复数练习题含答案

复数练习题含答案

一、单选题

1．下列命题正确的是（ ）

①若复数z满足2Rz，则Rz；

②若复数z满足iRz，则z是纯虚数；

③若复数1z，2z满足12zz，则12zz；

④若复数1z，2z满足2121zzz且10z，则12zz．

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

2．已知aR，“实系数一元二次方程2904xax的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足2z且1za”的（ ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

3．若0a，则a的三角形式为（ ）

A．cos0isin0a B．cosisina

C．cosisina D．cosisina

4．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）

A．sin 30°＋icos 30° B．cos 160°＋isin 160°

C．cos 30°＋isin 30° D．sin 160°＋icos 160°

5．已知 i是虚数单位，复数41322i在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

6．在复平面内，复数z满足1i3iz，则复数z对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

7．已知复数z满足1i1z，则z的虚部为（ ）

A．12 B．1i2 C．12 D．1i2

8．复数3i(43i)在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．已知复数1iz，则2izz（ ）

A．2 B．3 C．23 D．32 10．设复数z1=1+i，z2=x+2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于（ ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

11．在复平面内O为坐标原点，复数1i43iz，27iz对应的点分别为12,ZZ，则12ZOZ的大小为（ ）

A．3 B．23 C．34 D．56

12．复数2iz（i为虚数单位）的虚部为（ ）

A．2 B．1 C．i D．1

13．复数z满足(2)izz，则z（ ）

A．1i B．1i C．1i D．1i

14．已知12zi，则(i)zz的模长为（ ）

A．4 B．10 C．2 D．10

15．2021i1i=（ ）

A．11i22 B．11i22

C．11i22 D．11i22

16．已知i为虚数单位，则复数1i在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

17．已知复数i(1i)z，则其共轭复数z（ ）

A．1i B．1i C．1i D．1i

18．已知复数z满足(2i)43iz（i为虚数单位），则z（ ）

A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i

19．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝（ ）

A．1＋2i B．－1－2i

C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i

20．已知i是虚数单位，复数12iiz，则z的共轭复数z（ ）

A．2i B．2i C．2i D．2i

二、填空题

21．若i1)（，xyxxyR，则2xy的值为__________.

22．设复数i12z（i是虚数单位），则在复平面内，复数2z对应的点的坐标为________.

23．已知复数z满足1i42iz，则z_________（用代数式表示）. 24．若i(,)iababR与3+4i互为共轭复数，则ab___________.

25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，zOZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离，在复数平面内，复数02i1iaz (i是虚数单位，)aR是纯虚数，其对应的点为0Z，Z为曲线1z上的动点，则0Z与Z之间的最小距离为________________.

26．若1i1iz，则z_______

27．已知复数1iz，则2zz____________

28．已知复数z满足294izz，则z___________.

29．在复平面内，复数1z和2z对应的点分别是(21)A，和(01)B，，则12zz_______.

30．设zC，且1i0zz，则iz的最小值为________.

31．若a∈R，且i2ia是纯虚数，则a=____．

32．已知复数z为纯虚数且满足1-3z=|z|+3i，则z=________

33．已知复数2i在复平面内对应的点为P，复数z满足|i|1z，则P与z对应的点Z间的距离的最大值为________.

34．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则2zz＝________．

35．复数1077(cosisin)66表示成代数形式为________．

36．计算cos40isin40cos10isin10________．

37．已知复数cosisiniz（为虚数单位），则1z的最大值为___________

38．下列命题：

①若aR，则1ia是纯虚数；

②若22132ixxxxR是纯虚数，则1x；

③两个虚数不能比较大小．

其中正确命题的序号是________．

39．已知13i2z，则22022zzz___________.

40．定义12,Czz，221212121(||||)4zzzzzz，121212i(i)zzzzzz.若134iz，2143iz，则12||zz___________. 三、解答题

41．已知z＝cosθ－sin θ＋2＋i(cosθ＋sinθ).

(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；

(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示).

42．已知复数(2)(3)(2)i()zmmmmR．

(1)若z是纯虚数，求z；

(2)若i1,i(,)1zmababzR，求a，b的值．

43．在复数集C内方程610x有六个根分别为123456，，，，，

(1)解出这六个根；

(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积 ．

44．已知复数21iza，243iz，其中a是实数．

(1)若12izz，求实数a的值；

(2)若12zz是纯虚数，a是正实数，求23202211112222zzzzzzzz．

45．（1）已知设方程，是方程220xxa的两根，其中aR，则||||的值；

（2）关于x的方程243i0xax有实根，其中aC，求||a的最小值，并求取得最小值时方程的根．

【参考答案】

一、单选题

1．B

2．D

3．C

4．B

5．C

6．C

7．A

8．B

9．D 10．A

11．C

12．D

13．C

14．B

15．C

16．B

17．C

18．B

19．D

20．B

二、填空题

21．1

22．34，

23．13i##3i+1

24．1

25．1

26．i

27．22

28．5

29．12i##2i+1

30．22.

31．12##0.5

32．i

33．221##122

34．－1＋2i##2i－1

35．－53－5i##－5i－53

36．3122i

37．2

38．③

39．0 40．35

三、解答题

41．(1)当24kkZ时，z 取最大值为22 ，

(2)97,,284arg77,,2284z.

【解析】

【分析】

（1）按照复数模的定义求解即可；

（2）按照复数的辐角主值的定义求解即可.

(1)

由复数模的定义可得：

22cossin2cossin422cossinz

21cos4 ，

显然当cos14 时最大，即24kkZ ， 最大值为22 ；

(2)

设argz ，

cossin2icossin21cosisin44z ，

实部为1cos04＞ 59442 ，虚部为sin4，

sin4tantan281cos4 ，

∴当7,4 即5,244 时， sin04＜，

此时复数z对应的点在第四象限， 5,288，92828 ，

当7,24 即92,44，sin04＞，

此时复数z对应的点在第一象限（或x轴的非负半轴上），