函数与方程思想在初中数学解题中的应用

初中数学教案：方程与函数的应用分析方程与函数的应用分析引言：在初中数学中，方程与函数是重要的概念之一。

方程是数学语言中表示未知量关系的等式，而函数则描述两个变量之间的依赖关系。

本教案旨在通过分析方程与函数的应用例题，帮助学生深入理解并掌握这两个概念。

一、方程的应用1. 解实际问题时常使用方程解实际问题时，我们常常需要将问题抽象成一个或多个方程，并通过求解方程找到问题的答案。

举例说明：某商场正在进行打折促销活动，商品原价为x元，现减价20%，求打折后商品价格。

解析：设打折后价格为y元，则根据题目条件可得到方程0.8x = y。

通过解这个简单的一元一次方程，我们可以得出打折后商品价格。

2. 利用二次方程求解物理问题二次方程在物理问题中有广泛应用。

例如，在炮弹飞行过程中，考虑空气阻力和重力对其运动的影响，可以建立二次方程来描述炮弹的轨迹。

举例说明：已知炮弹从地面射出角度为α、初速度为v的情况下，求炮弹落地点的水平距离。

解析：将炮弹的飞行过程分解为x轴和y轴上的运动。

在x轴上，速度恒定，距离为vt；在y轴上，考虑重力加速度作用，则有h = vt - (1/2)gt^2。

令炮弹落地时的y坐标为0，则可以得到二次方程(1/2)gt^2 - vt + h = 0。

通过求解该二次方程，我们可以获得炮弹的落地点水平距离。

二、函数的应用1. 函数描述实际问题中的变化规律函数能够描述实际问题中两个变量之间的关系，并且可以揭示出其中的变化规律。

举例说明：已知汽车行驶速度为v km/h，行驶时间为t h，求行驶路程d与时间t之间的函数关系表达式。

解析：根据题目条件可知d = vt。

这里v和t是两个变量，而它们之间存在一个线性关系（即速度乘以时间等于路程）。

由此可得出行驶路程与时间之间的函数关系表达式。

2. 利用函数进行数据拟合和预测利用已知数据建立函数模型后，可以使用该函数对未知数据进行拟合和预测。

举例说明：某农场研究了麦田的年产量随着施肥量的变化情况，并记录了一些数据。

九年级数学下册常考【压轴题】类型+解题思路中考数学常考压轴题类型1、线段、角的计算与证明中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

2、一元二次方程与函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。

3、多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。

所以，在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。

4、列方程(组)解应用题在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。

方程，可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。

从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。

实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

5、动态几何与函数问题整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。

而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。

数学思想在初中数学应用题中的应用分析【摘要】初中数学中，方程和函数是密切相关的，解方程f（x）=0就是求函数y=f（x）当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点或交点个数；合参数的方程f（x， y，t）=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。

它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。

正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。

本文通过探讨初中数学中的函数与方程思想，并结合具体数学实例说明方程函数思想中的应用。

【关键词】方程函数初中数学在初中数学中，方程与函数是很重要的知识，对各种方程和函数作系统的学习研究对初中数学的学习是至关重要的。

方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。

函数思想在中考中的应用主要是函数的概念，性质及图象的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。

包括待定系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。

例1：已知函数y=x3的图象，求解方程x3-x2+1=0。

分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图象与方程结合出来，却完全可以达到事半功倍的效果。

错误解法：完全运用方程的思想。

x3-x2+1=0 → x2（x-1）+1=0 → x2（x-1）=-1进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x2这个目前完全大于0的数，所以可以得出：x=0不成立，x2>0 → x-1=-1 → x=0 ？这里你没有看错，先前我们假定x不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错误的。

谈谈初中数学中常用的数学思想在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。

教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。

一、数形结合的思想数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。

二、方程与函数的思想方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。

用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。

例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。

方案一：每千克9 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回。

已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000 元。

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。

分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。

解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。

两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。

三、分类讨论的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。

此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。

运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。

初中数学思想方法之函数与方程思想
函数与方程思想是初中数学的一个重要思想，是数学学习的理论基础。

函数与方程思想是数学分析的重要方法，是数学思维方法的核心。

函数与方程思想的概念是数学分析的核心，它把复杂的问题简化为基
本概念，从而找出解决问题的办法。

它是学习数学的基础。

学会函数与方
程思想，可以帮助学生掌握数学的基本概念，把学习的内容归纳起来，提
高学习效率，为学习其他数学知识奠定坚实的基础。

函数与方程思想，所谓的函数，就是一个有输入和输出的过程，一个
函数将一个或多个未知变量的输入变换为一个输出，表示为y=f（x），
其中x是变量，f（x）是函数，y是函数的输出。

