复数综合训练(含答案)

复数的概念及运算[基础巩固]1．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．9 解析 因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选B.答案 B2．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2022i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( )A ．2022＋2iB ．2022＋4iC ．2＋2022iD ．4－2022i 解析 因为a ＋2022i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2022，即a ＝2，b ＝－2022，所以a 2＋b i ＝4－2022i.答案 D3．(多选题)下列命题错误的是( )A ．若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1B ．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C ．若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3D ．若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应解析 A 取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错误；B ，C 错误；对于D ，a ＝0时，a i ＝0，D 错误．答案 ABCD4．若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝________. 解析 由条件知a 2－3＋2a ＝0，解得a ＝1或a ＝－3.答案 1或－35．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1，则实数m ＝____________.解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2. 答案 26．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值．(1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ；(2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0. 解析 (1)∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. (2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3. [能力提升]7．i 2021的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析 直接利用i 4＝1，化简i 2021，再得到其虚部．因为i 2021＝(i 4)505·i ＝i ，∴i 2021的虚部为1.故选A ．答案 A8．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R .若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析 ∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案 {0}9．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．解析 ∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}． 答案 {0}10．已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )．(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围． 解析 (1)∵z 1为纯虚数， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2， 当sin θ＝－1时，λmax ＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]．[探索创新]11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． 解析 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.。

复数练习题含答案一、单选题1．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③2．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D ．既非充分又非必要 3．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+ D ．()cos isin a ππ-- 4．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°5．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．12 D ．1i 28．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．10．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．211．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1- 13．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 14．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4B C ．2D ．1015．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-16．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 17．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 18．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2＋i B ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i19．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +二、填空题21．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 22．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.23．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）.24．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 27．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 28．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 31．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 32．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________33．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 35．复数1077(cos isin )66ππ+表示成代数形式为________． 36．计算cos 40isin 40cos10isin10________．37．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 39．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 40．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.三、解答题41．已知z ＝cos θ－sin θi(cos θ＋sin θ). (1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值； (2)若θ∈(π，2π)，求arg z (用θ表示). 42．已知复数(2)(3)(2)i()z m m m m =++++∈R ． (1)若z 是纯虚数，求z ； (2)若i1,i(,)1z m a b a b z +=-=+∈+R ，求a ，b 的值． 43．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ．44．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．45．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D11．C 12．D 13．C 14．B 15．C 16．B 17．C 18．B 19．D 20．B 二、填空题 21．122．()34-，23．13i +##3i+1 24．1 25．1 26．i 27．28．529．12i -##2i+1-30. 31．12-##0.5- 32．i33．1##1+34．－1＋2i##2i －1 35．－5i##－5i －3612i 37．2 38．③ 39．0三、解答题41．(1)当()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值为，(2)97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.【解析】 【分析】（1）按照复数模的定义求解即可； （2）按照复数的辐角主值的定义求解即可. (1)由复数模的定义可得：z ===，显然当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时最大，即()24k k Z πθπ=-∈， 最大值为； (2)设arg zα= ，()cos sin i cos sin 1cos isin 44z ππθθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫=-+=++++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ ，实部为1cos 04πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞ 59442πππθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ ，虚部为sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，sin 4tan tan 281cos 4πθθπαπθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭ ， ∴当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 即5,244ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 时， sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜， 此时复数z 对应的点在第四象限， 5,288θπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，92828θπθπαπ=++=+ ，当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 即92,44ππθπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞， 此时复数z 对应的点在第一象限（或x 轴的非负半轴上），9,288θπππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∴72828θπθπαπ=+-=- ， ∴97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩ ； 综上，当()24k k Z πθπ=-∈时，z最大，最大值为97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.42．(1)i z = (2)42,55a b == 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的概念求解 （2）根据复数的运算法则化简 (1)因为(2)(3)(2)i z m m m =++++是纯虚数，所以(2)(3)0,20,m m m ++=⎧⎨+≠⎩解得3m =-．所以i z =-，则i z =． (2)由1m =-，得2i z =+， 代入ii 1z a b z +=++， 得22i (22i)(3i)42i i 3i (3i)(3i)55a b ++-==+=+++-， 即42,55a b ==．43．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++， 所以22+1=2=0a b a ab b -++ 解得：13,22a b =-=±，即13i 22x =-± 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+- 解得：13,22c d ==±，即13i 22x =±故：123456131313131,1,i,i,i,i 22222222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ， 其中13131313(1,0),(1,0),(,),(,),(,),(,)22222222A B C D E F ----- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故233361S ==44．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i 000=++++⋅⋅⋅+ 1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭45．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---，则20020004325||2()2()2818a x x x x x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+．。

