八年级上册勾股定理复习资料

CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。

（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。

常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。

例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。

技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。

例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。

例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。

cb a cba ED CBA第一章勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=． 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边． 2．勾股定理的证明： （1）弦图证明内弦图 外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c += （2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．（2）(,,)a b c 是组勾股数，则(,,)ka kb kc （k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等 （4）21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数） （5）22a m n =-，2b mn =，22c m n =+（m n >，且m 和n 均为正整数） 4．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在ABC △中，如果222AC BC AC +=，那么ABC △是直角三角形．5．勾股定理的常见题型．DC BAGF E H例1 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________．例2 （1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）．A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③22m n +，22m n -,2mn （m ，n 均为正整数，m n >）；④2a ，21a +，22a +．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 例3（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________． （3）（七初半期）若|1|240a b a b --+-=，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________． 例4在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是_________． 例5（1）如图6-1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积．（2）如图6-2，在四边形ABDC 中，BD CD ⊥，6BD =，8CD =，24AB =，26AC =，求该四边形面积．图6-1 图6-2ABC DDCB A例6（1）如图，梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置，BD 长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上结果都不对（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC ⊥，AC BC =，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯子B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A ．x y =B ．x y >C ．x y <D ．不确定 例7（1）（成外半期）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于________． （2）（西川半期）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若455AD =，25BC =，请求出ABC △的周长．例8 （1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长． （2）如图9-2，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，16AD =，8AB =，则DE 的长度为________．（3）如图9-3，矩形纸片ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，沿EF 将其折叠，使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为________cm ．图9-1 图9-2 图9-3EDC'C BAABCEA BCD。

八年级上册勾股知识点勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是一种解决直角三角形边长和角度的基础公式，是数学中非常重要的知识点。

在八年级的数学课程中，学习勾股定理是必不可少的一环。

因为它不仅在学习数学时会用到，还会在我们生活中的各个方面发挥作用。

1.勾股定理的定义勾股定理是指：对于一个直角三角形，它的长边的平方等于其短边的平方之和。

勾股定理可以用一个简单的公式来表达：a^2+b^2=c^2其中，a、b是直角三角形的两条直角边，c是斜边，也称为长边。

2.利用勾股定理求解问题对于一个直角三角形，如果其两条直角边的长度已知，可以利用勾股定理求解长边的长度。

例如，如果一条直角边的长是3，另一条直角边的长是4，那么可以用勾股定理计算出斜边的长度：c^2=3^2+4^2，即c=5。

另外，在解决一些几何问题时，我们也可以利用勾股定理来求解。

例如，已知一个正方形和一个内接的直角三角形，求正方形的面积与直角三角形面积之和。

这时，我们就需要利用勾股定理来求解直角三角形的斜边长度，然后再用其它几何知识来计算面积。

3.勾股定理的应用勾股定理不仅仅局限于数学问题的解决，还可以应用于各种领域中。

例如，在物理学中，勾股定理可以用来计算力和加速度之间的关系。

同时，在建筑工程中，勾股定理也可以用来确定房屋的墙角是否垂直。

此外，勾股定理还可以用来测量在草地上摆放帐篷时需要挑选的合适位置。

总结勾股定理虽然简单，但其应用范围却广泛。

学习勾股定理不仅仅是为了通过数学考试，还有助于我们在日常生活中更好地解决问题。

同时，勾股定理还是后续学习更高数学知识的基础。

因此，八年级学生应该认真学习勾股定理，并思考其实际应用的意义。

数学八年级上册知识点第一章数学八年级上册知识点第一章1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的.长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，以下说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。

