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1-线性规划的基本性质

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第2章 线性规划

第2章 线性规划


目标函数下降
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
X2=4
B A
目标函数上升
C
X2 0
E
D
X1 X1=6
4X1-3X2=0
X1=1
对解的讨论： .唯一解 .无穷解 .无解： 可行域空集 可行域无界
X2 X1+2X2=10 X2=4
X1 0
a11 a12 a1n 约束方程组 A P1 , P2 , Pn 系数矩阵 a m1 a m 2 a mn
A为m ×n矩阵（ m为约束方程个数，n为变量个数）
a11 a12 a1n A P1 , P2 , Pn a m1 a m 2 a mn
消除负的右端常数项
MAXZ=-X1-3(X3-X4) S.T. 6X1+7(X3-X4)8 X1-3(X3-X4) ≥6 X1-(X3-X4)=3 X1、X3、X4 0
约束方程还不是等式约束
人为添加变量，成为等式约束
对于“≤”约束，添加松弛变量 对于“≥”约束，添加剩余变量
6X1=5X1+3X2 S.T. 3X1+5X215
max Z 5 x1 3 x 2 3 x1 5 x 2 x 3 15 5 x1 3 x 2 x 4 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
5X1+2X210
X1,X20
2、给出基本可行解
• 6．基本可行解：满足非负条件
对于D1 ，基变量为X4、X5，X1、X2、X3为非基变量，令 X1、X2、X3=0， X4 = 8、X5 = 1 对于D2 ，基变量为X1、X2，X3、X4、X5为非基变量，令 X3、X4、X5 =0， X1 = -13/4 、X2=15/4
1.线性规划

1.线性规划

其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，
通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。
表1.2 营业员需要量统计表
min f (x), s.t. x∈.
约束条件
可行解域
线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
运筹学的主要内容
数 学 规 划 组 合 优 化 随 机 优 化
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
学 科
内
容
许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优 化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的 模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、 非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等. 近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几 乎每次都有一道题要用到此方法. 此类问题的一般形式为： 目标函数
星 期 需要 人数 星 期 需要 人数
一
二 三 四
300
300 350 400
第1章 线性规划基本性质

第1章 线性规划基本性质


1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
Chap 1 线性规划基本性质

Chap 1 线性规划基本性质


标准化3
min z = x1 +2 (x2′-x 2〃 ) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≤ 5 2x1 +3 (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≥ 6 x1 + (x2′-x 2〃 ) + x3 ′ ≤ 2 x1, x2′, x 2〃, x3′ ≥0
24
第三节 线性规划的标准型
14
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性
• 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时 得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
例1的数学模型变为 max z = 3x1 +4 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 s.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
例如 max z = 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≤2 s.t. x1 -3 x2 ≤3 x1 ≥0, x2 ≥0
-1
3 2
z =12 z =6 x1 -3 x2 =3 x1
1
1 -1
16
2
3
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性（续）
• 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
22
第三节 线性规划的标准型
• 例
min z = x1 +2 x2 -3 x3 x1 +2 x2 - x3 ≤5 2x1 +3 x2 - x3 ≥6 s.t. -x - x + x ≥ -2 1 2 3 x1 ≥0, x3 ≤0 min z = x1 +2 x2 +3 x3′ x1 +2 x2 + x3′ ≤ 5 2x1 +3 x2 + x3′ ≥ 6 -x1 - x2 - x3′ ≥ -2 x1 ≥0, x3′ ≥ 0
运筹学课程讲义

运筹学课程讲义

运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。

桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。

生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。

生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。

该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。

每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。

这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。

如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。

使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。

一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。

线性规划的数学模型和基本性质

线性规划的数学模型和基本性质


月份 所需仓库面积 合同租借期限 合同期内的租费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述
例1
项目
I
设备A（h）
0
设备B（h）
6
调试工序（h） 1
利润（元）
2
II
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。
肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。
牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高? 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
24
利润 40 50
第4章线性规划