高二数学复数综合运算试题答案及解析1.已知，其中、为实数，则 .【答案】3【解析】由题意可得：，所以.【考点】复数的运算.2.是虚数单位，复数的共轭复数是A．2＋B．2－C．－1＋2D．－1－2【解析】,共轭复数为.【考点】复数的四则运算和共轭复数.3.已知复数z＝，则|z|＝________．【答案】【解析】∵z＝===，所以|z|==.考点:复数的运算，复数的模4.“a = 1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由复数(,i为虚数单位)是纯虚数得，解得=1，故是充要条件，故选C.【考点】纯虚数的概念，充要条件5.已知i为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【解析】由复数的除法运算得==，所以=，在复平面上的对应点为（，位于第三象限，故选B【考点】复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的点表示6.若则|z|=A．3B．4C．5D．7【答案】C【解析】复数的模长为,所以，故选C【考点】复数模长计算.7.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，则复数的虚部是。

【考点】复数的除法运算复数的基本概念。

8.已知复数，则 .【答案】5【解析】.【考点】复数的模.9.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1【答案】B【解析】当，时，复数为纯虚数，由解得或，又，所以．【考点】复数的分类．10.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l2【答案】D.【解析】∵，∴，∵复数的实部与虚部相等，∴.【考点】复数的计算.11.已知是方程的一个根(为实数)．（1）求的值；（2）试说明也是方程的根.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（1）依题意将代入方程化简整理即可得到，然后根据复数相等的条件得到，进而求出即可；（2）根据（1）中确定的方程，将代入方程的左边，化简得到0，即可说明也是方程的一个根.（其实作为实系数的二次方程，若有虚根，则该二次方程的两根必互为共轭复数.）（1）因为是方程的根∴即∴，得∴的值为 5分（2）因为方程为把代入方程左边得，显然方程成立∴也是方程的一个根 10分【考点】1.复数的四则运算；2.两复数相等的条件.12.是虚数单位,复数在复平面上的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】对于在复平面中对应的点为，,可知在平面上的对应点为，在第四象限．【考点】复数的四则运算，复数的几何意义．13.已知是复数，且，则的最大值为．【答案】6【解析】,在复平面中表示的是单位圆，为表示的点与表示的点距离，结合图象可知最大值为6．【考点】复数的几何意义，数形结合的数学思想．14.复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部为1，故选A.【考点】1.复数的运算；2.复数的基本概念.15.已知复数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意【考点】复数的运算16.若是纯虚数，则实数的值是【答案】2【解析】因为是纯虚数，所以，解得【考点】纯虚数概念17.若复数满足，则等于【答案】【解析】设z=a+bi（a，b∈R），由得，，∴，解得a=3，b=4，故选B．【考点】1.复数相等的充要条件；2.复数求模．18.（本小题满分12分）已知复数.（1）实数为何值时，复数为纯虚数？（2）若，计算复数.【答案】（1）m=0；（2）.【解析】（1）若z为纯虚数，则z的实部不为0，虚部为0从而可以建立与m有关的方程与不等式，进而求得m的值；（2）当m=2时，z=2+i，代入计算即可求得.（1）复数z为纯虚数，则， 5分解得m=0 6分（2）若m=2，则z=2+i 7分∴ 12分．【考点】 1、纯虚数的概念；2、复数的计算.19.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是 .【答案】【解析】因为，所以若复数为纯虚数，则有.【考点】1.复数的基本概念；2.复数的四则运算.20.已知复数（为虚数单位），则 .【答案】【解析】因为，所以所以本题也可利用复数模的性质进行求解，即【考点】复数的模21.在复平面内，设(是虚数单位)，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】因为，所以，该复数对应点的坐标为，落在第一象限，所以选A.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的几何意义.22.若复数 (为虚数单位，)是纯虚数，则复数的模是________．【答案】【解析】因为，由复数(为虚数单位，)是纯虚数可得，所以复数的模为.【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念.23. 已知a ，b ∈R ，a ＋bi ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 【答案】4【解析】根据复数乘法法则，将化为，再由两复数相等，它们实部与虚部分别相等得【考点】复数乘法法则，复数相等概念24. 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2. 【答案】或【解析】∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i. 而(a ＋2z )2＝[(a ＋2)＋2i]2＝(a ＋2)2＋4(a ＋2)i ＋4i 2 ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵az ＋2b ＝(a ＋2z )2，∴解得或25. 已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为＝a ，＝b ，求向量a 与b 的夹角．【答案】【解析】设a ，b 的夹角为α，a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)， 则cos α＝，∵0≤α≤π，∴α＝.26. 复数的共轭复数为 ( )．A ．－iB ．iC ．－iD ．i【答案】C 【解析】＝i ，其共轭复数为－i.27. 已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，复数z 2的虚 部为2，且z 1z 2为实数，求z 2及|z 2|. 【答案】 【解析】z 1＝＋2＝＋2＝＋2＝2－i ，设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， 由于z 1z 2为实数， ∴4－a ＝0.∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i |z 2|＝. 28.＝( )．A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C【解析】＝＝－2＋i.29.当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于()．A．1B．－1C．i D．－i【答案】D【解析】根据题意，当z＝－时，z100＋z50＋1=的值等于-i，故选D.【考点】导数研究函数的单调性点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题30.在复数范围内解方程.(i为虚数单位)【答案】z=-±i.【解析】本试题主要考查了复数的运算的问题。

