数形结合思想在函数方程与不等式中的简单应用(一)

解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(&#0)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。

数形结合在解题中的应用摘要：数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化.本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力.关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problem solving application（Mathematics and statistics of Jishou University College，Jishou Hunan 416000）Abstract: The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation,inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extreme1引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣.数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程.2数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题.2.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力.3数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法.3.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形.3.1．1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.解用表示集合的元素，则有：即:所以：答：即同时参加数理化小组的有1人.图1例2 例若集合且,,试求与.分析利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合.解如图2，我们可得：.图23.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知，.（1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围.分析在数轴上标出集合、所含的元素的范围，利用、的位置关系确定参数的取值范围.解（1），利用数轴得到满足的不等式组，如图三，所以实数的取值范围是.图3（2）由知，利用数轴得到满足的不等式，，或，所以实数的取值范围是.图4从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.3.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合.3.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.例4[5] 当时，关于的方程的解的个数是多少？图5函数图像分析这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.解由于则令和如图5示我们把函数和的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即原方程解的个数是三个例5 当取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？分析用换元法，令，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.O图6解原方程即令.则有,再令及.则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数由图6可知当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.3.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解.例6.. 1个. 2个. 3个. 1个或2个或3个解出两个函数图象，由图7易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（）.图7例7 方程lgx+x=3的解所在区间为（）．(0，1)．(1，2)．(2，3)．(3，+∞)分析我们可以把原方程拆分成函数与，求原方程解所在的区间也就是求这2个函数的交点所在区间.y=-x+3y=lgx图8解如图8所示，函数y=lgx与y=-x+3它们图像交点的横坐标显然在区间(1，3)内，由此可排除，至于选还是选，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时 lgx=lg2 3-x=1．由于lg2＜1因此＞2 从而判定∈(2，3)，故本题应选在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便.3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.3.3．1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合.例8 已知实数，请证明如下不等式成立.分析：我们可以构造一个四边形，在利用勾股定理来解.证明：如图9所示，作以,为上、下底，为高的直角梯形，在图中有.图9 直角梯形BCDE则根据勾股定理有又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明.例9 已知都是正数，且，求证：.分析要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明.证明如右图10所示，构造一个直角三角形，在边上取一点，并且使得，过点作，垂足为令.由于即图103.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。

⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。

⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。

⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。

利用数形结合思想解决数学问题摘要：数形结合思想作为一种将代数知识与几何知识紧密结合起来的思想被学生广泛的应用到数学解题中。

本文围绕数形结合思想应用于初中数学解题中的有效方法进行分析，以期为其他同学运用数形结合思想成功解题提供参考和帮助。

关键词：数形结合初中数学数学思想数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想。

在近几年中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。

数学中的数量关系很多都可以用直观的图像来表示，所有图形当中也都包含了一定程度的数量关系，“数”与“形”都是组成数学的重要基础。

因此，将“数”“形”结合起来更能全面直观的解决数学问题，数形结合是一种重要的解题思想，主要方法是将“数”与“形”联系在一起，以数解形，以形助数。

在《义务教育数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.”所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的。

一、以形助数，化难为易。

“形”具有直观、形象等优点，同时能简便的表达复杂的思维，能将枯燥的数学理论趣味化，能将算理变清晰，能把复杂的数学问题变得简单化，但数学图形在平面几何中，要画出想要的图形则必须借助数值的变化和计算，因而要真正的认识形的变化，必须联系到数中来认识形，借助数理，找出图形中所包含的相应的数量关系，即用数学的方法放在图形上去解决几何问题，特别是对于题型比较复杂的“形”，我们不仅要能正确的把图形进行数字化，同时还必须要仔细的观察图形的结构特点，找出所给题目中隐含的已知条件，利用好题目中数与形之间的关系，把“形的问题”正确的转化为“数的问题”，具体的把图形的位置关系转化为数量关系，再对所得的数进行分析和计算，达到解决图形问题的目的。

