【精编】人教A版高中数学选修2-1课件椭圆的简单几何性质2-第二定义课件-精心整理

§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)

●教学目标

１．熟悉椭圆的几何性质；

２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；

３．了解椭圆在科学研究中的应用．

●教学重点：椭圆的几何性质应用

●教学过程：

Ⅰ、复习回顾：

利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．

Ⅱ、讲授新课：

例6．点 ),(yxM与定点 )0,4(F的距离和它到定直线

425:xl的距离的比是常数54，求点 的轨迹．

解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合

54dMFMP由此得54425)4(22xyx．

将上式两边平方，并化简得 22525922yx

即192522yx

所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆

说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点

与焦点 的距离和它到定直线的距离的比是常数 （e为椭圆的离心率）。其中定直线叫做椭圆的准线。

对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是

．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是

，所以椭圆有两条准线．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

【典例剖析】

［例1］已知椭圆2222byax＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．

［例2］已知点A(1，2)在椭圆121622yx＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．

［例3］在椭圆92522yx＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．

Ⅲ、课堂练习：

课本Ｐ52，练习 ５

再练习：已知椭圆 上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为 ．） 思考： 已知椭圆 内有一点 ， 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使 的值最小，求 的坐标．（如图）

授课主题 椭圆及其性质

教学目的 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

重、难点 重点：椭圆定义及性质 难点：椭圆的几何性质

授课时间 星期日 17:00-19:00

教学内容

上节课复习与回顾

课程导入

引例1：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长

引例2：取一根定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一处．．．，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是圆，如图，如果将细线的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处．．．．．．．．．．．，这时笔尖（动点）画出的轨迹又是什么曲线？

在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？

结论：平面内到两定点1F，2F的距离之和等于常数2a的点的轨迹为：

（1）若122aFF，则轨迹为椭圆；

（2）若122aFF，则轨迹为线段12FF；

（3）若122aFF，则轨迹为不存在．

本节知识点讲解

1．椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

例题解析

【例1】设Ρ是椭圆x225＋y216上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________．

3.1.2 椭圆的简单几何性质

课程标准 核心素养

1.掌握椭圆的简单几何性质．

2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象

数学运算

知识点1 椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)

范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距 |F1F2|＝2c

对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)

离心率 e＝ca(0

注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．

(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．

(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.

(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．

(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．

(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．

拓展：用离心率e＝ca来刻画椭圆的扁平程度．

如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0

(7)常用椭圆方程的设法

①与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为：12222mbymax)(2bm

②有相同离心率：kbyax2222（0k，焦点在x轴上）或kbxay2222（0k，焦点在x轴上）

椭圆综合复习

学习目标：

1..了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据根与系数的关系及判别式解决问题.

技巧攻略：

要点一、椭圆的定义及其标准方程

椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．

椭圆的标准方程：

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性质 范围 －a≤x≤a

－b≤y≤b －b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率 e＝ca∈(0,1)

a，b，c的关系 a2＝b2＋c2

要点二、椭圆的几何性质

焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 22221(0)xyabab 22221(0)xyabba

图形

性质 焦点 1(,0)Fc，2(,0)Fc 1(0,)Fc，2(0,)Fc

焦距 2212||2()FFccab 2212||2()FFccab

范围 ||xa，||yb ||xb，||ya

对称性 关于x轴、y轴和原点对称

顶点 (,0)a，(0,)b (0,)a，(,0)b

轴 长轴长=a2，短轴长=2b

离心率 (01)ceea

要点三、直线与椭圆的位置关系