整式的乘除(回顾与思考)

【教学设计】《整式的乘除》课型复习课执教人王海娟时间2017.3.22一、教学目标1. 掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方；能灵活进行单项式和多项式的乘法；熟练运用平方差公式和完全平方公式；2. 认清知识漏洞，巩固基础知识、完善知识体系，寻找习题与知识的切入点，培养正确的数学复习方法和正确的解题思路。

二、教材分析通过对本章的学习和探究，学生需要对有理数的有关知识进行回顾与思考，为此这节复习课的目的就是引导学生回顾本章知识，梳理知识结构，形成知识系统，养成回顾与反思的习惯，获得知识的自主构建能力。

为此本节课主要有两个任务：有理数知识系统的建构以及对典型例题的解析。

三、重点难点重点：幂的有关运算及整式的乘除运算难点：平方差公式及完全平方公式的灵活应用四、教学设想本章主要学习了幂的三种有关运算及整式的乘除运算，包括的知识点较多，学生学习的困难较大。

在完成本章基础知识教学的基础上，为了帮助学生养成回归与反思的习惯和梳理知识的能力，在导学案模式下利用学生自主发展小组我对本节课做了以下设想：首先鼓励学生以小组合作的形式自主对所学知识进行整理，制作个性化的知识结构图并进行展示；其次，利用知识结构图巩固每一个知识点并填写导学案上；然后教师结合教材复习题对学生进行有针对性的习题训练，教师对习题重难点进行精讲；接着在学生熟练掌握了基础知识的情况下完成达标训练并让学生讲解；最后，学生针对本节课谈谈自己的收获（也可以谈谈自己的困惑）。

五、教学方法1. 回顾本章知识点时让学生借助课本上的目录回想并提问，其他学生可以及时补充。

2. 制作个性化知识结构图时，以小组合作讨论交流的方式进行。

3. 对学生制作的知识结构图进行展示及时作出评价。

4. 典型习题让学生先分析讲解教师进行点评和补充。

六、教学过程《整式的乘除》复习卩I.j- wwatmoI- iL&ZUt 沟曲:.■肛2tT3M 耐I s. *«tM«1*■•需｛=；餐/Di f i.覃Sttbi单W1: -八.教学反思复习课经常是知识点的重复和习题的堆积，一节课上下来学生感觉很枯燥无味，通过本节课的教学实践活动，我发现本节课学生参与的积极性高，表现欲强，在制作知识结构图时学生的想象力丰富，讲解习题时思维较为活跃。

《整式的乘除》教学设计整式的乘除复习主要包括两项内容：整式的乘法和整式的除法。

为此我设计了以下几个教学环节：一，回顾所学过的整式乘除的重要内容二，分别复习整式的乘法中的同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，零指数幂和负指数幂，单项式乘单项式，多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，主要从提问公式及法则入手，每个知识点都做相应的练习，小组讨论完成，并让每个小组派一名代表讲解或板演。

如：多项式乘以多项式法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

再进行相关的练习1、计算下列各式。

2、计算下图中阴影部分的面积三，分别复习整式的除法中的单项式除以单项式，多项式除以单项式，并做相应的练习，小组讨论完成。

如：1、单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相除后，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，就是多项式的每一项去除单项式，再把所得的商相加。

练习：计算下列各题。

四，学生总结本节课内容，并布置补充习题。

《整式的乘除》学情分析学生的知识技能基础：在六年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，了解有关运算律和法则，同时在前面几节课又学习了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础。

对于整式乘法法则的理解，不是学生学习的难点，需要注意的是学生在运用法则进行计算时易混淆对于幂的运算性质法则的应用，出现计算错误，所以应加强训练，帮助学生提高认识。

学生的活动经验基础：学生在小学及六年级上的学习中，受到了较好的运算能力训练，能够独立完成计算活动，并具有一定的将实际问题转化为数学问题，通过计算解决实际问题的能力。

但是学生在进行计算时往往仅关注对于法则的掌握及应用，对于算理认识不足，所以教学中要通过设计问题，让学生经历获得法则的过程，真正理解算理。

整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。

整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。

整式的乘除运算是代数学中的基本运算，它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。

一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算，其规则如下：1.单项式相乘：两个单项式相乘时，按照数字相乘，字母相乘，再将相同字母的指数相加的原则进行运算。

例如：(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘：将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘，然后将所得的结果相加。

例如：(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘：根据一些常见公式和特殊公式，可以通过整式的乘法运算简化计算。

例如：(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算，其规则如下：1.简单整式的除法：当被除式是单项式，除式也是单项式，并且除式不为零时，可以进行简单整式的除法运算。

