线性规划问题解的基本性质和几何意义

对于n 维空间的一组向量 P1, P2 , , Pm ,若在数
域 F中有一组不全为 0的数 ai (i 1,2, , m) 使 a1P1 a2P2 L amPm 0
成立，则称这组向量在 F上线性相关，否则称 这组向量在 F上线性无关。
37
基本概念与基本定理
2. 秩：
设A是m n矩阵。若A的n个列向量中有r个线
日销量
产品
B1=3
A1=5
4
A2=7
1
A3=8
7
B2=4
11 9 4
B3=5 B4=8
3
10
2
8
10
5
6
线性规划的数学模型
设从生产点i到销售点j的调运数量为 xij 吨,
则目标函mi数n z为: 4x11 11x12 3xm13inz10x41x41111x12 3x13 10x14
min z x42x111911xx2212 23xx1233108xx1244x721x391 x224x232x23 8x24 7x31 4x32
39
基本概念与基本定理
线性规划的基本概念：
1. 可行解：满足上述约束条件（1.3.1）和 （1.3.2）的解。
2. 最优解：满足上述约束条件（1.3.3）的
可行解。 AX b
(1.3.1)
X 0
(1.3.2)
min z CX (1.3.3)
40
基本概念与基本定理
3. 基：已知A是约束条件的m n 系数矩阵， 其秩为m。若B是A中 mm非奇异子矩阵 （即可逆矩阵，有 B 0 ）,则称B是线性 规划问题的一个基，B是由A中m个线性 无关的系数列向量组成的。
2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为 等式:

第三章线性规划的解法§3.1重点、难点提要一、线性规划问题的图解法及几何意义1．图解法。

线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。

图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。

（1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为：1）在平面上建立直角坐标系；2）图示约束条件，找出可行域。

具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。

求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点；3）图示目标函数直线。

给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线；4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。

具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。

对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。

（2）线性规划问题的几种可能结果：1）有唯一最优解；2）有无穷多个最优解；3）无最优解(无解或只有无界解)。

2．重要结论。

（1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点；（2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。

若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。

（3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对于n 个变量m 个约束方程的线性规划问题，基可行解的个数不会超过!!()!m n n m n m C =-。

D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10

目标函数下降
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
X2=4
B A
目标函数上升
C
X2 0
E
D
X1 X1=6
4X1-3X2=0
X1=1
对解的讨论： .唯一解 .无穷解 .无解： 可行域空集 可行域无界
X2 X1+2X2=10 X2=4
X1 0
a11 a12 a1n 约束方程组 A P1 , P2 , Pn 系数矩阵 a m1 a m 2 a mn
A为m ×n矩阵（ m为约束方程个数，n为变量个数）
a11 a12 a1n A P1 , P2 , Pn a m1 a m 2 a mn
消除负的右端常数项
MAXZ=-X1-3(X3-X4) S.T. 6X1+7(X3-X4)8 X1-3(X3-X4) ≥6 X1-(X3-X4)=3 X1、X3、X4 0
约束方程还不是等式约束
人为添加变量，成为等式约束
对于“≤”约束，添加松弛变量 对于“≥”约束，添加剩余变量
6X1=5X1+3X2 S.T. 3X1+5X215
max Z 5 x1 3 x 2 3 x1 5 x 2 x 3 15 5 x1 3 x 2 x 4 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
5X1+2X210
X1,X20
2、给出基本可行解
• 6．基本可行解：满足非负条件
对于D1 ，基变量为X4、X5，X1、X2、X3为非基变量，令 X1、X2、X3=0， X4 = 8、X5 = 1 对于D2 ，基变量为X1、X2，X3、X4、X5为非基变量，令 X3、X4、X5 =0， X1 = -13/4 、X2=15/4