第4章线性规划


f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
线性规划与最优解知识点总结

线性规划与最优解知识点总结

线性规划与最优解知识点总结线性规划是运筹学中一种重要的数学优化方法，用于求解一个目标函数在一组约束条件下的最优解。

线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产调度、资源分配、投资决策等。

在本篇文章中，我们将对线性规划与最优解的关键知识点进行总结。

一、线性规划基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过选择合适的决策变量，使得目标函数达到最小值或最大值。

目标函数通常是一组线性方程。

2. 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一组约束条件，这些条件通常是一组线性不等式或等式。

约束条件反映了问题的限制条件。

3. 决策变量：决策变量是线性规划中的未知数，通过对它们的取值进行优化，可以实现目标函数的最优解。

二、线性规划的解法1. 图解法：对于二维及三维的线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来找到最优解。

最优解通常位于约束条件的交点处。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划算法，通过迭代计算，找到目标函数的最优解。

该方法适用于多维的线性规划问题。

三、线性规划的最优解性质1. 最优解的存在性：在满足一定条件下，线性规划问题一定存在最优解。

但是，最优解可能不存在的情况也是存在的，这通常与约束条件的矛盾性有关。

2. 最优解的唯一性：线性规划问题的最优解可能是唯一的，也可能存在多个最优解。

是否存在多个最优解取决于目标函数和约束条件的性质。

四、常见的线性规划问题1. 最大化问题：通过选择合适的决策变量，使得目标函数达到最大值。

这种问题常见于投资决策、利润最大化等领域。

2. 最小化问题：通过选择合适的决策变量，使得目标函数达到最小值。

这种问题常见于成本最小化、资源分配等领域。

3. 平衡问题：在满足一组约束条件的前提下，通过优化决策变量的取值，使得各个变量之间达到平衡。

这种问题常见于供应链管理、产能平衡等领域。

五、线性规划的应用举例1. 生产调度问题：如何合理安排生产任务，使得生产效率最大化。

2. 资源分配问题：如何合理分配资源，使得资源利用率最高。

第一章 线性规划

第一章 线性规划

下料方法 毛坯数 毛坯长
B1 5 1 5
B2 4 2 20
B3 3 3 35
B4 2 4 50
B5 1 5 65
B6 0 7 10
毛坯 需要量 3000 5000
85 70 余料长度
4、营养问题 例5.假定一个成年人每天需要从食物中获取3000大 卡热量、65克蛋白质、800毫克钙和75克脂肪。如 果市场上只有8种食物可供选择，他们每千克所含热 量和营养成分以及市场价格见表所示，问如何选择才 能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小。
◦ 1、画出满足约束条件的可行区域，可行区域的点称为可 行解 ◦ 2、任取一点f=f0，画出等值线 ◦ 3、平移等值线，使目标函数达到最优。



1、把数学模型转化为标准型 2、确定基变量，在所有约束方程中只出现一次并 且系数为1的为基变量，其余为非基变量。 3、列出初始单纯型表 4、换基迭代：
红星玻璃制品厂是一个有3个工人的生产两种类型手工艺窗户的小厂。 窗户一种是木框架的，一种是铝框架的。3个工人的分工是：张三制作木 框架，每天做4个；李四制作铝框架，每天做6个；王二制作和切割玻璃， 每天制作18平方米的玻璃。又知每生产一个木框架窗户使用3平方米玻璃， 每一个铝框架窗户使用2平方米玻璃。又知每生产一个木框架窗户可获得 30元的利润，每生产一个铝框架窗户可获得50元的利润。由于工厂产量小， 可假设每天生产出来的产品都可以卖出去。现请为该厂制定一个每天的生 产计划，使其获利最大。 木框架窗户 铝框架窗户 工人的生产能力


5、检查检验数：若、确定最优解
◦ 原则上检验数大的变量入基，采用θ法则确定出基变量， 入基与出基交叉点处的变量为旋转元，用方框圈起。 ◦ 将旋转元所在行的所有元素都除以旋转元，将旋转元变为 1 ◦ 利用旋转元所在行的元素把旋转元所在列的所有元素都变 为0
第一章 线性规划

