初三数学培优专题——动态几何常见题型1(第9周)

中考动态几何题例析
中考数学主要考查学生数学基本技能和中学所学知识，其中几何也是不可或缺的重要知识点，动态几何归类在定向与静态几何的一个新的分支，也是现代几何学的内容之一，它把把数学与物理结合起来，将变形的抽象几何设计实际或假象的变形过程，是学习到贴切考查学生发散思维、表达能力、改善学生理解和研究水平的重要环节。

以下是一道简单的动态几何题：
条件：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=b。

以AC为轴，逆向顺时针旋转ABC，BC=BC，于是得到新三角形A'B'C，求∠A'B'C。

解法：旋转不改变两个角之和，那么∠A'B'C+∠C'B'A=90°，而易知
∠C'B'A=∠BAC=90°，那么∠A'B'C=90°。

此外，还有动态几何的题型较多，如旋转角的大小、旋转前后三角形面积的变化、旋转过程中曲线形状的变化等。

对于动态几何部分，考生需要思考如何运用相关数学知识，并能够将静态和动态几何结合运用在考试中。

以上就是关于中考动态几何题例析的全部内容，动态几何不仅数学性强，而且涉及范围较广，它既可以帮助学生更好地理解、掌握相关几何知识，又为学生培养创新意识和分析问题能力打下良好的基础。

