1-6极限存在准则,两个重要极限1
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第六节
极限存在准则与
两个重要极限
第一章
n n ∞
→∞→准则1(夹逼准则)a x n n =∞→lim 证,0>∀ε,Z 1+∈∃N −a y n −a z n ,
Z 2+∈N 一、极限存在的两个准则
)0(2212≠≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<−x x x x 22lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−→x x x .22lim 0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡→x x x A x f x f A x f x x ==⇔=+−→)()()(lim 000
x n ≥≥L 1x 2x n x 1+n x 12
1x x x =+>+=33学会用数学归纳法证明{x n }的单调性和有界性.
0lim 031>=∴>=≥∞→A x x x n n n Q
二、两个重要极限
证=x sin 21x 21x
tan 2
1
=△AOB 的面积＜＜△AOC 的面积( 利用准则Ⅰ′)
AC ××<121<××h 1211
sin lim .10=→x
x
x
)
2
0(tan sin π
<
<<<x x x x 1sin cos <<x x x )
2
0(π
<<x 取倒数得
x
x x cos 1sin 1<
<去乘不等式得x
.
1cos lim 0=+
→x x 下面证
，则若0)(lim =→
x x ϕ.1)()
(sin lim
=→x x x ϕϕ
证明思路:（分四步）
e
)11(lim .2=+∞→x
x x
1
+<n ])
[(x n =单调增加常数)1(>a
a x 单调增加
常数)
0,0(>>x x μμ
.
e )11(lim =+∞
→x
x x 得
A
x f x f A x f x x x ==⇔=+∞
→−∞
→∞
→)(lim )(lim )(lim
e
)1(lim 10
=+→x
x x 由复合函数求极限法则，可知，则若0)(lim =→
x x ϕ.
e )]
(1[lim )
(1=+→
x x x ϕϕ
3°可以证明：
，则若∞=→
)(lim x x ψ.e ])(11[lim )
(=+
→x x x ψψ
,)(lim 00
u x u x x =→若.
)]([lim 0
00)(v x v x x u x u =→则,)(lim 00v x v x x =→R)
,,0(000∈>v u u 21
1111lim 1lim =++=+++∞→+∞→x x x x x x .
e 2
1=原式
内容小结
1. 极限存在准则
2. 两个重要极限
1注
思考题
问：下列推导是否正确？解答：不正确.事实上，
1(1)
(1,2,)
n n x n +=−=L 不存在！
n n x ∞
→lim 注.
lim 存在一定要先确认n n x ∞
→)
,2,1(,1.111L =−==+n x x x n n 设
求极限
.)93(lim 1
n
n n n +∞
→解,
99lim =∞
→n =⋅∞
→n
n 29lim ,
919=⋅=备用题
例
1-1n
n 12lim 9∞
→)
(0
型∞2n
=+++∞
→n
n m
n
n
n a a a 121)
(lim L },
,,,max{21m a a a L ).
,,2,1(0m i a i L =>其中
n n x x 22−.
),3,2(0L =≤n )1a a +1=),3,2(L =n ，A x n =则a
A ≥)
,2,1(L =≥n a x n
1
因此
1
1
tan
lim
=
→x
x
x
1 arcsin
lim
0=
→x x
x
)
(
sin
lim
)
(=
→x x
xϕϕ
ϕ
1 )
(
,
)(lim 00u x u x x =→若.
)]
([lim 0
0)
(v x v x x u x u =→则,
)(lim 00
v x v x x =→R)
,,0(000∈>v u u。