中考数学专题 数形结合知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外,由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2a ab +-=_________．【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a 〈0，b>0且a <b ．∴2a a =-，a b b a -=-．【解】()22a a b a b a a b +-=-+-=-+【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根．【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需8+6（n －1）=(6n+2)根火柴棒． 【解】6n+2二、在方程、不等式中的应用【例3】 （08聊城）已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．【分析】解不等式组得解集为2x ax >⎧⎨<⎩，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a 应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l ≤a <0．【解】 1≤n 〈0【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示)，则所解的二元一次方程组是（）A．203210x yx y+-=⎧⎨--=⎩B．2103210x yx y--=⎧⎨--=⎩C．2103250x yx y--=⎧⎨+-=⎩D．20210x yx y+-=⎧⎨--=⎩【分析】根据图象我们可以知道这个方程组的解为11xy=⎧⎨=⎩,只要将解进行代入检验即可．【解】D【例5】已知二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程a x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k〉3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定【分析】如果根据b2－4a c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为a x2+bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题，即2y ax bx cy k⎧=++⎨=⎩，由图象可知只要y=k〈3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C．【解】C三、在函数中的应用【例6】(08安徽)如图为二次函数y=a x2+bx+c的图象，在下列说法中：①a c<0 ②方程a x2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上）【分析】由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点,与y轴交于负半轴，则a>0，c〈0；由对称性知对称轴x=1,所以结论①②④正确．【解】①②④【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，同时,运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势，否则就会出现失误， (1）求这条抛物线的解析式；（2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【分析】（1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0,0),入水点（2,－10),最高点的纵点标为23． （2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误， 就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x =-=时, 该运动员距水面高度与5米的关系．【解】(1）在给定的直角坐标系下,设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y=a x 2+bx+c ，由图可知，O ，B 两点的坐标依次为（0，0)(2，－10），且顶点A 的纵坐标为23,则2042104243c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=-⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得2561030a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a ->．又抛物线开口向下，∴256a =-,103b =,c=0，∴2251063y x x =-+．（2）当运动员在空中距池边距离为335米时,即383255x=-=时，63y=-，∴此时运动员距水面高为16410533-=<．因此，试跳会出现失误．四、在概率统计中的应用【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息;(2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．【分析】观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角,分别为15003601085000⨯︒=︒，500360365000⨯︒=︒,建议可从不足的方面提出．【解】(1）参加调查的人数为5000人；（2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．(3）如：建议改进第二版的内容,提高文章质量，内容更贴近生活,形式更活泼些．综合训练1．“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P 所表示的数是2"，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )A ．代入法B ．数形结合C ．换元法D ．分类讨论2．（08大连）如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 （ ）A ．5℃B ．7℃C ．12℃D ．－12℃3．某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元,此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元）与通话时间（分)之间的关系的图象正确的是（ ）4．若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数ky x=(k<0）的图象上，则y 1，y 2,y 3的大小关系为（ ）A ．y 2>y 3>y 1B ．y 2〉y 1>y 3C ．y 3>y 1〉y 2D ．y 3〉y 2〉y 15．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限( )6．(08临沂）若不等式组302741x a x x +<⎧⎨+>-⎩的解集为x 〈0，则a 的取值范围为 ( ）A ．a 〉0B ．a =0C ．a >4D ．a =47．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x 2－x+m （m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时，y<0;那么x=a －1时,函数值（ )下面是福娃们的讨论,请你解答该题．贝贝:我注意到当x=0时，y=m〉0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=1 2欢欢：我判断出x1<a〈x2．迎迎:我认为关键要判断a－1的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．A．y<0 B．0<y<m C．y〉m D．y=m8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°,OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是_________和_________．9．在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．10．（08绍兴）如图，已知函数y=x+b和y=a x+3的图象交点为P,则不等式x+b>a x+3的解集为__________．11．方程组211y xy x=-⎧⎨=--⎩的解是__________．12．（08广州)如图，为实数a 、b 在数轴上的位置，化简()222a b a b ---．13．(02南京）（1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b,A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点，如图1，AB OB b a b ===-； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图2,点A 、B 都在原点的右边AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-; ②如图3，点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； ③如图4,点A 、B 在原点的两边，()AB OB OA a b a b a b =+=+=+-=-．(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_________，如果2AB =，那么x 为__________; ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是____________．14．(08苏州）某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．根据上述信息,回答下列问题：(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．（2）该厂一月份产量占第一季度总产量的_______％．(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程)15．(08恩施）如图所示,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5,DE=1，BD=8；设CD=x ．（1)用含x 的代数式表示AC+CE 的长；(2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？(3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式()224129x x ++-+的最小值．16．如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0)、B （3,0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