最后，学生在做动态几何题前，要充分理解题意，掌握动态几何的基本概念以及数学知识，并学会熟练运用解题思路，才能更好的取得好的分数。

九年级中考数学几何动点问题专项训练1如图，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ，设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)．第1题图(1)当t 为何值时，PQ ∥BC ；(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2)，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知BP ＝2t ，AP ＝10－2t ，AQ ＝2t ，∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴＝，AP AB AQ AC即＝，解得t ＝，10－2t 102t 8209即当t 为 s 时，PQ ∥BC ；209(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠C ＝90°，如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D，第1题解图则PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ，∴＝，AP AB PD BC∴＝，10－2t 10PD 6∴PD ＝(10－2t )，35∴S ＝AQ ·PD ＝ ·2t ·(10－2t )＝－t 2＋6t ＝－(t －)2＋7.5，121235656552∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，65∴当t ＝ 秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；52(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则S △AQP ＝S △ABC ，12即－t 2＋6t ＝××8×6，651212整理得t 2－5t ＋10＝0，∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0，∴此方程无解，即不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 匀速运动，到达B 点即停止运动．M ，N 分别是AD ，CD 的中点，连接MN .设点D 运动的时间为t .(1)判断MN 与AC 的位置关系；(2)求在点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；(3)若△DMN 是等腰三角形，求t的值．第2题图解：(1)MN ∥AC .证明：在△ADC 中，M 是AD 的中点，N 是DC 的中点，∴MN ∥AC ；(2)如解图①，分别取△ABC 三边中点E ，F ，G 并连接EG ，FG ，第2题解图①根据题意，可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积．∵AC ＝6，BC ＝8，∴AE ＝3，GC ＝4，∵∠ACB ＝90°，∴S ▱AFGE ＝AE ·GC ＝12，∴线段MN 扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD ＝AD ，DN ＝DC ，MN ＝AC ＝3.121212分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6，∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝AC ＝3，12第2题解图②∵cos A ＝＝，AB ＝10，AH AD AC AB即＝.3AD 610∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ，如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD.第2题解图③∵cos A ＝＝，即＝，AM AC AC AB AM 6610∴AM ＝，185∴t ＝AD ＝2AM ＝.365综上所述，当t ＝5或6或时，△DMN 为等腰三角形．3653.如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周．设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后，△ABP 的面积是y .(1)若AB ＝8厘米，BE ＝6厘米，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式；(2)已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝x ；当点P 在线段AD 125上时，y ＝32－4x .求y 关于x的函数表达式．第3题图解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE ＝90°，又∵AB ＝8，BE ＝6，∴AE ＝＝＝10，22BE AB +2268+如解图①，过点B 作BH ⊥AE 于点H，第3题解图①∵S △ABE ＝AE ·BH ＝AB ·BE ，1212∴BH ＝，245又∵AP ＝2x ，∴y ＝AP ·BH ＝x (0<x ≤5)；12245(2) ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC ，∵E 为BC 中点，∴BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE (SAS)，∴AE ＝DE ，∵y ＝x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)，125当点P 运动至点D 时，可联立得，，{y ＝125x y ＝32－4x )解得x ＝5，∴AE ＋ED ＝2x ＝10，∴AE ＝ED ＝5，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0，∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8，∴AE ＋DE ＋AD ＝16，∴AD ＝BC ＝6，∴BE ＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝＝4，22-BE AE 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝，125第3题解图②∴y ＝x (0<x ≤2.5)，125∴y ＝.{125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）)4.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G .(1)求证：△CDE ≌△CBF ；(2)当DE ＝ 时，求CG 的长；12(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第4题图(1)证明：如解图，在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝ ∠CBA ＝ ∠CBF ＝ ∠DCB ＝ 90°，第4题解图∴∠1＋∠2＝ 90°，∵CF ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中，，{∠D ＝ ∠CBFDC ＝BC ∠1＝ ∠3)∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴＝ ，BG AE BF AF由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝ DE ＝ ，12∵正方形的边长为1，∴AF ＝AB ＋BF ＝ ，32AE ＝AD －DE ＝ ，12∴＝，BG 121232∴BG ＝，16∴CG ＝BC －BG ＝ ；56(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ，∴AD －AE ＝BC －CG ，∴DE ＝BG ，由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形，∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°，∴∠CFA ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符，∴点E 在运动过程中，四边形CEAG 不能是平行四边形．5. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB .14(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB周长的最小值．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠EAF ＝∠ABG ＝90°，∵点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB ，14∴＝，＝，AE AB 12AF BG 12∴＝，AE AB AF BG又∵∠EAF ＝∠ABC ＝90°，∴△AEF ∽△BAG ，∴∠AEF ＝∠BAG ，又∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°，∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°，∴∠EOA ＝90°，即EF ⊥AG ；(2)解：EF ⊥AG 仍然成立；(3)解：如解图，过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ，N ，连接PA，第5题解图∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB ，∴点P 在线段MN 上(不含端点)，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接BA ′交MN 于点P ，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝BA ′最小，即△PAB 的周长最小．