n n a a -+=++，即数列{}1n a +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，∴12(1)11n a n n +=+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.11．如图已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是该椭圆在第一象限内的点，12F PF ∠的角平分线交x 轴于Q 点，且满足24OF OQ =，则椭圆的离心率e 可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】CD【解析】根据题意先得出1QF ∣∣和2QF ，由内角平分线定理和椭圆的定义可得1PF 和2PF ，由余弦定理即可得出离心率的范围，结合选项可得结果. 【详解】∵24OF OQ =，∴234QF c =，1||4OQ c =，则154QF c =∣∣. ∵PQ 是12F PF ∠的角平分线，∴112253PF QF PF QF ==， 又12|||2PF PF a +=∣， ∴154a PF =，234aPF =， 在12PF F △中，由余弦定理得222212259417321616cos 531515244a a c F PF e a a +-∠==-⨯⨯， ∵121cos 1F PF -<∠<，∴21732111515e -<-<，解得114e <<. 故选：CD . 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用内角平分线定理和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题.12．已知定义在(1,)+∞上的函数ln 32()1x x x f x x +-=-，定义函数(),()(),()f x f x m g x m f x m≥⎧=⎨<⎩（其中m 为实数），若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m 可以为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【解析】根据题意，得到()m f x ≤在(1,)x ∈+∞恒成立，只需min ()m f x ≤，对()f x 求导，根据导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果. 【详解】由题若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则有()m f x ≤在(1,)x ∈+∞恒成立， 只需min ()m f x ≤，因为ln 32()1x x x f x x +-=-，所以()()()()22ln 131ln 32ln 2()(1)1x x x x x x x f x x x ++--+--+-'==--， 令()ln 2h x x x =-+-，则1()10h x x'=-+>，∴()h x 在(1,)+∞上单调递增， 又由(3)ln 310h =-+<，(4)ln 420h =-+>， ∴0(3,4)x ∃∈满足()00h x =，即有00ln 2x x =-，此时()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()000min 00ln 32()1x x x f x f x x +-==-()000002322(5,6)1x x x x x -+-==+∈-∴5m ≤. 故选：AB . 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程有实根的问题，将问题转化为不等式恒成立求解，是解集该题的关键，属于常考题型.三、填空题13．已知随机变量()2~4,N ξσ，若(6)0.4P ξ>=，则(2)P ξ>=_________.【答案】0.6【解析】随机变量()2~4,N ξσ知随机变量的均值为4，有随机变量的分布图象关于4对称，根据已知(6)0.4P ξ>=，即可求(2)P ξ>；【详解】 ∵()2~4,N ξσ，若(6)0.4P ξ>=，则(2)0.4P ξ<=，∴(2)10.40.6P ξ>=-=. 故答案为：0.6 【点睛】本题考查了正态分布，利用正态分布的对称性求指定区间的概率，属于简单题；14．某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“省园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有__________种. 【答案】55【解析】先计算不考虑甲乙计算全部的排法，再考虑不排甲乙的排法，利用间接法作差即可. 【详解】若不考虑甲乙的限定，8人中选出4人全部的排法有48C 中，若8人中选出4人，不选甲乙的排法有46C 种，故若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有4486C C 55-=种. 【点睛】本题考查了组合的应用，考查了间接法，属于基础题.15．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，设点P 是该双曲线与以12F F 为直径的圆在第一象限的交点，若21310sin 10PF F ∠=，则双曲线的离心率为_________. 【答案】102【解析】根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，再根据21310sin 10PF F ∠=，得到213PF PF =，从而求出1PF ，2PF ，从而由勾股定理得关于a 、c 的等式，求得离心率；【详解】解：根据双曲线定义：122PF PF a -=，因为圆是以12F F 为直径，所以12PF F △是直角三角形，又知21310sin 10PF F ∠=，易得213PF PF =，∴13PF a =，2PF a =，在12Rt PF F 中，由勾股定理得222(3)(2)a a c +=，解得102e =. 故答案为：102【点睛】本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法，属于中档题．16．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且有23PB PA =+，23PC PA =-，则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_________. 【答案】36π【解析】先将该三棱锥补成长方体，计算体积关系式，再求导得最大值，外接球的半径即是长方体对角线的一半，计算表面积即可. 【详解】将该三棱锥补成长方体，设0PA x =>，则23PB x =+，23PC x =-，三棱锥的体积()()()3111232312,023326V x x x x x x =⨯⨯+-=-⨯-<<， 由()2131206V x '=-⨯-=，得2x =±. 所以V 在(0,2)上单调递增，在()2,23上单调递减.即2x =时，V 取得极大值，也即最大值. 此时三棱锥外接球半径22212(223)(232)32r =+++-=， 故表面积4936Sππ=⨯=.故答案为：36π. 【点睛】本题考查了空间几何体的外接球问题，属于基础题.四、解答题 17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B b A =.（1）求角B 的大小；（2）给出三个条件①2b =，②ABC 外接圆半径233r =，③23a c +=，试从中选择两个可以确定ABC 的条件，并求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）选①③或②③，ABC 的面积为233. 【解析】（1）根据二倍角公式及正弦定理的边角互化，即可求角B ； （2）确定ABC 的条件为①③或②③，结合正余弦定理求ac ，进而可求ABC 的面积；【详解】（1）因为sin 2sin a B b A =，所以2sin cos sin a B B b A =， 由正弦定理得2cos ab B ba =， ∴1cos ,0π2B B =<<，3B π∴=； （2）显然可知当选择条件①②时，ABC 不唯一；当选择条件①③时，ABC 唯一，此时，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2224()3123a c ac a c ac ac =+-=+-=-，解得83ac =. 所以ABC 的面积118323sin 22323S ac B ==⨯⨯=. 当选择条件②③时，ABC 唯一，此时，由正弦定理可知2sin 2b r B =⋅=.由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2224()3123a c ac a c ac ac =+-=+-=-.解得83ac =. 所以ABC 的面积118323sin 22323S ac B ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正余弦定理，由二倍角正弦公式、正弦定理边角互化求角，以及根据条件判断是否可确定三角形，再结合正余弦定理求三角形面积； 18．已知数列{}n a 满足123a =，()*1132n n n n a a a a n ++-=∈N .（1）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，证明：49n S <. 【答案】（1）证明见解析；23n a n=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由递推关系整理得：11132n n a a +-=得证，进一步得{}n a 通项公式； （2）裂项求和可证. 【详解】（1）由题1132n n n n a a a a ++-=，两边同时除以1n n a a +，得11132n n a a +-=， 又1132a =，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为32，公差为32的等差数列， ∴1333(1)222n n n a ∴=+-=，∴23n a n=. （2）由（1）1414119(1)91n n a a n n n n +⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭. ∴411111414411922319199(1)n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. ∵*n ∈N ，∴44499(1)9n -<+，即49n S <. 【点睛】由递推关系变式寻找一个相关数列成等差或等比数列，进而得出所要求的数列的通项公式也是求数列通项的常用方法；裂项求和是数列求和的基本方法.19．某工厂为提高某手工制品的质量，决定引进新技术，现从改进技术前后生产的大批手工制品中各随机抽取200件进行质量指标检测，规定指标值在[)20,40的为合格品，其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率分布直方图和改进技术后手工制品的顿率分布表如下：改进技术后手工制品的频率分布表质量指标值频数频率[)15,2040.02[)20,25m0.18[)25,30960.48[)30,35280.14[)35,4032n[)40,4540.02合计2001（1）（i）求表中数据m和n；⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关；（ii）完成22改进技术前改进技术后合计合格品次品合计（2）根据（1）的数据，从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考临界值表：()20P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）（i ）36m =，0.16n =；（ii ）填表见解析，有95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关；（2）工人在改进技术后手工制品的合格率更高，产品质量更高. 【解析】（1）（i ）利用频数、频率和样本容量三者之间的关系可求得m 、n 的值；（ii ）根据频率分布表完善22⨯列联表，以此计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）计算出改进技术前和技术后产品的合格率，由此可得出结论. 【详解】解：（1）（i ）由表中数据2000.1836m =⨯=，320.16200n ==； （ii ）22⨯列联表为：改进技术前改进技术后合计合格品 172 192 364 次品 28 8 36合计200200400将22⨯列联表中数据代入公式计算，()2240017281922812.210 3.84120020036436K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故有95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关； （2）根据（1）中可知改进技术后的合格率为19296%200=， 改进技术前的合格率为17286%200=， 96%86%>，所以工人在改进技术后手工制品的合格率更高，产品质量更高.【点睛】本题考查频率分布表和22⨯列联表的完善，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查数据分析能力，属于中等题.20．如图在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为边长为2的菱形，113πAA B ∠=，1112AC B C ==，116AC =.（1）求证：1A B ⊥平面11AB C ；（2）求直线1A B 与平面111A B C 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明详见解析；（2）55. 【解析】（1）连结1A B 交1AB 于点O ，连结1C O ，通过菱形的性质得出12AB AB ==，13AO =，得出11AB C △为等边三角形，根据三边关系得出2221111OA OC A C +=，再由11C O A B ⊥ 可得答案.（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，求平面111A B C 的法向量与1A B 的夹角的余弦值可得答案. 【详解】（1）设1A B 交1AB 于点O ，连接1C O ， 因为四边形11ABB A 为菱形，113πAA B ∠=， 所以1112AB A B ==，13AO =，所以11AB C △为等边三角形，即可得13C O =.