函数中的数形结合思想“数少形时缺直观，形少数时难入微”，它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系；数形结合思想是重要的数学思想，它是分析问题的思路基础. 因此，每年高考一定会重点考查，本文主要谈一下函数中的数形结合思想.一、函数中的由数到形由数到形是函数中数形结合的第一步，面对一个函数可以思考到其图形的特征，并能抓住这个特征进行深入分析，只有如此，才可能在函数中应用到数形结合思想.例1．设a＜b，函数y=（x-a）2（x-b）的图像可能是（）解析：看看函数式，可以发现x→+∞时，y→+∞，再看图形特征，立即排除A、B；再看a<x<b时，y<0，再看图形，排除D，于是选C.点评：本题将函数式的特征与图形特征对照分析，很快排除了干扰支，产生正确结论.例2．函数y=的图像大致为（）解析：首先由函数的定义域可得ex≠e-x?圯x≠-x?圯x ≠0，看看图形，立即排除C、D.再由y′==-<0，即函数递减，选A.点评：本题若是想先作出图形，再对照选项选出结论的话，可能永远无法达到目的，由数到形，为我们求解此类问题开辟新的通道.二、初等函数图形的应用初等函数是我们接触到最为基础的函数，也是最为重要的函数，高考对其考查也相当频繁，因此，掌握初等函数的图形应用是在函数中应用数形结合思想的重要基础.例3．当a>1时，函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数（）A．可能是0个、1个或2个B．只可能是2个C．只可能是0个D．可以是3个解析：假定y=ax与y=x相切于（x0，y0），则切线方程为y-a=a（lna）&#8226;（x-x0），因为过原点，得x0=，而x0=y0=a，所以=a，从而a=e，那么：（1）若a>e时，y=ax与y=x没有交点，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为0；（2）若a=e时，y=ax与y=x相切，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为1；（3）若1于是，正确的答案为A.点评：本题凭主观易错选答案C，当我们对图形能够深入的分析以后会发现真正的正确答案却是A.例4．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x-1，则有（）Ａ．f（）< f（）< f（）Ｂ．f（）< f（）< f（）Ｃ．f（）< f（）< f（）Ｄ．f（）< f（）< f（）解析：建立在x≥1时，f（x）=3x-1，且f（x）的图像关于直线x=1对称的基础上可得f（x）的图像如右.欲比较f（），f（），f（）大小，主要看，，与对称轴的距离，易得f（）< f（）< f（），选B.点评：本题借助图像会很轻松地产生结论，倘若没有图像，可能要在“黑暗”中摸索更长一段时间.三、抽象函数图形的应用只有函数符号而没有具体函数式的函数，我们称为抽象函数.对于抽象函数，我们要根据所给出的条件对其图形进行分析、判断，可以发现图形的特征，并利用这些特征.例5．设f ′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f ′（x）的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）解析：由于y=f（x）的单调性决定了f ′（x）是否大小零，可以看出A有可能正确，其中直线是y=f ′（x）的图像；B、C都有可能正确，x轴上方的是y=f ′（x）的图像；D不可能正确，故选D.点评：本题要将函数与其对应的图像性质紧密结合在一起，通过函数与导函数图像之间的关系产生结论.例6．若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f （x-1）与f -1 （x-1）的图像可能是（）解析：由于f（x）与f -1（x）的图像关于y=x对称，而f （x-1）与f -1 （x-1）的图像是分别将f（x）与f -1（x）的图像向右平移一个单位而得到，显然，对称性不改变，观察选项知正确答案为C.点评：“数”与“形”的关系是十分微妙的，本题如果你追求先作出图形再产生结论的话，此题你将永远无法完成.通过“数”的关系，产生“形”的关系，再利用“形”的关系产生结论，“数”与“形”的转化非常完美.四、函数图形性质的应用函数的图像性质主要指单调性、奇偶性、对称性及图形的平移换等.这些性质是函数的重要性质也是各类考试经常命题考查的性质，因此，我们必须能够将这些性质灵活应用.例7．已知函数f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，xf（a），则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-1）∪（2，+∞）B．（-1，2）C．（-2，1）D．（-∞，-2）∪（1，+∞）解析：作出f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，x<0的图像，如下图：由图像可知f（x）在定义域内是增函数于是，由f（2-a2）>f（a），得2-a2>a?圯-2点评：本题通过图形，立即发现函数是增函数，从而将函数值的不等关系转化为二次不等式，方便、快捷地产生了结论.例8．把函数f（x）=x3-3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（）A．2B．4C．6D．8解析：设曲线C2的解析式为y=（x-u）3-3（x-u）-v则方程（x-u）3-3（x-u）-v=x3-3x，即3ux2（u3-3u+v）≤0，即v≥-u3+3u对任意u>0恒成立，于是v≥-u3+3u的最大值，令g（u）=-u3+3u（u>0），则g（u）=-u2+3=-（u-2）（u+2）. 由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，所以当u=2时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4.点评：本题通过函数的单调性，顺利产生函灵敏的最大值，结合最大值产生结论.函数性质的利用为求解辅平了道路.五、注重函数图形的变换函数图形的对称变换、平移变换等，是函数图形变换的常用技法.