函数是数学分析的基础，它可以用数学语言表达自然现象，把复杂的问题简化，从而帮助人们更好
地理解自然现象。

方程是一个等式，表示两边（等式左边和等式右边）相等，有时也可
以表示两边的大小关系，如一元二次方程，可以表示为ax2+bx+c=0。

通
过求解方程，我们可以找到一个或多个解，这就是解方程的思想。

求解方
程是数学学习的重要方法，它不仅可以帮助我们得到问题的解决方法，还
可以丰富我们的思维方式，是理解数学的重要方式之一
函数与方程思想是初中数学学习的重要思想。

在初中数学教学中方程函数思想的运用作者：刘昭慧来源：《数理化学习·教育理论版》2013年第04期摘要：在初中数学教学中，方程与函数是十分基础且重要的内容.方程函数思想的灵活运用，能够将数学问题化繁为简，令我们的解题思路清晰明了，迅速找到正确合理的解题方法.本文就方程函数思想在初中数学教学中的运用，提出作者肤浅的见解，以期与广大同行交流沟通.关键词：初中数学；方程函数思想；概念；运用一、方程函数思想的概念所谓方程思想，是指以问题的数量关系为切入点，利用题目中所提供的已知条件，通过数学语言，将问题转化为方程（组）、不等式（组）或者方程与不等式的混合组等来求解的方法；所谓函数思想，是指通过构造一次函数、反比例函数、二次函数等来求解的方法.方程与函数虽然是两个不同的概念，但是在具体的解题过程中，二者相互渗透，相辅相成，在一定条件下还可以相互转化.因此，在一般情况下，我们把这两种思想统一起来，称为方程函数思想.二、方程函数思想在初中数学教学中的运用（一）方程函数思想的形成在数学教学中，我们要从以下几个方面入手，帮助学生形成方程函数思想：1. 夯实基础，提高认识在日常教学中，要重视学生对基础知识的掌握，只有将方程、函数、不等式等的性质与用法烂熟于心，才能在具体的解题过程中对其灵活运用，综合把握.2. 提高方程函数思想意识要在日常教学与练习中，着重培养学生运用数学方法去挖掘题目中的隐含条件，进而构建方程或函数的能力.帮助他们在形成解题技巧的同时，提高自身的观察能力、逻辑思维能力和发散思维能力.3. 培养学生创新思维能力数学是十分灵活多变的一门学科，只有不断提高学生的创新思维能力，才能做到触类旁通，举一反三，将公式、定理和已知条件做到活学活用.（二）方程函数思想在初中数学教学中的具体应用下面我们通过一些实例，来具体分析方程函数思想在初中数学教学中的运用.1.利用方程或方程组解题例1现有一“鸡兔同笼”问题，从上面数，有头35个，从下面数，有脚94只，请问笼中有鸡和兔各多少只？解析：要解决这一问题，需要根据已知条件寻求数量上的隐含关系.本题可以用方程或方程组来解决.解法1：假设有鸡x只，则有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.解法2：假设有鸡x只，有兔y只，得出方程组：x+y=35；2x+4y=94通过求解方程或者方程组，可以得出有鸡23只，有兔12只.（二）利用函数解题例2赵强拥有一家玩具熊销售公司.他所销售的玩具熊每件进价20元，在销售过程中赵强摸索出每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以用一次函数：y=-10x+500来表示.假设赵强每月的销售利润为M（元），试问每件玩具熊的定价为多少元时，他可获得最大利润？解析：根据题目中所给条件，我们可以得出一个二次函数，通过求解二次函数，可以得到答案.解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.由此得出答案，定价应为35元时，赵强可获得最高利润.（三）利用函数与不等式解题例3接例题2，根据相关规定，赵强所经营的这一类玩具熊每个单价不得超过32元，如果赵强每月想获得不低于2000元的利润，那么每月成本最低需要多少钱？分析：根据已知条件和问题，我们发现，解决这一问题需要利用到一次函数、二次函数和不等式性质三个知识点相结合.解法：因为a=-10（四）利用函数与方程相转化的方法解题在上文中我们提到，在一定条件下，函数与方程可以相互转换.在一些时候，从函数的角度看方程，或者用方程的观点看函数，也能使解题达到事半功倍的效果.例4k取何值时，能令方程x2-3x+k的根一个大于1，一个小于1？分析：从表面上看，这是一个方程问题，然而，如果我们能利用函数的性质来解题，采取数形结合的方法，则可以从很大程度上简化解题过程.解法：由已知条件我们可以将方程x2-3x+k的根看成是使函数y=x2-3x+k=0的值为0的自变量的值，也就是说抛物线与x轴的交点.根据所画抛物线可知，抛物线开口向上，那么当x=1，y总之，在新课程标准指导下的初中数学教学，已经不仅仅满足于教给学生定理、公式及其简单用法的层面，而是要在夯实基础知识的同时，培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力和创造力，以及他们运用课堂所学的数学知识，解决生活中实际问题的能力.方程函数思想在初中数学教学中的应用，正是按照新课标的这一要求，让学生在掌握数学知识的同时，对知识能够抽象分析、综合运用，灵活掌握，做到举一反三、游刃有余.[江西省九江市第三中学（332000）]。