第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m

第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0

bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域

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线性规划解的关系图
最优解？
非可行解
可行解
基解
基可行解
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• 例：求基解、基可行解、最优解。
max
z 2 x1 3 x 2 x 3 x3 5 x1 x 2x x 4 10 1 2 x2 x5 4 xi 0, i 1,2,,...,5
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
4x1 16
7—
6— 5—
目标函数等 值线的斜率 C
4 —B
3— 2— 1—
D
最优解 4 x2 16 x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
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• 引理：可行解X为基可行解 X的正分量对应的列向量线性无关 • 定理2：线性规划问题的基可性解X 对应于可行域D的顶点。 证明：反证法。分两步。
• 定理3：若可行域有界，线性规划 问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优。
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几点结论：
• 线性规划问题的可行域是凸集。 • 基可行解与可行域的顶点一一对 应，可行域有有限多个顶点。 • 最优解必在顶点上得到。
A
0பைடு நூலகம்
E
| 5
x1 下页 返回
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图解法
9— 8—
x2
•可行域为凸集 •目标函数不同时 等值线的斜率不同 •最优解在顶点产生
X X (1) (1 ) X ( 2) 则X为顶点.

第二章线性规划教学目的：了解线性规划的基本概念，理解线性规划最优化原理、单纯形法原理，掌握单纯形法及其矩阵描述、人工变量法、，能够对简单的问题建模。

教学重点：线性规划的含义、性质；线性规划问题的求解方法——图解法、单纯形法。

线性规划模型的建立非标准型线性规划问题转化为标准线性规划问题；线性规划问题的图解法；解的存在情况判断；大M法；两阶段法；单纯形法的矩阵表示；教学难点：单纯形法的求解思想、矩阵表示、对偶理论、对偶单纯形法以及灵敏度分析。

学时： 8学时2.1 线性规划(Linear Programming,LP)问题及其数学模型（1学时）我们应用数学规划模型求解实际问题中，将实际问题抽象成数学模型，然后再对其求解。

2.1.1线性规划问题提出我们用一个简单例子来说明如何建立数学规划问题的数学模型。

例2.1 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，有关资料见表2－1。

解：用数学语言来描述生产计划安排问题，这个过程称为建立其数学模型，简称建模。

设：①桌子、椅子生产的数量分别为x1，x2，称为决策变量。

因为产量一般是一个非负数，所以有x1，x2≥0，称非负约束。

②限制条件为木工和油漆工的加工时间约束了产品的生产量x1，x2。

约束如下：4x1＋3x2≤1202x1＋x2≤50③生产桌子、椅子x 1，x 2所得总收入为Z ，显然Z ＝50x 1＋30x 2。

我们希望总收入值能达到最大，这个关系用公式表达为max Z ＝50x 1＋30x 2 把上述所有数学公式归纳如下12121212max .0z 50x 30x 4x 3x 120s t 2x x 50x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，这就是一个最大化的线性规划模型。

例 2.2（运输工具的配载问题）有一辆运输卡车，载重2.5t ，容积183m ，用来装载如下的两种货物：箱装件125kg/个、0.43m /个；包装件20kg/个、1.53m /个。

问：如何装配，卡车所装物件个数最多？解 根据题意，设箱装件1x 个，包装件2x 个，那么需要满足条件：体积约束 120.4 1.518x x +≤重量约束 12125202500x x +≤非负约束12,0x x ≥目标要求 max z=12x x +我们对上面的式子稍作整理，便得到下面的形式：max z=12x x +1212120.4 1.518125202500,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 上述两例中所提出的问题，最终都归结为在变量满足线性约束条件的前提下，求使线性目标函数最大或最小的问题，这种问题称为线性规划问题。

