数列与函数不等式综合应用及数列模型应用PPT课件

第3讲 数列求和及其综合应用

［考情分析］数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、

不等式综合在一起考查，难度中等偏上.

考点一数列求和

r核心提炼、

1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的

过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：

1 _1 1 , 1 _^=if_U__UY

n（n+∖） n Λ+Γ n（n+k） n+k）' n1-∖ 丸—1 n+∖）' 4??2—1 2∖2n — 1 2∕ι÷l∕

2.如果数列｛小｝是等差数列，｛d｝是等比数列,那么求数列｛4・儿｝的前〃项和S〃时,可采用

错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：（1）等比数列的公比为负数的情形；（2）在写出

“SJ和aqSnff的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn—qSj的表

达式.

考向1分组转化法求和

例1已知在等比数列｛斯｝中，m=2,且两，的 内一2成等差数列.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

⑵若数列｛小｝满足儿=J+21og2斯- 1,求数列｛d｝的前n项和

解（1）设等比数列｛〃“｝的公比为4，由Q］, 〃2,。3 —2成等差数列,得2。2 =。1+。3-2,

即4夕=2 + 2/-2,解得夕=2（4=0舍去），

则 m=α∣尸=2〃，n ∈ N*.

（2）⅛Λ=~+21og2Λrt — l=^+21og22n- l=^∏+2n-↑,

则数列｛九｝的前〃项和

考向2裂项相消法求和 例2 （2020•莆田市第一联盟体学年联考）设数列｛斯｝的前〃项和为S”，且&=久一2〃，｛d｝

为正项等比数列，且〃∣=α∣+3, 63=604+2.

⑴求数列｛斯｝和｛d｝的通项公式；

⑵设c〃=——j~~;—，求｛c〃｝的前〃项和Tn. 4"+l∙∣0g2%+l

解 (1)由工=/一2〃，得当〃 =1 时，0=S] = —1,

专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．

2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．

3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．

【知识点展示】

（一）数列与函数

数列与函数的综合问题主要有以下两类：

（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；

（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

（二）数列与不等式

1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．

放缩法常见的放缩技巧有：

(1)1k2＜1k2－1＝121k－1－1k＋1.

(2)1k－1k＋1＜1k2＜1k－1－1k.

(3)2(n＋1－n)＜1n＜2(n－n－1)．

2.数列中不等式恒成立的问题

数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解． （三）解答数列实际应用问题的步骤

(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：

等差数列模型：均匀增加或者减少

等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题

简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列11.2nnnaaaa＋满足＝－

(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．

(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．

数列综合应用1

————用放缩法证明与数列和有关的不等式

一、备考要点

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,

是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生

综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决

这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条：

一是先求和再放缩,二是先放缩再求和．

二、典例讲解

1．先求和后放缩

例1．正数数列na的前n项的和nS,满足

12nnaS,试求：

1数列na的通项公式；

2设11nnnaab,数列nb的前n项的和

为nB,求证：21nB

2. 先放缩再求和

①．放缩后成等差数列,再求和

例2．已知各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS,

且22nnnaaS.

1 求证：2214nnnaaS；

2 求证：112122nnnSSSSS

②．放缩后成等比数列,再求和

例3．1设a,n∈N,a≥2,证明：

nnnaaaa)1()(2；

2等比数列{an}中,112a,前n项的和为An,

且A7,A9,A8成等差数列．设nnnaab12,数列{bn}

前n项的和为Bn,证明：Bn＜13．

③．放缩后为差比数列,再求和

例4．已知数列{}na满足：11a,

)3,2,1()21(1nanannn．求证：

11213nnnnaa

④．放缩后为裂项相消,再求和

例5．在mm≥2个不同数的排列P1P2…Pn中,

若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj即前面某数大于后面某数,

则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的

总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(nnn

的逆序数为an,如排列21的逆序数11a,排列321的

逆序数63a．

1求a4、a5,并写出an的表达式；

2令nnnnnaaaab11,证明：

32221nbbbnn,n=1,2,….

数学教学研究　第２７卷第８期２００８年８月　

赋值法在函数、数列综合题中的巧妙应用　

张培龙　

广东省东莞市常平中学５２３５７０　

赋值法是一种特殊的解题方法，一般说来，如果　

题目中关于某个未知数对于等式或不等式在其取值　

范围内的任意值都成立，常常可利用赋值法将某些字　

母赋予恰当的数值或代数式，通过运算推理，从而达　到解决问题的目的．赋值法所体现的是一种从一般到　

特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜．本文想通过　

几道精彩的高考和模拟考试题说明赋值法在函数、数　列综合题中的巧妙应用，不妥之处请大家指正！　

ｌ利用函数单调性等性质直接赋值证明结论　

例１（２００８年深圳一模第２Ｏ题）已知，（　）＝　

Ｉｎ　，ｇ（　）＝　＋　＋÷（ｍ＜０），直线ｚ与函数，　

（　），ｇ（　）的图像都相切，且与函数，（　）的图像的切　

点的横坐标为１．　

（Ｉ）求直线ｚ的方程及ｍ的值；　

（Ⅱ）若＾（　）＝，（　＋１）一ｇ　（　）（其中ｇ　（　）是　

ｇ（　）的导函数），求函数＾（　）的最大值；　

（Ⅲ）当０＜ｂ＜口时，求证：，（口＋ｂ）－ｆ（２ａ）＜　

６＿　２口　分析（Ⅲ）中，由于左边式子，（ｏ＋ｂ）一，（２ｏ）　

＝ｌｎ　＝ｌＩＩ（１＋　）与（Ⅱ）的结论有相似之处，　

于是我们想利用函数单调性性质直接赋值得出结　

论，这是一种非常漂亮的做法．　．　

解（Ｉ）依题意知：直线ｚ是函数ｆ（　）＝Ｉｎ　

在点（１，０）处的切线，故其斜率Ｊ｝＿，（１）＝÷＝１，所　

以直线ｚ的方程为ｙ＝　一１．又因为直线ｚ与ｇ（　）的　

图像相切，所以　

，＇Ｉｔ＝　一１．　｛　：　’＋　＋寻　＋ｃｍ一　＋号＝。，　

得△＝（ｍ一１）　一９＝０　

ｍ＝一２（ｍ＝４不合题意，舍去）．　

（Ⅱ）因为　

＾（　）＝　＋１）一ｇ　（　）　＝ｈｌ（　＋１）一　＋２（　＞一１），　

所以＾　（　）＝　一１＝暑　

当一１＜　＜０时，ｈ　（　）＞０；当　＞０时，ｈ　（　）＜ｏ．　因此，＾（　）在（一１，０）上单调递增，在（０，＋ｍ）