数学模型--人在雨中奔跑速度及淋雨量的关系4

关于人在雨中行走的数学模型摘要本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

利用MATLAB软件对各个问题进行求解。

对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当行走速度为v时，淋雨量最少。

m对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a =1.5m （颈部以下），宽b =0.5m ，厚c =0.2m .设跑步距离d =1000m ，跑步最大速度m v =5s m /，雨速u =4s m /，降雨量w =2h cm /，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数θ,,,,,,wa之间的关系，问速度v多大，bucdθ,0ο30时的总淋雨量。

总淋雨量最少。

计算==θ（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数α,dca之间的关系，问速度v多ub,,w,,,大，总淋雨量最少。

题目：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。

假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。

一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。

但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。

试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。

主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。

淋雨总量用C 升来记。

2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。

在这里可视其为一常量。

3）风速保持不变。

4）你一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。

3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=雨中行走的时间 )(秒vD t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米（升）米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。

为参数，而v S I D ,,结论，淋雨量与速度成反比。

这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。

分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6=v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。

雨中跑步的数学模型摘要：本模型建立了在雨中奔跑时淋雨最少与奔跑速度，雨量，降雨方向，路程远近的关系，从而得出在雨中如何奔跑才会淋雨最少的方法。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向，路程的远近，奔跑的速度问题重述：要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。

淋雨总量用C 升来记。

2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。

在这里可视其为一常量。

3）降雨方向保持不变。

4）你以一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。

模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=雨中行走的时间 )(秒vD t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米（升）米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。

为参数，而v S I D ,, 结论：淋雨量与速度成反比。

这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。

分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6=v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水。

这是不可思议的。

表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。

原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。

2）考虑降雨方向。

若记雨滴下落速度为r （米/秒）雨滴的密度为1 ,≤p p表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。

摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨 中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系.得出结论：若雨迎面落下，则以最大的速度跑完全程淋雨量最少；若雨从背后落下，则以降雨速度的水平分量时奔跑时淋雨量最少.关键词：降雨方向 速度 淋雨量一 问题的提出要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，建立数学模型讨论人是否跑得越快，淋雨量越少.讨论：(1)若不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;(2)雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内时速度多大，总淋雨量最小; (3)雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内时速度v 多大，总淋雨量最少;(4)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化.二 模型假设及符号说明2.1 把人体视为长方体，身高m a 5.1=（颈部以下）,宽度 m b 5.0=，厚度 m c 2.0=.淋雨总量用CL 来记;2.2 降雨大小用降雨强度 h wcm /来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度;风速保持不变：2.3 距离为 m d 1000=,跑步的最大速度为s m v m /5=. 雨速s m u /4=.记跑步速度为v .2.4 文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少.淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积.三 模型建立3.1模型一的建立：若不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，即此时人的前后左右和上方都将淋雨，以最大速度跑步淋雨的面积bc ac ab S ++=22 (1)雨中奔跑的时间mv d t = (2) 总淋雨量t S w C ⨯⨯⨯=-2103600(3) (3)式是理想速度奔跑模型.3.2模型二的建立：若考虑降雨方向，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，淋湿的部位只有前面和顶部，分两部分计算淋雨量.若记雨滴的密度为p (1)p ≤,表示在一定的时间在单位体积的空间内，有雨滴所占的空间的比例系数.即up w =图1顶部的淋雨量：θcos 1vbcdw C = (4) 前表面的淋雨量：)]sin ([2v u p vdab C +=θ (5) 总淋雨量： ])sin (cos [21u v u ab bc v dw C C C ++=+=θθ (6) (6)式即为模型二3.3模型三的建立若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α. 如图2建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系图2雨速水平分量αsin u ，方向与v 相同，合速度为： v u -αsin ，则总淋雨量：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=-+≤-+=-+=αααωααωαααωααωsin ,sin cos sin cos sin ,sin cos sin cos u v vav a c u u bd v u v a cu u bd u v v av a c u u bd v v u a cu u bd C (7) 即为模型三.四 模型求解4.1模型一的求解：将数据代入模型中，解得：22.2m S =L t 200=L C 444.2=4.2模型二的求解：将数据代入模型中，解得：0=θ时，L C 153.1=030=θ时，L C 555.1=4.3模型三的求解：由(7)可知：若0sin cos <-ααa c 即ac >αtan ，则αsin u v =时C 最小 将数据代入模型中，解得：L C s m v 242.0,2,5.12.0tan ,300≈=>=αα五 模型分析与总结5.1模型一的分析: 由理想奔跑速度模型知，淋雨量与速度成反比. 即跑得越快淋雨量越少. 但分析结果可知：人在雨中跑了s t 200=即3分20秒，身上却淋了2.444升的雨水，相当于5瓶可乐的水量，这是不可思议的！因此这个模型描述雨中奔跑的淋雨量不符合实际，因为没考虑雨速的大小和方向.使问题过于简化.5.2模型二的分析：雨速大小和方向不变，雨速与人的夹角090=θ，则以最大速度奔跑时淋雨量最少.5.3模型三的分析：若,0sin cos <-ααa c 即a c >αtan ，则a c >αtan 时C 最小.总结：根据以上模型得知我们在雨中奔跑时并非跑得越快，淋雨量最少，淋雨量的多少还取决于雨速大小和方向.六 模型的改进方向在以上的假设中，雨线方向与跑步方向是在同一平面内，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则可将雨速方向分解为与人跑速度同向的速度和与人跑速度方向垂直的速度. 同向速度即平面共面，可看成模型II 的情况，垂直速度可看成模型一情况.在以上的假设中，人以沿直线奔跑，若人以沿折线奔跑，则可将折线分段考虑，同样可分解成模型一或模型二.在以上的假设中，人看成长方体，若人看成是圆柱体，情况又发生改变，而实际问题中的限制性因素远远超过这些，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改进和提高.参考文献[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011:58-67.。