例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。

二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。

这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。

三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。

记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。

人教版八年级数学第十七章勾股定理综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为25 B．三角形周长为25C．斜边长为5 D．三角形面积为202. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动()A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.1、2、3B.C.D.4. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6. 如图所示，在中，三边的大小关系是（）A. B.C. D.7. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．，，B．，，C．，，D．，，8. 已知的三边为、、，且，，，则是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9. 如图，梯子斜靠在墙面上，，当梯子的顶端沿方向下滑米时，梯足沿方向滑动米，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不确定10. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍二、填空题（本大题共8道小题）11. 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为，则的取值范围为12. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．13. 已知的的对边分别是，且满足，则三角形的形状是14. 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是和，那么最小的正方形的面积为15. 已知是边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是．16. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形的面积之和为_______cm2.17.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为________．18. 如图，是等边中的一个点，，则的边长是.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，分别是正方形中和边上的点，且，为的中点，连接，问是什么三角形？请说明理由.ABCD7cm20. 如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？21. 已知：如图，在四边形中，，，，，．求这个四边形的面积．22. 已知为正三角形内一点，，证明：。

第一章勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段二、典型例题、练习题类型一：勾股定理的直接用法例题：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）． 举一反三【变式1】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少? 【答案】∵∠ACD =90° AD =13, CD=12∴AC 2 =AD 2－CD 2=132－122=25 ∴AC =5又∵∠ABC=90°且BC =3 ∴由勾股定理可得AB 2=AC 2－BC 2=52－32=16 ∴AB = 4∴AB 的长是4.【变式2】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n 。

数学八年级上《勾股定理》专题复习一、知识回顾 （一）勾股定理： 1.定义直角三角形 的平方和等于 的平方。

数学式子： 2.应用（1）已知直角三角形的两边求 ；（2）利用勾股定理可以证明线段 关系的问题；（3）用勾股定理，在数轴上作出表示 的点，即作出长为 的线段。

3.使用注意事项（1）勾股定理使用条件：只对________三角形适用，不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清______边和_______边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= ，b 2= ． （二）勾股定理的逆定理：1.定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形.2.勾股数：满足 三个_________a 、b 、c 叫做勾股数。

常见勾股数：①3,4,5②5,12,13③6,8,10④7,24,25⑤8,15,17⑥9，40,41⑦18,24,30 二、知识讲解类型一：勾股定理的有关计算1.已知一个直角三角形的两边分别为3cm 和4cm ，那么第三边的长为 。

2.如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为1 , l 2，l 3之间的距离为2 ,则AC 2的长是( )A ．13B ．20C ．26D ．5CB Acb a （1）ll 2 l 3ACB3.如图2，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2014个等腰直角三角形的斜边长是．（2）4.一个等腰三角形的周长是36cm，底边上的高是12cm，求三角形各边的长.5.在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE和EF2.举一反三：1.在△ABC中，∠B =90°，AB＝5，BC＝12，则AC边上的中线长为。

八年级数学上册勾股定理知识点笔记基础知识点1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

即：a?+b?＝c?要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a?+b?＝c?，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c?＝a?+b?，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c?>a?+b?，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c?<a?+b?，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

八年级上册数学期末知识点：勾股定理第二章
勾股定理
2.1探索勾股定理
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。

2.2勾股数
.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形。

在&#8710;ABc中,a，b，c为三边长,其中c为最大边, 若a2+b2=c2,则&#8710;ABc为直角三角形；
若a2+b2&gt;c2,则&#8710;ABc为锐角三角形；
若a2+b2&lt;c2,则&#8710;ABc为钝角三角形。

2.勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数,仍能够成直角三角形。

一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。

常用勾股数:3,4,5
9,12,15
5,12,13
8,15,17
6,8,10
7,24,25
勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5 连续的偶数勾股数只有6,8,10。

