高二人教B版数学选修1-1课件2-1-2椭圆的几何性质 48张

第 1 页 椭圆的方程及其性质

知识集结

知识元

椭圆的定义

知识讲解

1．椭圆的定义

【知识点的认识】

1．椭圆的第一定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．

2．椭圆的第二定义

平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．

3．注意要点

椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．

（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；

（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；

（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．

【命题方向】

利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．

第 2 页 1．根据定义判断动点轨迹

例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）

A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．圆

分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．

解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．

∴|MP|＝|PF|，

∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），

又显然|MO|＞|FO|，

∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．

故选A

点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．

2.2.2椭圆的几何性质

一、选择题

1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )

A.45 B.35

C.25 D.15

[答案] B

[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝35或e＝－1(舍)，故选B.

2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1与椭圆x24＋y28＝1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是( )

A.x28＋y24＝m2(m≠0)

B.x216＋y264＝1

C.x28＋y22＝1

D．以上都不可能

[答案] A

[解析] 椭圆x24＋y28＝1中，a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，即a＝22，c＝2，离心率e＝ca＝22.容易求出B，C项中的离心率均不为此值，A项中，m≠0，所以m2>0，有x28m2＋y24m2＝1，所以a2＝8m2，b2＝4m2.所以a＝22|m|，c＝2|m|，即e＝ca＝22.

3．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )

A．相等的短轴长

B．相等的焦距

C．相等的离心率

D．相同的长轴长

[答案] C

[解析] 把C1的方程化为标准方程，即 C1：x22＋y24＝1，从而得C2：x22＋y2＝1.

因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．

e1＝22，e2＝12＝e1＝22，

故离心率相等，选C.

4．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )

A.14 B.12

C.22 D.32

[答案] D

3.1.2 椭圆的简单几何性质

课程标准 核心素养

1.掌握椭圆的简单几何性质．

2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象

数学运算

知识点1 椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 |F1F2|＝2c

对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)

离心率 e＝ca(0

注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．

(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．

(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.

(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．

(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．

(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．

拓展：用离心率e＝ca来刻画椭圆的扁平程度．

如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0

(7)常用椭圆方程的设法

①与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为：12222mbymax)(2bm

②有相同离心率：kbyax2222（0k，焦点在x轴上）或kbxay2222（0k，焦点在x轴上）

第2课时 椭圆方程及性质的应用

(教师用书独具)

●三维目标

1.知识与技能

掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．

2．过程与方法

通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．

3．情感、态度与价值观

培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．

●重点、难点

重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．

难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．

教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．

(教师用书独具)

●教学建议

由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．

●教学流程

创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!

(对应学生用书第25页) 课标解读

1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．

(重点)

2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)

点与椭圆的位置关系

【问题导思】

点与椭圆有几种位置关系？

【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．

设点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．