【复数】专项练习参考答案1．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a ＝( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B ．3．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕设复数z 满足i 3i z +=-，那么z ＝( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，应选C ．4．〔2021全国Ⅱ卷，理1，5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-， 〔B 〕(13)-， 〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--，5．〔2021全国Ⅲ卷，文2，5分〕假设43i z =+，那么||zz ＝( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．那么43i ||55z z ==-，应选D ．6．〔2021全国Ⅲ卷，理2，5分〕假设z ＝1＋2i ，那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，应选C ． 7．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，那么z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．应选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．应选C ．8．〔2021全国Ⅰ卷，理1，5分〕设复数z 满足1+z1z-＝i ，那么|z|＝( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕假设a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，那么a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 【答案】D【解析】由得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，应选D ．10．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕假设a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕设z ＝11＋i＋i ，那么|z|＝( )A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．2 【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，应选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，应选D ．13．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，应选B ．14．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，应选A ．15．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，应选B ．16．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D ．45 【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，应选D ．17．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，应选A ．19．〔2021全国卷，文2，5分〕复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋iD ．－1－i【答案】D【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，应选D ．20．〔2021全国卷，文2，5分〕复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，应选C ．21．〔2021北京，文2，5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1＋i 〔C 〕 〔D 〕【答案】A 【解析】，应选A ．22．〔2021北京，理9，5分〕设，假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么_____________． 【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．〔2021江苏，文/理2，5分〕复数其中i 为虚数单位，那么z 的实部是____．【答案】524．〔2021山东，文2，5分〕假设复数21iz =-，其中i 为虚数单位，那么z ＝( ) 〔A 〕1＋i〔B 〕1−i〔C 〕−1＋i 〔D 〕−1−i【答案】B25．〔2021山东，理1，5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z ＝( )〔A 〕1＋2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26．〔2021上海，文/理2，5分〕设32iiz +=，其中i 为虚数单位，那么z 的虚部等于_______． 【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．〔2021四川，文1，5分〕设i 为虚数单位，那么复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，应选C ．28．〔2021天津，文9，5分〕i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，那么z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．〔2021天津，理9，5分〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1+i)(1-b i)＝a ，那么ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。