(整理)1-7极限存在准则 两个重要极限.

1.5 极限存在准则 两个重要极限

一、相关问题

1． 我国古代数学家刘徽（公元3世纪）割圆术（Cyclotomic method）：先依次求出圆的内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、……、正162n边形等一系列边数成倍增加的正多边形的面积123,,,,,nAAAA。分析这个数列具有哪些特性？具有这些特性的数列都收敛吗？

2. 一大学新生在银行存入1000元，复利率为每年%10，按连续复利结算计算10年后这位新同学在银行的存款有多少？

二、相关知识

1.如何应用单调有界准则证明极限存在？

2.单调有界准则和夹逼准则在使用上有何区别？

三、练习题

1. 设1110,6(1,2,)nnxxxn，试证明数列nx收敛，并求此极限.

2. 1lim1nnn. 3. lim2sin2nnn.

4. 0limcot5xxx. 5. 123lim21xxxx.

6. 证明222111lim112nnnnn.

四、思考题

1. 用Cauchy收敛准则讨论232111123nxn的收敛性.

2. 将相关知识中提到的数列验证其收敛性.

极限存在准则两个重要极限公式

首先，我们来介绍极限保号公式。设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。现在我们来证明极限保号公式：

假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。如果limx→a

f(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。

证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。所以有，L，≤M。

这就是极限保号公式的证明。

接下来我们来介绍夹逼准则。设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。 证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

我们取δ=min{δ1, δ2}，那么对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，

综上所述，对于任意的x∈(a-h,a+h)，我们都有，g(x)-L，

总结一下，极限存在准则是判断一个函数在其中一点上是否存在极限的重要工具。其中，极限保号公式用来判断函数的保号性质是否对极限的值也成立，夹逼准则用来判断函数在其中一点上的极限是否存在。这两个公式在数学分析中有着广泛的应用。

1 §1 6极限存在准则 两个重要极限

准则I

如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)ynxnzn(n1 2 3   )

(2)aynnlim aznnlim

那么数列{xn }的极限存在 且axnnlim

证明 因为aynnlim aznnlim 以根据数列极限的定义  0 N 10 当nN 1时

有

|y na|  又N 20 当nN 2时 有|z na|  现取Nmax{N 1 N 2} 则当 nN 时 有

|y na|  |z na|同时成立 即

ayna  az na 

同时成立 又因ynxnzn  所以当 nN 时 有

aynx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

简要证明 由条件(2)  0 N 0 当nN 时 有

|y na| 及|z na| 

即有 ayna  az na 

由条件(1) 有

ay nx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1) g(x)f(x)h(x)

(2) lim g(x)A lim h(x)A

那么lim f(x)存在 且lim f(x)A

注 如果上述极限过程是xx0 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义 上述极限过程是x 要求函数当|x|M时有定义

准则1：若数列}{nx、}{ny、}{nz满足以下条件：

（i） Nn0，当0nn时，有nnnzyx；

（ii）aynnlim，aznnlim。

那么数列}{nx极限存在，且axnnlim。

证明：因为azynnnnlimlim，所以对0,01N，当1Nn时，有ayn，即

ayan，对2N，当2Nn时，有azn，即azan，又因为nnnzxy，所以当},{21NNMaxNn时，有azxyannn，

即有：axan，即axn，所以 axnnlim。

准则1′如果函数)(),(),(xhxgxf满足下列条件：

（i）当))(,(0MxrxUx时，有)()()(xhxfxg。

（ii）当)(0xxx时，有AxhAxg)(,)(。

那么当)(0xxx时，)(xf的极限存在，且等于A。

第一个重要极限：1sinlim0xxx

作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：1sinlim0xxx。

证明：作单位圆，如下图：

设x为圆心角AOB，并设20x见图不难发现：AODAOBAOBSSS扇形，即：xxxtan2121sin21，即 xxxtansin， 1sincoscos1sin1xxxxxx

（因为20x，所以上不等式不改变方向，若02x，不等式也成立）

当x改变符号时，xxxsin,cos及1的值均不变，故对满足20x的一切 x，有1sincosxxx。

又因为21421)2(sin21)cos1(1cos222xxxxx，所以

1coslim1cos2102xxxx