第一章 线性规划

对于标准形式的线性规划问题若约束方程系数矩阵中不存在现成的初始可行基则不能简单的用上述单纯形法而通常采用所谓的人工变量法
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
运筹学复习资料(1)

运筹学复习资料(1)

运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。

其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。

无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。

有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。

线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。

单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。

换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。

检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。

要求检验数全部小于等于零。

“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。

”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。

这里，x1为进基变量，x3为出基变量。

将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。

单纯型原理的矩阵描述。

在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。

最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。

这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。

但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。

解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。

线性规划基本性质

03
在线性规划问题中，最优基解一 定是基可行解，但基可行解不一
定是最优基解。
04
2023
PART 03
线性规划的几何解释
REPORTING
线性规划在几何上的表示
线性规划问题可以用一组不等式和等式来表示，这些不等式 和等式可以看作是定义了一个多维空间中的半空间和超平面 。
在几何上，这些半空间和超平面可以表示为一个凸多面体， 称为可行域。
01 Excel内置了线性规划求解工具，可以通过“工具 ”菜单中的“规划求解”选项进行操作。
02 Excel的线性规划求解工具支持多种约束条件，包 括等式约束、不等式约束和整数约束等。
03 Excel的线性规划求解工具可以处理包含多个决策 变量和目标函数的问题。
MATLAB实现
MATLAB提供了优化工具箱， 其中包括线性规划求解器。
在线性规划问题中，变量的取值范围 是有限的，通常表示为闭区间。
凸性
凸性是指目标函数和约束集都是凸集， 即对于任意两个点，连接它们的线段 仍在集合内。
VS
凸性是线性规划问题的一个重要性质， 因为凸集的性质可以简化问题的求解 过程。
有效解与最优解
有效解是指满足所有约束条件的解，即在该解处， 目标函数取得非负值。
PuLP可以与其他Python库集成，如NumPy和SciPy，以提供更
03
高级的功能和算法。
2023
PART 06
线性规划的案例分析
REPORTING
案例一：生产计划问题
目标函数
最大化总利润或最小化总成本。
约束条件
包括资源限制、市场需求、产品组合等。
解决方案
通过求解线性规划模型，找到最优的生产计划方 案。

物流运筹学习题及答案1题目线性规划基本性质

习题一1.1试述LP模型的要素、组成部分及特征。

判断下述模型是否LP模型并简述理由。

(式中x,y为变量；O为参数;a,b,c,d,e为常数。

)(1)max Z=2X∣-X2-3X3X1÷X2+X3=13x i-x2+5X3≤82x1-4X2+3X3≥5x1>O,x2≤O(2)minZ=π⅛*=!EaikXkNbi,i=1,2…,ms∙t∙IA=I[x k≥0Λ=1,2...»w(3)minZ=ZaiXi+»凶∕=l√=ιx i≤c i,i=1,2,...,znS.t.<y j≤d j J≈∖,2,...n%十%≥%∙〃4))maxz=7C.X i JJj=∣EaijXj≤b i+d iΘ,/=1,2,...,∕n5)t.；=1Xj≥OJ=1,2,...«1.2试建立下列问题的数学模型：(1)设备配购问题某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，受管130公顷，秋收470公顷。

可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。

问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？(2)物资调运问题问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？（3）食谱问题某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。

可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。

若病人每周需14份蔬菜,问选用每种蔬菜各多少份？（4）下料问题某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？用图解法求解卜.列LP问题：（1）min Z=6XI+4X22x1+X2≥1s.t.3x1+4X2≥1.5x1>O,x2≥O(2)maxz=2.5x1+x23x1+5x2≤155.t.<5x l+2X2≤IOx1≥O,x2≥O(3)maxz=2xι+2x2X∣—X?≥-1-0.5x1+x2≤2x1≥O,x2≥O(4)maxz=Xι+χ2Λ1-x2≥O s.t.∙3x∣—x9≤—3x1≥O,x2≥O(5)minz=2x∣-10x2X1-X2≥O5)t.x1-5X2≥-5x1≥O,x2≥O6))minZ=-IOxi-IIx23x1+4X2≤105x l÷2Λ2≤8s.t.X I-2X2≤2x1≥O,x2≥O1.4把L3题的(3)-(6)化成标准形.1.5把下列LP问题化成标准形。