第7讲：函数与方程思想【写在前面】方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容． 【典型例题】【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由．【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=A C －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQAB AC=． 则43032030x x -=，解得103x =．所以当103x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当AP AQ CQ CB =或AP AQCB CQ=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当AP AQCQ CB=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当AP AQCB CQ=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当409AP =cm 或20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似． 【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=a x 2+bx ，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元． (1)求y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=a x 2+bx ，得2426a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以y=x 2+x (2)设y ′=33x －100－x 2－x ，则y ′=－x 2+32x －100=－(x －16) 2+156．由于当1≤x ≤16时，y ′随x 的增大而增大，且当x=1、2、3时，y ′的值均小于0，当x=4时，y ′=－12 2+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本． 【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第1年到第x 年的维修、保养费用总和．【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：(一)每位村民年初交纳合作医疗基金a 元；(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y=________；当b<x ≤5000时，y=_______(用含a 、b 、c 、x 的代数式表示) (2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求a 、b 、c 的值；写出y 与x 之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．【解】(1)a a+(x－b)c％(2)假设b≤40，则()()()4030(1)9050(2)15080(3) a b ca b ca b c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，∴b>40，这样①不成立，应为a=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．∴当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，∴村民个人一年最多承担医疗费为2505元；(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b>40．【综合训练】1．如果关于x的方程3211axx x=-+-无解，则a的值为__________．2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一点(点D不与点A重合，可与点C重合)，E是线段AB上一点，且∠ADE=∠B．设AD=x，BE=y．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)写出y的取值范围．4．如图，某农场要用总长24 m的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为xm，面积为S m2；(1)求S关于x的函数关系式；(2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长；(3)鸡场的面积能否达到50 m2?若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由．5．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1(吨)与时间t(分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．6．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，需费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队做，还需40天才能完成，这样需要费用110万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天?(2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元?7．