第九章地球自转基础理论

第九章地球自转基础理论地球在空间不是一个自由运动的星体，太阳和月亮的引力对它的运动有显著的影响。

地球的运动主要为地球质心在万有引力作用下绕太阳的平动和地球在外力矩作用下的自转运动。

长期观测表明，地球的转动是很复杂的，它不仅受到力学定律的制约，而且地球的形状（如隆起的赤道）、内部构造（地慢、地核）、物质的分布、运动和变化等都会引起地球转动速度和自转轴方向的微小变化。

通常，对地球自转运动的研究集中在三个方面：岁差和章动；极移；日长变化。

空间大地测量的发展，对地面点三维坐标的精确性和可靠性要求越来越高。

点位坐标必须处于一个与地球有某种确定联系的参考系或坐标系才有意义。

任何一种坐标系都要涉及定向问题，而定向的实质就是探讨地球转动轴的运动。

在研究地球的转动时，通常涉及地球的三轴，即瞬时自转轴，形状轴和角动量轴。

三轴的运动和地球模型的假设有关，也就是说，本质上是描述在某种地球模型中三轴的运动，即进动、章动和极移以及转动角速度的变化。

§9. 1 地球转动的三轴地球转动的三轴，指的是瞬时自转轴ω，形状轴F，角动量轴H 。

瞬时自转轴ω：地球环绕通过地球质心的一根轴线转动，这根轴线称为自转轴或旋转轴。

由于自转轴在空间和相对地球本体，其旋轴角速度（矢量）ω在大小和方向上都是变化的，所以称其为瞬时自转轴。

形状轴F ：地球是一个旋转椭球体，对于刚性地球，根据理论力学，惯量椭球的短轴方向上的转动惯量最大，习惯上用C 表示。

因此，当惯量椭球中心和地球质心重合时，定义沿地球惯量椭球短轴方向的主中心惯性轴，称为形状轴F 。

角动量轴H ：定义通过刚体质心的动量矩矢量H为动量矩轴或角动量轴。

对于刚性地球，当取主中心惯性轴时，三轴的矢量表达式可写为：112233300,,A F H B f C ωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（9-1）根据理论力学，物体自由转动时，三轴的方向都不重合。

对于刚体地球自转，三轴的关系通常可用刚体地球自转的潘索图解来表示，见图9-1所示。

ω绕F 旋进，其轨迹为一小锥面；同时，ω还绕H 旋进，其轨迹为一更小的锥面。

但三辐是共面的。

因为三轴共面的充要条件可写为()0F Hω⨯⋅=，只要将（9-1)式代入，即可证明三轴是共面的，也就是说三轴与刚体地球的交点必在一个大椭圆上。

对于刚体地球和取主中心惯性轴的情况下，三轴的模和方向余弦可表为（此时形状轴即．为坐标轴之一）：瞬时自转轴：ω=312cos ,cos ,cos ωωωαβγωωω=== （9-3） 式中,γ为瞬时自转轴与形状轴之间夹角。

形状轴：3F f = (9-4)cos 0,cos 0,cos 1F F F αβγ===角动量轴：H = (9-6)312cos ,cos ,cos H H H C A B H H Hωωωαβγ=== (9-7)此外，对于ω和H 之间的夹角，可由下式计算：22cos(,)H ω=（9-8)观测表明，ω与F 的偏离约0.3"以内，ω与H 的偏离只有约千分之几秒。

§9.2 刚体地球自转运动把地球视为刚体，即视地球的形状和大小无变化，地球体内任意两质点间的距离也无变化。

为研究刚体地球在空间的整体运动，包括地球的自转运动，必须建立两个基本参考架或坐标系。

例如，我们选取一个空固坐标系，即协议惯性系CIS ，原点选在地球质心O ,第三轴OZ 的正向与地球平均自转轴的右手螺旋方向一致，OZ 指向某一射电源, OY 的选取使得O-XYZ 构成右手直角坐标系（见图9-2）。

另选取一个地固坐标系，取通过地球质心O 的惯量主轴坐标系为地固坐标系。

三个轴的主转动惯量分别为A,B 和C ，且A=B<C 。

该地固坐标系的第三轴Oz 的正向取主中心惯性轴方向。

Ox 指向首子午圈方向，勿的选取使得O-xyz 构成右手直角坐标系。

显然，地固坐标系是与刚体地球固连在一起且随其转动的。

设地固坐标系与空固坐标系三个轴间的夹角为,θφ和ϕ见图9-2)。

这样，只要我们能获得任意瞬间这三个角（称为欧拉角）的变率,,θφϕggg，就能得知地球自转运动的信息，由理论力学知，图中φ角称为进动角,θ称为章动角，ϕ称为自转角。

地球以一定的角速度绕自转轴旋转，设其瞬时自转角速度为123(,,)ωωωωu r，其在地固坐标系中的三个方向余弦即(9-3)式312cos ,cos ,cos ωωωαβγωωω===式中ω=ωu r的方向就是瞬时自转轴，它确定了瞬时自转轴相对于地固坐标系的位置和运动。

若同瞬时三个欧拉角的变率(,,)θφϕggg已知，那么也就确定了地球相对于空固坐标系的位置和运动。

地球自转角速度ωu r 在O-xyz 二坐标系中可以其分量形式表示，即123)i j k ωωωω=++u r r r r。

同时，考虑到三个欧拉角的变率分别在O-xyz 三个坐标轴上的分量和（利用投影定理），便可得到以,,θφϕg g g表示的地球自转角速度公式123cos sin sin sin sin cos cos ωθϕφθϕωθϕφθϕωφθϕ⎫=--⎪⎪=--⎬⎪=+⎪⎭g ggggg（9-9） 上式称为刚体地球自转的欧拉运动学方程。