下雨天跑得快和跑得慢淋的雨物理题
这个问题不但是一道物理问题，还是一道经典的数学建模问题，可以通过建立数学模型来对此进行求解。

为了方便建模，把人简化成一个长方体。

并假设人的奔跑速度为匀速的v，人的淋雨量为w，人在雨中的行进距离为d，行进时间为t（d/v）。

雨水迎面的下落速度为匀速的u，雨水的平均密度为ρ，雨水与地面的夹角为θ。

由此可以计算出，雨水相对于头顶的垂直速度分量为vy=usinθ，雨水相对于身体前方的水平速度分量为vx=ucosθ+v。

头顶的淋雨面积s1=ab，
身体的淋雨面积s2=bh。

因此，人的总淋雨量就是头顶淋雨量和身体前方淋雨量之和。

头顶的淋雨量为：
身体前方的淋雨量为：
总的淋雨量为：
显然，w/v<0，这意味着随着速度v的增加，淋雨量w在逐渐减小。

并且如果人的身体与雨水平行，理论上只有头部会受到淋雨。

因此，在最为理想的情况下，对于没有带伞的人来说，在雨中奔跑的速度越快，并且身体的倾斜方向刚好跟雨水平行，那么，这个人所淋到的雨水是最少的。

为了便于计算，模型做了很多简化，最终得出的结论也是符合实际的。

关于在雨中是应该跑的慢还是跑的快，可以考虑两种极端的情况。

一种是在雨中以接近于零的速度运动，还有一种是在雨中以接近光速的速度运动。

显然，运动相同的距离，在雨中运动的时间越短，所淋到的雨水也会越少。

数学建模淋雨模型.doc淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m ，厚 c=0.2m ，设跑步的距离d=1000m ，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速 u=4m/s ，降雨量ω =2cm/h ，及跑步速度为 v，按以下步骤进行讨论 [17] ：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 ;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图 1. 建立总淋雨量与速度v及参数 a， b， c， d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。