在11OA C 中，2221111OA OC A C +=，∴112πAOC ∠=，即11C O A B ⊥. 又知11A B AB ⊥，11C O AB O =，1C O ，1AB ⊂平面11AB C ，所以1A B ⊥平面11AB C .（2）由（1）易知1C O ⊥平面11ABB A ，所以OA ，1OA ，1OC 两两垂直.以O 为坐标原点，分别以OA ，1OA ，1OC 为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1(0,3,0)A ，(0,3,0)B -，1(1,0,0)B -，1(0,0,3)C ，11(1,3,0)A B =--，11(1,0,3)BC =， 设平面111A B C 的法向量为(,,)n x y z =， ∴11113030n A B x y n B C x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =，则(3,1,1)n =--.又知1(0,23,0)A B =-.设直线1A B 与平面111A B C 所成角为θ， 则111235sin |cos ,|5523||n A B n A B n A B θ⋅=<>===⨯⋅， 所以直线1A B 与平面111A B C 所成角的正弦值55.【点睛】本题考查线面的判定，以及通过空间向量法求线面夹角，考查逻辑推理能力.21．已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+. （1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当1x >时，()0f x <，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；（2）(,2]-∞.【解析】（1）先求出函数的定义域，再求导得222224121(1)()0(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x -+-'=-=-=-≤+++，从而可得()f x 在定义域内单调递减；（2）对函数求导得222212(1)1()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+'=-=-++，当2a ≤时，()0f x '<，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，满足题意，当2a >时，可得存在0(1,2)x a ∈，使得()00f x '=，从而有()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，进而得()0(1)0f x f >=不合题意【详解】 解：（1）当2a =时，2(1)()ln 1x f x x x -=-+，定义域为(0,)+∞. ∴222224121(1)()0(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x -+-'=-=-=-≤+++. ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间.（2）(1)()ln 1a x f x x x -=-+，222212(1)1()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+'=-=-++，(1)0f =，(1)12a f '=-， 由(1)102a f '=-≤可得2a ≤. 当2a ≤时，()2222(1)121(1)0xa x x x x ⎡⎤-+-+--+=--<⎣⎦. 即()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=.满足题意；当2a >时，(1)0f '>，241(2)02(21)a f a a a +'=-<+， 所以存在0(1,2)x a ∈，使得()00f x '=， 且易知()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 即()0(1)0f x f >=，不合题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数解决恒成立问题，考查分类思想，考查计算能力，属于中档题22．已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，横坐标为1的点P 在抛物线上，且以F 为圆心，||PF 为半径的圆与C 的准线相切.（1）求抛物线C 的方程；（2）设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，设直线OA 、OB 的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l 恒过定点.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.【解析】（1）由直线与圆相切及抛物线的性质可解得p ；（2）设直线:l y kx m =+，代入抛物线方程，韦达定理及已知条件可得,k m 的线性关系，进而找到直线l 所过的定点.【详解】（1）由题焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线2p x =-， 因为以F 为圆心，||PF 为半径的圆与C 的准线相切， 所以||12p PF p =+=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题设()11,Ax y ，()22,B x y ，易知直线l 的斜率存在，记为k ，则设直线:l y kx m =+，与24y x =联立得2440ky y m -+=， 得124y y k+=，124m y y k ⋅=， 则()2221212121221422444y y m x x y y y y k k ⎡⎤+=+=⨯+-=-⎣⎦，2221212244y y m x x k⋅=⋅=， 121212164OA OB y y k k k x x y y m⋅=⋅==⋅， ()()()211212121212121224OA OB x kx m x kx m kx x m x x y y k k x x x x x x m++++++=+===. 又知tan OA k α=，tan OB k β=，4tan tan tan()tan 141tan tan 141OBO O O A A B k k m k k k mαβπαβαβ+++=====-⋅-⋅-， 解得44m k =+，所以直线:44(4)4l y kx k k x =++=++，恒过定点()4,4-.【点睛】证明动直线y kx m =+过定点，等价于寻找参数,k m 之间的线性关系是本题关键，在解题中运用韦达定理整体思想是基本策略，否则运算量大，甚至不能找到解.。

邯郸市2021届高三年级摸底考试文科数学【试卷综评】本试卷试题要紧注重大体知识、大体能力、大体方式等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方式的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评判，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培育，偏重学生自主探讨能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观看与猜想、阅读与试探等方面的考查。

一.选择题【题文】1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，那么A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 【知识点】交集的运算.A1 【答案解析】C 解析：因为{}{}142,3N x Z x =∈<<=，因此{2,3}M N =，应选C.【思路点拨】先化简集合N ，再进行判定即可.【题文】2.复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案解析】D 解析：∵()()()1+11•i i i z i i i i ，+-===--∴复数+1i z i =（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．应选：D ．【思路点拨】利用复数的代数运算将原式转化，即可判定它在复平面内的位置．【题文】3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情形，采纳分层抽样的方式从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，那么n 等于 A 、660 B 、720 C 、780 D 、800 【知识点】分层抽样方式．I1【答案解析】B 解析：：∵高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，∴1378035600780n ＝++，解得n=720，应选：B ．【思路点拨】依照分层抽样的概念，成立条件关系即可取得结论． 【题文】4.设2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，那么以下关系中正确的选项是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【知识点】对数函数的性质；比较大小.B7【答案解析】A解析：因为242221log 6log 6log 6log 2b ====82log 9log c ==，又因为2log y x =是概念域内的增函数，且2>> a b c >>，应选A 。

河北省邯郸市2021届高考数学模拟试卷(一模)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，已知A={1,2，4，5}，B={1,3，5，7，9}，则集合∁U(A∪B)的真子集个数为()A. 2B. 3C. 4D. 82.记复数z的虚部为Im(z)，已知z满足iz=1+2i，则Im(z)为()A. −1B. −iC. 2D. 2i3.已知∠AOB如图所示，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B(35,−45)，点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos(5π6−α)=()A. −45B. −35C. 35D. 454.函数f(x)=|x|sinxcosx+x2在[−π,π]上的图象大致为()A. B.C. D.5.7.正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为()A.B.C.D.6.在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线的通径为4，则P =( )A. 1B. 2C. 4D. 87.已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√5xC. y =±xD. y =±2x8.已知集合S ={P|P =(x 1,x 2,x 3)，x i ∈{0,1}，i =1，2，3}对于A =(a 1,a 2,a 3)，B =(b 1,b 2,b 3)∈S ，定义A 与B 的差为A −B =(|a 1−b 1|,|a 2−b 2|,|a 3−b 3|)，定义A 与B 之间的距离为d(A,B)=∑|3i=1a i −b i |.对于∀A ，B ，C ∈S ，则下列结论中一定成立的是( )A. d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)B. d(A,C)+d(B,C)>d(A,B)C. d(A −C,B −C)=d(A,B)D. d(A −C,B −C)>d(A,B)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则( )A. 该函数的解析式为y =2sin(23x +π3) B. 该函数的对称中心为(kπ−π3,0),k ∈Z C. 该函数的单调递增区间是[3kπ−5π4,3kπ+π4],k ∈ZD. 把函数y =2sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到该函数图象10. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22.则下列结论中正确的有( )A. 当E 向D 1运动时，AE ⊥CF 总成立B. 当E 向D 1运动时，二面角A −EF −B 逐渐变小C. 二面角E −AB −C 的最小值为45°D. 三棱锥A −BEF 的体积为定值11. 在实数集R 中定义一种运算“⊗”，具有以下三条性质： ①对任意a ∈R ，0⊗a =a ；②对任意a ，b ∈R ，a ⊗b =b ⊗a ； ③对任意a ，b ，c ∈R ，(a ⊗b)⊗c =c ⊗(ab)+(a ⊗c)+(b ⊗c)−2c ． 以下正确的选项是( )A. 2⊗(0⊗2)=0B. (2⊗0)⊗(2⊗0)=8C. 对任意的a ，b ，c ∈R ，有a ⊗(b ⊗c)=b ⊗(c ⊗a)D. 存在a ，b ，c ∈R ，有(a +b)⊗c ≠(a ⊗c)+(b ⊗c)12. 若函数f(x)={(2b −1)x +b −2(x >0)−x 2+(2−b)x −1(x ≤0)在R 上为单调增函数，则实数b 的值可以为( )A. 1B. 32C. 2D. 3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m = ． 14. 函数y =x 2(1−3x)在(0,13)上的最大值是______ ． 15. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．16. 一圆锥的底面半径为1，高为√3，则圆锥的表面积是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1=b 1=1，b 4=8，{a n }的前10项和S 10=55． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A=cos2B+sin2C−sinAsinC．(Ⅰ)求角B的值；(Ⅱ)若b=2√3，且△ABC的面积为2√3，求a+c的值．19.在两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的1个红球、2个黄球．现分别从每一个口袋中各任取2个球，设随机变量为取得红球的个数．(Ⅰ)求的分布列；(Ⅱ)求的数学期望．20.20.(本小题满分12分)如图，在三棱锥中，，，、分别为、的中点．(Ⅰ)求证：//平面；(Ⅱ)求证：平面⊥平面．