第1-6讲 极限4(两个重要极限)

单元教学设计

课题名称 学时数 课程类型

两个重要极限 2 理论课

教学内容及学情分析 本节课学习两个重要极限，通过对函数变化趋势的观察，确定重要极限的极限值。同时要对重要极限的形式进行分析，注意它们的使用前提。

教学目标 知识目标 1.掌握两个重要极限；

2.掌握第二个重要极限的两种形式。

能力目标 1.会用重要极限计算函数的极限；

2.能够对函数的形式进行适当的变形，了解重要极限的结构特点。

素质目标 1.通过启发、诱导，让学生明确两个重要极限的研究过程和研究方法，培养学生分析、归纳、猜想、概括、论证等逻辑思维能力；

2.训练学生严密的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度；

3.通过对两个重要极限的研究，揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。

教学过程

教学环节 时间

分配 教学内容 教学活动 教学

资源 覆盖目标

课程育人 5’ 哲学教学认识极限：无限与有限、变与不变、量变和质变 师生共同讨论，说出自己的观点和看法 视频

多媒体课件 素质目标

2,3

导入新课 10’ 等价无穷小中出现的当0x

时sinxx，以此来引出第一个重要极限 在等价无穷小的基础上，引出第一个重要极限，便于学生接受和理解 多媒体课件 素质目标1 讲授新课 40’ 1.第一个重要极限

形式介绍、结构特点，如何应用；

2.第二个重要极限

两种形式、结构特点，如何应用

3.第二个重要极限是呈1的形状 1.学习第一个重要极限，可以用Mathematica软件做出函数的图形，以此观察在0x时函数值的变化趋势；

2.第一个重要极限的讲授同样可以借助软件来作图，同时说明第二个重要极限的两种形式，第二个重要极限是针对幂指函数求极限的 数学

软件

多媒体课件 知识目标

1,2

素质目标

1,2,3

学生互动 25’ 1.利用两个极限作计算；

2.在计算过程中，不断加深对两个重要极限的理解 学生在黑板上演练

教师之后进行点评

再次领会极限的真正含义，是无限接近，永远也达不到的状态。 黑板 能力目标

1 §1 6极限存在准则 两个重要极限

准则I

如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)ynxnzn(n1 2 3   )

(2)aynnlim aznnlim

那么数列{xn }的极限存在 且axnnlim

证明 因为aynnlim aznnlim 以根据数列极限的定义  0 N 10 当nN 1时

有

|y na|  又N 20 当nN 2时 有|z na|  现取Nmax{N 1 N 2} 则当 nN 时 有

|y na|  |z na|同时成立 即

ayna  az na 

同时成立 又因ynxnzn  所以当 nN 时 有

aynx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

简要证明 由条件(2)  0 N 0 当nN 时 有

|y na| 及|z na| 

即有 ayna  az na 

由条件(1) 有

ay nx nz na 

即 |x na| 

这就证明了axnnlim

准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1) g(x)f(x)h(x)

(2) lim g(x)A lim h(x)A

那么lim f(x)存在 且lim f(x)A

注 如果上述极限过程是xx0 要求函数在x0的某一去心邻域内有定义 上述极限过程是x 要求函数当|x|M时有定义

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第六讲 两个重要极限

无穷小量的比较

一、回顾上一讲的内容

1.极限的运算法则；

2.极限准则.

二、本节教学内容：

1、无穷小的比较；

2. 两个重要极限；

[教学目的与要求]

1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；

2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小.

[教学重点与难点]

无穷小比较阶的概念，两个重要极限的应用

§1.6 极限存在准则、两个重要极限（下）

一、0sinlim1xxx

利用准则Ⅰ可以证明下面的第一重要极限：1sinlim0xxx.

证 先证1sinlim0xxx. word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

由于0x，不妨设02x.作单位圆并设圆心角xAOB

则 AOBAODAOBSSS扇形

∵ xBCOASAOBsin2121， xxOAOAABOASAOD212121扇形，

11tan22AODSOAADx，

∴ tgxxx2121sin21，即 sintanxxx， 从而有

11sincosxxx或sincos1xxx.

∵ 22201cos2sin20(0)222xxxxx，，

∴ 1coslim0xx∴ 1sinlim0xxx

又 1sinlimsinlim00tttxxxtx ∴ 1sinlim0xxx.

一般有公式： 1)()(sinlim0)(xxx （表面特性[]sin[]，本质特性“”00）

例1 0tanlimxxx1)cos1sin(lim0xxxx.

例2 0tansinlimxxx1)sinsinsin(lim0xxxxtgx.

例3 20cos1limxxx2202sin2limxxx2122sinlim2120xxx.

函数两个重要极限公式

函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。