第二章线性规划的基本性质


(LP)
， c (c1 , c 2 , , c n ) T R n ，
x ( x1 , x 2 , , x n ) T R n 是(LP)的决策变量。在(LP)中，不妨设 A 的秩 r(A)=m，并且 A 不含零向量列。
并称为是 x j 所对应的系数列向量， 则 a j 0( j 1, , n) 。 记向量 a j ( j 1, , n) 是矩阵 A 的第 j 个列向量， 集合 S { x R | Ax b, x 0} 为(LP)的可行域，约束 Ax b 称为(LP)的主约束， x 0 是非负约束。
m
Ax b ，所得解就是关于 B 的基本解。若此解满足非负条件，那么就是基本可行解。 xN 0
4
定义 2.2.3 设(2.2.2)是 S 关于 B 的基本可行解。若 B 1 b 0 ，则称(2.2.2)是非退化的基本可行解，B 为非退化的可行基，否则称(2.2.2)为退化的基本可行解，B 为退化的可行基。若 S 的所有基本可行解都 是非退化的，则称(LP)是非退化的。 例 2.2.1 考虑例 1.2.1，即
（1.1.1）
2．画出目标函数梯度即方向 c= (c1 , c 2 ) T ，经过 S 中某点的目标函数等值线（与 c 垂直） 。 3．沿 c 的反方向移动目标函数等值线直到再移动则等值线与 S 不再相交为止，或得知可无限移动。 4．求得最优解或得知不存在最优解。 下面通过一个具体例子说明如何用图解法求解问题(1.1.1)。 例1.1.1 用图解法求解线性规划问题
1
l
T
j
（2）(LP)存在最优解时，最优解可在某个极点达到。 根据定理 2.1.1 知和注 1.2.1 得知如下结论。 推论 2.1.1 若某一线性规划问题的可行域非空有界，则该问题一定存在最优解；若某一线性规划问 题存在最优解，最优解一定可在某个极点达到。