(Ⅲ)若是正三角形，且，，求二面角的余弦值．21. 曲线C上的点M(x,y)到定点F(1,0)的距离和它到定直线l：x=5的距离的比是常数√5．5(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过F且斜率为1的直线与曲线C相交于A、B两点．求：①线段AB的中点坐标；②△OAB的面积．22. 已知函数f(x)=(x2−ax+b)⋅e x，a∈R，b≥0，且f(x)的最小值为0．(1)若f(x)的极大值为4e，求f(x)的单调减区间；(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点，且a<4，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<2aa−8．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的真子集，是基础题．求出A∪B，用列举法表示全集，求出∁U(A∪B)，写出其所有真子集得答案．解：∵A={1,2，4，5}，B={1,3，5，7，9}，∴A∪B={1,2，3，4，5，7，9}，又全集2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁U(A∪B)={6,8}，则集合∁U(A∪B)的真子集为：⌀，{6}，{8}，个数为3．故选：B．2.答案：A解析：解：iz=1+2i，则z=2−i，则Im(z)为−1，故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义，考查两角差的正弦和余弦，是基础题．方法一：由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos(5π6−α)得答案．方法二：根据角的变化得到∠AOB=a−π3，根据诱导公式即可求出答案．解：方法一：如图，由B(35,−45)，得OB=OC=1，又BC=1，∴∠BOC=π3，由三角函数的定义，得sin∠AOB=45，cos∠AOB=35．∴sinα=sin(π3−∠AOB)=sinπ3cos∠AOB−cosπ3sin∠AOB=√32×35−12×45=3√3−410，同理cosα=3+4√310∴cos(5π6−α)=cos 5π6cosα+sin5π6sinα=−√32×3+4√310+12×3√3−410=−45，方法二：∵∠AOB 是OA 逆时针转至OC ，再顺时针转至OB 所得到∴∠AOB =0+α−π3=α−π3∴sin(α−π4)=−45∴cos(5π6−α) =cos[π2−(α−π3)]=sin(α−π3)=−45， 故选A ．4.答案：A解析：解：根据题意，函数f(x)=|x|sinxcosx+x 2，x ∈[−π,π]， 有f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，据此排除B 、C ， 又由f(π2)=2π>0，排除D ； 故选：A ．根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f(x)为奇函数，据此排除B 、C ，进而计算f(π2)的值，排除D ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性与特殊值，属于基础题．5.答案：D解析：由给出排列规律可知，这些数字排成的是一个正方形上起2005，左起2006列的数是一个2006乘以2006的正方形的倒数第二行的最后一个数字，所以这个数是2006×(2006−1)=2006×2005，故本题选D ．6.答案：B解析：因为抛物线的通径为4，故2p =4，解得p =2，故选B ．7.答案：D解析：解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，∴ca =√5，∴ba=2，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选：D．由题意可得ca =√5，从而可得ba=2，直接写出渐近线方程即可．本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．8.答案：C解析：解：设A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)，C=(c1,c2,c3)∈S因a i，b i∈0，1，故|a i−b i|∈0，1，(i=1,2，3)a1b1∈0，1，即A−B=(|a1−b1|,|a2−b2|,|a3−b3|)∈S又a i，b i，c i∈(0,1)，i=1，2，3当c i=0时，有||a i−c i|−|b i−c i||=|a i−b i|；当c i=1时，有||a i−c i|−|b i−c i||=|(1−a i)−(1−b i)=|a i−b i|，故d(A−C,B−C)=d(A,B)成立．因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合S n的要求．然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差．本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．9.答案：AC解析：解：根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象，可得A=2，14⋅2πω=π−π4，∴ω=23．再根据五点法作图，23×π4+φ=π2，∴φ=π3，故函数的解析式为y=2sin(23x+π3)，故A正确．令x=kπ−π3，k∈Z，求得y=2sin(2kπ3+π9)≠0，故B错误；令2kπ−π2≤23x +π3≤2kπ+π2，求得3kπ−5π4≤x ≤3kπ+π4，可得函数的增区间为[3kπ−5π4,3kπ+π4]，k ∈Z ，故C 正确；把函数y =2sin(x +π3)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到y =2sin(32x +π3)的图象， 故D 错误， 故选：AC ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.答案：CD解析：解：以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系如图所示，设D 1E =a(0≤a ≤√22)，则A(1,0，0)，B(1,1，0)，C(0,1，0)，E(√22a,√22a,1)，F(√22a +12,√22a +12,1)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a −1,√22a,1)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a +12,√22a −12,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22a −1)(√22a +12)+√22a(√22a −12)+1=a 2−√22a +12≠0， 所以当E 向D 1运动时，AE ⊥CF 不成立，故A 错误；二面角A −EF −B 的平面角即为二面角A −B 1D 1−B 的平面角相等， 即二面角A −EF −B 为定值，故B 错误；设平面EAB 的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)，由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1=0(√22a −1)x 1+√22ay 1+z 1=0，可取n ⃗ =(1,0，1−√22a)， 平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1−√22a 1+(1−√22a)=1√1+1(1−√22a)，由0≤a ≤√22，可得14≤(1−√22a)2≤1，则√5≤cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>≤2，可得a=0时，即E，D1重合时，二倍角E−AB−C的平面角取得最小值45°，故C正确；∵V A−BEF=13S△BEF⋅12AC=13×12×√22×1×√22=112，∴三棱锥E−ABF的体积为定值，故D正确．故选：CD．以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设D1E=a(0≤a≤√22)，分别求得A，B，C，E，F，的坐标，向量AE，CF，AB的坐标，由向量的难道坐标表示可判断A；由二面角A−EF−B的平面角即为二面角A−B1D1−B的平面角相等，可判断B；运用法向量求出二面角E−AB−C的平面角的范围，可判断C；由棱锥的体积公式，可判断D．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．11.答案：BCD解析：解：由题意可得，a⊗b=a⊗(b⊗0)=0⊗(ab)+a⊗0+b⊗0−2×0=ab+a+b，因为2⊗2=2×2+2+2=8，故选项A错误；因为(2⊗0)⊗(2⊗0)=2⊗2=8，故选项B正确；对于任意a，b，c∈R，a⊗(b⊗c)=a⊗(bc+b+c)=a(bc+b+c)+a+bc+b+c=abc+ ab+ac+bc+a+b+c，而b⊗(c⊗a)=b⊗(ac+a+c)=b(ac+a+c)+b+ac+a+c=abc+ab+ac+bc+a+b+c，故a⊗(b⊗c)=b⊗(c⊗a)，故选项C正确；取a=b=1，c=1，则(1+1)⊗1=2×1+2+1=5，而(1⊗1)+(1⊗1)=2(1×1+1+1)=6，故(1+1)⊗1≠(1⊗1)+(1⊗1)，故选项D正确．故选：BCD．根据给定的新运算得到a⊗b的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，即可得到答案．本题考查的是新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．12.答案：ABC解析：解：根据题意，函数f(x)={(2b −1)x +b −2(x >0)−x 2+(2−b)x −1(x ≤0)在R 上为单调增函数，则有{2b −1>02−b2≥0b −2≥−1，解可得1≤b ≤2，分析选项可得：b =1、32、2符合题意， 故选：ABC ．根据题意，由函数单调性的定义可得{2b −1>02−b2≥0b −2≥−1，解可得b 的取值范围，分析选项即可得答案．本题考查分段函数的性质，涉及函数单调性的定义，属于中档题．13.答案：7解析：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．利用平面向量坐标运算法则先求出a ⃗ +b ⃗ ，再由向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值．解：∵向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)， ∴a ⃗ +b ⃗ =(−1+m,3)， ∵向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直， ∴(a ⃗ +b ⃗ )·a ⃗ =(−1+m)×(−1)+3×2=0， 解得m =7． 故答案为7．14.答案：4243解析：解：∵0<x <13，∴1−3x >0，由abc ≤(a+b+c 3)3, ∴函数y =x 2(1−3x)=32x ·x ·(23−2x)≤32·(23+x+x−2x3)3=4243，当且仅当x =29时取等号．故答案为：4243．由于0<x <13，可得1−3x >0，变形利用基本不等式可得y =x 2(1−3x)即可得出．本题考查了变形利用基本不等式，考查转化思想的应用，属于基础题．也可以利用导数求解函数的最值．15.答案：解析：试题分析：设A，B，则A、B是函数的图象上在区间(1,2)内的任意两不同点，所以表示函数图象的割线AB的斜率，要使不等式恒成立，只需保证端点处的切线斜率都大于等于1，即且，解得，所以实数a的取值范围是．考点：导数的几何意义16.答案：3π解析：解：圆锥的底面半径为1，高为√3，则母线长l=√1+(√3)2=2圆锥的表面积S=S底面+S侧面=πr2+πrl=π+2π=3π故答案为：3π．先得出母线的长，再根据圆锥表面积公式计算．本题考查了圆锥表面积的计算．是道基础题．17.答案：解：(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．∵a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．d=55；b4=q3=8；∴S10=10+10×92解得：d=1，q=2．所以：a n=n，b n=2n−1．(2)由(1)得a n⋅b n=n⋅2n−1，(8分)所以T n=1+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1①，(9分)2T n=2+2⋅22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n②，(10分)①−②得，−T n=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n−n⋅2n=1−2n1−2=(1−n)⋅2n−1，(12分)故T n=(n−1)⋅2n+1.(13分)．解析：(1)先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；(2)由(1)得a n⋅b n=n⋅2n−1，利用错位相减法即可求得数列{a n⋅b n}的前n项和T n．本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，突出考查错位相减法的应用，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意知1−sin2A=1−sin2B+sin2C−sinAsinC，即sin2A+sin2C−sin2B=sinAsinC，由正弦定理asinA =bsinB=csinC得a2+c2−b2=ac，①，由余弦定理cosB=a2+c2−b22ac得cosB=12，又因为0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)因为b=2√3，B=π3，由面积公式得S=12acsinπ3=2√3，即ac=8．由①得a2+c2=b2+ac=20，故(a+c)2=36，即a+c=6．解析：(Ⅰ)由题意利用正弦定理可得a2+c2−b2=ac，由余弦定理可求得cosB=12，结合范围0<B<π，可得B=π3．(Ⅱ)由三角形的面积公式解得ac=8，根据余弦定理即可解得a+c的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.