∵正方形ABCD 的边长为4，∴AE ＝AD ＝2，AF ＝AB ＝1，1214∴EF ＝＝，22AF AE 5OA ＝＝，AE ·AF EF 255∵∠AMO ＝∠EOA ，∠EAO ＝∠EAO ，∴△EOA ∽△OMA ，∴＝，AEOA OA AM ∴OA 2＝AM ·AE ，∴AM ＝＝，AE OA 225∴A ′A ＝2AM ＝，45∴BA ′＝＝，22'AB A A 4265故△PAB 周长的最小值为4＋.42656.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝4cm.点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y (cm 2)，点P 的运动时间为x (s)．(1)当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；(2)当0<x <2时，求y 关于x 的函数解析式；(3)直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．第6题图解：(1)如解图①，延长FE 交AB 于点G ，由题意，得AP ＝2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ ＝DP ＝x ，∵四边形DEFQ 为正方形，∴DQ ＝DE ＝GP ＝x ，∵FG ⊥AB ，∠B ＝45°，∴△FGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝FG ＝PQ ＝2x ，∴AP ＋PG ＋BG ＝AB ，即2x ＋x ＋2x ＝4，∴x ＝，45第6题解图①(2)当0<x ≤时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2，45∴y ＝x 2，(0＜x ≤)45如解图②，当<x ≤1时，设BC 交QF 于点M ，BC 交EF 于点N ，过点C 作CH 45⊥AB 于点H ，交FQ 于点K ，则CH ＝2，∵PQ ＝AP ＝2x ，∴CK ＝2－2x ，∴MQ ＝2CK ＝4－4x ，∴FM ＝x －(4－4x )＝5x －4，∴y ＝S 正方形DEFQ －S △MNF ＝DQ 2－FM 2，12∴y ＝x 2－(5x －4)2＝－x 2＋20x －8，12232∴y ＝－x 2＋20x －8 (＜x ≤1) ，23245第6题解图②如解图③，当1<x <2时，PQ ＝PB ＝4－2x ，∴DQ ＝2－x ，∴y ＝S △DEQ ＝DQ 2，12∴y ＝(x －2)2，12∴y ＝x 2－2x ＋2(1＜x ＜2)，12第6题解图③(3)1<x <.32【解法提示】当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，2x ＝2，∴x ＝1；当Q 为BC的中点时，BQ ＝，PB ＝1，∴AP ＝3，∴2x ＝3，∴x ＝，∴x 的取值范围是2321<x <.327.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两34点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 为半径作⊙Q .(1)求证：直线AB 是⊙Q 的切线；(2)过点A 左侧x 轴上的任意一点C (m ，0)，作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，若CM 与⊙Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与⊙Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图(1)证明：如解图，连接QP ，∵y ＝－x ＋3交坐标轴于A ，B 两点，34∴A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，AB ＝＝5，22OB OA ∵AQ ＝5t ，AP ＝4t ，在△APQ 与△AOB 中，＝＝t ，＝＝t ，AQ AB 5t 5AP AO 4t 4∴＝，AQ AB AP AO又∵∠PAQ ＝∠OAB ，∴△APQ ∽△AOB ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，又∵PQ 为⊙Q的半径，∴AB 为⊙Q 的切线；第7题解图①(2)解：①当直线CM 在⊙Q 的左侧与⊙Q 相切时，如解图①，连接DQ ，∵AP ⊥QP ，AP ＝4t ，AQ ＝5t ，∴PQ ＝3t ，∴易得四边形DQPM 为正方形，∴MP ＝DQ ＝QP ＝3t ，∴cos ∠BAO ＝＝＝，MA AC PA QA 45又∵MA ＝MP ＋PA ＝3t ＋4t ＝7t ，AC ＝AO －CO ＝4－m ，∴＝，∴m ＝＝－t ＋4；7t 4－m 4516－35t 4354②当直线CM 在⊙Q 的右侧与⊙O 相切时，如解图②，连接DQ ，PQ ，由①易得MA ＝PA －PM ＝4t －3t ＝t，第7题解图②AC ＝4－m ，∴＝，t 4－m 45∴m ＝－t ＋4；54综上所述，m 与t 的函数关系式为m ＝－t ＋4或m ＝－t ＋4；35454(3)解：存在，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．3827827232【解法提示】①如解图③，当⊙Q 在y 轴的右侧与y 轴相切，∴OQ ＝QP ＝3t ，∴OA ＝OQ ＋QA ＝3t ＋5t ＝8t ＝4，∴t ＝，12第1题解图③则m ＝－t ＋4＝－，35438∴C 1(－，0)；38m ＝－t ＋4＝，54278∴C 2(，0)；278②如解图④，当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切，OA ＝AQ －OQ ＝5t －3t ＝2t ＝4，∴t ＝2，第7题解图④则m ＝－t ＋4＝－，354272∴C 3(－，0)；272m ＝－t ＋4＝，5432∴C 4(，0)．32综上所述，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．38278272328.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝8，∠BAD ＝60°.点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．当点E 不与点A 重合时，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作EG ∥AD 交AC 于点G ，过点G 作GH ⊥AD 交AD (或AD 的延长线)于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动的时间为t 秒．(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示)；(2)求点H 与点D 重合时t 的值；(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式．第8题图解：(1)由题意可知AE ＝2t ，0≤t ≤4，∵EF ⊥AD ，∠BAD ＝60°，∴sin ∠BAD ＝＝，EF AE 32∴EF ＝AE ＝t ；323(2)如解图①，∵点H 与点D 重合，菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BA ＝30°，AD 12＝AB ＝8，∴在Rt △ADG 中，DG ＝AD ·tan30°＝8×＝，33833∴在矩形FEGD 中，EF ＝DG ＝，833由(1)知EF ＝＝t ，8333∴t ＝；83第8题解图①(3)①当0<t ≤时，点H 在AD 上，83∵AE ＝2t ，∠BAD ＝60°，∠DAC ＝30°，∴EF ＝t ，AH ＝HG ＝EF ＝3t ，AF ＝t ，333∴FH ＝AH －AF ＝2t ，∴S ＝EF ·FH ＝t ·2t ＝2t 2；33②如解图②，当<t ≤4时，点H 在AD 的延长线上，83设GH 与CD 交于点M ，由(2)知∠DAC ＝30°，∴在菱形ABCD 中，∠BAC ＝30°，∵EG ∥AD ，∴∠AGE ＝∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝∠AGE ，∴AE ＝EG ，∵AE ＝2t ，EF ＝t ，∠BAD ＝60°，3∴在Rt △AFE 中，AF ＝AE ·cos60°＝2t ×＝t ，12∴DF ＝8－t ，∵AE ＝EG ＝FH ＝2t ，∴DH ＝2t －(8－t )＝3t －8，∵AB ∥CD ，∴∠HDM ＝∠BAD ＝60°，∴在Rt △DHM 中，HM ＝DH ·tan60°＝(3t －8)，3则DH ＝3t －8，HM ＝(3t －8)，3第8题解图②∴S ＝S 矩形HGEF －S △DHM ＝EF ·FH －DH ·HM ＝2t 2－(3t －8)·(3t －8)123123＝2t 2－(9t 2－48t ＋64)332＝2t 2－t 2＋24t －32393233＝－t 2＋24t －32，53233∴S 与t 之间的函数关系为S＝⎧<≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩2280383(4).3t t。