有些函数问题的求解，其重心就在于图形的这些变换，抓到了，可求.否则，望题兴叹.例9．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2＝（）A．B．3C．D． 4解析：由２x+2x=5?圯2x-1=-x，令y1=2x-1，y2=-x，则x1是两函数图像交点的横坐标.又由2x+2log2（x-1）=5?圯log2（x-1）=-x，再令y3=log2（x-1），则x2两函数y1，y3图像交点的横坐标.由于y1=2x-1与y3=log2（x-1）的图像关于y=x-1对称，结合图像，易知x1+x2=2x0，联立y=x-1与y=-x得2x0=，选C.点评：本题不仅要会画图，更重要的是善于分析图形的关系，若你能得到两个图像关于对称，结论也就基本产生了.例10．设函数f0（x）=x，f1（x）=f0（x）-1，f2（x）=f1（x）-2，则函数y=f2（x）的图像与x轴所围成的图形中的封闭部分的面积为.解析：若想一下子作出y=f2（x）的图像很不容易，当我们了解了y=f（x）及y=f（x）的图像之间的关系以后按照顺序f0（x）=x→y= f0（x）-1→f1（x）=f0（x）-1→f0（x）=x →y=f0（x）-1→f1（x）=f0（x）-1→y=f1（x）-2→f2（x）=f1（x）-2作图形变换，就容易作出y= f2（x）的图像.易得答案为7.点评：本题又是如何利用图形的呢？只须按要求一步一步地进行变换，很快就可以得到了图形，有了图形再产生结论，真是易如反掌.六、合理构造，巧妙应用图形不是说每一题的图形都是十分清楚的，很多时候是要根据题中的条件进行构造，当构造成功时，结论自然也就产生了.例11．若f（x）是奇函数，且在（-∞，０）上是增函数，又f（－２）＝０，则满足（x+1）f（x-1）>0的x范围为.解析：注意到奇函数，同时注意到在（-∞，０）上是增函数，又f（－２）＝０，于是，构造一个草图，结合草图转化不等式.由（x+1）f（x-1）>0?圯x+1>0，f（x-1）>0或x+1-1，-22或x2，即x的范围为{x|x2}.点评：本题的求解草图提供了很大帮助，草图是如何构造的呢？奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，这是我们必须知道的.例12．函数f（x）=-的最大值为.解析：对已知函数进行变形，得f（x）=-可以构造为动点（x，x2）到两定点（3，2），（0，1）的距离之差，由于动点（x，x2）的轨迹为抛物线y=x2，如图易得连结（3，2），（0，1）并延长交抛物线于点A，此时，两点（3，2），（0，1）之间的距离，即为所求的最大值，其值为.点评：本题的构造构造难度较大、灵活性也较大，当完成这种构造之后，结论也就差不多产生了，当然，没有这种构造想产生结论真的相当难.七、数形结合的隐性应用数形结合的高级阶段是数形结合的隐性应用，整个求解过程并未看见图形在哪里？但结论的产生还真的离不开图形.例13．若x∈[0，1]时，22x-7解析：由22x-7设f（x）=x&#8226;lg+lg，由x∈[0，1]时，f（x）<0恒成立得：f（1）<0，f（0）<0?圯lg+lg<0，lg<0?圯lg<0，01，0点评：建立在f（x）<0恒成立的基础上，如何能产生f（1）<0，f（0）<0呢？是抓住了线段的特点，利用了线段的这一特点促使结论产生.例14．设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意[0，1]的上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（Ⅰ）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1<x2，若f （x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；(Ⅱ)对给定的r（0<r<0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2-x1≥2r，使得由(Ⅰ)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；(Ⅲ)选取x1，x2∈（0，1），x1<x2，由(Ⅰ)可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).解析：（I）当f（x1）≥f（x2）时，假设x*?埸（0，x2），则x1f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.同理可证：当f（x1）≤f（x2）时，（x1，1）是含峰区间.（II）当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1=x2；当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1-x1；由题意得x2≤0.5+r，1-x1≤0.5+r，于是1+x2-x1≤1+2r，即x2-x1≤2r.又x2-x1≥2r，所以x2-x1=2r，那么x1=0.5-r，x2=0.5+r.显然，存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.（III）对先选择的x1，x2，x1<x2，由（II）可知x1+x2=1.在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，x3的取值应满足x3+x1=x2，x2=1-x1，x3=1-2x1，当x1>x3时，含峰区间的长度为x1；由条件x1-x3≥0.02，得x1≥0.34. 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1=0.34，x2=0.66，x3=0.32.点评：本题设计的是一道研究性实验题，求解过程中始终将函数的图形联系在一起，为了缩短含峰区间的长度，始终要注意到“峰”的位置，必须注意函数图形的隐形应用.没有数形结合，就不可能产生本题中的三个结果.数形结合思想作为数学中的重要思想方法在函数中的体现远非就这么一点，这里只是起到“点睛”作用，更丰富、更精彩的应用还待同学们留心观察和总结.（作者单位：中山市第一中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。