答案：(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．解析：解析：试题分析：(Ⅰ)先确定随机变量的可能取值，然后利用事件的独立性求出在每个可能值下对应的概率，从而可以确定随机的概率分布列；(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上根据随机变量的数学期望的定义求即可．试题解析：(Ⅰ)由题意的取值为0，1，2．则；；；所以的分布列为012P(Ⅱ)的数学期望：．考点：事件的独立性、离散型随机变量的概率分布列与数学期望20.答案：解析：21.答案：解：(Ⅰ)设点M(x,y)，则据题意有√(x−1)2+y2|x−5|=√55，则5[(x−1)2+y2]=(x−5)2，即4x 2+5y 2=20，∴x 25+y 24=1，故曲线C 的方程为x 25+y 24=1.…(5分)(Ⅱ)①过F(1,0)且斜率为1的直线方程为y =x −1， 联立{y =x −1x 25+y 24=1，得9x 2−10x −15=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则△=100−4×9×(−15)=460>0， x 1 +x 2=109，x 1x 2=−53， y 1+y 2=x 1+x 2−2=−89，∴线段AB 的中点坐标为(59,−49).②由①知|AB|=√(1+1)[(109)2−4×(−53)]=16√59， 原点O 到直线AB 的距离d =√1+1=√22， ∴△OAB 的面积S =12⋅|AB|⋅d =12×16√59×√22=4√109．解析：(Ⅰ)设点M(x,y)，利用条件可得等式，化简，可得曲线C 的轨迹方程； (Ⅱ)①过F(1,0)且斜率为1的直线方程为y =x −1，联立{y =x −1x 25+y 24=1，得9x 2−10x −15=0，由此能求出线段AB 的中点坐标．②由椭圆弦长公式求出|AB|，由点到直线距离公式求出原点O 到直线AB 的距离d ，由给能求出△OAB 的面积．本题考查曲线方程的求法，考查线段中点坐标的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审理题，注意椭圆弦长公式的合理运用．22.答案：解：(1)因为f(x)的最小值为0，故对任意x ∈R ，f(x)≥0，即x 2−ax +b ≥0恒成立，且存在实数x 0使得f(x 0)=(x 02−ax 0+b)⋅e x 0=0，即x 02−ax 0+b =0能成立，故关于x 的一元二次方程x 2−ax +b =0根的判别式△=a 2−4b =0，故b =a 24，故f(x)=(x 2−ax +a 24)⋅e x ，则f′(x)=(2x−a)e x+(x2−ax+a24)e x=[x2+(2−a)x+(a24−a)]e x=(x−a2+2)(x−a2)e x令f′(x)>0，则x<a2−2或x>a2，故f(x)在(−∞,a2−2)和(a2,+∞)上单调递增，令f′(x)<0，则a2−2<x<a2，故f(x)在(a2−2,a2)上单调递减故x=a2−2是f(x)的唯一极大值点，则f(a2−2)=[(a2−2)2−a(a2−2)+a24]e a−2=4e a2−2=4e，解得a=6，故f(x)的单调减区间为[1,3].(写成(1,3)，(1,3]，[1,3)均可得分) (2)证明：不妨设x1<x2，由(1)可知，f(x)=(x2−ax+a24)⋅e x的极大值点x1=a2−2，极小值点x2=a2，又f(x1)=4e a2−2,f(x2)=0，故要证：f(x1)−f(x2)x1−x2<2aa−8，即证4e a2−2−0(a 2−2)−a2<2aa−8，即证−2e a2−2<2aa−8，即证e a2−2>a8−a=a24−a2=2+(a2−2)2−(a2−2)，对任意a<4恒成立，构造函数F(x)=(x−2)e x+x+2，x≤0，令g(x)=F′(x)=(x−1)e x+1，则g′(x)=x⋅e x≤0，故g(x)在(−∞,0]上单调递减，又g(0)=0，故g(x)=F′(x)≥0，故F(x)在(−∞,0]上单调递增，又F(0)=0，故F(x)≤0，即(x−2)e x+x+2≤0对任意x≤0恒成立，即e x>2+x2−x对任意x<0恒成立，特别地，取x =a2−2<0， 则有ea 2−2>2+(a 2−2)2−(a2−2)成立，故原不等式成立．解析：( 1 )根据f(x)的最小值为0分析可得b =a 24，求导后，利用导数求出函数的极大值，与已知极大值相等列方程，可解得a =6，从而可求得递减区间； (2)将不等式转化为证ea 2−2>2+(a 2−2)2−(a2−2)，对任意a <4恒成立，再构造函数F(x)=(x −2)e x +x +2，x ≤0，利用导数可得到证明．本题考查了利用导数研究函数的极值和单调性，考查了构造函数并利用导数证明不等式成立，属于较难题．。

高三数学一模试卷一、单项选择题1.集合，〔〕A. B. C. D.2.复数，那么〔〕A. 2B. -2C. 4D. 63. ，那么〔〕A. B. C. D.4.函数的局部图象大致是〔〕A. B.C. D.5.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面开展的活动．如下列图的是该校高三〔1〕、〔2〕班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图〔得分越高，说明该项教育越好〕．以下说法正确的选项是〔〕A. 高三〔2〕班五项评价得分的极差为1.5B. 除体育外，高三〔1〕班的各项评价得分均高于高三〔2〕班对应的得分C. 高三〔1〕班五项评价得分的平均数比高三〔2〕班五项评价得分的平均数要高D. 各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大6.抛物线的焦点为F，P为C在第一象限上一点，假设的中点到y轴的距离为3，那么直线的斜率为〔〕A. B. C. 2 D. 47.设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点在C的左支上，且，那么的面积为〔〕A. 8B.C. 4D.8.中国古典乐器一般按“八音〞分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于?周礼·春官·大师?．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹〞，其中“金、石、木、革〞为打击乐器，“土、鲍、竹〞为吹奏乐器，“丝〞为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹〞在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土〞与“鲍〞相邻排课，但均不与“竹〞相邻排课，且“丝〞不能排在第一节，那么不同的排课方式的种数为〔〕A. 960B. 1024C. 1296D. 20219.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，以下说法不正确的选项是〔〕A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C. 在区间上单调递增D. 的图象关于点对称二、多项选择题10.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶局部的轮廓可近似看作一个正四棱锥．此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，假设取，侧棱长为米，那么〔〕A. 正四棱锥的底面边长为6米B. 正四棱锥的底面边长为3米C. 正四棱锥的侧面积为平方米D. 正四棱锥的侧面积为平方米11.新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课〞，面向2021级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容〔〕A. 可能是家常菜青椒土豆丝B. 可能是川菜干烧大虾C. 可能是烹制西式点心D. 可能是烹制中式面食12.函数，假设关于x的方程恰有两个不同解，那么的取值可能是〔〕A. -3B. -1C. 0D. 2三、填空题13.平面向量，非零向量满足，那么________．〔答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可〕14. ，那么的最小值为________．15.函数满足，那么曲线在点处的切线斜率为________．16.在正四棱锥中，，假设四棱锥的体积为，那么该四棱锥外接球的体积为________．四、解答题17.各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项〔1〕求的通项公式；18.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足〔1〕求的值；〔2〕假设点D为边的中点，，求的值．19.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、锦、铭等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准〔清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染〕进行分级，绘制了如下列图的条形图〔1〕从轻度污染以上〔包括轻度污染〕的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；〔2〕规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从〔1〕中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．20.如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，D是的中点．〔1〕证明：平面．〔2〕假设，求二面角的余弦值21.椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕设过的直线l与C交于A，B两点，假设，求．22.函数〔1〕假设在上是减函数，求实数m的取值范围；〔2〕当时，假设对任意的，恒成立，求实数n的取值范围．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为，，又，所以.故答案为：A.【分析】根据题意首先由一元二次不等式的解法即可求出集合B再由补集和交集的定义即可得出答案。

2021届河北省邯郸市高三上学期1月份教学质量检测文科数学试卷(带2021届河北省邯郸市高三上学期1月份教学质量检测文科数学试卷（带解析）一、选择题 1.已知集合A．【答案】C 【解析】试题分析：化简集合所以有故选C．考点：集合的运算． 2.已知是虚数单位，则复数A．0 B． C．【答案】D 【解析】试题分析：由于复数所以其虚部为：1；故选D．考点：复数的除法及有关概念．3.具有线性相关关系的变量x，y ，满足一组数据如右表所示.若与的回归直线方程为，则m的值是（），D．1的虚部是（），而，B．C．则（）D．0 -1 1 1 2 m 3 8 A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，又因为点所以有故选A．恒在回归直线；上，考点：线性回归． 4.已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．考点：双曲线的几何性质．5.执行如图所示的程序框图,若输入的值等于7,则输出的的值为（A．15 B．16 C．21 D．22 【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：i=1,s=1，n=7; 第1次运行：1<7是，s=1+（1-1）=1,i=1+1=2; 第2次运行：2<7是，s=1+（2-1）=2,i=2+1=3; 第3次运行：3<7是，s=2+（3-1）=4,i=3+1=4;）第4次运行：4<7是，s=4+（4-1）=7,i=4+1=5; 第5次运行：5<7是，s=7+（5-1）=11,i=5+1=6; 第6次运行：6<7是，s=11+（6-1）=16,i=6+1=7; 第7次运行：7<7否，输出s=16; 故选B．考点：算法与程序框图．6.已知在平面直角坐标系大值为（） A． B． C．【答案】A 【解析】试题分析：作出区域D：D．上的区域由不等式组给定．目标函数的最，由于显然平移故选C．，到经过点D（2，2）时取得最大值为：；考点：1．向量数量积的坐标运算；2．线性规划．7.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（） A．B．C．D．【答案】C 【解析】试题分析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP；因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．考点：异面直线及其所成的角． 8.已知，A是由直线与曲线围成的封闭区域，用随机模拟的方法求A的面积时，先产生上的两组均匀随机数，和，由此得N个点，据统计满足的点数是，由此可得区域A的面积的近似值是（） A．B．C．D．【答案】B 【解析】试题分析：如图：，知，；故选B．考点：1．几何概率；2．随机模拟． 9.下列三个数：A．【答案】C 【解析】试题分析：构造函数所以函数即，故选C．在，因为上是减函数，从而有对一切恒成立，，B．C．，大小顺序正确的是（） D．考点：函数单调性的应用． 10.已知等差数列中，前10项的和等于前5项的和.若（）A．10 B．9 C．8 D．2 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得又由从而有当，当时时,得m=10;，可得，时，m可为任意正整数值与题意不合；；故选A．考点：等差数列．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．20 C．40 D．60【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体直观如图所示：，且三角形ABC是以角A为直角的直角三角形，AB=4，AC=3，从而BC=5；又BD=5，且BD平面ABC，故知四边形BCED是边长为5的正方形，过A作AHBC于H，则易知AH平面BCED，在直角三角形ABC易求得AH=从而故选B．考点：三视图及几何体体积．；，12.已知函数方程是（） A．B．C．D．【答案】C 【解析】是定义域为的偶函数. 当（时，若关于的），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围试题分析：作出的图象如下，又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且关于x的方程或而方程，a∈R有且仅有6个不同实数根，等价于，a∈R共有且仅有6个不同实数根；由图知有四个不同的实数根，所以必须且只需方程，a∈R有且仅有2个不同实数根，由图可知故选C．