八年级上册学生辅导材料－－勾股定理勾股定理:几何语言:如图, 在△中, ∠ 90°1、根据勾股定理:在直角三角形中,若两直角边的长分别为3, 4 , 则斜边长为斜边上的中线长为, 斜边上的高长为2.在△ＡＢＣ中, ＡＢ＝c, ＢＣ＝a, ＝b, , ∠90°, （要求画出草图）①已知5, 12, 求c？②已知15, 25, 求b？③若a∶3∶4, 10求？3.如图, 从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆,求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离.4.一直角三角形的三边分别为2.3.x, 则以x为边长的正方形的面积为（）A.13B.5C.13或5D.无法确定5、下图由４个等腰直角三角形组成, 其中第１个直角三角形腰长为1, 求第4个直角三角形斜边长度是练习：6.正方形的面积是4, 则它的对角线长是（ ）A.2B.C.D.47、如图, 在△中, ⊥于D, 3, 2, 1, 则（ ） A.6 B. C. D.48、如图, 已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂, 竹杆顶部抵着地面, 此时, 顶部距底部有 m ；9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地, 6084m, 100m,•则这条小路的面积是多少10、如图, 在海上观察所A,我边防海警发现正北6的B 处有一可疑船只正在向东方向8的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40, 则我边防海警船的速度为多少时, 才能恰好在C 处将可疑船只截住？勾股定理的逆定理: .判断一个三角形是否为直角三角形方法: （1）先确定最大边（如c ） （2）验证 与 是否具有相等关系 （3）若 = , 则△是以∠C 为直角的直角三角形；若 ≠ 则△不是直角三角形。

勾股数: 满足 = 的三个正整数, 称为勾股数。

如（1）3, 4, 5； （2）5, 12, 13； （3）6, 8, 10；（4）8, 15, 17 （5）7, 24, 25 （6）9, 40, 418CAB 6AB CD11.如图, 在５×５的正方形网格中, 每个小正方形的边长都为1, 请在给定网格中按下列要求画出图形:从点A 出发画一条线段ＡＢ, 使它的另一个端点Ｂ在格点上, 且长度分别为 （1）3； （2）2； (3) (4)12.在△ＡＢＣ中, ＡＢ＝２, ＢＣ＝４, ＡＣ＝2 .∠C ＝３０°.求∠B 的大小.13.如图, ⊥.ＡＢ＝１３, ＢＣ＝１２, ＣＤ＝４, ＡＤ＝３, 已知∠C ＡＢ＝ , 求∠B.14.一个零件的形状如图所示, 按规定这个零件中∠A 和∠都应为直角, 工人师傅量得这个零件各边尺寸如图, 请问这个零件符合要求吗？如图, 在四边形中, ⊥, △的面积为30, 1234,求△的面积练习1.若直角三角形的三边长分别为2.4.x, 试求出x 的所有可能值.2.如图, 已知＝６m, ＝８m, ∠＝９０°, ＝２４m, ＡＢ＝２６m. 求图中阴影部分的面积.3.如图, 四边形ＡＢＣD中, ＡＢ＝ＢＣ＝２.＝３, ＤＡ＝１.且∠B＝９０°, 求∠DＡＢ的度数.4.有一块四边形地ＡＢＣD（如图）, ∠B＝９０°.ＡＢ＝４m.ＢＣ＝３m.＝１２m.＝１３m.求该四边形地的面积.3.勾股定理的应用:(一)面积问题:1.如右图, 字母“A”所代表的正方形的面积为；2. 如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25, S2＝144, 则另一个的面积S3为.3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7，则正方形A.B.C.D的面积和.....．4.如右图, 在△中, 分别以三边为直径向形外作半圆, 若三个半圆的面积分别为S1.S2.S3, 则S12与S3的大小关系是…………( )A.S12﹥S...B.S12....C.S12﹤S....D.无法确定5毛5.如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6.８、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆, 则图中阴影部分的面积= ．（二）勾股定理在立体图形中的应用:例1如图14.2.1, 一圆柱体的底面周长为20, 高ＡＢ为4, ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发, 沿着圆柱的侧面爬行到点C, 试求出爬行的最短路程．（精确到０.０１）练习1: 一只蚂蚁从点A出发, 沿着圆柱的侧面爬行到的中点O, 已知底面周长为8,高为6,试求出爬行的最短路程。