已知，关于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y=x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y≤－m+3?8．已知：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若关于x 的方程x 2－2(b+c)x+2bc+a 2=0有两个相等的实数根，且△ABC 的面积为8，a = (1)试判断△ABC 的形状并求b 、c 的长；(2)若点P 为线段AB 边上的一个动点，PQ ∥AC 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点B 与线段MN 不在线段PQ 的同侧，设正方形PQMN 与△ABC 的公共部分的面积为S ，BP 的长为x ．①试写出S 与x 之间的函数关系式； ②当P 点运动到何处时，S 的值为3．9．(02镇江)已知抛物线y=a x 2+bx+c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点． (1)求此抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线． (2)若点(x 0，y 0)在抛物线上，且0≤x 0≤4，试写出y 0的取值范围．(3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段BM 于点P(点P 能与点M 重合，不能与点B 重合)，交x 轴于点Q ，四边形AQPC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围．②求S 取得最大值时，点P 的坐标．③设四边形OBMC 的面积为S ′，判断是否存在点P ，使得S=S ′． 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10．已知动点P(2m －1，－2m+3)和反比例函数ky x=(k<0)． (1)若对一切实数m ，动点P 始终在一条直线l 上，试求l 的解析式．(2)设O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，与y 轴相交于点N ，与反比例函数的图象相交于A ，B 两点(点A 在第四象限)．①证明：△OAM ≌△OBN ；②如果△AOB 的面积为6，求反比例函数解析式．【参考答案】1．2和3 2．6cm 3．(1)455y x =-+ (2)955y ≤< 4．(1)S=x(24－3x)=－3x 2+24x(x ≥4)； （2）－3x 2+24x=45，解得：x 1=3(舍去)，x 2=5，∴鸡场的宽AB 的长为5米．(3)－3x 2+24x=50，3x 2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0∴此方程无实数解，∴鸡场的面积不能达到50米2．5．(1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨的油，全部加给运输飞机需10分钟． (2)设Q 1=kt+b ，则406910b k b =⎧⎨=+⎩， 2.940k b =⎧∴⎨=⎩，∴Q=2．9t+40(0≤t ≤10)．(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0．1吨，∴10小时的耗油量为10×60×0．1=60(吨)<69(吨)，∴油料够用．6．(1)30 120 (2)135 607．(1)△=(3m+2) 2－4×m ×(2m+2)=m 2+4m+4=(m+2) 2m>0，∴ (m+2) 2>0，即A>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)x 1=1，222x m =+，∴ 2122y x x m=-=． (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2y m=和y=－m+3的图象，观察图象得： 当1≤m ≤2时，y ≤－m+3．8．(1)△ABC 是等腰直角三角形，b=c=4；(2)①当0<x ≤2时，S=x 2；当2<x ≤4时，S=－x 2+4x 3． 9．(1)y=－x 2+2x+3，M(1，4)，图略． (2)－5≤y 0≤4 (3)①29322t S t =-++(1≤t<3) ②9342⎛⎫ ⎪⎝⎭， ③不存在．15'2S =，若S=S ′， 则29315222t t -++=，整理得29602t t -+=．812404∆=-<，∴此方程没有实数根，∴不存在点P ，使得S=S ′．10．(1)设l ：y=k ′x+b ，当m=0时，P 1 (－1，3)，当m=1时，P 2(1，1)，带入l ：y=k ′x+b 得，3'1'k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得'12k b =-⎧⎨=⎩，∴l ：y=－x+2，经检验满足条件．(2)①解方程组2k y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得x 2－2x+k=0，解得1A x =1B x =1A y =1B y =OA =OB =．∴OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ；M(2，0)，N(0，2)，∴OM=ON ，∴∠OMN=∠ONM=45°，∴∠ONB=∠OMA=135°，∴△OA M ≌△OBN ． ②26AOBMONAPMSSS=+=，又12222MO NS=⨯⨯=，2AOMS∴=，代入得：(1122⨯-⨯3=，∴k=－8，∴反比例函数的解析式为8y x=-．。