考点：根的存在性及根的个数判断．二、填空题 1.如图，正六边形的边长为，则______；或；【答案】【解析】试题分析：；故答案为．考点：向量的加减法及数量积． 2.已知【答案】3 【解析】试题分析：因为所以；（当且仅当的最小值为：3．，由得，即；，，则的最小值为；，即时等号成立）所以考点：基本不等式． 3.已知圆为；【答案】【解析】试题分析：设切线AP的方程为：切线AQ的方程为：从而得到点P，Q都在直线故知直线PQ的方程为：考点：圆的切线． 4.如图，在,中，,则BC= .,D是AC上一点，E是BC上一点，若.，则由圆的切线知识可知：，所以有，所以有；．；；，过点作的切线，切点分别为，则直线的方程【答案】【解析】试题分析：过点E作EHAC于H，如图：由知EH//AB，再由，可得；设AB=5x,则EH=x; 由已知易知在在又故有亦即，从而，,，，即，注意到x>0,从而解得，所以BD=10x,AD=，ED=2x;中，AC=CD+AD=3+中，由余弦定理得，所以；所以故答案为．，从而，考点：余弦定理．三、解答题1.（本小题满分10分）等差数列为.（1）求及; （2）设【答案】（1）【解析】试题分析：（1）首先根据a1=-1和d，求出，再根据的通项公式，再由等比数列的前n项和公式即可求得；是等比数列，求出数列{an}，，，求. ；（2）．中，，公差且成等比数列，前项的和（2）根据（1）求出数列{bn}的通项公式，然后根据数列通项公式的特点选用裂项求和法进行求和即可．试题解析：（1）有题意可得（2）4分又因为 2分6分10分考点：1.等比数列；2.数列求和． 2.（本小题满分12分）已知（1）求函数（2）当的最小正周期及单调递增区间. 时，方程有实数解，求实数的取值范围.；（2）.【答案】（1）最小正周期为，【解析】试题分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，然后求出函数的最小正周期和单调递增区间．（2）当围，即求函数先由求出，当时，方程有实数解，求实数的取值范，，当时时的值域，故由（1）中化简后的解析式的取值范围，再结合正弦函数图象即可求得函数的值域，即为实数的取值范围．试题解析：（1）2分最小正周期为 4分令.函数，由得函数（2）当的单调递增区间是，的单调递增区间是时，12分，6分考点：1.三角函数中的恒等变换应用；2. 三角函数的周期性及其求法；3. 三角函数的单调性及其求法．3.（本小题满分12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点.（1）求证：BC⊥平面VAC；（2）若直线AM与平面VAC所成角为.求三棱锥B-ACM的体积. 【答案】（1））祥见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由线面垂直得VC⊥BC，由直径性质得AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面VAC．（2）首先由（1）作出直线AM与平面VAC所成的角：取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN；这样就可求出AC的长，且而求得体积．试题解析：（1）证明：因为VC⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC. 4分（2）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN；6分令AC=a,则BC==，MN=；因为VC=2，M为VC中点，所以AN=，所以，,解得a=1 10分因为MN∥BC,所以 12分考点：1.直线与平面垂直的判定;2. 棱柱、棱锥、棱台的体积;3. 直线与平面所成的角. 4.（本小题满分12分）从某小区抽取100个家庭进行月用电量调查，发现其月用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）根据直方图求的值，并估计该小区100个家庭的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从该小区已抽取的100个家庭中, 随机抽取月用电量超过300度的2个家庭，参加电视台举办的环保互动活动，求家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率．【答案】（1）x=\月均用电量约为186度；（2）．【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图中各频率和为1，求出x的值；求出样本平均数，即可估计这100户居民的平均用电量．（2）先求出用电量落在区间（300，350]内的频率，再求对应的频数；可知用电量超过300度的用户数，进而用字母表示各户，利用树图可列举出任取2户的所有可能情况，应用古典概率公式即可求出家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率．试题解析：（1）由题意得，. 2分设该小区100个家庭的月均用电量为S 则9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186. 6分，所以用电量超过300度的家庭共有6个. 8分分别令为甲、A、B、C、D、E，则从中任取两个，有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）、（A,B）、（A,C）、（A,D）、（A,E）、（B,C）、（B,D）、（B,E）、（C,D）、（C,E）、（D,E）15种等可能的基本事件，其中甲被选中的基本事件有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）5种. 10分家庭甲被选中的概率. 12分考点：1．用样本的频率分布估计总体分布；2．频率分布直方图；3．古典概率．5.（本小题满分12分）已知椭圆C:分别为其左右焦点. （1）求椭圆C的标准方程;过点，离心率为，点（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由离心率为e=；（2）存在圆心在原点的圆，理由祥见解析.,且，得到一方程，再由椭圆过点，代入方程，再由a，b，c的关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；（2）按直线与斜率不存在和存在分别讨论：当直线斜率存在时，设直线方程为：转化为联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理可将条件与圆相切，得k、b的方程；再由直线直线，从而即可求出符合条件的圆的方程；当斜率不存在时，前边求得的圆方程也适用，由此即可得到结论．，得. 4分，因为，得，所以试题解析：（1）由题意得：，所以椭圆C方程为假设满足条件的圆存在，其方程为：当直线的斜率存在时，设直线方程为，由得，令，6分. 8分因为直线与圆相切， =所以存在圆当直线.的斜率不存在时，也适合综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意. 12分考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与圆锥曲线的关系． 6.（本小题满分12分）已知（1）若曲线（2）设求的取值范围．【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由已知得即可求得，的值；（2）由可得，；令，只需求使在单调递增的的取值范围即可，即求使在恒成立的的取值范围即可，利用分离参数法转化为一个函数的最小值问题，即可求得的的取值范围．试题解析：（1）由题意，又因为（2）由令，只需证，，.，,得可得，在单调递增即可 8分，. 4分.，，，从而由且与曲线，函数在它们的交点，．处的切线重合，求，的值；，且，都有，，若对任意的；（2）．只需说明即故，，12分视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分）在恒成立即可 10分（如果考生将考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

河北省邯郸市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.2．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂． 【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．3．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-【答案】A 【解析】 【分析】先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率 【详解】解：抛物线()220y px p =>经过点(M(222p =⨯，2p =，()1,0F ，MF k =故选：A 【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.4．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.5．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是A ．(0,1)[5,)+∞UB ．6(0,)[5,)5+∞U C ．(1,5] D ．6(,5]5【答案】A 【解析】 【分析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意； 1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞U .【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.6．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1C．12D．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．53【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2【答案】C 【解析】 【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36； 方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26； 所以P 1+P 2＝56故选C. 【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 9．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像得到函数的一个解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移法则得到答案. 【详解】设函数解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++， 根据图像：1,0A b ==，43124T πππ=-=，故T π=，即2ω=， sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,3k k Z πϕπ=+∈，取0k =，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数向右平移6π个单位得到sin 2y x =. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 10．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A 3B ．3 C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴，()394sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭ 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．11．设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x …，即可求出x 的范围. 【详解】Q=|sin cos |x x =-sin cos x x =-sin cos 0,x x ∴-… 即sin cos x x … 02x πQ 剟544xππ∴剟 故选：C 【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目.12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e ≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省邯郸市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z z +=（ ） A ．32i + B ．12i + C ．132i - D ．132i + 【答案】C【解析】【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】121312z i i z i +--==+. 故选：C 【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.2．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cmB 36463cmC 33223cmD 36423cm 【答案】B【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 3．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为3ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053πC ．12πD ．20π【答案】D【解析】【分析】 如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后23AB =,()22222231cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=o ，设ADB ∆外接圆的半径为r ，2324sin120r ∴==o ，2r ∴= ， 如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.4．