学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？问题3：存在性问题处理套路是什么？问题4：等腰三角形存在性（两动一定）问题的处理思路是什么？动态几何专项训练一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，与直线交于点C．动点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BO方向向终点O运动，动点F同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC-CB向终点B运动，当一点停止运动时，另一点也停止运动.设点F运动的时间为t（秒）．（1）OC的长为( )A. B.C.3D.62.（上接第1题）（2）设△OEF的面积为S，则S与t之间的函数关系式为( )A.B.C.D.3.（上接第1，2题）（2）当时，若△BEF是等腰三角形，则t的值为( )A. B.C. D.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF．动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为每秒１个单位长度，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q 也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点P运动的时间为x（s）．（1）当点P运动到点F时，CQ的长度为( )A.3B.4C.5D.65.（上接第4题）（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，此时BQ的长为( )A.4B.C.5D.6.（上接第4，5题）（3）点P从点F运动到点D的过程中，y与x之间的函数关系式为( )A.B. C. D.。

中考数学专题 动态几何问题第一部分 真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN M N t D DE AB ∥BC E ABED AB DE ∥AB MN ∥DE MN ∥MC NC EC CD =1021035t t-=-5017t =MN NC =NF BC ⊥BC F 2MC FC =4sin 5DF C CD ∠==3cos 5C ∠=310225tt -=⨯258t =MN MC =M MH CD ⊥2CN CH =()321025t t =-⨯6017t =MC CN =102t t -=103t =258t =6017103MNC△3=BC x x Θ（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ， 易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQAQ= ， ∴44CP xx =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQAQ= ， ∴44CP xx =+， 24x CP x ∴=+．【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形． （1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式； （3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：一次函数-动态几何问题一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C→B→A的方向运动(点P与A不重合)．设P的运动路程为x，则下列图象表示△ADP的面积y关于x的函数关系的是( )A．B．C．D．3．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=-x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）0≤b≤22−22<b<22−23≤b≤23−22≤b≤22 A．B．C．D．4．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A→D→C的路径以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为ycm2，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）A．B．C．D．A B 4.P,QРA1 6．在数轴上，点表示－2，点表示为数轴上两点，点从点出发以每秒个单Q B2Q位长度的速度向左运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点到达ОQ BРQР原点后，立即以原来的速度返回，当点回到点时，点与点同时停止运动．设点xРQ y y x运动的时间为秒，点与点之间的距离为个单位长度，则下列图像中表示与的函数关系的是（ ）A．B．C．D．7．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（ ）A．B．C．D．8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图图能大致反映y与x函数关系的是( )A．B．C．D．9．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止。