中考数学专题复习—方程思想【写在前面】在初中数学中，方程与函数是很重要的知识，对各种方程和函数作系统的学习研究对初中数学的学习是至关重要的。

方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。

本文通过探讨初中数学中的函数与方程思想，并结合具体数学实例说明方程函数思想中的应用。

方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思想方法。

方程思想在初中数学的多个知识点中均有体现，并且应用其解题可以使问题由复杂变得简单，易懂，易于求解。

方程思想也是解几何计算题的重要策略。

方程思想的实质：把问题中的已知量与未知量之间的数量关系，运用数学符号语言转化为方程模型，使问题得到解决。

运用方程思想解题的一般步骤： （1） 把问题归结为确定一个或几个未知数；（2） 挖掘问题中已知量与未知数量之间的等量关系，建立方程； （3） 求解或讨论所得方程；（4） 检验并作出符合问题实际的回答。

应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；③要掌握运用方程思想解决问题的要点。

【教学目标】1、体会方程思想解题的本质想法和一般步骤；2、品味利用方程思想解题的独特魅力；3、学会并掌握方程思想解题的步骤和切入点。

【教学重难点】方程思想的本质和一般步骤 【教学过程】一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想1．已知25A x mx n =-+，2321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为2．单项式2343m n m n xy ++与422y x -是同类项，则m n 的值为3．若n ma a a a ++=+-2)5)(3(，则,m n 的值分别为（ ）A.5,3-B.15,2-C.15,2--D.15,2 4．若2(a 与1b -互为相反数，则1b a-的值为 （2）函数与方程思想5．若函数215mm y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m第8题6．已知反比例函数ky x=与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 7．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为 8．如图，反比例函数xk=y （k ＞0）与一次函数b x 21y +=的图象相交于两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),线段AB 交y 轴与C ，当|1x －2x |=2且AC = 2BC 时，k 、b 的值分别为（ ） A.k ＝21,b ＝2 B.k ＝94,b ＝1 C.k ＝13,b ＝13 D.k ＝94,b ＝139．如图，一次函数n kx y +=的图象与x 轴和y 轴分别交于点A （6，0）和B （0，32），线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D （1）试确定这个一次函数关系式；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的函数关系式。

方程函数思想在初中数学中的应用方程函数是数学中的重要思想和工具，具有广泛的应用。

在初中数学教学中，方程函数思想被广泛运用于各个章节和知识点，如代数基础、线性方程与不等式、二次函数、比例与相似等。

本文将就方程函数思想在初中数学中的应用进行详细介绍。

一、代数基础在初中数学教学中，方程函数思想首先运用在代数基础中。

对于代数表达式的简化与展开，通过数学符号和运算来描述实际问题，并通过方程函数的思想解决这些问题。

例如：1.简化与展开代数式：通过方程函数思想，我们可以简化和展开各种代数式，使其更加简明和易于理解。

比如，将多项式进行因式分解、将代数式进行化简等。

这些操作都涉及到方程函数的思想和运算。

2.代数方程的建立与求解：通过将实际问题转化为代数方程，再通过方程函数的求解方法解决问题。

例如，小明的年龄是小红年龄的三倍减去2，用方程函数表示就是3x-2=5，解得x=2，即小明的年龄是2岁。

二、线性方程与不等式线性方程和不等式是初中数学中的重要内容，方程函数思想也被广泛应用于相关的知识点。

1.线性方程的解：通过方程函数的思想，我们可以解线性方程，找到方程的解集。

例如，2x+3=7，通过方程函数解得x=2，即方程的解集是{x=2}。

2.线性不等式的解集：通过方程函数的思想，我们可以解线性不等式，找到不等式的解集。

例如，3x-2>4，通过方程函数解得x>2，即不等式的解集是x的全部大于2的实数。

三、二次函数在二次函数的学习中，方程函数思想发挥了重要作用。

1. 求解二次方程：二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程。

通过方程函数的思想，我们可以解二次方程，找到方程的解集。

例如，x^2-5x+6=0，通过方程函数解得x=2或x=3，即方程的解集是{x=2, x=3}。

2.二次函数图像与性质：通过方程函数的思想，我们可以求解二次函数的图像、顶点、对称轴等性质。

例如，y=x^2-4x+3，通过方程函数解得函数的顶点坐标是(2,-1)，它的对称轴是x=2，函数的图像是开口向上的抛物线。

课 改 前 沿都市家教　156笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程密切相关的。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。

有时，还实现函数与方程的互相转化。

这种思想在代数、几何中有着广泛的应用。

一、方程思想在代数中的应用1.方程思想与整式的结合【典例分析】若最简根式343b a b −+23226ab b b −+a,b.分析：利用同类二次根式的定义可以得到根指数相等和被开方数相等的信息。

从而列出一个关于a 、b 的二元一次方程组解得a 、b 。

2.方程思想与勾股定理的结合【典例分析】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC ，他无意中将直角边AC 折叠了一下，恰好使AC 落在斜边AB 上，且C 点与E 点重合,（如图）小宇经过测量得知两直角边AC =6cm,BC =8cm,他想用所学知识求出CD 的长，你能帮他吗？B 分析：此题以△BED 为直角三角形作为隐含条件，先由勾股定理求得AB=10cm，设CD=x cm，则DE=x cm，在Rt △BED 中，借助勾股定理建立方程。

∵BD=(8-x )cm，BE=4cm，∴，解得x =3，即CD=3cm。

3.方程思想与函数的结合方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。

【典例分析】如图，A、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C（0,2），直线PB 交y 轴于点D，△AOP 的面积为6；求△COP 的面积；求点A 的坐标及p 的值；△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。