例如：12x^3/4x=x^32.整式长除法：当被除式是一个整式，除式也是一个整式，并且除式不为零时，可以进行整式长除法运算。

例如：(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法：分式的除法可以利用倒数的概念进行处理，将除法问题转化为乘法问题。

例如：(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b=b×a。

这个性质可以简化计算，使得整式的乘法更加灵活。

2.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。

这个性质可以改变运算次序，简化计算过程。

3.乘法分配律：整式的乘法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。

《整式乘除》教学中渗透的数学思想方法宜宾县育才中学 何伟数学思想方法是数学的精髓，是数学素养的重要构成之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效的应用知识，形成能力。

因此，在教学中，要有意识的让学生领会到其中体现和渗透的数学思想方法。

本文以“整式的乘除”一章的教学，谈谈数学思想方法的渗透和体现。

一、从特殊到一般的认识规律和方法。

本章在研究幂的运算规律时，都是运用从特殊到一般的思想方法。

例如：由以下几个特殊例子：3253232+==⋅⋅⋅⋅=⋅a a a a a a a a a 个个，46104646+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅a a a a a a a a a a a 个个推出“同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

”再如由(ab)2=(ab)(ab)=a ·a ·b ·b=a 2b 2,(ab)3=(ab)(ab)(ab)=a 3b 3。

推知“积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”。

二、化归思想所谓“化归”就是将所要解决的问题转化为另一个较易解决或已经解决的问题，它是初中数学中最常见的思想方法，在本章的学习和研究中，就多次用到了化归思想。

例如： 单项式乘以单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式和多项式乘以多项式都可化归为单项式乘以单项式的运算；单项式除以单项式可化归为有理数除法和同底数幂的除法运算；多项式除以单项式可化归为单项式除以单项式的运算，等等。

三、整体代换的方法这在乘法公式中表现得特别典型。

公式中的字母a ，b 不仅表示数，而且可以表示代数式。

正是由于整体代换的思想，乘法公式才能得到广泛的应用。

例如，讲多项式乘以多项式法则时，是先把(a+b)或(m+n)看成一个整体，运用单项式乘以多项式法则，得到(a+b)(m+n)=m(a+b)+n(a+b)。

然后再运用“单×多”的运算法则即可得到(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 。

整式的乘除错解剖析
首先，要解开整式的乘除，我们需要熟练掌握一些基础的算术规则。

首先，要区分掉乘除计算和加减计算。

乘除计算优先计算，即先算乘
数和被乘数，再除以除数。

例如，2×3÷2=3，首先2和3相乘得6，再
除以2，结果为3。

同样，加减计算也有优先级，先算加数和被加数，
再减去减数，例如2+3-2=3，先2和3相加得5，再减去2，结果为3。

其次，我们要具备乘除拆分与合并的能力，乘除拆分是指把乘除式拆
分成多个单独的乘除式，根据运算符分开，每个乘除式分别计算，例
如9÷3×3，拆分为两个乘除式，第一个乘除式为9÷3，结果为3；第二
个乘除式为3×3，结果为9，最后把两个结果再相乘，得到9÷3×3=27。

最后，要具备乘除拆分与合并综合应用的能力。

这里涉及到一些比较
复杂的问题，我们不妨以9÷3×4÷2为例，可以把它拆分为如下两个乘
除式，第一个乘除式为9÷3，结果是3；第二个乘除式为4÷2，结果是2，最后把两个结果再相乘，得出9÷3×4÷2=6。

通过上述拆分与合并方法，熟练掌握整式的乘除计算，从而使我们能够更好地解决数学计算
问题。

初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。

下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。

将每一项的系数分别相乘，并将指数分别相加，得到乘积的系数和指数。

例如：(3x+2)(4x-1)
首先扩展，得到12x^2 + 5x - 2。

2. 整式的除法：整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。

将除数乘以一个适
当的式子，使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。

然后将乘积减去被除式，
重复之前的步骤，直到无法再减少为止。

例如：(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3)，然后进行乘法，得到2x^2 + 5x + 3。

然后将乘积减去被除式，得到0。

所以结果为2x + 3。

3. 因式的分解：整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。

例如：6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。

这些知识点在初中数学中是比较基础的内容，掌握了整式的乘除与分解因式的方法，
将有助于解决更复杂的数学问题。

《整式的乘除》回顾与总结学习目标：掌握整式的乘除，幂的运算；并能运用进行运算。

重点：整式的乘除的运算 难点：幂的乘方法则的总结及运用 【教学过程】一、知识梳理： 1、幂的运算性质：（1）同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n （同底，幂乘，指加）逆用： a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。

