线性规划的基本性质

运筹学课程讲义第一部分 线性规划 第一章 线性规划的基本性质 1.1 线性规划的数学模型一、 线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。

桌子售价50元/个，椅子售价30元/个。

生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。

生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。

该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？213050m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,50212034212121x x x x x x 例：某工厂生产某一种型号的机床。

每台机床上需要 2.9m 、2.1m 、1.5m 的轴，分别为1根、2根和1根。

这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m 。

如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、 数学模型的标准型 1. 繁写形式 2. 缩写形式 3. 向量形式 4. 矩阵形式三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量x k 是自由变量，如何化为非负变量？4. 若原模型中变量x j 有上下界，如何化为非负变量？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≤+--≥-+----=无约束321321321321321,0,052010651535765max x x x x x x x x x x x x x x x z 令'''3'3''3'331'1,0,,,Z Z x x x x x x x =-≥-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=+-++=+-+-=+-+-+--+-++-=0,,,,,,,5201010651533507765min 7654''3'32'17''3'32'15''3'32'164''3'32'1765''3'32'1'x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x x z 1. 2图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。

第六章 线性规划及其解的实现线性规划是目前应用最广泛的一种系统优化方法，它的理论和方法已十分成熟，可以应用于生产计划、物质调运、资源优化配置、地区经济规划等许多实际问题.线性规划最早由前苏联学者L V Kantorovich 于1939年提出，但他的工作当时并未为人所熟知.直到1947年，美国学者G B Danzing 提出求解线性规划最有效的算法-----单纯性算法后，才引起数学家、经济学家和计算机工作者的重视，并迅速发展成为一门完整的学科而得到广泛的应用.利用线性规划建立数学模型也是中国大学生数学建模竞赛中最常用的方法之一.优化模型的一般形式为T n Xx x x X X f z ),,,(),(min 21 == (1)m i X g t s i ,,2,1,0)(.. =≤ (2)其中)(x f 称为目标函数，)(X g i 称为约束条件.只满足式(2)的X 称为可行解；同时满足式(1)、式(2)两式的解*X X =称为最优解.由式(1)、式(2)组成的模型属于约束优化，若只有式(1)就是无约束优化.一般情况下，优化问题都是有约束的，但是如果最优解不是在可行域的边界上，而是在可行域的内部，那么就可以用无约束优化作比较简单的处理.若f ，i g 均为线性函数，优化模型式(1)、式(2)称为线性规划，否则称为非线性规划. 本章主要对线性规划问题及其解的实现作简要介绍.§6.1 线性规划模型形式及其性质线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广.线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小(或极大)值的问题.1、线性规划的标准形式目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m in约束条件 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=+++0,,,2122112222212111212111n mn mn m m n n n n x x x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a这里n x x x ,,,21 是变量，i ij i b a c ,,都是已知常数，且0≥i b ，约束条件常用..t s 表示.线性规划用矩阵表示就是T n x x x X cX z ),,,(,min 21 ==T n n m ij b b b b n m a A x b AX t s ),,,(),()(,0,..21 =≤=≥=⨯.2、线性规划的一般形式 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m in约束条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++++++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a )()()(22112222212*********式中的( )可以是关系符号：≤≥=<>,,,,中的任意一个.3、线性规划化为标准形的方法 把线性规划化为标准形：(1)目标函数一律化为求极小(如果是求极大，则利用)m in(m ax z z -⇔化为求极小).(2)对约束条件中b Ax ≤的不等式，利用加入松弛变量的方法化为等式.如果原约束条件中有""b ≥形式的约束，可以在不等式两边同时加负号化为""b -≤的形式.(3)标准形中一般要求0≥i x .如果某个i x 无此约束，可以引入两个新变量''',i i x x ，令'''i i i x x x -=，0,'''≥i i x x ；如果原来的约束为i i l x ≥，可以令i i i l x x -='，0'≥i x .4、线性规划的基本性质 线性规划有以下基本性质：1）若存在可行域，可行域必为凸集； 2）基可行解对应于可行域的顶点；3）若有最优解，必在可行域的顶点取得.§6.2 线性规划问题的数学模型及其解的基本概念1、线性规划问题的数学模型例1 (生产计划问题)某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每生产一件需耗黄铜2kg 、3个工作日、两个外协件，每件可获利润60元；乙产品每生产一件需耗黄铜4kg 、1个工作日、不需外协件，每件可获利润30元，该厂每月可供生产用的黄铜320kg ，总工作日180个，外协件100个.问应怎样安排生产才能使工厂的利润最高？分析问题，建立数学模型.问题：怎样安排生产，即甲、乙两种产品各生产多少才能使工厂的利润最高？用1x ，2x 分别表示甲、乙两种产品生产的件数，该厂追求的目标是获取最高利润，用数学表达式表示为：213060m axx x f +=.由于生产甲、乙产品的件数要受到生产能力的约束，即 黄铜约束：3204221≤+x x ，工作日约束：180321≤+x x ， 外协件约束：10021≤x ， 非负约束：0,21≥x x .这样，该厂生产计划问题就归结为如下数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤++=.0,,1002,1803,32042..,3060max 211212121x x x x x x x t s x x f例2 (运输问题)计划由三个粮站1A ，2A ，3A 运输某种粮食至三个加工厂1B ，2B ，3B ，三个粮站的供应量和三个加工厂的需求量以及各供应地至需求地的单位运输价(元/t)如表1所示，试作出运费最省的调运计划方案.表 1问题：如何调运，才能使运费最省？设ij x 表示第i 个粮站到第j 个加工厂的粮食数量(单位：3,2,1,,=j i t )，则总运费3332312322211312112050603040709080120x x x x x x x x x f ++++++++=.从各粮站运出的粮食数量不能超过供应量，20131211=++x x x ，30232221=++x x x ，50333231=++x x x ，同时还要保证各加工厂的需要，25312111=++x x x ，50322212=++x x x ，25332313=++x x x ，而运输量应满足0≥ij x .则上述运输问题的数学模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=++=++=++=++=++=++++++++++=.0255025503020..2050603040709080120min 332313322212312111333231232221131211333231232221131211ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x f从上述两个例子可以看出，虽然两个问题的具体内容和性质不同，但它们都属于优化问题，它们的数学模型都有相同的数学形式，即在一定的线性等式或不等式的条件下，使某一线性函数达到最大(或最小).所谓线性规划问题的数学模型是将实际问题转化为一组线性不等式获等式约束下求线性目标函数的最小(大)值问题.2、解的基本概念对于线性规划问题的标准形式..min ≥==x b Ax t s cx z 其中系数矩阵A 是行满秩的，即)()(n m m A R ≤=，并引入列向量),,2,1(n j P j =表示系数矩阵的列向量.满秩约束条件的解称为线性规划问题的可行解，可行解的全体}0,|{≥==x b Ax x D 称为线性规划问题的可行域.满足目标函数的可行解称为线性规划问题的最优解.系数矩阵A 的任意一个m 阶的可逆方阵B 称为线性规划问题的一个基.显然，A 最多有mn C 个基.基B 中的任意一列向量j P 称为基向量.系数矩阵A 中除基B 外的其余m n -个列向量称为非基向量.显然，选择的基不同，与基对应的非基向量也不尽相同.与基向量j P 对应的变量j x 称为基变量.与非基向量j P 对应的变量j x 称为非基变量.为叙述方便，不妨假设基B 是阵A 的前m 列构成的，即),,,(21m P P P B =，如若不然，则可通过调整变量顺序达到此目的.按上述定义，),,2,1(m j x j =为基变量，),,2,1(n m m j x j ++=为非基变量，记T m B x x x X ),,,(21 =，T n m m N x x x X ),,,(21 ++=，),,,(21n m m P P P N ++=那么约束条件可用分块矩阵表示为b X X N B N B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(令0=N X ，由b BX B =得b B X B 1-= (3) 称⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01b B X X X N B为对应于基B 的基解.很显然，由于m B R =)(，即0||≠B ，所以式(3)的解是惟一的.即对应于某个基的基解是惟一的，从而一个线性规划问题最多有mn C 个基解.若基解满足0≥x ，则称基解为基可行解。