近几年论述数形结合思想的国外论文
数形结合思想是指在解决数学问题中有效地利用数与形之间的关系来进行转化，进而更好地解决实际问题。

同时，数形结合思想也是通过几何图形的性质来解决抽象的数学问题的重要方法。

由此可知，数形结合思想实际是将抽象问题具体化，培养学生的数学思维，进而将复杂问题简单化，从而有效地解决数学难题.下面结合自己的教学实践谈点体会。

一、数形结合思想的表现形式
在初中数学教学中渗透数形结合思想是有效解决数学难题的重要途径.所谓数形结合思想，正是“以形助数”以及“以数解形”的思想来源.通过这一方法的运用，能有效地将复杂问题简单化，将抽象问题具体化，从而达到简化解题步骤的目的。

数形思想的内容主要反映在如下方面:
（1）针对各类方程、不等式以及函数模型,数形结合思想主要体现在建立适合的相关的代数模型。

(2）针对函数图象，数形结合思想主要体现在建立几何模型，以此来解决有关的方程以及函数的问题。

(3）运用数形结合思想解决与函数相关的代数、几何相结合的综合性问题，
(4)针对信息应用类的问题，以图象形式呈现信息等相关问题。

22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合　初中数学　应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。

二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。

数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。

谈数形结合思想在解题中的应用数形结合是数学中一种重要的思想方法，形是数的翅膀，数是形的灵魂。

华罗庚先生曾指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。

数量关系借助几何图形可以使许多抽象问题变得直观形象，有利于解题思路的扩展，而有些涉及几何图形的问题如能借助数的辅助，转化为数量关系，则可获得简洁的解法，因此，数与形二者相结合便能优势互补，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

下面就几种常见的应用谈谈自己的体会。

1. 将数的问题转化为形的问题例1 已知：0求证： a2+b2+ （1-a）2+b2+ a2+（1-b）2+（1-a）2+（1-b）2≥22 。

分析一：该题若单纯地看作一个代数不等式问题，是一个很复杂的不等式证明问题，整体把握不等式左端的结构特点，可以联想到勾股定理和四条线段的长度， 2 可以联想到边为1的正方形的对角线长，不难找到下面的简单证明方法：证明：构造以1为边长的正方形如图（1）所示，则o1a= a2+（1-b）2；o1b= （1-a）2+b2；o1c=（1-a）2+（1-b）2 ；o1d=a2+b2 ；ac=bd=2 。

∵o1a+o1b+o1c+o1d=（o1a+o1c）+（o1b+o1d）≥ac+bd=2 2 （当且仅当点o，o1重合时，等号成立）∴结论成立。

分析二：该题也可以联想到两点间的距离公式，构造点的坐标，用解析几何简单地证明。

证明：在坐标系内，设o（0，0），m（1，0），n（1，1），p（0，1），q（a，b），如图（2）所示：则：|oq|= a2+b2 |mq|= （1-a）2+b2|pq|= a2+（1-b）2 |nq|= （1-a）2+（1-b）2左边=|oq|+|mq|+|pq|+|nq|=（|oq|+|nq|）+（|pq|+|mq|）=≥|on|+|pm|=2 2 =右边当q点与pm、on的交点重合时，“=”成立∴原不等式成立上面一题是一个不等式证明题，分别用平面几何和解析几何较简单地给予了证明。