求解如下的线性规划问题
max Z = 10 x1 + 15 x2 + 12 x3 5 x1 + 3 x2 + x3 ≤ 9 − 5 x1 + 6 x2 + 15 x3 ≤ 15 2 x1 + x2 + x3 ≥ 5 x1 , x2 , x3 ≥ 0
化标准型
max Z = 10 x1 + 15 x2 + 12 x3 5 x1 + 3x2 + x3 ≤ 9 − 5 x1 + 6 x2 + 15 x3 ≤ 15 2 x1 + x2 + x3 ≥ 5 x1 , x2 , x3 ≥ 0
max Z = 10 x1 + 15 x2 + 12 x3 − Mx7 5 x1 + 3 x2 + x3 + x4 = 9 − 5 x1 + 6 x2 + 15 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + x3 − x6 + x7 = 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
2 - 4 取子矩阵D 取子矩阵 3，D3 = -1 7
D3 ≠ 0
D3为一个基
对于D 基变量为X 为非基变量， 对于 3 ，基变量为 1、X4，X2、X3为非基变量，令 X2、X3=0 X1 =34/5、X4=7/5 、
可行解
P2、P3
3 -1 取子矩阵D 取子矩阵 4，D4 = 2 - 6
在每根7.4米长的原料钢筋上截取2.9米、2.1米和1.5米的料各1 在每根7.4米长的原料钢筋上截取2.9米 2.1米和1.5米的料各1 7.4米长的原料钢筋上截取2.9 米和1.5米的料各 这样每根原料就都剩下了0.9米长的废料无法利用。 0.9米长的废料无法利用 根，这样每根原料就都剩下了0.9米长的废料无法利用。 所谓合理利用原材料，就是要使废料最少， 所谓合理利用原材料，就是要使废料最少，因此考虑如何在原 材料上合理套裁，以下几种方法都是能节省材料的较好方案： 材料上合理套裁，以下几种方法都是能节省材料的较好方案：

x1
1
x2
1
… 1m1
1n 1
2m1
2n 2
…
…
……
xm
1
mm 1
mn m
z
0 0 …0
… z m 1
n 0
最优性检验与解的判别
定理1（最优解的判别定理）设 x(0)为(LP)的 一基可行解，若对任意的非基变量，都 有 j 0，则 x(0)为最优解，称 j 为检验数。
定理2 若对某非基变量，有
z
0 0 -5/3 -2/3 -46/3
主元
×（2/3）
例2 用单纯形法求线性规划问题的解
min z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
s.t.
2x2 4x3 x4
12
4x2 3x3 8x5 x6 10
xj 0,( j 1,,6).
主元
基 x1 x2 x3 x4 x5 x6 b x1 1 3 -1 0 2 0 7 x4 0 -2 4 1 0 0 12 3 x6 0 -4 3 0 8 1 10 10/3 z 0 -1 3 0 -2 0 0
x y6s.t.x2y8
x , y 0
最优解
可行域
继续
等值线 x+3y=C
解的概念
可行解(feasible solution) ：满足线性规划问题(LP) 的所有约束条件的解，称为线性规划问题的一 个可行解。
可行域：(LP)的所有可行解组成的集合K称为(LP) 的可行域。若可行域为空，则称不可行。对标 准型线性规划问题，其可行域为 K {x|A x b ,x0 }
x4
-1 ○2 0 1 8 8/2
z
1 ○3 0 0 0

（1）凸集：设有任意两点X(1)、X(2)在某个点集中，其中X(1)≠X(2)，如果连接这两点的线段上所有的点也在这个点集之中，则称这个点集为凸集。

凸集定义的另外一种表示形式是：设K是n维欧氏空间的一个点集，若任意两点X(1)∈K、X(2)∈K的连线上一切点X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1)，则称K为凸集。

不符合上述特征的点集不是凸集，称为凹集。

（2）极点或顶点：设K是一个凸集，再令X∈K，如果X不能用不同的两点X(1)∈K、X(2)∈K的线性组合X=X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1)表示，则称点X是K的一个极点或顶点，其直观意义就是X不是K中任何线段的内点。

（3）基本解和基本可行解：在线性规划问题约束条件方程中，由与约束条件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫基本矩阵。