计算θ=0，θ =30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2. 建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d， u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。

计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（ 3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义 .（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

可得：淋雨量（V ）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（ t） =跑步距离（ d）÷人跑步速度（v）②由①② 得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设四、（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚 c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω =2cm/h，记跑步速度为 v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；五、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω× S×d/vω＝2cm/h=2×10-2 /3600 (m/s)将相关数据代入模型中，可解得：S ＝2.2 （㎡）＝V0.00244446 (cm3)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ .，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量 . （如图 1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为. ，且0°< <90 °，建立a，b，c，d，u，，之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为u sin 且方向与 v 相反，故人相对于雨的水平速度为：则前部单位时间单位面积淋雨量为：又因为前部的淋雨面积为： a b ，时间为： d/v于是前部淋雨量 V 2为：即：V 2 a b d u sin v / u v ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为cos ，顶部面积为 b c ，淋雨时间为 d / v ，于是顶部淋雨量为：V 1 b c d cos / v ②由①②可算得总淋雨量:代入数据求得：由 V （v)函数可知：总淋雨量（ V ）与人跑步的速度（ v）以及雨线与人的夹角（）两者有关。

淋雨量模型
每当下雨而人们又忘记带雨伞不得以要淋雨时，大家脑海中总会思考起这样一个问题：淋雨时走得越快淋雨少，还是走得越慢淋雨少呢？
有人认为走得快淋雨少，因为走得快用时少，从正上方降落到头上的雨滴就少；也有人认为走得慢淋雨少，因为走得快人正前方淋到的雨就多，而且正前方的淋雨面积肯定比正上方的大。

那么在固定行程时到底怎样才能淋雨最少呢？现在我们建立一个数学模型来研究一下这个问题。

设出参数：
人的前进速度：V人
雨滴下落的速度：V雨(2-9m/s)
风的速度：V风（矢量，迎风则合速度为相加，顺风为相减）
人的前进方向与风向的夹角：α
将人体设定为一个长方体：
厚度为a，宽度为b，高为h（0<a<b<h<2.5m）
人的行走距离：s
单位体积包含的雨量为n（kg/m³）（当地气象预报平均降雨量为k(mm/h)，则n=k/v雨/3600）
单位均为国际单位
则淋雨量M分为三面：正面，侧面，顶面
M正=nbh*(V人+V风*cosα)*s/V人
M侧=nah*V风sinα*s/V人
M顶=nab*V雨*s/V人
总淋雨量M=ns*bh+ns*(bh*V风*cosα+ah*V风sinα+ab*V 雨)/V人
从公式可以看出总的淋雨量去除常数项部分后，和人的前进速度
成反比例关系；逆风时的速度为加，逆风的淋雨量要比顺风的淋雨量大。

当风速为0时，公式变为：
M=ns*(bh+ab*V雨/V人)
则淋雨量只和人的速度及降雨速度相关。

带入一些数据我们可以算一下平时都淋了多少雨。

数学建模淋雨量与跑步速度
情景重现
下雨天忘了带雨伞，要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨越少，将人体简化为长方体，高a=1.5米（颈部以下），宽b=0.5米，厚c=0.2米，设跑步距离d=100米，跑步最大速度=5米/秒，雨速u=4米/秒，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为）
基本假设
（1）风速始终保持不变
（2）降雨速度和降雨强度保持不变
（3）跑完全程的速度始终不变
符号的约定
a人的身高（颈部以下）（已知）
b人的宽度（已知）
c人的厚度（已知）
d全程距离（知）
Vm跑步最大速度（已知）
u雨速（已知）
w降雨量（已知）
v人跑步的速度（未知）
C身上被淋的雨水总量（升）（未知）
I降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）（厘米/时）
模型的建立
结论
通过对以上模型的分析我们可以知道,在雨中行走时要使身上淋的雨水最少,除了要考虑降雨角度外,还好考虑降雨速度,即是根据降雨角度和降雨速度来选择自己在雨中的行走速度,具体做法如下:
(1)如果雨是迎着前进的方向落下，应该以最大的速度跑完全程..
(2)如果雨是从背后落下，这时应该控制在雨中的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量.。

淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。

计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.?（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。

计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型~二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②:由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设四、（1）、将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；五、模型求解：~（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) :将相关数据代入模型中，可解得：S ＝（㎡） V ＝ (cm ³)= (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为： 、（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：*()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d）代入数据求得：v1800v875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。

《数学模型与数学实验》摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当v时，淋雨量最少。

行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；雨滴下落的速度，角度；降雨强度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。

1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：201105024211人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函v时，淋雨量最少。

数关系。

分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。

1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

《数学模型与数学实验》课程设计任务书题目雨中漫步学生姓名学号专业班级设计内容与要求生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当行走速度为maxv时，淋雨量最少。

针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

学生签名起止时间摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：1人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的v时，淋雨量最少。

函数关系。

分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。

列出函数关系式分析并求解。

关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。

当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。

1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

关于人在雨中行走的数学模型第一篇：关于人在雨中行走的数学模型关于人在雨中行走的数学模型摘要本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

利用MATLAB软件对各个问题进行求解。

对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当行走速度为vm 时，淋雨量最少。

对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算θ=0,θ=30ο时的总淋雨量。

雨中跑步淋雨量优化问题问题分析天气变幻莫测，天气预报常常不靠谱，因此，我们都曾遇到过这样的问题：下雨了，却没有带伞。

这时，作为一个学习过数学建模的人，就应该积极思考，怎么做才能使自己少淋点儿雨呢？这其实就是一个淋雨量的问题。

那么，让我们假设这样一个数学模型：当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，若雨速为常数且方向不变，此时淋雨量就与走的时候身体的动作、暴露在雨中的面积以及行走速度等因素有关，为了进一步简化模型，将人体简化成一个长方体，高 1.5a m =（颈部以下），宽0.5b m =，厚0.2c m =，跑步距离1000d m=，跑步最大速度5/m v m s =，雨速4/u m s =，降雨量2/w cm h =，记跑步速度为v 。

设总淋雨量为Q ，某一单位面积的淋雨量相同的部分面积为i S ，对应的单位面积的淋雨量记为i w ，淋雨量为i Q ，那么总淋雨量就可以表示为：i i idQ Q S w v==⨯∑∑ ()1模型假设1. 人在奔跑过程中，v 大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2. 对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3. 对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。

在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。

4. 假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变5. 假设单位时间内接收的雨量与雨速成正比。

6. 将人体理想化为一个长、宽、高已知的长方体模型，且人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计，即相当于长方体的平移。

模型建立与求解 问题一由于不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则应以最大速度跑步，此时m v v =，全身各部位（除底部其余五个面）单位面积淋雨量相同，则22S ab ac bc =++。

单位面积淋雨量就等于单位面积降雨量w ，代入()1式可得1. 2.44Q Stw L =≈问题二当雨从迎面吹来，根据假设3，两侧不淋雨，此时淋雨面为顶部（面积1S ）和正面（面积2S ）。

人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系摘要：本文通过分析人在雨中奔跑的速度与淋雨量之间存在的关联，针对不同的降雨方向，将人简化为长方体模型，建立了奔跑速度与总淋雨量的优化模型。

针对问题一，假设雨水淋遍全身且不考虑雨的方向，通过简单的模型分析得到跑完全程的总淋雨量。

针对问题二，考虑雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向雨速和水平方向雨相对于人的速度，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数的单调性分析，得知总淋雨量最少时奔跑速度最大。

针对问题三，考虑雨从后面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向速度和水平方向上的相对速度，针对不同情况，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数单调性的分析讨论，得出了总淋雨量最少时的奔跑速度。