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３ １６中职数学解题技巧之 结合中职数学解题技巧之 数 形 结合㊀㊀㊀ 以高教版教材为例Һ张泽润㊀（安徽亳州新能源学校，安徽㊀亳州㊀２３６７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解题教学一直都是中职数学教学的重中之重．在解题教学中渗透数学思想有利于增进学生对数学解题技巧的感悟，进一步提高学生审题㊁解题的效率．文章基于中职数学解题教学实际教情对应用数形结合思想传授学生解题技巧展开研究，在指出 数 形 定义㊁介绍数形结合思想的同时，结合高教版课程教学案例指出教师可以从以形助数㊁以数解形㊁数形结合三个层面出发落实解题教学工作，希望为提升中职数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ中职数学；解题；数形结合；技巧中职数学解题教学中，教师应认识到 数 与 形 的教育价值，同时结合中职数学解题教学的根本需求合理设计解题教学方案，引导学生在以形助数㊁以数解形㊁数形结合的过程中体会化简问题㊁转换问题的方法，进一步丰富学生的解题技巧．一㊁ 数 与 形 的定义及数形结合思想的应用价值（一） 数 与 形 的定义数 是一种抽象的概念，用于表示长短㊁多少㊁高低等，本质上是一种度量符号．在数学研究中， 数 的定义十分广泛，包括整数㊁分数㊁小数㊁无理数㊁负数㊁用字母表示的数㊁方程㊁函数㊁代数等． 形 是一种直观概念，指的是可以看得见的图形．在数学研究中， 形 可以指代直线㊁圆㊁三角形㊁球㊁正方体㊁双曲线㊁正方形等多种可以用肉眼直接观察的图形．（二）数形结合思想的应用价值数 与 形 相互依存，也可以相互转化．数形结合思想的应用价值主要体现在以下两方面：一方面，有助于加深学生对数学解题理论的理解．数学解题理论包括数学概念㊁数学性质㊁数学方法等多项内容．中职数学教学内容具有一定的抽象性，直接为学生讲解的话，无法使其在第一时间领会解题理论，会限制其解题能力的形成与发展．借助数形结合思想，教师可以用直观的图示将复杂㊁抽象的数学理论展示出来，增进学生对数学理论的理解，进一步提升学生的解题能力．另一方面，有利于提升学生数学解题思维的灵活性．中职数学解题教学涉及一些形式新颖㊁内容复杂的数学习题．常规思路无法快速㊁高效地解决此类问题，容易使学生产生负面的解题情绪．将数形结合思想用于中职数学解题教学中，有利于引导学生从 数 形 两个角度分析数学问题，让其在形转数㊁数转形的过程中开展一系列的思维活动，增强学生的思维灵活性，使学生总结出更多的解题技巧．二㊁ 数 形 结合解决中职数学问题的基本技巧（一）以形助数，加强直观，快速解决问题中职数学解题教学中的代数问题具有抽象性强㊁复杂程度高的特征．应用以数解数的方法可以解决大部分代数问题，但其解题过程复杂，错误率高．在解决代数问题时，教师可以指导学生应用以形助数的方法解决代数问题，将代数问题转化为直观㊁具体的图形简化问题，帮助学生快速确定解题思路，快速解决代数问题．１．用 形 助力集合问题求解，提高学生审题能力审题是解决数学问题的第一项程序，也是正确解题的关键．让学生掌握审题技巧可以极大程度地缩短学生的审题时间，从而提高学生的解题效率．集合问题看似抽象，但应用数形结合思想却可以快速提炼题目的主干信息，从而确定解题思路，加快解题步伐．解决集合问题时，教师可以指导学生根据题意绘制数轴图㊁文氏图等多种图形，让学生在绘图㊁看图的过程中明确题目关键信息，确定问题求解思路，为高效解题奠定基础．以高教版 集合的运算 一课的解题教学为例，教师可以先应用多媒体课件呈现典型例题，再指导学生用以形助数的方式解决问题．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ １６例１㊀设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝，则Ａɘ（∁ＲＢ）＝（㊀㊀）．Ａ．（１，４）㊀Ｂ．（３，４）㊀Ｃ．（１，３）㊀Ｄ．（１，２）ɣ（３，４）这一问题的正确答案为Ｂ，主要考查学生对求不等式型集合的交㊁并集方法的掌握情况．在解决这一问题时，教师可以指导学生通过绘制数轴图的方式将复杂问题直观呈现出来，让学生在观察图形㊁分析图形的过程中确定正确答案．求解这一例题的思路如下：求出集合Ｂ中ｘ的取值范围，即Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ３｝；绘制数轴图，并根据计算求值结果在数轴图上画出ｘ的范围；接着，将求值结果代入原问题中，根据所求内容，推理出Ａɘ（∁ＲＢ）＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝ɘ｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３｝．这时，学生将这一步骤的计算结果同样表现在数轴图上，即可直观观察出问题答案为｛ｘ｜３＜ｘ＜４｝，最终得到正确答案．２．用 形 助力不等式问题求解，提高学生解题效率不等式问题是中职数学解题教学中的常见问题．很多学生在解不等式问题时习惯性地使用作差法㊁作比法等代数方法．然而，此类方法的计算量较大，对学生的运算能力要求较高．部分学生存在运算能力差㊁马虎的问题，得出的运算结果准确率不高，继而影响不等式问题的求解质量．为此，教师可以指导学生应用 形 解决不等式问题，让学生在直观看图的过程中比较大小，从而提高学生的解题效率．以高教版 一元二次不等式 一课的解题教学为例，有问题如下：例２㊀设函数ｆ（ｘ）＝１２æèçöø÷１＋ｘ，ｘɤ０，ｘ，ｘ＞０，ìîíïïïï若ｆ（ｘ０）＞１，则ｘ０的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．（－１，１）㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．（－１，＋ɕ）Ｃ．（－ɕ，－２）ɣ（０，＋ɕ）Ｄ．（－ɕ，－１）ɣ（１，＋ɕ）这一问题是典型的求不等式解集的问题，不仅考查了不等式的基本知识，还考查了函数㊁利用函数的单调性解不等式等知识．解这一题时，教师可以指导学生借助数形结合思想解决问题，用以形助数的方式简化问题．比如，教师可以根据原题信息，在平面直角坐标系中绘制出函数图像，并在图像中绘制直线ｙ＝１，直线ｙ＝１与函数图像分别交于点（－１，１）与（１，１）．这时，教师再指导学生观察图像，就可以由ｆ（ｘ）＞１推理出ｘ＜－１或ｘ＞１，从而确定问题的正确选项为Ｄ选项．这样，学生就能在解题学习中体会到以形助数方法的优越性，不仅丰富了解题方法，还锻炼了数学联想㊁几何直观㊁逻辑推理等综合能力．