（同底，幂除，指减）逆用：a m-n = a m ÷a n（a ≠0）（指减，幂除，同底）（3）幂的乘方：（a m ）n =a mn （底数不变，指数相乘）逆用：a mn =（a m ）n（4）积的乘方：（ab ）n =a n b n 推广：逆用， a n b n =（ab ）n（当ab=1或-1时常逆用）（5）零指数幂：a 0=1（注意考底数范围a ≠0）。

（6）负指数幂：(底倒，指反)2、整式的乘除法：（1）、单项式乘以单项式： （2）、单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

（3）、多项式乘以多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。

（4）、单项式除以单项式：（5）、多项式除以单项式：().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷ 3、整式乘法公式：（1）、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+ 平方差，平方差，两数和，乘，两数差。

公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=22()-相同）（不同 （2）、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 首平方，尾平方，2倍首尾放中央。

2222)(b ab a b a +-=-逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式变形（知二求一）：222()2a b a b ab +=-+222()2a b a b ab+=+-222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+--4.常用变形：221((nn x y x y +--2n2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)二、根据知识结构框架图，复习相应概念法则：1、幂的运算法则：①=⋅n m a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数）④=÷n m a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ）⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数）练习1、计算，并指出运用什么运算法则①345x x x ⋅⋅ ②n m )5.0()21(⨯ ③232)2(c b a -④333)32()31()9(-⋅⋅- ⑤225)(--+-⋅÷b b b n n2、整式的乘法：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式平方差公式：()()=-+b a b a完全平方公式：()=+2b a ，()=-2b a练习2：计算①)15()31(2232b a b a -⋅ ②xy y xy y x 3)221(22⋅+-③)86)(93(++x x ④)72)(73(y x y x -+ ⑤2)3(y x -3、整式的除法单项式除以单项式，多项式除以单项式练习3：①)()(222c ab bc a ÷ ②)2()1264(2223ab ab b a b a ÷+-。

整式的乘除期末复习总结一、整式的基本概念和性质1. 整式的定义：整式是由常数、未知数和运算符号经过有限次数的加、减、乘、乘方组成的代数式。

例如，3x²+2xy-5y²是一个整式。

2. 整式的项和项数：整式中的每一部分被称为一个项。

例如，3x²、2xy和-5y²是上述整式的三个项。

整式中的项的个数被称为整式的项数。

3. 整式的次数：整式中所有项的最高次数被称为整式的次数。

例如，上述整式的次数为2，因为它的最高次项是3x²。

4. 加法和减法运算：整式的加法和减法运算与数的加法和减法运算类似。

对于整式a+b和a-b，只需将对应的项相加或相减即可。

二、整式的乘法运算1. 单项式的乘法：单项式的乘法结果仍然是一个单项式。

乘法的规则是，将各个项乘起来，然后对指数进行相加。

例如，(3x²)(4x³)=12x⁵。

2. 多项式的乘法：多项式的乘法结果仍然是一个多项式。

乘法的规则是，将每个项分别与另一个多项式的每个项相乘，然后将结果进行合并。

例如，(2x+3)(4x-5)=8x²-10x+12x-15=8x²+2x-15。

3. 多项式乘以常数：将多项式的每个项与常数相乘即可。

例如，2x(3x²-4x+5)=6x³-8x²+10x。

三、整式的除法运算1. 除法的定义：整式a除以整式b（b≠0）表示为a÷b，意味着a与b的乘积等于另一个整式q，并且剩余项r满足a=bq+r。

2. 长除法法则：长除法是一种用于计算整式除法的方法。

首先将被除式的最高次项除以除式的最高次项，然后将商从被除式中减去，得到一个新的被除式。

继续将新的被除式最高次项除以除式的最高次项，以此类推，直到无法再进行除法运算为止。

四、整式的乘除运算练习以下是一些乘除运算的练习题，供读者练习和巩固所学知识。

1. 计算(3x+2)(2x-4)的结果。

导学案第一章整式的乘除回顾与思考一、知识点的归纳与整理:运算法则:1、同底数幂相乘，底数，指数。

a m •a n= (m、n都是 )2、幂的乘方，底数，指数。

(a m)n= (m、n都是 )3、积的乘方等于。

(ab)= (n是 )4、同底数幂相除，底数，指数。

a m ÷a n= (a ，m、n都是，m>n)5、规定：a0 = ，（a ），a-p= （ a ，且 p为）乘法法则:6、单项式与单项式相乘，。

7、单项式与多项式相乘，。

8、多项式与多项式相乘，乘法公式:9、平方差公式：10、完全平方公式：除法法则:11、单项式除以单项式，。

12、多项式除以单项式，。

二、达标测评:基础练习:1、判断以下各题是否正确。

[]235223636532633224424432432153232333)().(102010.9.8)()().(76)2.(6)()().(5)(.4)(.3)(.22.1mmmaaaayxxyyxxxaaabbbxxxxxxxaaammmmm-=-÷--===÷-=-⋅--=-====-=-⋅-=-=-⋅=⋅-÷⨯⨯++2、计算。

