数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．

（1）如图1，若m=．

①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；

②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．

【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．

【解析】

试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；

②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；

（2）解题要点有3个：

i）判定△ABD为等边三角形；

ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；

iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．

试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．

∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，

∴D（a，（a+）2）． ∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．

①∵OC=2，∴C（0，2）．

∵点C在抛物线C2上，

∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，

解得：a=，代入（I）式，

得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．

②在（I）式中，

令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；

令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

，解得，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．

假设存在满足条件的a值．

∵AP=BP，

∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；

∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，

∴OP⊥BC．

如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，

则OP⊥BC，OE=a．

∵点P在直线BC上， ∴P（a，a+），PE=a+．

∵tan∠EOP=tan∠BCO=，

∴，

解得：a=．

∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"

（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，

∴D（a，（a+m）2）．

∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．

令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．

∵OB=2﹣m，

∴2a+m=2﹣m，

∴a=﹣m．

∴D（﹣m，3）．

AB=OB+OA=2﹣m+m=2．

如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°．

又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．

作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1， ∴P1（﹣m，1）；

在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．

在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，

∴P2（﹣m，﹣3）；

易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．

∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．

综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，

其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．

【考点】二次函数综合题．

2．如图，已知，在O中，弦AB与弦CD相交于点E，且ACBD.

（1）求证：ABCD；

（2）如图，若直径FG经过点E，求证：EO平分AED；

（3）如图，在（2）的条件下，点P在CG上，连接FP交AB于点M，连接MG，若ABCD，MG平分PMB，2MG，FMG的面积为2，求O的半径的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O的半径的长为10.

【解析】

【分析】

(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明； （2）连接AO、DO，过点O作OJAB于点J，OQCD于点Q，证明AOJDOQ得出OJOQ，根据角平分线的判定定理可得结论；

（3）如图，延长GM交O于点H，连接HF，求出2FH，在HG上取点L，使HLFH，延长FL交O于点K，连接KG，求出22FL，设HMn，则有22LKKGn，2222FKFLLKn，再证明KFGEMGHMF，从而得到tantanKFGHMF，KGHFFKHM，再代入LK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到圆的半径为10．

【详解】

解：（1）证明：∵ACBD，∴ACCBBDCB，

∴ABCD，

∴ABCD.

（2）证明：如图，连接AO、DO，过点O作OJAB于点J，OQCD于点Q，

∴90AJODQO，1122AJABCDDQ，

又∵AODO，

∴AOJDOQ，

∴OJOQ，

又∵OJAB，OQCD，

∴EO平分AED.

（3）解：∵CDAB，∴90AED，

由（2）知，1452AEFAED，

如图，延长GM交O于点H，连接HF，

∵FG为直径，∴90H，122MFGSMGFH，

∵2MG，∴2FH，

在HG上取点L，使HLFH，延长FL交O于点K，连接KG，

∴45HFLHLF，45KLGHLF，

∵FG为直径，∴90K，

∴9045KGLKLGKLG，∴LKKG，

在RtFHL中，222FLFHHL，22FL，

设HMn，2HLMG，

∴GLLMMGHLLMHMn，

在RtLGK中，222LGLKKG，22LKKGn，2222FKFLLKn，

∵GMPGMB，∵PMGHMF，∴HMFGMB，

∵1452AEFAED，

∴45MGFEMGMEF，45MGFKFGHLF，

∴KFGEMGHMF，

∴tantanKFGHMF，

∴KGHFFKHM，∴2222222nnn，4n，

∴6HGHMMG，

在RtHFG中，222FGFHHG，210FG，10FO.

即O的半径的长为10.

【点睛】

考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．

3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A(1，0)，B(0，2)，C(3，3)

(1)当⊙O的半径为1时，

①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是

；

②已知点M在直线y＝﹣33x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；

(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．

【答案】(1)①B；②0≤m≤3；(2)﹣4+33≤t＜33．

【解析】

【分析】

(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；

②设M(m，﹣33m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝223222mm，由此求解即可；

(2)B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝32HT，直线BD：y＝﹣33x+2，可知H(t，﹣33t+2)，继而可得NT＝﹣12t+332，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.

【详解】

(1)①∵r＝1，

∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，

∴点B是⊙O“友好点”， ∵OC＝2233=32>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，

A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，

故答案为B；

②如图，

设M(m，﹣33m+2 )，根据“友好点”的定义，

∴OM＝223222mm，

整理，得2m2﹣23m≤0，

解得0≤m≤3；

∴点M的横坐标m的取值范围：0≤m≤3；

(2)∵B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，

∴NT≤2r＝2，

∴点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．

∵tan∠BDO＝23323OBOD，

∴∠BDO=30°，