八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，⑵.历史文化： 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。

⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17【典例精析】1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形， 这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c 2＝ ＋ ． 化简后即为 c 2＝ ．知识点二：直角三角形的判别要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。

（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）AC160abc图1－1 【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13D.5、11、122、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶1553、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。

4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD 的长。

八年级数学上册《勾股定理》复习学习目标1.理解勾股定理的内容，直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此根底上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半局部学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：二、例如类型一 两边求第三边例1．在直角三角形中,假设两边长分别为1cm ，2cm ，那么第三边长为_____________． 类型二 构造Rt △，求线段的长例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，求EB 的长．CP AB C D E A B C D E F B A例3．如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，E 为AD 边中点，求EP +DP 最小值。

例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________ dm .类型三 判别一个三角形是否是直角三角形 例5、如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =14BC ．你能说明∠AFE 是直角吗？F E DC B A类型四 实际运用例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国局部地区频频遭受沙尘暴的侵袭。

近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东 60度方向移动〔如图〕，距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域。

①A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②假设A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ 东西北A B类型五、拼图例6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如下图)．斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，那么S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．三. 课堂检测1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距〔 〕A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，假设 a ＝5，b ＝12，那么 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，那么它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，那么它的面积是＿＿＿7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，门宽4尺．求竹竿高与门高．8．如图3杆底部8m 处，旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？ l321S 4S 3S 2S 18m图3。