初三数学专题复习之动态几何知识精讲一．与函数结合动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系．那么，我们一般用以下几种方法建立函数：（1）应用勾股定理建立函数解析式；（2）应用比例式建立函数解析式；（3）应用求图形面积的方法建立函数关系式．二．动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值．动态几何常见的题型有三大类：（1）点动问题；（2）线动问题；（3）面动问题．解决动态几何问题的常见方法有：（1）特殊探路，一般推证；（2）动手实践，操作确认；（3）建立联系，计算说明．动态几何习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查；四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数；2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值．三．双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题．它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题．这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点．常以双动点为载体，探求函数图象问题、探求结论开放性问题、探求存在性问题、探求函数最值问题．双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型．这类试题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动．三点剖析一．考点：1．三角形、四边形与函数综合问题；2．三角形、四边形中的动点问题．二．重难点：1．三角形、四边形与函数综合问题；2．三角形、四边形中的动点问题．题模精讲题模一：三角形与动点问题例1.1 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC 的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．【答案】（1）①2【解析】（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．由旋转可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，当AC=BC=4时，当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，，∴此时例1.2 以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AO B和△COD，其中（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接．①如图1，当点D、C分别在AO、BO；2，将图1中的△AOB绕点O（2）如图3N在线段OD P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．【答案】（12【解析】该题考查旋转与相似．（1）①连接EF，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中位线，∴EF、FM分别是△ACD和△DBC的中位线，∴EF//AD,FM//CB，.连接EF、AD、BC.（如图8）∵Rt△AOB∵Rt△COD∴△AOD∽△BOC．∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，FM∥CB，且∵在Rt△EFM（2）过O E，∴当点P在点E处时，点P到O这时当旋转到OE与OD重合时，NP当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP例 1.3 绕顶点C．1）如图1，当∥AC时，设D（2）如图2，连接，设（3）如图3，设AC中点为E P EP EP长度最大，并求出EP的最大值．【答案】（1）见解析；（23EP长度最大，其最大值【解析】（1）证明：如图1，∵在△ABC∴在△CDB∴△BCD是等边三角形；（2）解：如图2（3）解：如图，连接CP，当△ABCEP例 1.4 用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF 的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】探究一：（1）依题意画出图形，如图所示：FP为角平分线，过点A作AG⊥BC于点G在Rt△APG（2）由（1如图所示，以点A BC过点A过AG⊥BC于点G在Rt△AGP1∴∠PAB的度数为15°或75°．探究二：△AMN的周长存在有最小值．如图所示，连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∵在△AMD与△CND∴△AMD≌△CND（ASA在Rt△AMN中，由勾股定理得：∴△AMN．∴△AMN例1.5 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB 于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF【答案】（1）t+4）（cm）（2）t=03【解析】（1）∵BD=tcm，DE=4cm，∴BE=BD+DE=（t+4）cm，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BCA，∴EF：CA=BE：BC，即EF：10=（t+4）：16，解得：t+4）（cm）；（2）分三种情况讨论：①如图1，∵当DF=EF时，∴∠EDF=∠DEF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠C，∴∠EDF=∠B，∴点B与点D重合，∴t=0；②如图2，当DE=EF时，则t+4），解得：③如图3，∵当DE=DF时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△ABC．解得：综上所述，当t=0为等腰三角形．（3）如图4，设P是AC的中点，连接BP，∵EF∥AC，∴△FBE∽△ABC．又∵∠BEN=∠C，∴△NBE∽△PBC，∴∠NBE=∠PBC．∴点B，N，P共线，∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．如图5，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．∵M、N分别是DF、EF的中点，∴MN∥DE，且．分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR 是矩形，∵当t=0时，0+4）当t=12时，EF=AC=10，．∴PR=PL﹣RL=PL﹣TK=3∴S平行四边形∴整个运动过程中，MN．题模二：四边形与动点问题例2.1 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；（2）当M点在何处时，AM＋BM（3）当AM＋BM＋CM【答案】（1）见解析（2【解析】该题考查的是四边形综合．（1）当M点落在BD分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE……………………………2分理由如下：∵M是正方形ABCD对角线上一点∴△ABM≌△CBM分EC上取一点N BN∴△BNE≌△ABM……………………3分∴△BMN是等边三角形．分∴当M点位于BD与CE EC的长．……………………………5分（3）过E CB的延长线于F设正方形的边长为x分在Rt△EFC中，分例2.2 如图1B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，DE，BE．（1）依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；（2关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB．将△CDE绕点D顺时针旋转α度（E C①如图，当时，连接．证明：②如图，点M为DC中点，点P上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？【答案】（1）如图1，证明见解析；（2【解析】（1）补全图形，如图1所示；证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD∴△EBD是等边三角形（2）①证明：如图2又∵点C与点F关于BD对称∴四边形BCDF为正方形，由（1）△BDE为等边三角形SAS）②线段PM设射线CA交BD于点O，I：如图3（1）D、M、P、C共线时，PM有最小值II：如图3（2）当点P P、D、M、C共线时，PM有最大值．