已知某口袋中有3个白球和a个黑球（*a N∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3Eξ=，则Dξ= ( )A．12B．1 C．32D．2【答案】B【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12Dξ=-+-=，故选B．5．设不等式组30x yx y+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C：224x y+=的内部随机选取一点P，则P 取自Ω的概率为（）A．524B．724C．1124D．1724【答案】B【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出Ω中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0x y+=，30x-=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.6．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．0【答案】B【解析】【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r ，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r 所以,a b r r 夹角为4π 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.7．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B【解析】【分析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u u r u u u r ，所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()12222222λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则A B =U （ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集.【详解】 解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =U (),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.9．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）A ．12πB ．3πC ．6πD ．9π 【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C.【点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A【解析】【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案. 【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩， 则11()ln1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前邯郸市2022届高三年级摸底考试试卷数学本试卷4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z=a2+i-(1-ai)为纯虚数,则实数a的值为()A.1B.0C.-12D.-12.已知集合M={x|1x-1>0},集合N={x|x+3>0},则∩N= ()A.[-3,1)B.(-3,1)C.[-3,1]D.(-3,1]3.若sin(π2-2α)=-45,则cos 4α的值为()A.425B.725C.35D.31504.2021年东京奥运会的游泳比赛在东京水上运动中心举行,其中某泳池池深约3.5 m,容积约为4 375 m3,若水深要求不低于1.8 m,则池内蓄水至少为()A.2 250 m3B.2 500 m3C.2 750 m3D.2 000 m35.由1,2,3,4,5,6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数,1必须排在前两位,且2,3,4必须排在一起,则这样的六位数共有()A.48个B.60个C.72个D.84个6.已知非零向量a与b满足|a|=3|b|,且|a+2b|=2|a-2b|,则向量a与b的夹角的余弦值是()A.-1320B.1320C.-12D.127.已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为54,O为坐标原点,右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,△OPF的周长为12,则双曲线的实轴长为()A.8B.4C.2√2D.2 8.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是棱AB 的中点,F 是四边形AA 1D 1D 内一点(包含边界).EF ∥平面BB 1D 1D ,当线段EF 长度最大时,EF 与平面ABCD 所成角的余弦值为( )A .√24B .√33C .√34D .√36二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.将函数y =3sin x -2图象上的各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平移π8个单位,得到f (x )的图象,下列说法正确的是 ( )A .点(π4,0)是函数f (x )图象的对称中心B .函数f (x )的图象与函数g (x )=3cos (2x -π4)-2的图象相同C .函数f (x )在(0,π8)上单调递减D .直线x =π8是函数f (x )图象的一条对称轴10.已知(5x √x )n 的展开式中,二项式系数之和为64,下列说法正确的是 ( )A .2,n ,10成等差数列B .各项系数之和为64C .展开式中二项式系数最大的项是第3项D .展开式中第5项为常数项11.已知圆C :(x -1)2+(y -1)2=16,直线l :(2m -1)x +(m -1)y -3m +1=0.下列说法正确的是 ( )A .直线l 恒过定点(2,1)B .圆C 被y 轴截得的弦长为2√15C .直线l 被圆C 截得弦长存在最大值,此时直线l 的方程为2x +y -3=0D .直线l 被圆C 截得弦长存在最小值,此时直线l 的方程为x -2y -4=012.抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过点F ,斜率k >0,且交抛物线C 于A ,B (点A 在x 轴的下方)两点,抛物线的准线为m ,AA 1⊥m 于A 1,BB 1⊥m 于B 1,下列结论正确的是 ( ) A .|AB |=|FA |·|FB | B .若k =√22,则|FA |·|FB |=12C .若|AA 1|·|BB 1|=12,则k =√22 D .∠A 1FB 1=60°三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若曲线y =x 2+a ln x 在点(1,1)处的切线与直线x -2y +2=0平行,则实数a 的值为 .14.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=-1f (x ),当x ∈(0,2]时,f (x )=2x ,则f (0)= ,f (log 4364)= .15.已知数列{a n }满足2a n +1=4+a n a n +1且a 3=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 022= .16.用一个不平行于底面的平面截一个圆柱,得到如图几何体,若截面椭圆的长轴长为10 cm,离心率为35,这个几何体最短的母线长为4 cm,则此几何体的体积为 cm 3.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +2n +2.(1)求数列{a n -2n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足b n =2(a n +2-2n ),求{b n }的前n 项和S n .18.(本小题满分12分)暑假期间,学生居家生活和学习,教育部门特别强调,身体健康与学习成绩同样重要.某校对300名学生的锻炼时间进行调查,数据如表:平均每天锻炼 的时间(分钟)[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 总人数 30 50 60 70 55 35将学生日均锻炼的时间在[40,60]的学生评价为“体育合格”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关.体育不合格 体育合格 合计男 60 160女合计(2)从上述体育合格的学生中,按性别用分层抽样的方法抽取9名学生,再从这9名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间较多的原因,记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望.参考公式:K2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n =a +b +c +d.参考数据: P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b =10,B =60°.(1)求△ABC 的面积的最大值;(2)若c sinB+C 2=√2a 2sin C ,求△ABC 的周长.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√3,且过点(√3,12). (1)求椭圆方程;(2)设直线l :y =kx +m (k ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,且线段AB 的中点M 在直线x =12上,求证:线段AB 的中垂线恒过定点N.21.(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,E为边CD上的点,CB=CE,以EB为折痕把△CEB折起,使点C到达点P的位置,且使二面角P-EB-C为直二面角,三棱锥P-.ABE的体积为√26(1)证明:平面PAB⊥平面PAE;(2)求二面角B-PA-D的余弦值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a e x-x2(a∈R)(其中e≈2.718 28为自然对数的底数).(1)当a=2时,判断函数f(x)的单调性;(2)若a>1,证明f(x)>cos x对于任意的x∈[0,+∞)恒成立.。

2021届河北省邯郸市高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}4A x a x =<<，{}2|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，则a 的值不可能为（ ）A B CD ．3【答案】A【解析】求出{2B x x =<或}3x >，利用{|34}A B x x ⋂=<<，得23a ≤≤. 【详解】集合{}4A x a x =<<，{}{25602B x x x x x =-+=<或}3x >，{|34}A B x x ⋂=<<， ∴23a ≤≤， ∴a.故选：A. 【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.2．设复数z 在复平面内对应的点为(),x y ，若x ，y 满足22(2)3x y ++=，则有（ ）A ．|z+2|=3B ．|2|z +=C ．|z+2i|=3D ．|2|z i +=【答案】D【解析】利用复数模的计算公式即可得出结果. 【详解】复数z 在复平面内对应的点为(),x y ，∴z x yi =+，z =∴2z i +=又x ，y 满足22 (2)3x y ++=，则|2|z i +=，故选：D. 【点睛】本题主要考查复数模的计算以及复数所对应的点的坐标，熟记复数模的计算公式是本题的解题关键，属于基础题.3．函数()2()lg 1lg(1)f x x x =---在[]2,9上的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】化简函数的解析式，利用函数的单调性即可得解. 【详解】函数()()2()lg 1lg(1)lg 1f x x x x =---=+，函数在区间[]2,9上是增函数，所以函数的最大值为：(9)lg(91)1f =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用，对数的运算法则以及函数最值的求法，属于基础题. 4．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ） A ．45AB AD -+ B ．45AB AD - C ．45AB AD -+D ．34AB AD -+ 【答案】A【解析】由4,CE ED =得45CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】44,,5CE ED CE CD =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算.用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．5．某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（）A．甲、乙成绩的中位数均为7B．乙的成绩的平均分为6.8C．甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差【答案】D【解析】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B中，求出乙的成绩的平均分为7；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.