勾股定理（知识归纳+题型突破）1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.四、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．A．8【答案】A【分析】利用勾股定理进行求解即可．∠=【解析】解：∵A【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键，注意分类讨论，∴()()22340a b -+-=，∴30a -=，40b -=，解得：3a =，4b =，∵5c =，∴22229165a b c +=+==，∴ABC 为直角三角形．故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，勾股定理的应用，利用非负数的性质求解3a =，4b =是解本题的关键．题型四勾股定理的逆定理的实际应用【例4】．如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知4=AD 米，3CD =米，13AB =米，12BC =米，90ADC ∠=︒，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？【答案】铺满这块空地共需花费720元【分析】连接AC ，在Rt ACD △中利用勾股定理计算出AC 长，再利用勾股定理逆定理证明90ACB ∠=︒，再利用ACB ACD S S - 可得草坪面积，然后再计算花费即可．【解析】连接AC ，在Rt ACD △中，4=AD 米，3CD =米，222223425AC CD AD =+=+=，∴5AC =，1．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量903m 4m 12m 13m A AB DA BC CD ∠=︒====，，，，．(1)求出空地ABCD 的面积．(2)若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？【答案】(1)空地ABCD 的面积为236m ；(2)总共需投入10800元．【分析】（1）连接BD ．在Rt △ABD 中可求得BD 的长，再由勾股定理的逆定理证得CBD △是直角三角形，且90DBC ∠=︒；根据三角形面积公式即可求解；（2）根据总费用=面积×单价解答即可．【解析】（1）解：连接BD ．在Rt △ABD 中，222222345BD AB AD =+=+=．在CBD △中，22221312CD BC ==，，而22212513+=，即222BC BD CD +=，∴CBD △是直角三角形，且90DBC ∠=︒，A ．7B ．8【答案】D ∵3,1OC BC ==∴223110OA OB ==+=，(1)写出数轴上点A 表示的数；(2)比较点A 表示的数与 1.5-的大小；由勾股定理得：2222OC OH CH =+=+以O 为圆心，OC 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点【答案】直角【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出AB【解析】由图可知，2∴222AB BC AC +=，∴ABC 是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理的知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．A ．101313【答案】D【分析】根据勾股定理计算【解析】解：由勾股定理得：∵1332ABC S =⨯-⨯△∴1722AC BD ⋅=，∴137BD ⋅=，∴71313BD =，故选：D ．【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．2．如图，小正方形边长为(1)在图1中以格点A为顶点画一个面积为(2)①在图2中以格点E为顶点画一个的面积．②求出EFG【答案】(1)见解析正方形ABCD即为所求作的图形；（2）①如图2，EF=，EG=② 2222EF EG FG∴+=∴EFG为直角三角形【解析】解：∵在ABC 中，90A C ∠+∠=︒，∴90B Ð=°，∴ABC 为直角三角形，则根据勾股定理得：222a c b +=．故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．巩固训练：1．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，点A 向上平移后到A '，得到A BC ' ．下面说法错误的是（）A ．ABC 的内角和仍为180︒B ．BAC BAC '∠<∠C ．222AB AC BC +=D ．222A B A C BC ''+<【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理以及平移的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】解：A 、△A ′BC 的内角和仍为180°正确，故本选项正确，不合题意；B 、∵∠BA ′C ＜90°，∠BAC =90°，∴∠BA ′C ＜∠BAC 正确，故本选项正确，不合题意；C 、由勾股定理，AB 2+AC 2=BC 2，故本选项正确，不合题意；D 、应为A ′B 2+A ′C 2＞BC 2，故本选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，以及平移，熟记定理并准确识图是解题的关键．2．如图，在ABC 中，AB AC >，AH BC ⊥于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（）MB MC -．A ．大于B ．等于C ．小于D ．大小关系不确定【答案】8【分析】分别设三个正方形【解析】解：设正方形由勾股定理得：A ．31B ．63C ．65D ．67【答案】B 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．【解析】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有123+=（个），第二代勾股树中正方形有21227++=（个），第三代勾股树中正方形有23122215+++=（个），由此推出第五代勾股树中正方形有234512222263+++++=（个）故选：B ．【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．【例10】．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为123S S S 、、．若12318S S S ++=A ．125B ．6C ．5D ．154【答案】B【解析】先设每个直角三角形的长直角边为关于a 、b 的方程，然后整理化简，即可求得【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为∴()()()222218a b a b a b ++++-=，∴2222222218a ab b a b a ab b ++++++=-，∴()22318a b +=，∴226a b +=，∴2226S a b =+=，故选：B ．【点评】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，解答本题的关键是明确勾股定理的内容，可以写出相应的等式．【答案】=【解析】连接AC ，分别在Rt 从而可得22AB BC AD +=【分析】解：连接AC ，∵90ABC ADC ∠=∠=︒，∴222AB BC AC +=，2ADA．8B．22【答案】C【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为22218==即最大正方形的面积为z x y+【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为222==；x+23133．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A ．2024B ．2023C ．2022D ．1【答案】A 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是212⨯=；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是313⨯=，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得222+=a b c ，即1A B C S S S +==正方形正方形正方形．“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是212⨯=；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是313⨯=，“生长”3次后，所有的正方形的面积和是414⨯=，…“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202412024⨯=．故选：A ．【点睛】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．4．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】D 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．【解析】解：①()()22211222S a b a ab b =+=++梯形，(2111122222S ab ab c ab c =++=+梯形22A ．5B 【答案】C，．B．C．D．【答案】A【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解．【解析】解：个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中较长的直角边为A．300m B．400m【答案】A【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断．△【解析】解：如图，Rt ABC1．海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m∴2213AC AB BC =+=，∴这棵大树在折断前的高度为13+故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．A ．213【答案】B 【分析】沿过点的最短路程，求出【解析】解：如图所示：沿过【点睛】本题考查勾股定理的应用求解是解题的关键．3．将一根长为17cm则x的取值范围是（【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意，确定出4．一棵高10m的大树倒在了高面向下滑动，请回答下列各题．(1)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了(2)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了【答案】(1)是，理由见解析(2)不一定，理由见解析【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意，利用勾股定理求得线段长度是解题的关键．的点A．20【答案】B【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．【解析】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点D，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．6．为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路到广播宣传，宣讲车P在公路MN(1)村庄能否听到广播宣传?请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间【答案】(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析(2)8min【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．7．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在的南偏西36︒方向上，与C的距离是600海里．(1)求点A 与点B 之间的距离；(2)若在点C 处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)1000AB =∵CH AB ⊥；∴90CHB ∠︒＝；∵21ABC S AC BC =⋅= ∴480CH ＝；A．7B．【答案】A【分析】先根据勾股定理求出长上的一点，将【答案】52【分析】首先根据勾股定理求出【解析】∵90C ∠=︒，∴22AC AB BC =-=A．423-B．【答案】A【分析】由正方形ABCD可得==，利用勾股定理可求CD DF2(1)求AD的长；是直角三角形．(2)求证：ABC【答案】(1)16(1)试判断ADC △的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD 的面积【答案】(1)ADC △是直角三角形，理由见解析(2)44【分析】（1）在Rt ABC △(1)求证：222AD BE DE +=；(2)若2EB AD =，求DE AD的值．【答案】(1)证明见解析(2)5DE AD=，从而可得答案∵在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45CAB B ∠=∠=︒，∴45FAC ∠=︒，∴()SAS CAF CBE ≌，．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四(1)结合图①，求证：222a b c.+=(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形OB=．求该图形的面积．周长为24，3【答案】(1)证明见解析(2)24【分析】（1）由图形可知，大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全相同的直角三角形的面积的和，(1)AC=______；是否为直角三角形，并说明理由．(2)判断ABC⊥，(3)过点A作AE AB【答案】(1)53+；是直角三角形，理由见解析；(2)ABC(1)请运用公式计算点()4,2M 和点(2,N (2)在（1）的条件下，点O 为原点，求 【答案】(1)13(2)1335+【分析】（1）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算。

