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不等式与数列函数的综合应用

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不等式与数列函数的综合应用

在数学中，不等式和数列函数都是非常重要的概念。它们在实际问题中的应用广泛且深远。本文将探讨不等式与数列函数的综合应用，并通过具体案例展示其在实际生活中的重要性。

一、不等式的应用

1. 购物优惠

假设一个商场正在进行促销活动，打折的力度与购买金额成正比。设商品原价为P，折扣率为r，则购买金额为P × (1-r)。假设消费满x元即可获得折扣优惠，我们可以得到不等式 P × (1-r) ≥ x。通过解不等式可以确定消费满多少金额时才能获得折扣优惠。

2. 借贷利息

在借贷过程中，利息是一个重要的考虑因素。设借款金额为P，年利率为r，借款期限为n年，我们可以得到不等式 P × (1+r)^n ≥ P。通过解不等式可以确定借款期限内所需还款金额的下限。

3. 人口增长

人口增长是一个关乎社会发展的重要问题。设某地初始人口为P0，年增长率为r，则经过n年的发展，该地的人口为P0 × (1+r)^n。通过解不等式可以预测人口增长的趋势，并为规划社会发展提供依据。

二、数列函数的应用

1. 复利计算 复利是指资金按照一定的利率进行投资，所获利息在下一期再次作为本金进行投资，使资金不断增值。设初始本金为P0，年利率为r，经过n年的投资，我们可以得到数列函数 an = P0 × (1+r)^n，其中an表示第n年的资金总额。通过计算数列的值，可以确定某个时刻的资金总额。

2. 等差数列

等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。在实际应用中，等差数列可以用来描述许多变化规律。例如，某公司的销售额每年递增500万元，假设初始销售额为1000万元，则第n年的销售额可以表示为an = 1000 + 500n。

3. 斐波那契数列

斐波那契数列是指一个数列中每个数字是前两个数字之和的数列。例如，1，1，2，3，5，8就是一个斐波那契数列。在实际应用中，斐波那契数列有很多有趣的性质和应用。例如，可以用斐波那契数列描述植物的分枝规律、模拟金融市场的波动等。

综上所述，不等式和数列函数在实际生活中有着广泛的应用。通过解不等式可以帮助我们做出决策，确定最优方案；而数列函数可以帮助我们预测未来的趋势，规划发展。因此，对不等式和数列函数的深入理解和应用将极大地促进个人和社会的发展。

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方程、不等式、函数的综合应用

方程、不等式、函数的综合应用

九年级数学中考第一轮复习学案 第三章 函数及其图象

第14讲：方程、不等式与函数的综合应用（1）

【学习目标】

1．函数、方程、不等式的结合．

2．体现了函数图像与方程、不等式的内在联系．

【巩固练习】

一、选择题：

1．(10潍坊) 关于x的一元二次方程x26x2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 （ ）

A． k29 B． k<29 C． k29 D． k>29

2．(10十堰)方程x2+2x－1=0的根可看成函数y=x+2与函数1yx的图象交点的横坐标，

此方法可推断方程x3+x－1=0的实根x的个数为 （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．（07日照）已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是 （ ）

A． m-1的函数值小于0 B． m-1的函数值大于0

C． m-1的函数值等于0 D． m-1的函数值与0的大小关系不确定

4．(10 甘肃兰州) 抛物线cbxaxy2图像如图所示，则一次函数24bacbxy与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图像大致为（

）

二、填空题：

5．(10金华)若二次函数kxxy22的部分图象如图所示，

则关于x的一元二次方程022kxx的一个解31x，

另一个解2x ．

6．（10日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．

基本不等式的实际应用

基本不等式的实际应用

考点105 基本不等式的实际应用

1.（09江苏T19）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为nna.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为12hh.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为Am元和Bm元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙

(1)求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h甲=h乙；

(2)设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3)记（2）中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲…和0hh乙…同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

【测量目标】基本不等式的实际应用.

【难易程度】较难

【试题解析】(1)

=,=,125320ABABABABmmmmhhmmmm甲乙([3,12],[5,20])ABmm（步骤1）

当35ABmm时，

235=,35(20)(5)125BBBBBBBmmmhmmmm甲235=,320(5)(20)35BBBBBBBmmmhmmmm乙（步骤2）

显然=hh乙甲（步骤3） (2)当35ABmm时，

2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251BBBBBBBmhmmmmmm甲（步骤4）

由111[5,20][,]205BBmm得，（步骤5）

故当1120Bm即20,12BAmm时，

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105（步骤6）

（3）（方法一）由（2）知： 0105h

数列专题复习之典型例题(含答案)

数列专题复习之典型例题(含答案)

第 1 页 共 38 页 数列知识点-——-求通项

一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）

二、由an与Sn的关系求通项an

例1已知数列｛an｝的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________。

答案2·3n－1

练1 已知数列｛an｝的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．

答案an＝错误!

三、由数列的递推公式求通项

例3、（1）设数列na的前n项和为nS．已知1aa,13nnnaS，*nN．设3nnnbS,求数列nb的通项公式;

答案： 13(3)2nnnnbSa,*nN．

(2）（4)在数列{}na中,11a，22a，且11(1)nnnaqaqa（2,0nq)． 第 2 页 共 38 页 （Ⅰ）设1nnnbaa（*nN），证明{}nb是等比数列；

（Ⅱ)求数列{}na的通项公式；

答案： 11,,.1,111nnqqqanq

(3）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；

答案:(1)2nnnan21212(1)22(1)(1)nnnnnnS

1(1)22(1)2nnnnS

(4）已知数列na满足：213,22nnaaannN 第 3 页 共 38 页 （1）求数列na的通项公式；

（2)设1234212111nnnTaaaaaa，求limnnT

答案： 11,,.1,111nnqqqanq

注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)

1.)(1nfaann 2 . nnanfa)(1.3 qpaann1（其中p,q均为常数，)0)1((ppq)。4 . nfpaann1(1） 。nnnqpaa1（其中p，q均为常数,)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq，其中p，q, r均为常数）（2）banpaann1)001(，a、p5。递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s,t满足qstpts

专题04 数列求和及综合应用(解析版)

专题04 数列求和及综合应用(解析版)

专题04 数列求和及综合应用

【要点提炼】

1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6.

2.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系为an＝S1 （n＝1），Sn－Sn－1 （n≥2）.

(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.

3.数列求和

(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如canan＋1(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.

温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.

4.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.

考点一 数列求和及综合应用

考向一 an与Sn的关系问题

【典例1】 设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝bn＋1TnTn＋1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值. 解 (1)因为an＝5Sn＋1，n∈N*，

所以an＋1＝5Sn＋1＋1，

两式相减，得an＋1＝－14an，

又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－14，