【详解】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，∴中位数为787.52+=，故A错误；在B中，乙的成绩的平均分为：110（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B错误；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，故C 错误；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大， ∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6．我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆22:(2)(1)2C x y -+-=，直线22:10l a x b y +-=，若圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，则点(),a b 必在（ ）A ．一个离心率为12的椭圆上 B ．一条离心率为2的双曲线上C ．一个离心率为2的椭圆上 D 的双曲线上【答案】C【解析】由题意得直线l 必过点()2,1，可得(),a b 必在椭圆2221x y +=上，进而求出离心率e .【详解】根据条件可知圆心()2,1C ，圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，∴直线l 过点()2,1，则2221a b +=， ∴点(),a b 必在椭圆2221x y +=上，则离心率e . 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法以及直线与圆的位置关系，属于中档题.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且106a =，若32824mS S S =+，则m =（ ）A ．715B ．12C ．815D ．716【答案】C 【解析】由106a =求出4q =，用前n 项和公式化简32824mS S S =+可得.【详解】因为106a =，所以4q =由32824mS S S =+，得()32824111m q q q -=-+-，即(116)1218m -=-+-，解得815m =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列基本量.等比数列基本量涉及五个量：1n n a n S q a ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．8．已知x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，若实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为（ ）A ．23∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， B ．203⎛⎤⎥⎝⎦，C ．12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D ．102⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】B【解析】利用可行域，判断目标函数的最大值的最优解的位置，然后利用直线的斜率推出结果即可. 【详解】x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，的可行域如图：由26x y x y =⎧⎨+=⎩解得（2,2）；又1yx λ=+， 数形结合可知正数λ的最大值为：22213=+， 所以实数λ满足y ＝λx +λ，则正数λ的取值范围为：（0,23]. 故选：B. 【点睛】本题考查斜率型目标函数的值域问题，是中档题.9．已知函数241,0,()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩若关于x 的方程(()2)(())0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(2,5){1}⋃C ．{1,5}D ．[2,5){1}⋃【答案】D【解析】作出分段函数的图象，由[()2][()]0f x f x m --=得()2f x =或()f x m =，由图可得方程()f x m =有2个实根.求出m 的取值范围.【详解】由[()2][()]0f x f x m --=，得()2f x =或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程()2f x =有3个实根，故方程()f x m =有2个实根，故m 的取值范围为[2,5){1}⋃.故选：D 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.10．已知三棱锥P ABC -每对异面的棱长度都相等，且ABC ∆11,3,4，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ） A ．62π B ．92πC ．18πD ．36π【答案】B【解析】先将三棱锥补成一个长方体，11,3,4，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，可求得22218a b c ++=，进而得出三棱锥外接球的直径，从而可求出三棱锥外接球的体积. 【详解】三棱锥P ABC -每对异面的棱长度相等，∴11,3,4，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，且不妨设22211)11a b +==，22239b c +==，222416a c +==，22218a b c ++=∴，∴=∴外接球的体积为3432π⎛⨯= ⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了球的体积的计算，解题的关键是将三棱锥补成一个长方体，考查学生的空间立体感和运算能力，属于中档题.11．已知定义域为R 的函数()f x 满足11(),()4022f f x x '=+>，其中()f x '为()f x 的导函数，则不等式(sin )cos 20f x x -的解集为（ ）A ．[2,2],33k k k Z ππππ-++∈ B ．[2,2],66k k k Z ππππ-++∈C ．2[2,2],33k k k Z ππππ++∈ D ．5[2,2],66k k k Z ππππ++∈ 【答案】D【解析】构造函数2()()21g x f x x =+-，由题知 ()()40g x f x x ''=+>得到()g x 在R 上单调递增，(sin )cos 20f x x -等价于1(sin )()2g x g ，利用单调性可解.【详解】令2()()21g x f x x =+-，则()()40g x f x x ''=+>，故()g x 在R 上单调递增.又2(sin )cos 2(sin )2sin 1f x x f x x -=+-，且1()02g =，故原不等式可转化为1(sin )()2g x g ，所以1sin 2x，解得522,66k xk k ππππ++∈Z . 故选：D. 【点睛】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)()()()()()f x g x F x f x g x ＝－ )；(2)()()[()]xf x f x xf x ；(3)()()()[]f x xf x f x x；(4)()+()[()]x f x f x e f x ；(5) ()()()[]xf x f x f x e . 12．过点P 作抛物线2:2C x y =的切线1l ，2l ，切点分别为M ，N ，若PMN 的重心坐标为(1,1)，且P 在抛物线2:D y mx =上，则D 的焦点坐标为（ ）A ．104⎛⎫⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫⎪⎝⎭， C ．04⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由已知设切点坐标为211,2x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x N x ⎛⎫⎪⎝⎭，利用导数写出切线1l ，2l 的方程，联立求出交点P坐标122x x x +=，122x xy =，代入重心坐标公式利用已知条件可求出P 的坐标为()1,1-，再代入抛物线2:D y mx =方程，求出m ，进而求D 的焦点坐标．【详解】设切点坐标为211,2x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x N x ⎛⎫⎪⎝⎭，由22x y =，得22x y =，所以y x '=，故直线1l 的方程为()21112x y x x x -=-，即2112x y x x =-，同理直线2l 的方程为2222x y x x =-，联立1l ，2l 的方程可得122x x x +=，122x xy =，设PMN 的重心坐标为()00,x y ，则12120213x x x x x +++==，22121222213x x x x y ++==， 即1222121226x x x x x x +=⎧⎨++=⎩所以121222x x x x +=⎧⎨=-⎩，则P 的坐标为()1,1-， 将P 点坐标代入抛物线2:D y mx =，得到2(1)1m -=⨯，解得1m =，故D 的焦点坐标为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、填空题13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若72910a a a -=-，则7S =_____． 【答案】70【解析】由等差数列的定义与性质，求出4a 的值，再利用等差中项公式即可求得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由72910a a a -=-，得9510d a =-， 所以49510a a d =-=， 所以()1747477277022a a a S a +⨯====. 故答案为：70. 【点睛】本题考查了等差数列的定义与前n 项和公式，其中涉及到等差中项公式的应用，属于基础题.如果{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+(),,,*m n p q N ∈. 14．已知函数()222a f x sin x cos x =+的图象关于直线12x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_____.【解析】由题意利用三角函数的图象对称性的性质，求得f （4π）的值. 【详解】 ∵函数()222af x sin x cos x =+的周期为π，它的图象关于直线12x π=对称，∴f （0）＝f （6π）＝112=+，∴a =，∴f （4π）23a ==，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象对称性的性质，属于中档题.15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，若1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直线1C E 与1BD 所成角的余弦值为_________.【答案】5【解析】由题知正四棱柱为正方体，.取11B C 的中点F ，则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角，求出三角形1FBD 三边，用余弦定理求解可得. 【详解】因为1BD 与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 所以该正四棱柱为正方体.取11B C 的中点F ， 则1FBD ∠为异面直线1C E 与1BD 所成的角.设2AB =，则11BF D F BD ===故1cos 5FBD ∠==.．【点睛】本题考查利用集合法求异面直线所成角.两条异面直线所成角的求法:几何法：作、证、求进行求解，通常利用平行线把两条异面直线转换为共面直线.向量法：(1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线,a b 的方向向量为,a b ，其夹角为θ，(3)代入公式cossina b a b求解(其中ϕ为异面直线,a b 所成的角)．16．《周礼•夏官•马质》中记载“马量三物：一日戎马，二日田马，三日驽马”，其意思为马按照品种可以分为三个等级，一等马为戎马，二等马为田马，三等马为驽马．假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田马、驽马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人，每人至少2匹，则甲和乙都得到一等马的分法总数为_____． 【答案】348【解析】通过对甲、乙二人分得一等马的匹数进行分类，分两种情况讨论：①甲、乙每人分得一匹一等马；②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】由题设条件可知甲、乙二人都分得一等马的情况有如下两类：①甲、乙每人分得一匹一等马，有1133433322216C C A A A =种； ②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马，有()21132221112314342341322132C C C C C C C C C C C ⎡⎤++=⎣⎦种，因此，满足题意的分法总数为216+132=348. 故答案为：348. 【点睛】本题主要考查的是排列与组合的问题，属于中档题.解答排列、组合中的一些较复杂的问题，常用分类讨论思想，讨论时，要注意不重复不遗漏.对于排列、组合问题中的分组与分配问题，可以分组后再分配.常见的分组问题有三种：（1）完全均匀分组，每组的元素个数均相等；（2）部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以!n ；（3）完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2sin tanA tanB B C +=. （1）求A ；（2）若a =，ABCS =，且sin sin B C <，求sin B ．【答案】（1）A 3π=；（2． 【解析】（1）将正切转化为正余弦，借助两角和的正弦公式及sin()sin A B C +=，可求出cos A 的值，再根据A 的范围即可得解；（2）利用面积公式求出bc 的值，再由余弦定理求出b c +的值，借助sin sin B C <即可得出b ，c 的值，最后根据正弦定理即可得解. 