运筹学_线性规划1

min Z 2x1 3x2 x3
x1 x 2 x3 10 3 x 2 x x 8 1 2 3 s.t. x1 3 x 2 x3 1 x1 , x 2 0, x3 符号不受限制
Байду номын сангаас
标 准 化
maxZ 2x1 3x2 ( x3 x4 ) 0 x5 0 x6
I 设备A(h) 设备B(h) 调试工序（h） 利润（千元） 0 6 1 2
II 5 2 1 1
课堂练习
一家家电公司准备将一种新型电视机在三家商场进行销 售，每一个商场的批发价和推销费及产品的利润如表所示。 由于该电视机的性能良好，各商场都纷纷争购，但公司每 月的生产能力有限，只能生产1000台，故公司规定：商场 1至少经销100台，至多200台，商场2至少经销300台，商 场3至少经销200台。公司计划在一个月内的广告预算费为 8000元，推销人员最高可用工时数为1500。同时，公司只 根据经销数进行生产，试问公司下个月的市场对策？
④ 右端非负。
标准型的紧缩形式：
max Z c j x j
j 1 n
标 准 型
n aij x j bi s.t. j 1 x 0 j
i 1,2,, m j 1,2,, n
标准型的矩阵形式：
max Z CX
AX b s.t. X 0
例2-3 某饲料公司生产一种鸡饲料，每份饲料
问 题 的 导 出
为100公斤，饲料中的营养成份要求、配料及 其成本数据如下：
配料 营养成分 单位 蛋白质 配料 钙 含量 粗纤维 单位配料成本 大豆粉 玉米粉 石灰石 0.50 0.002 0.08 2.50 0.09 0.001 0.02 0.926 0 0.38 0 0.164 含量要求 ≥22% ≥0.8%且≤1.2% ≤5%
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对于n 维空间的一组向量 P1, P2 , , Pm ,若在数
域 F中有一组不全为 0的数 ai (i 1,2, , m) 使 a1P1 a2P2 L amPm 0
成立，则称这组向量在 F上线性相关，否则称 这组向量在 F上线性无关。
37
基本概念与基本定理
2. 秩：
设A是m n矩阵。若A的n个列向量中有r个线
日销量
产品
B1=3
A1=5
4
A2=7
1
A3=8
7
B2=4
11 9 4
B3=5 B4=8
3
10
2
8
10
5
6
线性规划的数学模型
设从生产点i到销售点j的调运数量为 xij 吨,
则目标函mi数n z为: 4x11 11x12 3xm13inz10x41x41111x12 3x13 10x14
min z x42x111911xx2212 23xx1233108xx1244x721x391 x224x232x23 8x24 7x31 4x32
39
基本概念与基本定理
线性规划的基本概念：
1. 可行解：满足上述约束条件（1.3.1）和 （1.3.2）的解。
2. 最优解：满足上述约束条件（1.3.3）的
可行解。 AX b
(1.3.1)
X 0
(1.3.2)
min z CX (1.3.3)
40
基本概念与基本定理
3. 基：已知A是约束条件的m n 系数矩阵， 其秩为m。若B是A中 mm非奇异子矩阵 （即可逆矩阵，有 B 0 ）,则称B是线性 规划问题的一个基，B是由A中m个线性 无关的系数列向量组成的。
2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为 等式:
(1) 若原约束不等式左端>=右端,则： 左端-剩余变量=右端（剩余变量>=0)
(2) 若原约束不等式左端<=右端,则： 左端+松弛变量=右端（松弛变量>=0)
32
线性规划的标准型
3. 若原模型中变量 xk是自由变量，如何化为非负变量: 令 xk xk xk(xk 0, xk 0) 4. 若原模型中变量 x j有上下界，如何化为非负变量： 若 x j u j,即 x j u j 0 ,令 xj x j u j ,有xj 0,用 (xj u j ) 代替 x j即可。 若x j t j ,即 t j x j 0 ,令xj t j x j ,有 xj 0 ,用 (t j xj) 代替 x j即可。
设备
A B C 利润(元/吨）
每吨产品的加工台时
甲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
乙
3
4
5
4
9
8
32
30
总有限台时
36 40 76 求max
4
线性规划的数学模型
设计划期内甲、乙两种产品的产量分别为 x1 吨、x2吨.
目标函数： max z 32x1 30x2
3x1 4x2 36 约束条件： 5x1 4x2 40
2( x3 x4 (x3 x4 )
) x6 2 x7 5
x1 0，x2为自由变量 xi 0;i 1,3,4,5,6,7
化为标准型
35
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
36
基本概念与基本定理
复习概念：
1. 线性相关：
唯一解
一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到
方程特点
无穷多解
在围成的区域边界上,至少 目标和某一约束 有两个顶点处达到最优值 方程成比例