能力提升:3、用小数或分数表示:2.47×10-5= ， 2-5= 。

6、如图，一块直径为a+b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，求剩下的钢板的面积.拓展延伸:7、在一次数学兴趣活动中，同学们做了一个找朋友的游戏，游戏规定：所持算式相等的两个人是朋友，有五个同学A ，B ，C ，D ，E 所持纸牌前面分别写有五个算式：5a ×7b ， 5c ×7d ，5×7，(a -1)(d -1),(b -1)(c -1).主持人宣布A ，B ，C 两两是朋友，请大家猜一猜D ，E 是否是朋友。

)()2()1(22c a ab -⋅-031)2010(2)31()2(-+----π()()224232)3(b ab a ab ---()⎪⎭⎫⎝⎛÷+-223431963)4(a a a a )2)(4)(2()5(22a b b a b a ++-)2)((4)2()6(2y x y x y x +---5、若 .===+n m n m aa a 2,5,3则4、探索规律： 下列单项式则第n 项是 。

整式的乘除（2）教学设计【学习目标】1. 熟练掌握整式乘除的有关概念和运算法则。

2. 熟练地、灵活地运用乘法公式和整式乘除法法则进行计算。

【教学重、难点】1. 重点：整式的乘除法2. 难点：灵活运用乘法公式进行计算【知识要点】1. 知识结构总结：2. 公式总结：（1）幂的运算性质：①（、为正整数）②（为正整数）③（、为正整数）④（、为正整数，且）（）（，为正整数）（2）整式的乘法公式：①②③3. 科学记数法，其中4. 思想方法总结（1）化归方法（2）整体代换的方法（3）逆向变换的方法5. 需注意的问题（1）乘法公式作为多项式乘法的特殊形式，在今后学习中有着广泛应用，要注意这些公式的结构特点，以便正确使用公式。

（2）注意运算中的符号，区别与，，【典型例题】1、下列运算正确的是（）A、a2 •a3=a6B、a3÷a2=aC、（a3）2=a9D、a2+a3=a52、（-2）-2 等于（）A、-4B、4C、-1/4D、1/43、计算：10-（1/2）2009×（-2）20104、若3x=4，9y=7，则3x-2y=【变式训练】1、若a m=3,a n=5,则a m-n=2、计算：（0.2）2012×52013=3、芝麻作为食品和药物，均被广泛应用。

经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学计数法表示为（）A、2.01×10-6千克 A、0.201×10-5千克A、20.1×10-7千克 A、2.01×10-7千克5、利用平方差公式计算（2x-5）（-2x-5）6、下列各式中，是完全平方式的是（）A、m2-mn+n2B、x2-2x-1C、1/4 b2-ab+b2D、x2+2x+1/4【变式训练】1、已知a2-b2=30,a-b=6,则a+b=2、计算（x+2y）2-（4-y）2【学以致用】有一位地主，把一块边长为a米的正方形土地租给赵老汉耕种。

整式乘除中的数学思想
整式乘除法是解决复杂数学问题的一种常用方法，它涉及不同数字、符号和运算符之间的相互关系，常用于根据有关病理解决各种数学结论。

整式乘除法的最基本原则是结构的统一和清晰的结构，上下文之
间的完整性。

其次，重要的是要有较高的准确度，因为乘除法的常规
计算过程，与现实生活中的大多数计算形式有所不同。

要做好整式乘除的计算，首先要明确一系列基本原则，包括推广和具
体的推导，由高级到低级，顺序不可更改。

比如，在多项式乘除中，
要先乘以最高次幂的变量，然后再乘以其余的变量；在分式乘除中，
要完全算式的乘除之前，先将分式公约处理下。

此外，整式乘除的另一大重点是运用有效的规律，如聚合原则和下面
的基本运算，遵循这些规律有助于更加得心应手地计算出该数学模型，从而解决任何一个复杂数学问题。

例如，如果有两个数，则先聚合，
再乘除；如果是三个数，则先聚合，再乘以剩下的数。

最后，有一般认为，任何一个数学模型都可以用这种整式乘除法来解决，只要熟悉各种乘除规则，并有足够的耐心把握其中的规律，就可
以较容易的应用到实际的数学计算中。

因此，学习整式乘除法不仅可
以提高我们的理解能力，而且有助于强化我们的逻辑推理能力，更能
给我们的数学思维运用提供有力的帮助。