∴线段PM例2.3 如图1，在菱形ABCD中，BC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t=___秒时，DF的长度有最小值，最小值等于___；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E 的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．【答案】（1）见解析（2），12（3）6秒和（4）﹣12【解析】分析：（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE 即可得；（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据即可求得DE；②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得（4）连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得知tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GF=DE=t得FM=t﹣12，利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，∴设AE′=x，则BE′=2x，则AE′=6，DF=BE′=12，故答案为：，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，（4）﹣12如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，t﹣12），即﹣12例2.4 在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG，求EG的长；（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：∠CFH=∠AFD；（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当点F在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生改变？若不改变，求出∠EGH的度数；若发生改变，请说明理由．【答案】（1（2）答案见解析（3）不改变，∠EGH=45°【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠ADF=∠BCD=90°，∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，∵DG是△ADF的中线，DG=2.5，∴AF=2DG=5，，∴CF=CD﹣DF=1，∵点E是对角线AC的中点，G是AF的中点，∴EG是△ACF的中位线，（2）证明：延长DH交BC于M，如图所示，∵DG⊥AF，∴∠AGH=∠DGA=∠DGF=90°，∴∠AFD+∠FDG=90°，∵∠DMC+∠FDG=90°，∴∠AFD=∠DMC，在△CDM和△DAF∴△CDM≌△DAF（AAS），∴CM=DF，∵点F是CD的中点，∴DF=CF，∴CM=CF，在△CMH和△CFH，∴△CMH≌△CFH（SAS），∴∠CMH=∠CFH，∴∠CFH=∠AFD；（3）解：∠EGH的大小不发生改变，∠EGH=45°；理由如下：∵点E是对角线AC的中点，∠ADC=90°，，∴∠ADE=∠DAC=45°，∴∠AED=90°=∠AGD，∴A、D、G、E四点共圆，∴∠AGE=∠ADE=45°，∴∠EGH=90°﹣45°=45°．例2.5 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．（1）填空：AB=______cm，AB与CD之间的距离为______cm；（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；（3PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．【答案】（1）5（2）（3）满足条件的x【解析】（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，∴AC⊥BD，，设AB与CD间的距离为h，∴△ABC的面积又∵△ABC的面积菱形（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθcosθ①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ5﹣x）．5﹣x）=；②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ10﹣x）．∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD9﹣x）×3﹣x﹣110﹣x）]10﹣x=③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．y=S．综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：（3）有两种情况：①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示．此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．∵PQ∥CD，②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．∵PQ∥BC，综上所述，满足条件的x随堂练习随练1.1 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长；（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点【答案】（1）（2（3【解析】（1）如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴O′点的坐标为（（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把C（0，﹣3∴直线O′C的解析式为﹣3，当y=0﹣3=0，解得P0），作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴DH=O′H﹣O′D=∴P′点的坐标为（随练1.2 如图，在四边形ABCD M为对角线BD（不含点B）上任意一点，△ABE是等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①直接回答：当点M②当点M的值最小？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）连接AC，当点M位于BD与AC（3）当点M位于BD、CE EC的长．理由见解析【解析】（1）∵△ABE是等边三角形，在△AMB和△ENB中，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）①根据“两点之间线段最短”，连接AC，当点M位于BD与AC小；②连接CE，当点M位于BD、CE理由如下：如图，连接CE交BD于点M，连接AM，在EM上取一点N在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），在△EBN和△CBM中，∴△EBN≌△CBM（ASA），∴此时BN由BM绕点B逆时针旋转60°得到，由（1）知：△AMB≌△ENB，∴△BMN是等边三角形，∴根据“两点之间线段最短”可知当点M位于BD、CE即等于EC的长．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】（1）见解析（2（3）6【解析】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，则DG⊥BE；（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA=45°，在Rt△AMD中，∠MDA=45°，∵AD=2，在Rt△AMG中，根据勾股定理得：，，（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．随练1.4 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK【答案】（12）成立，证明见解析（3【解析】（1………………………………… 1分（2）结论成立．………………………………… 2分证明：如图11，连接BE．在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°．[来∵ DE=DF，∴ AF=CE．在△ABF和△CBE中，∴ △ABF≌△CBE．∴ ∠1=∠2．…………………………………………3分∵ EH⊥BF，∠BCE=90°，∴ H，C两点都在以BE为直径的圆上．∴ ∠3=∠2．∴ ∠3=∠1．∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴ ∠4=∠HBC．∴ CH=CB．………………………………………………………………… 5分。