初中数学如何使用函数关系解一元一次方程在初中数学中，函数关系和一元一次方程是重要的概念。

函数关系描述了两个集合之间的对应关系，而一元一次方程描述了一个方程中只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为一。

在这篇文章中，我们将详细介绍如何使用函数关系的方法来解一元一次方程。

一、函数关系与一元一次方程的联系函数关系和一元一次方程之间存在紧密的联系。

一元一次方程可以通过函数关系来表示，并且函数关系可以通过一元一次方程来解决实际问题。

1. 函数关系表示一元一次方程在函数关系中，我们使用字母x表示第一个集合的元素，字母y表示第二个集合的元素。

函数关系可以表示为y = f(x)，其中f表示函数。

当函数关系为一元一次函数时，它可以表示为y = ax + b，其中a和b为常数，a 称为斜率，b称为截距。

一元一次函数的图像是一条直线，斜率表示了直线的斜率程度，截距表示了直线与y轴的交点位置。

2. 一元一次方程求解函数关系通过一元一次方程，我们可以求解函数关系中的未知数。

例如，给定一元一次方程2x + 3 = 7，我们可以通过解这个方程得到x的值，进而确定函数关系中的对应关系。

解一元一次方程的步骤如下：- 将方程转化为标准形式：2x + 3 = 7 => 2x = 7 - 3- 化简方程：2x = 4- 求解未知数x：x = 4 / 2 = 2通过解一元一次方程，我们得到了x的值为2。

这个值可以代入函数关系y = 2x + 3中，计算出y的值。

这样，我们就确定了函数关系中的对应关系。

二、使用函数关系解一元一次方程的方法使用函数关系解一元一次方程的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

下面我们将介绍一些常用的方法：1. 代入法（Substitution method）：代入法是一种常用的解一元一次方程的方法。

我们可以将函数关系中的一个变量用另一个变量来表示，然后代入方程中解得未知数。

例如，给定方程2x + 3y = 7和函数关系y = 2x + 1，我们可以将函数关系中的y用2x + 1来代替，得到2x + 3(2x + 1) = 7。

初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用初中数学知识归纳：函数与方程的实际问题应用数学是一门实用的学科，在我们日常生活中有着广泛的应用。

其中，函数与方程是数学的基础内容之一，它们在解决实际问题中起到了至关重要的作用。

本文将归纳整理初中数学中函数与方程的实际问题应用，帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。

一、函数在实际问题中的应用我们生活的各个方面都涉及到了函数的应用，比如我们经常听说的速度、抛物线等等。

下面我们具体讨论几个常见的实际问题。

1.1 飞机起降问题假设一架飞机以一个恒定的速率起飞，那么它的高度将随着时间的推移而增加。

我们可以用函数来描述这个过程，假设函数为h(t)，其中t表示时间，h(t)表示飞机的高度。

如果飞机以每秒500米的速度上升，那么可以表示为h(t) = 500t。

1.2 铺设铁路在设计铁路线路时，需要考虑线路的曲线问题，而曲线正是函数的应用之一。

假设铁路是一段半径为r的圆的一部分，而这段圆弧的长度为l。

我们可以用函数来表示这段圆弧的形状，假设函数为y(x)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

通过函数的性质，我们可以计算出曲线的斜率以及其他相关的信息，为铁路的设计提供便利。

1.3 注射药液问题在医学领域，注射药液的输送过程可以用函数来描述。

假设注射药液的浓度随着时间的推移而改变，我们可以用函数C(t)来表示药液的浓度，其中t表示时间。

通过分析函数的变化情况，我们可以得出药液的浓度曲线，并据此做出相关的判断和决策。

二、方程在实际问题中的应用方程在实际问题中的应用同样广泛，通过方程我们可以解决各种实际问题。

下面我们将讨论几个例子。

2.1 物体自由落体问题当一个物体自由落体时，我们可以用方程来描述其运动。

假设物体从一定高度h自由落下，时间t为0时物体的速度为0，我们可以得出以下的方程：h = (1/2)gt^2，其中g是物体自由落体的加速度，也就是重力加速度。

2.2 两个人合作完成任务在某个任务中，两个人一起合作完成，根据问题的具体情况，我们可以利用方程求解他们合作完成任务所需的时间或者速度。

方程思想在初中数学教学中的应用摘要：在数学教学中，教师不仅仅要教授学生做对题目，更重要的是要教会学生数学思想方法。

方程是初中数学教学中的重要内容，教师在教学中要立足教材挖掘内容，启发学生对思想方法的转化，通过问题让学生体验思想，在实践中巩固所学的知识，以此将函数与方程思想渗透于数学教学中，提高学生的解题能力以及学习效率。