（二）以数解形，细致入微，巧妙解决问题中职数学解题教学中的几何问题具有直观性强的特征．但是，直观性强并不意味着题目简单．很多学生在解决几何问题时缺乏解题思路，最终解题失败．对此，教师可以指导学生应用以数解形的方法解决此类问题，通过为图形赋值等方式帮助学生理解图形的真正含义，从而帮助学生确定解题方向，巧妙解决几何问题．１．用 数 助力立体几何问题求解，培养学生直观想象素养立体几何问题看似简单，实则不易解决．由于部分学生缺乏良好的几何直观㊁数学联想㊁数学抽象等能力，不能在解题时快速找到 题眼 ，导致几何问题解决效率低下．为此，教师可以将数形结合思想用于立体几何解题教学中，通过指导学生应用代数的方法解决立体几何问题，为学生指明解决立体几何问题的方向，从而提升其数学直观水平，使学生能够巧妙地解决立体几何难题．以高教版 柱㊁锥㊁球及其简单组合体 一课的解题教学为例，有问题如下：例３㊀әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形，那么әＡＢＣ的面积是（㊀㊀）．Ａ．３２ａ２㊀㊀Ｂ．３４ａ２㊀㊀Ｃ．６２ａ２㊀㊀Ｄ．６ａ２这一问题是典型的立体几何直观图问题．在这一问题中，已知信息只有 әＡＢＣ的平面直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ是边长为ａ的正三角形 这一句话，部分学生很容易陷入解题的迷雾中．这时，教师可以应用以数解形的思想方法，指导学生解题．比如，先绘制әＡＢＣ的直观图әＡᶄＢᶄＣᶄ，取ＢᶄＣᶄ所在的直线为ｘᶄ轴，ＢᶄＣᶄ的中点为Ｏᶄ，以过Ｏᶄ与Ｏᶄｘᶄ成４５ʎ角的直线为ｙᶄ轴，过Ａᶄ作ＭᶄＡᶄʊＯᶄｙᶄ，交ｘᶄ轴于点Ｍᶄ，则在ＲｔәＡᶄＯᶄＭᶄ中，ＯᶄＡᶄ＝３２ａ，øＡᶄＭᶄＯᶄ＝４５ʎ，接着展开相应的推理与运算，即可得到正确答案为Ｃ选项．２．用 数 助力解析几何问题求解，培养学生逻辑推理素养解析几何具有点与实数对一一对应㊁曲线与方程㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ １６一一对应的特征，是中职数学几何教学的重点内容．在中职数学解题教学中，解析几何问题多体现为求直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系，等等．同时，受题目信息限制，很多时候学生无法应用几何方法求证直线与圆㊁圆与圆的位置关系，不能正确解答数学题目．为此，教师可以在教学中渗透数形结合思想，指导学生应用代数的方式进行逻辑推理，构建数学模型，以此求解出问题答案．以高教版 两点间的距离与线段中点的坐标 一课的解题教学为例，例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点分别为Ａ（１，０），Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３），试求ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度．针对这一问题进行解题教学时，教师可以适时渗透以数解形的数学思想方法，先根据原题绘制出解题示意图，再指导学生假设ＢＣ的中点Ｄ的坐标为（ｘＤ，ｙＤ），进行推理：解㊀由Ｂ（－２，１），Ｃ（０，３）得到ｘＤ＝（－２）＋０２＝－１，ｙＤ＝１＋３２＝２，故：｜ＡＤ｜＝（－１－１）２＋（２－０）２＝２２，则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长度为２２．（三）数形结合，综合应用，高效解决问题数形结合百般好，隔离分家万事休．我国数学家华罗庚的这句名言说明了 数 形 结合的重要性．在中职数学解题教学中，很多学生在解题时存在解题视野局限㊁解题思路单一的问题，不能高效解决数学问题．为此，教师可以在解题教学中渗透数形结合思想，指导学生综合代数㊁几何的相关知识解决问题，从而提高学生灵活解决数学应用问题的能力．以高教版 函数的应用 一课的解题教学为例，教师可以为学生呈现典型例题：例５㊀已知ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５，ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］，若ｆ（ｘ）的最小值记为ｈ（ｔ），请写出ｈ（ｔ）的表达式．针对这一例题进行解题教学时，教师可以先给学生３ ５分钟的时间自主思考，之后应用数形结合思想进行思路点拨：依据函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５的对称轴与区间的位置关系，结合函数图像确定ｆ（ｘ）在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上的增减情况，进而可以明确在何处取最小值．之后，教师可以在黑板上演绎解题过程，让学生学习更加新颖的解题方法：解㊀由于ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５＝ｘ＋３２æèçöø÷２－２９４，所以抛物线ｆ（ｘ）的对称轴为直线ｘ＝－３２，开口向上（如图１）．图１根据图像推导可得：ｈ（ｔ）＝ｔ２＋５ｔ－１，ｔɤ－５２，－２９４，－５２＜ｔɤ－３２，ｔ２＋３ｔ－５，ｔ＞－３２．ìîíïïïïïïï通过解题可以发现，将数形结合思想用于函数问题的求解，可以使函数问题变得清晰㊁直观，有利于学生明确自身解题思路，从而快速求解函数问题．解题教学中，教师应抓住数形结合思想的渗透时机，同时不断组织类似的演绎教学活动，以此加深学生对数形结合思想的认识，提升学生的数学解题思维水平．结束语中职数学教学以培养学生的数学抽象㊁建模应用㊁几何直观等核心素养为主要教学追求，将更多教学资源融入数学解题教学是非常有必要的．在具体的解题教学过程中，教师应把握 数 形 的本质，根据 数 形 之间的具体关联合理开展解题教学工作，以此锻炼学生的审题㊁析题㊁解题能力，有效培养中职学生的数学学科综合素养．ʌ参考文献ɔ［１］袁亮驹．关于中职数学解题教学的思考［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２７）：６５－６７．［２］星蓉生．浅谈核心素养视角下的中职数学解题策略 直线与圆的方程 示例［Ｊ］．数学大世界（上旬），２０２２（０７）：６８－７０．［３］成江涛．中职数学应用题解题策略［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２０（０９）：７７．［４］洪巧云．中职数学学生常用解题方法［Ｊ］．试题与研究，２０１８（３２）：６２－６３．。