中考数学专题复习之十二：动态几何型题【中考题特点】：动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。

这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。

常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。

【范例讲析】：例1：巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．⑴求BC、AD的长度；⑵若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；⑶在⑵的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1∶5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．例2：如图，AB是直线l上的两点，AB＝4厘米，过l外一点C作CD∥l，射线BC与l 所成的锐角∠1=600，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动。

设P、Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E。

（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？例3：已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）．（1）如图10，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．例4：如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。

动态几何型问题一、选择题(第1题)1．如图，已知在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是(C)A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关【解析】连结AR，则EF＝12AR，AR不变，∴EF不变．2．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y(cm)关于点P 的运动时间x(s)的函数图象如图②所示．当点P运动5 s时，PD的长是(A)(第2题)A．1.2 cm B．1.5 cmC．1.8 cm D．2 cm(第2题解)【解析】 由图②可得，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5.当t ＝5时，如解图所示．此时AC ＋CP ＝5，∴BP ＝AC ＋BC －AC －CP ＝2.∵sin B ＝AC AB ＝35， ∴PD ＝BP ·sin B ＝2×35＝65＝1.2(cm)．故选A.(第3题)3．如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM ，ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1.运动过程中，点D 到点O 的最大距离为(A )A.2＋1B. 5C.1455D.52(第3题解)【解析】 如解图，取AB 的中点E ，连结OE ，DE .∵OD ＜OE ＋DE ，∴当O ，E ，D 三点共线时，点D 与点O 的距离最大．此时，∵AB ＝2，∴OE ＝AE ＝12AB ＝1.∵BC＝1，∴AD＝1，∴DE＝AD2＋AE2＝12＋12＝2，∴DE＋OE＝2＋1.∴OD的最大值为2＋1.4．如图①，从矩形纸片AMEF中剪去矩形BCDM后，动点P从点B出发，沿BC，CD，DE，EF运动到点F停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则图形ABCDEF的面积是(C)(第4题)A．32 B．34C．36 D．48【解析】结合函数图象可得BC＝4，CD＝3，DE＝2，EF＝8，∴AF＝BC＋DE＝6，∴六边形ABCDEF的面积为6×8－4×3＝36.(第5题)5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C，动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点，连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是(C)A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少【解析】如解图，连结CM.(第5题解)∵M 是AB 的中点，∴S △ACM ＝S △BCM ＝12S △ABC . 开始时，S △MPQ ＝S △ACM ＝12S △ABC ； 点P 到达AC 的中点时，点Q 到达BC 的中点，此时S △MPQ ＝14S △ABC ； 结束时，S △MPQ ＝S △BCM ＝12S △ABC . ∴△MPQ 的面积大小变化情况是先减小后增大．6．如图，水平地面上有一面积为152π cm 2的扇形AOB ，半径OA ＝3 cm ，且OA 与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动大半圈至与三角形石块BDE 接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C ，已知∠BCD ＝30°，则点O 移动的距离为(B )(第6题)A ．2π cmB ．4π cmC.92π cm D ．52π cm 【解析】 ∵S 扇形＝12lR ＝12l ×3＝152π，∴l ＝5π，即AmB ︵的长lAmB ︵＝n πR 180＝n π×3180＝5π，∴n ＝300.连结OC .∵∠BCD ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BCD ＝60°.∴AmB ︵所对圆心角的度数为300°－60°＝240°.点O 移动的距离即AmC ︵的长，lAmC ︵＝240π×3180＝4π.(第7题)7．如图，已知Rt △ABC 的直角边AC ＝24，斜边AB ＝25，一个以点P 为圆心，半径为1的圆在△ABC 部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是(C ) A.563 B ．25 C.1123D ．56 【解析】 △ABC 的切圆半径r ＝12×(24＋7－25)＝3，则点P 经过的路径△ABC 的周长＝3－13.∵△ABC 的周长＝24＋25＋252－242＝56，∴点P 经过的路径＝1123. 8．如图，已知点A (4，0)，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点(不含端点O ，A )，过P ，O 两点的二次函数y 1和过P ，A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B ，C ，射线OB 与AC 交于点D .当OD ＝AD ＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于(A )(第8题)A. 5B.435 C ．3 D ．4【解析】 连结BP ，CP ，根据抛物线的对称性，得OB ＝PB ，PC ＝AC ，从而易得PB ∥AD ，PC ∥OD ，∴△OBP ∽△ODA ，△APC ∽△AOD ，分别作△OBP ，△PCA ，△ODA的高BE，CF，DG，则有BEDG＝OPOA，CFDG＝APOA，∴BEDG＋CFDG＝1，由DG＝AD2－⎝⎛⎭⎪⎫12OA2＝32－22＝5，得BE＋CF＝5，即两个二次函数的最大值之和为 5.二、填空题(第9题)9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为2或143s时，以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．【解析】①当点Q运动到点E和点B之间时，设运动时间为t(s)，则2t－162＝6－t，解得t＝14 3；②当点Q运动到点E和点C之间时，设运动时间为t(s)，则162－2t＝6－t，解得t＝2.(第10题)10．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.按如图所示的方法折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q 也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为2．【解析】当点P与点B重合时，BA′＝3；当点Q与点D重合时，DA′＝DA＝5，∴CA′＝DA′2－CD2＝52－32＝4，BA′＝1.∴点A′可移动的最大距离为2.(第11题)11．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝42，∠B ＝45°.