关键词：方程思想数学教学应用研究一、方程思想的应用意义方程思想是指从问题中的未知量入手，探求未知量和已知量之间的数量关系，运用数学语言，将问题中的条件转化为数学模型，适当设元建立相应个数的方程（组），实现问题与方程的相互联系，进而达到解决问题的目的。

教师在教学中要有意识地渗透方程思想，让学生学会初步应用。

方程思想既是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式，也是初中数学教学的核心内容之一。

但有些教师在教学中却采取“知识点—典型题—解题方法”的教学模式，反复操练各种题型，这种题海战术式的解题训练有时虽然可以提高形式推导的能力，但容易束缚学生思维。

新课程理念下的数学教学强调要重视数学思想方法的渗透，构建良好认知结构，培养和发展学生的数学思维能力。

方程思想是学生学习数学知识和解决数学问题的一种重要思想，在初中数学教学中，不断提升学生的函数与方程思想，对于培养学生数学知识学习能力与解决问题的能力具有积极的意义。

因此，要有目的、有意识地将函数与方程思想渗透到课堂教学中，提升学生运用函数与方程思想解决问题的能力，让函数与方程思想贯穿于学生整个数学学习过程中，以指导学生更好地学习数学。

二、方程思想在初中数学教学中的应用1.立足教材，挖掘函数与方程思想的教学内容当前的初中数学课程内容中，函数与方程则占据了很大部分，是整个初中数学教学中的核心与重点。

因此，教师要想将函数与方程思想有效地渗透到初中数学教学中，首先就需要从初中数学教材出发，认真研读教材，挖掘函数与方程相关的内容，并在这些内容的教学中向学生渗透。

初中数学中方程思想的教学应用【摘要】：数学是一门贯穿于学生整个学习生涯的学科。

小学阶段的数学属于启蒙阶段，在此期间学生就已经接触过方程思想，教师也在课堂中渗透并且讲授相关知识。

在初中阶段的数学教学过程中，方程思想是教师在数学课堂中运用的主要思想之一。

数学可以很好地培养学生的逻辑思维能力。

而学生就可以在掌握方程思想的过程中，锻炼自己的逻辑思维能力和推导能力。

关键词：初中数学;方程思想.;方程思想的应用教育行业主要以育人为主要目的。

中国教育由于长期受到传统教学观念的影响，过分重视分数，往往忽视了学生自身的个性化发展，严重违背了教育的目的，也阻碍了学生的综合素质全面发展。

因此，教师在授课过程中一定要合理运用方程思想，培养学生自主思考和推导问题的能力，从而加深学生在数学方面的造诣，提升学生自身的各方面能力。

一、方程思想的定义数学这门学科主要分为两个方面，即为代数和几何。

方程思想是对方程概念本质的认识，那么方程思想主要是体现在代数这一方面，通过对已知条件的分析和推导，找到解决问题的方法，并且最后有条不紊地整理出每一个问题的答案。

事实上，初中阶段的数学对学生还是具有一定的挑战性的，尤其在方程函数这一模块，许多学生不理解方程的本质内涵，并且无法短时间内找到问题的切入点。

但其实方程和函数这一部分，已经隐蔽地给出了已知量和未知量的种种关系，只要学生们仔细分析，找到这个正确的关系，那么问题就可以迎刃而解。

数学教师在教学过程中，一定要将方程思想进行适当合理的渗透，培养学生具有着一个方程思想的意识。

二、在初中数学教学过程中渗透方程思想的重要性（一）增强方程思想的意识在初中数学的学习过程中，培养学生具备数学意识十分重要。

对于方程这部分的学习，尤为重要，方程这一部分对逻辑思维能力要求较高，教师要培养学生对题目敏感性，对题目的洞察力要细致，让学生能够在短时间内抓住重要的信息，增强构建方程关系式的能力。

（二）拓展创新型思维数学问题的解答方式是不唯一的。