4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)

线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
1 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 从而可知，当 n＝k＋1 时，命题亦成立． 由(1)(2)可知，命题对一切正整数 n 均成立．
[悟一法] (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准 确表述n＝n0时命题的形式，二是准确把握由n＝k到n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．
1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ (n∈N＋)． 2n n＋1 n＋2 [精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应
用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有n项，由 k到k＋1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两 边的首项不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”时，要注意项的
合并．
1 1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ，右边＝ ，命题成立． 2 2 2 (2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N＋)时命题成立，即有 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋…＋ － 2 3 4 2k－1 2k 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ . 2k k＋1 k＋2 则当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＋ － 2 3 4 2k 2k＋1 2k＋2 2k－1
[悟一法] 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变 化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也
可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关
键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
[通一类]
1 3．证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝ n· (n－3)(n≥4)． 2 1 证明：(1)n＝4 时，f(4)＝ · (4－3)＝2，四边形有两条对角 4· 2
3．数学归纳法中的两步的作用是什么？
提示：在数学归纳法中的第一步“验证n＝n0时，命题 成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础．第二步是归 纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可 以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数 也都成立．
[研一题]
[例 1] 1 1 1 1 1 用数学归纳法证明：1－ ＋ － ＋…＋ － 2 3 4 2n－1 2n
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2·2k－x2y2k＋x2y2k－y2·2k x y ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， ∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
[例2] 求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[精讲详析] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中
的应用，解答本题需要设法将x2n－y2n进行分解因式得出x
＋y，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
(2)假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N＋)时命题成立， 就是该平面内 1 满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k)＝ k(k－1)， 则当 n 2 ＝k＋1 时，任取其中一条直线记为 l，如图，剩下的 k 条直线 为 l1，l2，…，lk.由归纳假设知，它们之间的交点个数为 f(k)＝ kk－1 . 2
10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则 当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式题· 大思维] 1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？ 提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有 时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，而不一定是从1 开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数 学命题的证明．
由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
[悟一法]
利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数
因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减
项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼
凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑
出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除．
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n 2＝ 121－2n－1 ＋ ＋2n 2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 1－2 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－ 6n－10，故 Tn＋12＝ －2an＋10bn，n∈N*.
＋
法二：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋
(2)应用数学归纳法时的常见问题
①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1， 有时需验证n＝2，n＝3. ②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的 正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1
时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
2＋3d＋2q3＝27， 条件，得方程组 8＋6d－2q3＝10， d＝3， 解得 q＝2.
所以 an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)法一：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，
＋
①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n 1a1. ② 由②－①，得
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝
－2an＋10bn成立．
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(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12
＝－2an＋10bn(n∈N*.)
[命题立意]
应用．
本题考查数学归纳法在证明数列问题中的
[解]
(1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公
比为 q.由 a1＝b1＝2，得 a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由
对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、
严谨、规范．
[通一类]
1．证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋ 1)(n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，
右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，
∴当n＝1时，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2 ＝－k· (2k＋1)．
[研一题]
[例 3] 平面上有 n(n≥2，且 n∈N＋)条直线，其中任意两
条直线不平行，任意三条不过同一点， nn－1 求证：这 n 条直线共有 f(n)＝ 个交点． 2
[精讲详析]
本题考查数学归纳法在证明几何命题中的
应用，解答本题应搞清交点随 n 的变化而变化的规律，然后 采用数学归纳法证明． (1)当 n＝2 时， ∵符合条件是两直线只有 1 个交点， 1 又 f(2)＝ ×2×(2－1)＝1. 2 ∴当 n＝2 时，命题成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．