该式的逆解为：12123sin sin cos cos sin cos φθωϕωϕθωϕωϕϕωφθ⎫=--⎪⎪=-+⎬⎪=-⎪⎭gg gg（9-10）根据理论力学中的动量矩定理有：d H L dt=u u rur (9-11)式中，d Hdtu u r称为刚体绕其质心旋转的角动量变率；L u r 为外力矩。

以角速度ωu r 相对于空固坐标系旋转的地固坐标系，其动力学方程为：d H H L dtω+⨯=u u rur u u r u r (9-12) 式中角动量H 的张量式为：H I ω=u u r u r（9-13） 111213212231323323I I I I I I I I I I ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（9-14）I称为二阶对称惯性张量。

对与刚体地球固连的地固坐标系，惯性张量不随时间变化。

当对坐标轴作适当选择（以三个惯量主轴为坐标轴），则0()ij I i j =≠，且112233,I I A I C ===。

这样根据(9-6)式和（9-5）式，则有：123H A i A j C k ωωω=++u u r r r r（9-15）11212323123300000A ijk L d A L dt C A A C L ωωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（9-16）将上式展开后可有：1231231233()()A C A L A C A L C L ωωωωωωω⎫+-=⎪⎪+-=⎬⎪=⎪⎭ggg(9-17)上式即为刚体地球自转的欧拉动力学方程。

原则上由欧拉运动学方程和动力学方程，即(9-9)和(9-17)两式便可得知欧拉角变化,,θφϕggg和和时间t 的关系，也就是能得到地球自转运动状态的信息。

下面我们具体研究两种情况。

若在欧拉方程中令0L =u r，即忽略外力，刚体地球处于惯性运动，则（9-17）式可为：1232313()0()00A C A A C A C ωωωωωωω⎫+-=⎪⎪+-=⎬⎪=⎪⎭gg g（9-18）上式第三式表明3ω为常数，由第一和二式我们可得到：2213120()A C A ωωω+=-g （9-19） 这是一个常系数二阶线性微分方程（谐振动方程），其通解为：1cos()P t q ωσ=+ （9-20)2sin()P t q ωσ=+ （9-21）(9-20)和(9-21)式中的p q 、均为积分常数，3C AAσω-=称为欧拉角频率。

因3ω==Ω常数顾及（9-20）和（9-21）式，显然ω=常数 (9-22)由此可有2223p ωω=- （9-23）顾及（9-3)式中第三式，则222sin p ωγ=sin p ωγ= （9-24）将其代人（9-20)和（9-21)式，顾及（9-3）则有：cos sin cos()cos sin sin()t q t q αγσβγσ=+⎫⎬=+⎭（9-25）若以地球极半径为长度单位，由方向余弦与坐标的关系可得：cos sin cos()cos sin sin()x t q y t q αγσβγσ==+⎫⎬==+⎭（9-26）这显然是一个圆方程。

从（9-22)和(9-26)式可得出刚体地球在无外力影响下的自转运动特性： (1)刚体地球自转角速度为常数；(2)刚体地球瞬时自转轴以sin γ为半径绕oz 轴作圆周运动，即绕地固坐标系(CTS)的主惯量轴z(称为形状轴）作圆周运动。

这种运动称为刚体地球的自由摆动（欧拉摆动），其周期为22A T C A πσπΩ==⋅-。

约为306个恒星日。

称为欧拉周期。

这就是欧拉所预言的地极移动的周期。

实际上地球是非刚体，地球的形状和大小以及内部质量都在不断变化，因此地球自转角速度不为常数，地极移动也十分复杂。

实际上，由于日、月引力的作用，欧拉方程中0L ≠u r。

设外力的力函数为U由理论力学知，刚体地球的转动动能为：2221231(2T A B C ωωω=++) (9-27） 考虑到U 与T 之比小于71.510-⨯，因此，可将外力影响地球自转看作为一种摄动，根据摄动理论，以欧拉角,,θφϕ为广义坐标的拉格朗日方程可表为：d T T U dt d T T U dt d T T U dt θθθφφφϕϕϕ⎫⎛⎫∂∂∂⎪-= ⎪⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎛⎫∂∂∂⎪ ⎪-=⎬∂∂ ⎪⎪∂⎝⎭⎪⎛⎫⎪∂∂∂ ⎪⎪-=∂∂ ⎪⎪∂⎝⎭⎭g g g (9-28)将(9-9)式代人(9-27)式（注意：A ＝B)，于是可有：2222(sin )(cos )TA C θφθϕφθ∂=+++gg g g（9-29）我们按（9-28）式求出各项：2sin cos (cos )T A C φθθϕφθφ∂=+-∂gg ggTA θθ∂=∂gg0Tφ∂=∂2sin cos sin (cos )T A C φθθφθϕφθθ∂=+-∂g g g g 0Tϕ∂=∂g0Tϕ∂=∂ 将以上各项代人（9-28）式，有：22sin 2sin cos sin cos (cos sin )sin cos sin 0A A C U C U A A C Uφθθφθθωθθθϕφθθφθφθφθθωφθθϕ⎫+-⎪⎪∂--+=⎪∂⎪⎬∂-+=⎪∂⎪⎪∂=⎪∂⎭g g g gg g g g g g g （9-30） 由于,θφg g很小，故可略去二次项，则上式可简化为1sin 1sin U C U C θωθφφωθθ∂⎫=-⎪∂⎪⎬∂⎪=⎪∂⎭gg （9-31）此式给出了形状轴在空固坐标系中的运动。