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

初中数学中的数形结合思想在初中数学中，数形结合思想是解决问题的重要方法之一。

这种思想可以将图形性质问题转化为数量关系问题，或者将数量关系问题转化为图形性质问题，从而使问题更加具体化、简单化。

这种转换不仅可以提高教学质量，还可以有效地培养学生的思维素质，因此它是初中数学研究的关键所在。

数形结合思想对学生数学能力的培养非常重要，主要包括运算能力和解题能力。

数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。

数形结合思想是初中数学研究中一个重要的数学思想，贯穿了数学教学的始终。

数形结合思想的核心是将数与形结合起来进行分析研究，通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题。

它能够使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，将代数关系与几何图形的直观形象有机地结合起来。

在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下两个方面：一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式。

例如，利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等；用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理；用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题；用图形比较不等式的大小问题。

解这种类型题的关键是根据数结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。

二、由形思数数形结合。

解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性，将图形信息转化为代数信息，利用数特征将图形问题转化为代数问题来解决。

这类问题在初中数学中也比较常见，例如用数表示角的大小和线段的大小，用数的大小比较角的大小和线段的大小；用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置；用方程、不等式或者函数解决几何量的问题；用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。

在教学中，我们需要注意到任何一种解题思想方法都不是孤立的。

因此，我们需要根据具体的问题利用现有的教材，将不同的思想方法综合运用。

初中数学教学中数形结合的应用论文初中数学教学中数形结合的应用论文数形结合是数学学习和研究过程中一种重要思想，其优势就是能把抽象思维转化为形象思维，便于学生认知和理解数学知识，进而提升学习效率．本文以初中数学为研究对象，重点分析数形结合在初中数学教学中的应用．一、数形结合在初中数学教学中的作用简单来说，数形结合就是通过把抽象难懂的数字与简明易懂的几何图形相结合，实现抽象数学问题向直观几何问题的转化，从而达到降低问题难度的目的，帮助学生更好地理解数学知识内容．数形结合思想一般表现在:一是建构恰当的代数模型;二是建立几何模型解决函数和方程问题;三是与函数相关的几何、代数问题;四是利用图象形式呈现相应信息的应用问题．在数学教学中，教师要善于发现题目中数与形的恰当契合点，从而将数与形进行有机结合，达到互补的目的．数形结合在初中数学教学中的作用，主要表现在:一是有助于形成完整的数学概念，便于学生理解记忆概念和优化数学认知结构;二是有助于提高学生的解题能力，简缩思维链;三是有助于培养学生的数学思维能力，强化形象思维、直觉思维和发散思维;四是有助于激发学生的学习兴趣，进而提高其学习成绩．二、数形结合在初中数学教学中的应用1．推动“数”向“形”的转变面对一些数量关系过于抽象复杂的题目时，学生常常很难把握其本质要领，此时教师若能巧妙地利用数形结合思想，推动“数”向“形”的转变，那么学生就能直观、形象地理解抽象复杂的数量关系．这就要求教师在讲解某些知识内容时，在“数”向“形”转变的过程中找出与数相对应的形，在问题中提炼出数量模型，通过分析图形解决数量问题，从而简化数学计算．例如，在讲“一元一次不等式(组)”时，教师可以提出问题:判断哪些数是不等式3x＞225的解，73、74．6、78、75、80、64、75．1?这个不等式是否有解，如果有，这个不等式有多少个解?这个题目相对来说十分简单，主要考查学生对“不等式解集的无限性”的理解，然后根据无限性引出不等式的解集概念．此题目进行简单除法，即可得到答案为x＞75，但为了将解集的无限性表示的更加鲜明，教师可以利用数轴进行表示，在数轴上标明“75”所表示的点，然后向正数方向无线延伸，学生只需将以上数字与75进行比较，找出大于75的数，即可找出满足不等式的答案．这样的做法，不仅能够让学生直观地看清不等式的解集有多少个，而且能够推动“数”向“形”的转变．2．描述“形”向“数”的转化图形比数字的直观性更强，可以很好地将抽象思维具体化，但这并不代表数学解题不需要代数计算，因此初中数学教师还要重视“数”的计算，尤其要重视表面看起来无规律、无逻辑性的几何图形，然后根据需要将图形转化为与之相对应的“数”，从而挖掘出数学题目深处隐含的意义．在“形”向“数”转化的描述过程中，教师要将图形尽可能地数字化，将数字尽可能地明晰化，在“形”转化为“数”的过程中融入数值计算，进而发现深藏在几何图形内部的规律．例如，在讲“锐角三角函数”时，教师可利用学生对特殊“直角三角形”和“相似三角形”等相关知识已有的认知，结合具体几何图形给出锐角三角函数概念．这种将数与形结合起来的方法，描述出了“形”向“数”的转化，便于学生掌握锐角三角函数的本质，从而加深学生对数学知识的理解．3．增强“数”与“形”的互化有的数学题目很难通过单一的“形”转“数”或“数”转“形”就得以理解实现，而是需要“数”与“形”的互化．通过融合“数”与“形”的互化解决问题，此种方法适用于平面直角坐标系及函数、勾股定理及其逆定理等知识点．例如，在讲“勾股定理及其逆定理”时，它是一种典型的`数与形结合，通过把三边长度与直角三角形结合的方略，使其在直角三角形问题中得到广泛应用．勾股定理的具体定理为:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也就是说，两直角边与斜边的关系就是勾股定理．当然，这一定理可以通过代数计算或者实际构图得以验证．勾股定理及其逆定理是“数”与“形”互化的一种典型表现，它对于学生理解知识点、加深知识印象大有裨益，实现了几何图形与代数关系之间的描述转化．总之，在初中数学教学中应用数形结合思想是一种明智的做法，不仅能够有效培养学生的思维能力和多角度看问题的能力，而且能够拓展和延伸学生的数学思维．因此，初中数学教师务必要推动“数”向“形”的转变、描述“形”向“数”的转化、增强“数”与“形”的互化，提升初中生学习数学的能力，强化数形结合思想的运用．。

数形结合思想在高中数学中的应用苏小笑发布时间：2021-08-06T03:09:37.395Z 来源：《当代教育家》2021年12期作者：苏小笑[导读] 随着教育教学改革的深入推进，更加注重学生的主体地位，教师不再只是知识的灌输者，而是要求教师要引导学生理解学习、学会学习。

广西南宁沛鸿民族中学 530031摘要：随着教育教学改革的深入推进，更加注重学生的主体地位，教师不再只是知识的灌输者，而是要求教师要引导学生理解学习、学会学习。

高中阶段的数学教学，概念较为抽象，学生难于理解，教师将数形结合思想运用到教学中能够帮助学生构架知识系统，促进学生理解性学习。

因此，本文将基于数形结合思想的概念，探讨其在高中数学中的应用策略，以期为高中数学教学提供一些参考。

关键词：数形结合；高中数学；应用策略前言：一直以来，数学都是各个阶段中学生学习的重要科目之一，高中阶段的数学更是重中之重。

作为一门严谨的、抽象的理科，不少学生对其感到非常吃力，无从着手，导致他们丧失学习兴趣，教学进度也开展缓慢。

个人认为，“数形结合”的思想，是解决这一难题的重要举措，教师将数学与图形结合起来，以解决实际问题，通过图形将抽象的问题具体化，促进学生理解性学习。

一、数形结合思想的概念数形结合思想，顾名思义，是数学与图形的结合，即根据题干中的给出的条件、问题、数量关系之间的内在联系，将其与几何形式结合起来，进行转换，最终解决问题、得出问题答案。

数形结合主要包含两个方面的内容，一方面是“以数解形”，诸如线段问题、三角形问题、四边形问题、圆的问题，运用数形结合的方式，巧妙地给图形赋值、引进字母表示点的坐标，进而求出函数表达式求解，这样复杂的问题就变得简单化，抽象的问题变得具体化，从而优化求解。

另一方面是“以形助数”。

这种方式是整个高中数学解决抽象数学问题的重中之重，尤其是高考试题，诸如解方程、解不等式、解三角函数、求函数的值域、最值问题等，运用数形结思想，画出数量关系、几何图形、亦或是位置关系等，解题变得清晰可见、一目了然，尤其是在解选择题、填空题的时候能够帮助学生节约时间、提高学生的解题速度和效率。