一个有n个变量m个约束（m≤n）的线性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵。

所谓满秩矩阵，就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行元素全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变换)；
所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组的消元法完全一致。

令不与基本矩阵中列向量对应的变量（这些变量就叫非基变量）为零后，约束方程中剩余的与基本矩阵对应的变量就可唯一求得（这些变量就叫基变量），求得的这个解就叫基本解。

简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划问题的解”。

p16-5
6. 基变量 —— 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 ——与非基向量相对应的变量,ห้องสมุดไป่ตู้共有n-m个.
p16-1
§3 线性规划的基本概念与基本定理
一、线性规划问题的基与解
设有标准型:
AX b X O min z CX (1 1 ) (1 2 ) (1 3 )
运筹学
运筹学
1. 可行解 —— 满足约束条件(1-1)(1-2)的解. 2. 最优解 —— 满足(1-3)式的可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称
B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 —— 基B的每一列向量, 共有m个.
5. 非基向量 ——A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个.
min z x 1 x 2 x 3 s .t . x 1 3 x 2 x 3 4 x2 x3 x4 8 x j 0 , j 1, ,4
p16-3
运筹学
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解. 例 找出所有基本解, 并指出其 中的基本可行解和最优解.

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习题：用图解法求下列线性规划:
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
x2
2 x1 x2 2
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
x1 4 x2 4
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
x(1) (1 ) x(2) S 则称 S 是一个凸集。
几何意义：如果集合中任意两点连线上的一切点都在 该集合中，则称该集合为凸集。
凸集
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定义 2
设 x R , i 0, i 1, 2,, k , 且 i 1， 则称
(i ) n i 1
k
x 1 x (1) 2 x (2) k x ( k )
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3.可行解与最优解
Ax=b，x≥0；
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4.线性规划的可行域和最优解的性质
1.若线性规划的可行域非空，则可行域必定 为一凸集． 2.若线性规划的可行域非空，则至多有有限 个极点.
3.若线性规划有最优解,则至少有一个极点是 最优解.
可行域内 无限个 可行解 搜索
可行域的 有限个极点
x2
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图解法
步骤 一： 由全 部约 束条 件作 图求 出可 行域 ；
9— 8—
目标函数
Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件
x2
7—
6— 5—
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0

8.基本可行解（对应的基为可行基）：满
足非负条件的基本解。
4
9.退化的基本可行解
非零分量个数小于m（至少有一个基变量 取值为0）。
10.最优基
该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
基本解的个数≤Cmn
基本可行解的非零分量均为正分量 个数不超过m
5
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
（即可行域）
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b,
x，j
0
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规 划的基本可行解。
8
定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上 达到最优值。
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多个最优解。
11
二、 线性规划问题 解的概念和性质
1
一、LP问题的各种解
1. 可行解：满足约束条件和非负条
件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。 3. 可行域：LP问题可行解集构成n维
空间的区域，可以表示为：
D {X | AX b, X 0}
2
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。 5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。

03
在线性规划问题中，最优基解一 定是基可行解，但基可行解不一
定是最优基解。
04
2023
PART 03
线性规划的几何解释
REPORTING
线性规划在几何上的表示
线性规划问题可以用一组不等式和等式来表示，这些不等式 和等式可以看作是定义了一个多维空间中的半空间和超平面 。
在几何上，这些半空间和超平面可以表示为一个凸多面体， 称为可行域。
01 Excel内置了线性规划求解工具，可以通过“工具 ”菜单中的“规划求解”选项进行操作。
02 Excel的线性规划求解工具支持多种约束条件，包 括等式约束、不等式约束和整数约束等。
03 Excel的线性规划求解工具可以处理包含多个决策 变量和目标函数的问题。
MATLAB实现
MATLAB提供了优化工具箱， 其中包括线性规划求解器。
在线性规划问题中，变量的取值范围 是有限的，通常表示为闭区间。
凸性
凸性是指目标函数和约束集都是凸集， 即对于任意两个点，连接它们的线段 仍在集合内。
VS
凸性是线性规划问题的一个重要性质， 因为凸集的性质可以简化问题的求解 过程。
有效解与最优解
有效解是指满足所有约束条件的解，即在该解处， 目标函数取得非负值。
PuLP可以与其他Python库集成，如NumPy和SciPy，以提供更
03
高级的功能和算法。
2023
PART 06
线性规划的案例分析
REPORTING
案例一：生产计划问题
目标函数
最大化总利润或最小化总成本。
约束条件
包括资源限制、市场需求、产品组合等。
解决方案
通过求解线性规划模型，找到最优的生产计划方 案。