八年级上册数学勾股定理20个
常考知识点归纳
八年级上册数学《勾股定理》20个常考知识点归纳_直线_内错角_三角形
八年级上册数学
《勾股定理》20个常考知识点归纳
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9、同位角相等，两直线平行
10、内错角相等，两直线平行
11、同旁内角互补，两直线平行
12、两直线平行，同位角相等
13、两直线平行，内错角相等
14、两直线平行，同旁内角互补
15、定理三角形两边的和大于第三边
16、推论三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"
18、推论1直角三角形的两个锐角互余
19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角八年级上册数学解题方法+技巧，暑假熟练掌握，开学无忧！【人教版】七年级数学上册基础知识归纳，暑期预习必备！初中数学30个“知识点记忆口诀”，暑假提前预习背诵！
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八年级数学上册勾股定理知识点
八年级数学上册的勾股定理主要包括以下几个知识点：
1. 勾股定理的基本原理：勾股定理指出，在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜
边的平方。

即a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。

2. 判断直角三角形：可以通过勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个
三角形的边长满足勾股定理的条件，那么就可以说明它是一个直角三角形。

3. 求解直角三角形的边长：已知一个直角三角形的两个边长，可以利用勾股定理求解
第三个边长。

例如，若已知两直角边的长度为a和b，则斜边的长度c =√(a^2+b^2)。

4. 勾股定理的应用：勾股定理广泛应用于几何推理和问题解决中。

例如，可以利用勾
股定理计算倾斜的直线的斜率、判断是否存在直角、计算三角形的面积等。

5. 勾股定理的推导和证明：在学习勾股定理时，通常也会涉及到对定理的推导和证明。

可以利用几何图形或代数方法进行推导和证明，加深对勾股定理的理解。

以上是八年级数学上册勾股定理的主要知识点。

通过学习这些知识点，可以掌握并应
用勾股定理解决直角三角形相关的问题。

八年级上册第四单元：勾股定理一、知识点总结知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab例1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

例、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。

5、在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。