针对问题五，针对雨线方向与跑步方向不在同一平面内的情况，对雨速进行空间直角坐标分解，结合问题三，分析模型发生的变化。

关键词：跑步速度；总淋雨量；相对速度；单调性分析；矢量分解一、问题重述对于行人来说，下雨天最糟糕的情况莫过于出门在外雨伞没带。

在这种情况下，人们习惯用快跑来摆脱困境。

归根结底，“跑得越快淋雨就越少”的观点只是一种感性认识。

因此，考虑通过建模来科学分析两者之间的关系。

对于下列四个问题，分别给出奔跑速度与淋雨量之间的定性分析。

问题1：在不考虑雨线方向的情况下，计算以最大速度跑完全程的淋雨量。

问题2：考虑雨从迎面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为α。

建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。

问题3：考虑雨从背面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为β。

建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。

问题5：考虑雨线方向与跑步不在同一铅直面上时，模型的变化。

二、问题分析问题1，将人简化为长方体模型，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，分析人的淋雨面积共五个面分别为前面、背部、顶部、左侧面和右侧面。

在雨中被淋雨量与行进速度的关系探究鲁妙然提要：本文通过建立模型，简要分析了在雨中被淋雨量与行进速度的关系，希望对生活有所帮助。

关键词：小尺度，雨滴流密度面积分，对时间函数正文：1.引言生活中我们经常遇到这样的情况：外面在下雨，我们没带伞但又必须冒雨经过一段路程，这就让我产生了一个疑问：在雨中究竟是跑步淋到的雨少还是走路淋到的雨少？对于同一段路程，跑步花的时间短，但单位时间内淋的雨量可能更多。

本文试对该问题做一个相对具体的分析。

2.建立流密度场模型首先我们要建立一个模型，实际生活中由于风受地形，温度，气压影响较大，情况很复杂，所以本文只讨论在一块较为平坦的区域，行进路线为直线，且区域内没有剧烈气温、气压变化的情况，并且降雨量同一时刻在所选区域内处处相同。

一般冒雨出行距离不会太远，大约在几百米左右，这个距离小于小尺度天气系统最低尺度，所以可认为在该区域内不同地点同一时刻风向一致（当然若正好处在天气系统边界上就可能会不一致，但所选区域尺度极小，所以恰好处在天气系统边界上概率不大）。

我们定义“雨滴流密度”：即在空间中某点附近单位时间内通过垂直于该处雨滴运动方向的面积微元的某一指定尺寸的雨滴数目与面积的比值，用字母j 表示，有v n v dsnds j ==，其中v 是在该处附近雨滴的速度，n 是该处附近雨滴的数密度。

（这个定义参照电流密度）。

需注意的是同一位置同一时刻的n 是雨滴直径的函数，及不同大小的雨滴数密度是不同的，下面的分析中我们只讨论某一确定大小雨滴（认为尺寸与之差异微小的的雨滴看作尺寸与之相同）的情况，因为不同大小的雨滴对该问题的情况是相同的。

所有尺寸雨滴的总淋雨点数N 乘以每个水滴的含水量求和（)(ρV N V ⋅∑）即得总淋雨量。

后面的讨论中主要是对水滴的水平速度做分析，而不同尺寸雨滴水平分速度差异并不大，因为一般的雨滴直径最大不超过5mm ，所以均认为等于水平风速，所以只需讨论一种尺寸的雨滴行为，就可以代表全部了。

论文题目：淋雨量与人在雨中奔跑速度的关系目录一.摘要 ................................................................................二.问题的重述....................................................................三.问题分析 .........................................................................四.建模假设 .........................................................................五.模型的建立......................................................................六.模型的评价......................................................................七.参考文献 .........................................................................一.摘要本模型是研究人的淋雨量与人在雨中奔跑的速度的关系。

由于人在雨中行走的过程比较复杂，我们只能将人体简化为一个长方体建立模型，进行讨论。

本题中采用了优化模型，通过将人分为几个平面，分别求得各个平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。

在问题一中，因为已经假设降雨淋遍全身，且人以最大的速度跑步。

所以根据已知条件，直接列出方程进行求解。

在问题二中，我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。

雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。