无可行解 围不成区域
有矛盾方程
无界解
围成无界区域 , 且无有限 最优值
缺少一必要条件 的方程
20
图解法
三、两点结论
1. 线性规划问题的可行域为凸集，特殊 性况下为无界解（但有有限个顶点） 或空集。
x13 x23 x33 5
x14 x24 x34 8
xij 0(i 1, 2, 3; j 1, 2, 3, 4)
7
线性规划的数学模型
线性规划问题的特点
1) 前面数学模型的特征：
目标函数是未知量的线性函数，约束条件是未 知量的线性等式或线性不等式。 未知量的取值范围是非负的。
2) 线性规划问题定义：
27
线性规划的标准型
(2) 缩写形式:
n
min z c j x j j 1 n
aij xj bi (i 1, 2,L , m)
j 1
xj 0( j 1, 2,..., n)
28
线性规划的标准型
(3) 向量形式:
min z CX
n
Pj x j b
j 1
X 0
29
线性规划的标准型
(4) 矩阵形式:
min z CX
AX
b
X 0
30
线性规划的标准型
任一模型如何化为标准型
1. 若原问题要求目标函数实现最大化，如何将 其化为最小化问题:
max (CX ) -[min(-CX )]
max(f(x)) y
1
0
1
min(-f(x))
f(x) x
-f(x)
31
线性规划的标准型
性无关(r n),而所有个数量大于 r的列向量组
都线性相关，则称数 r 为矩阵 A的列秩。类似 可定义矩阵 A的行秩。矩阵 A的列秩与行秩一 定相等，它也称为矩阵 A的秩。
38
基本概念与基本定理
一、线性规划问题的基与解
线性问题的标准型： AX b X 0 min z CX
(1.3.1) (1.3.2) (1.3.3)
第一部分
线性规划
1
第一章
线性规划的基本性质
2
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
3
线性规划的数学模型
例1：某厂生产甲、乙两种产品。每吨甲、乙产品在不 同设备上加工所需的台时、它们销售后所能获得的利 润以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时 数均列于下表。试问：如何安排生产计划，可使该厂 所得利润最大？
x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
34
线性规划的标准型
max z x1 x2
min z x1 ( x3 x4 )
2
x1
x2
2
s.t.x1 2x2 2
x1 x2 5
2x1 ( x3 x4 ) x5 2
s.t
.
x1 x1
3
2X1+4X2=16
2
Q(4,2)
Z增
1
(1.2.2)
12 3 4
8 x1
16
图解法
3. 无可行解
上例增加一个约束条件：x2 5
x2
4 R(0,4) (1.2.1)
3
2X1+3X2=6
2 Z增
1
12 3
Q(4,2)
(1.2.2) 4
8 x1
17
图解法
4. 无有限最优解（无界解） 如果全部约束条件构成的可行域是无界
2. 线性规划问题若有最优解，一定可以 在其可行域的顶点上得到。
21
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
22
线性规划的标准型
数学模型的标准型
1. 标准型: 实际问题的线性规划模型是多种多样的，在众 多的样式中，我们规定一种叫作标准型。
2. 标准型特征：
4. 基向量：基B中的一列即为一个基向量。 基B中共有m 个基向量。
41
基本概念与基本定理
5.非基向量：基B之外的一列即为一个非 基向量。A中共有（n-m）非基向量（假 设n>m）。
6.基变量：与基向量Pi相应的变量 xi叫基变 量，基变量共有m 个。
7.非基变量：与非基向量 Pj相应的变量x j叫 非基变量，非基变量共有（n-m）个。
12
图解法
x2 4 R(0,4)
(1.2.1) 3
2X1+3X2=6
2 Z增
1
0 123
Q(4,2)
(1.2.2) 4
max z 2x1 3x2 x1 2x2 8 4x1 16 x1 0 x2 0
8 x1
13
图解法 结论：
max z 2x1 3x2 x1 2x2 8 4x1 16 x1 0 x2 0
42
基本概念与基本定理
8.基本解：令所有非基变量为0，求出的满 足上述约束条件(1.3.1)的解叫基本解.
9.基本可行解：满足上述约束条件(1.3.2)的 基本解叫基本可行解。不满足上述约束 条件(1.3.2)的基本解叫不可行解。
这种以未知量的线性函数为特征的一类最优 化问题即是线性规划问题。
8
第一章
1. 线性规划的数学模型 2. 图解法 3. 线性规划的标准型 4. 基本概念与基本定理
9
图解法
图解法简单直观，平面上作图适于求 解二维问题。在用图解法求解线性规划 问题时，不必把数学模型化为标准型。
10
图解法
一、图解法步骤
的，则有可能出现无有限最优解的情况。
max z x1 x2 x1 2x2 4 x1 x2 2 x1 0 x2 0
(1.2.5) (1.2.6) (1.2.7) (1.2.8)
18
图解法
x2
(1.2.6) 3
max z x1 x2 x1 2x2 4 x1 x2 2 x1 0 x2 0