运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。

其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。

无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。

有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。

线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。

单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。

换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。

检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。

要求检验数全部小于等于零。

“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。

”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。

这里，x1为进基变量，x3为出基变量。

将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。

单纯型原理的矩阵描述。

在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。

最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。

这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。

但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。

解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。

习题一1.1试述LP模型的要素、组成部分及特征。

判断下述模型是否LP模型并简述理由。

(式中x,y为变量；O为参数;a,b,c,d,e为常数。

)(1)max Z=2X∣-X2-3X3X1÷X2+X3=13x i-x2+5X3≤82x1-4X2+3X3≥5x1>O,x2≤O(2)minZ=π⅛*=!EaikXkNbi,i=1,2…,ms∙t∙IA=I[x k≥0Λ=1,2...»w(3)minZ=ZaiXi+»凶∕=l√=ιx i≤c i,i=1,2,...,znS.t.<y j≤d j J≈∖,2,...n%十%≥%∙〃4))maxz=7C.X i JJj=∣EaijXj≤b i+d iΘ,/=1,2,...,∕n5)t.；=1Xj≥OJ=1,2,...«1.2试建立下列问题的数学模型：(1)设备配购问题某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，受管130公顷，秋收470公顷。

可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。

问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？(2)物资调运问题问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？（3）食谱问题某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。

可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。

若病人每周需14份蔬菜,问选用每种蔬菜各多少份？（4）下料问题某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？用图解法求解卜.列LP问题：（1）min Z=6XI+4X22x1+X2≥1s.t.3x1+4X2≥1.5x1>O,x2≥O(2)maxz=2.5x1+x23x1+5x2≤155.t.<5x l+2X2≤IOx1≥O,x2≥O(3)maxz=2xι+2x2X∣—X?≥-1-0.5x1+x2≤2x1≥O,x2≥O(4)maxz=Xι+χ2Λ1-x2≥O s.t.∙3x∣—x9≤—3x1≥O,x2≥O(5)minz=2x∣-10x2X1-X2≥O5)t.x1-5X2≥-5x1≥O,x2≥O6))minZ=-IOxi-IIx23x1+4X2≤105x l÷2Λ2≤8s.t.X I-2X2≤2x1≥O,x2≥O1.4把L3题的(3)-(6)化成标准形.1.5把下列LP问题化成标准形。