【详解】（1）由()cos 2sin tanA tanB B C +=，得sin sin cos 2sin cos cos A B B C A B ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即sin cos cos sin cos 2sin cos cos A B A B B C A B +⋅=，所以sin 2sin cos CC A=，因为在三角形中，sin 0C ≠，所以1cos 2A =，由(0,)A π∈， 所以3A π=.（2）1sin 24ABC S bc A ∆===12bc =， 由余弦定理可得：222222cos ()2()36a b c bc A b c bc bc b c =+-=+--=+-， 所以213()36b c =+-，所以b+c=7，且12bc =， 因为sin sin C B >，所以c b >， 解得：3b =，4c =， 由正弦定理sin sin a b A B = ，得3339sin sin 22613b B A a ==⋅=. 【点睛】本题考查的是解三角形问题，涉及的知识点包括三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式等，熟记公式并准确计算是解题关键，属于基础题.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -的每条棱的长度都相等，D ，F 分别是棱11A B ，BC 的中点，E 是棱11B C 上一点，且DE 平面11A BC .（1）证明：CE平面1AB F .（2）求直线CE 与平面1BC D 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）35． 【解析】（1）由DE 平面11A BC ，利用线面平行的性质定理可得11DE A C ∥，又D 是棱11A B 的中点，可得E 是棱11B C 的中点，进而得到四边形1B ECF 是平行四边形，1EC B F ，利用线面平行的判定定理即可证得CE平面1AB F ；（2）以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系．设2BC =，求出平面1BC D 的法向量n 和CE ，利用||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n θ⋅=<>=即可得出.【详解】（1）证明：DE 平面11A BC ，DE ⊂平面111A B C ，平面11A BC ⋂平面11111A B C A C =，∴11DE A C ∥，又D 是棱11A B 的中点， ∴E 是棱11B C 的中点．又F 是BC 的中点，∴1B E FC ，1B E FC =，∴四边形1B ECF 是平行四边形． ∴1EC B F ，又EC ⊄平面1AB F ，1B F ⊂平面1AB F ，∴CE平面1AB F .（2）以F 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC =，则()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,222D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10,1,2C -，()0,0,2E ， 31,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，133,02C D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,2)CE =， 设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，则10n BD n C D ⋅=⋅=，∴12022x y z -+=，3022x y +=， 令1y =，得(3,1,1)n =-，∴||3sin |cos ,|5||||5CE n CE n CE n θ⋅=<>===⨯，∴直线CE 与平面1BC D 所成角的正弦值为35.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理与性质定理以及线面所成角的正弦值，其中涉及到三角形中位线定理、数量积运算性质、法向量的应用、向量夹角公式的应用等知识，考查了学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知函数3()xf x x e =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式2()f x mx 对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【解析】（1）求函数求导，根据导数的正负，即可容易求得函数单调性； （2）分离参数，构造函数()xg x xe =，利用导数求其最值，则问题得解.【详解】（1）232()3e e e (3)xxxf x x x x x '=+=+， 令()0f x '≥，得3x ≥-，则()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞； 令()0f x '<，得3x <-，则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-.综上所述：()f x 的单调递增区间为[3,)-+∞，单调递减区间为(,3)-∞-.（2）当0x =时，不等式2()f x mx 即0x ，显然成立.当0x ≠时，不等式2()f x mx 对x ∈R 恒成立，等价于x m xe 对x ∈R 恒成立. 设()(0),()(1)xxg x xe x g x x e '=≠=+， 令()0g x '<，得1x <-； 令()0g x '>，得1x >-且0x ≠. 所以min 1()(1)g x g e=-=-. 所以1m e -，即m 的取值范围为1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查具体函数单调区间的求解，利用导数由恒成立问题求参数范围，属综合基础题.20．已知椭圆2212x C y ：+=的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）若l 过点F ，点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，且12143d d +=，求l 的方程； （2）若点M 的坐标为（0，1），直线m 过点M 交C 于另一点N ′，当直线l 与m 的斜率之和为2时，证明：直线NN ′过定点.【答案】（1）x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0（2）证明见解析；【解析】（1）由若l 过椭圆的右焦点F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与椭圆方程，消去x ，得交点M ，N 的纵坐标关系，因为点M ，N 到直线y ＝2的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）143=，转化为m 的方程，求得m 即可. （2）分类讨论，当直线NN '的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，消去一个变量，由韦达定理得出N ，N '的坐标的关系式，再由当直线l 与m 的斜率之和为2，列出方程，求出直线方程，即可得直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 【详解】（1）易知F （1,0），设直线l 的方程为x ＝my +1，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（m 2+2）y 2+2my ﹣1＝0.则y M +y N 222m m =-+. 因为d 1+d 2＝2﹣y M +2﹣y N ＝4﹣（y M +y N ）＝4221423m m +=+.所以m ＝1或m ＝2.故l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0.（2）证明：当直线NN '的斜率不存在时，设N （x 0,y 0），则N '（x 0,﹣y 0）.由k l +k m ＝2，得000011y y x x ---+=2，解得x 0＝﹣1. 当直线NN '的斜率存在时，设直线NN '的方程为y ＝kx +t （t ≠1），N （x 1,y 1），N '（x 2,y 2）.由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0. 所以x 1+x 22412kt k =-+，x 1x 2222212t k -=+；因为k l +k m ＝2. 所以()()21121212121111kx t x kx t x y y x x x x +-++---+==2k ()()12121t x x x x -++=2k 22(1)1t kt t --=-2k 21kt t -=+ 2. 所以t ＝k ﹣1，所以直线NN '的方程为y ＝kx +k ﹣1，即y +1＝k （x +1）. 故直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 综上，直线NN '过定点（﹣1,﹣1）. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类讨论的思想方法，转化的思想，方程思想以及运算能力，属于中档题.21．某总公司在A ，B 两地分别有甲、乙两个下属公司同种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售.产品进人市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进人市场.检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如表所示： 表1表2表3（1）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）.（2）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.（3）若以甲公司这100天中每天产品利润总和对应的频率作为概率，从甲公司这100天随机抽取1天，记这天产品利润总和为X，求X的分布列及其数学期望.【答案】（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：79%；（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大；详见解析；（3）分布列见详解，数学期望为70万元.【解析】（1）计算正品数与产品总数的比值即可；（2）分别计算利润，比较即可；（3）计算X（单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150的概率，由期望的定义可得答案.【详解】（1）甲公司这100天生产的产品的正品率为：5080401050100⨯+⨯=⨯88%，乙公司这100天生产的产品的正率为：50704510100⨯+⨯=79%.（2）乙公司这100天生产的产品的总利润更大理由如下：甲公司这100天生产的产品的总利润为（50×80+40×10）×2+（50×100﹣50×80﹣40×10）×（﹣3）＝7000（万元），乙公司这100天生产的产品的总利润为（50×70+45×10）×3+（50×100﹣50×70﹣45×10）×（﹣3.5）＝8175（万元），因为7000万＜8175万，所以乙公司这100天生产的产品的总利润更大， （3）X （单位：万元）的可能取值为100，50，﹣150，P （X ＝100）80100==0.8. P （X ＝50）10100==0.1， P （X ＝150）10100==0.1， 则X 的分布列为故EX ＝100×0.8+50×0.1+（﹣150）×0.1＝70（万元）， 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查计算能力，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线:|3|C y k x =-.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为276(cos 2sin )ρθθρ+=+.（1）求E 的直角坐标方程（化为标准方程）；（2）若曲线E 与C 恰有4个公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）22(3)(6)18x y -+-=；（2）(1,)+∞ 【解析】（1）化简276(cos 2sin )ρθθρ+=+为26cos 12sin 270ρρθρθ--+=再用极直互化公式求解直角坐标方程.（2）:|3|C y k x =-图象是关于直线3x =对称，曲线E 与C 恰有4个公共点等价于3x 时，曲线C ：3y kx k =-与圆有两个交点，则利用圆心到直线的距离小于半径求出k 范围.【详解】解：（1）276(cos 2sin )ρθθρ+=+，26cos 12sin 270ρρθρθ∴--+=.22cos ,sin ,612270x y x y x y ρθρθ==∴+--+=，E ∴的直角坐标方程为22(3)(6)18x y -+-=.（2）易知曲线C 过定点(3,0)M ，其图象是关于直线3x =对称的“V ”字形，又曲线E 为以(3,6)为圆心，0k ∴>.当3x 时，曲线C 的方程为3y kx k =-，即30kx y k --=，则圆心(3,6)到直线的距离d ==<解得21k >，又0k >，故k 的取值范围为(1,)+∞.【点睛】本题考查极坐标方程直角坐标方程相互转换及利用两曲线有公共点，求参数的取值范围.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．已知函数()|25||21|f x x x =--+.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分组讨论求求并集()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩即12x -或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++.令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=，所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.【点睛】 本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a ba b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。