第五节 线性规划问题解的概念和性质
第五节 线性规划问题解的概念和性质
非退化的基本(可行)解， 并恰有 n – m 个 0 分量。
基本可行解对应的基，称为可行基； 最优基本解对应的基，称为最优基。 如：基 B0= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X0 = ( 0，0，8，12，36 )T 可行 基 B1= ( a2 ,a3 ,a4 ) 对应 X1 = ( 0，9，8，- 6，0 )T 不可行 基 B2 = ( a1 ,a2 ,a3 ) 对应 X2 = ( 4，6，4，0，0 )T
恰有 m 个非 0 分量，
为可行基
为非可行基
为最优基
x*
x*
B*
第五节 线性规划问题解的概念和性质
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
例： 求线性规划问题的所有基矩阵。
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵（不等于0）只有9个，即
第五节 线性规划问题解的概念和性质
凸性的几个基本概念 一、凸集 设S En，对任意两点X∈S ，Y∈S，若对满足0 ≤μ ≤1的一切 实数μ ，都有 μX+(1- μ)Y ∈ S 则称S为凸集。
X
Y
X
Y
凸集
凸集
非凸集
非
表示S 中两点 X，Y 连线上的任一点
凸集的几何意义：凸集S中任意两点 X，Y 连线上的点，都在凸集S中。
第五节 线性规划问题解的概念和性质
二、极点 设凸集S En, X∈S，如果X不能用S中不同的两点Y和Z 表示为 X =λY+(1-λ)Z (0<λ<1) 则称X为S的一个极点。 三、 凸组合 设Xi∈En, 实数μi ≥0,i = 1,2,… , s,且∑μi = 1，则称 X = μ1X1 + μ2X2 +…+ μsXs 为点 X1，X2，… ，Xs 的一个凸组合。

6 s.t.
5
B
G
2 x1 3
C x1
x2 x2 x2

x3 x4 x5

10 8 7
f(x) = 3 6
4
x1 , x 2 , x 3 , x2 4 , x 5 0
3 最优解
2
:
x
K
1

2, 1
x2

6,
1 max f ( x ) 36 .
D
否 确定改善方向
求新的基础可行解
求最优解的目标函数值
1、初始基本可行解的确定
对目标函数为(MAX≤)形式的线性规划背景模型，通过标准化， 每一个约束方程引入一个松弛变量，松弛变量为基变量，其 他变量为非基变量，得到一个初始基本可行解。
n
max f (x) cj xj j 1
s.t.

1、可行解：满足约束条件 (2)和(3)的解称为可行解。 2、基及基变量：设矩阵A的秩为m（n≥m）,则A中任何一组m个 线性无关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基(basis), 基中的这些列向量对应的变量称为基变量(basic variable)
3、基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（2） 的唯一解，称为基对应的线性规划的基本解（basic solution）。 4、基本可行解：满足（3）的基本解称为基本可行解 （basic feasible solution）；基可行解的非零分
2、最优解检验（根据线性规划问题的典式）
max z c B B 1 b ( c N c B B 1 N ) x N
s .t

x
B

B
1 Nx