直角三角尺含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE为等腰三角形，则CF 的长等于52或2或42－3． 【解析】 若AE ＝BE ，则CF ＝52；若AB ＝AE ，则CF ＝2；若AB ＝BE ，则CF ＝42－3.(第12题)12．已知线段AB ＝6，C ，D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，点G 移动的路径长度为2．【解析】 ∵∠EPA ＝∠B ＝60°，∴EP ∥FB .取FP 的中点M ，PB 的中点N ，连结GM ，MN ，知GM ∥EP ，MN ∥FB ，∴G ，M ，N 三点共线，且GN ＝12(EP ＋FB )＝12(AP ＋PB )＝12AB ＝3.∴在移动的过程中，GN 始终与EP 平行且GN ＝3.∴GN 是向右平移，且点G 的移动长度等于点N 的移动长度，N 的起点为CB 的中点，终点为DB 的中点，∴点G 移动的路径长度为12(CB －DB )＝2.(第13题)13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为(2，4)，(3，4)或(8，4)．【解析】由题意知，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：①如解图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，此时点P的坐标为(2，4)．,(第13题解①)) ,(第13题解②))②如解图②所示，OP＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△POE中，由勾股定理，得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，此时点P的坐标为(3，4)．③如解图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．(第13题解③)过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE ＝4.在Rt △PDE 中，由勾股定理，得DE ＝PD 2－PE 2＝52－42＝3，∴OE ＝OD ＋DE ＝5＋3＝8，此时点P 的坐标为(8，4)．综上所述，点P 的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．(第14题)14．如图，射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2 cm ，QM ＝4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以1 cm/s 的速度向右移动，经过t (s)，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，请写出t 可取的一切值：t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8(单位：s)．【解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝AM ＋MB ＝4 cm ，∠A ＝∠C ＝∠B ＝60°.∵QN ∥AC ，AM ＝BM ，∴N 为BC 的中点，∴MN ＝12AC ＝2 cm ，∠BMN ＝∠BNM ＝∠C ＝∠A ＝60°. 分三种情况讨论：①如解图①，(第14题解①)当⊙P 切AB 于点M ′时，连结PM ′，则PM ′＝3cm ，∠PM ′M ＝90°.∵∠PMM′＝∠BMN＝60°，∴M′M＝1 cm，PM＝2MM′＝2 cm，∴QP＝4－2＝2 (cm)，即t＝2.②∵△ABC是正三角形，边长为4 cm，∴点B到AC的距离为23cm，∴MN到AC的距离为 3 cm. 如解图②，(第14题解②)当⊙P与AC切于点A时，连结PA，则∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝ 3 cm，∴PM＝1 cm，∴QP＝4－1＝3 (cm)，即t＝3.当⊙P与AC切于点C时，连结PC，则∠CP′N＝∠ACP′＝90°，∠P′NC＝∠BNM＝60°，CP′＝ 3 cm，∴P′N＝1 cm，∴QP′＝4＋2＋1＝7 (cm)，即t＝7.∴当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切．③如解图③，(第14题解③)当⊙P切BC于点N′时，连结PN′，则PN′＝ 3 cm，∠PN′N＝90°.∵∠PNN ′＝∠BNM ＝60°， ∴N ′N ＝1 cm ，PN ＝2NN ′＝2 cm ， ∴QP ＝4＋2＋2＝8 (cm)，即t ＝8. 综上所述，t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8.三、解答题(第15题)15．如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 做匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以1 cm/s 的速度向点C 做匀速运动．设运动时间为x (s)，△PBQ 的面积为y (cm 2)．(1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值围． (2)求△PBQ 的面积的最大值． 【解析】 (1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ， ∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0<x ≤4)． (2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ， ∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814.∴当0<x ≤92时，y 随x 的增大而增大．∵0<x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20， 即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.(第16题)16．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C 匀速运动(点P不与点A，C重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向匀速运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连结PQ交AB于点D.(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长．(2)运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．【解析】(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝6.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，QC＝QB＋BC＝6＋x.∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝12QC，即6－x＝12(6＋x)，解得x＝2.∴AP＝2.(2)当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：过点Q作QF⊥AB，交AB的延长线于点F，连结QE，PF. ∵PE⊥AB于点E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°.∵点P，Q做匀速运动且速度相同，∴AP＝BQ.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，∴△APE≌△BQF，∴AE＝BF，PE＝QF.易得PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE ＝12EF .∵EF ＝BE ＋BF ＝BE ＋AE ＝AB ，∴DE ＝12AB .又∵等边△ABC 的边长为6，∴DE ＝3，∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变，始终为3.17．在平面直角坐标系中，已知点A (－2，0)，点B (0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA .(1)如图①，求点E 的坐标．(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B ，BE ′.①设AA ′＝m ，其中0<m <2，试用含m 的式子表示A ′B 2＋BE ′2，并求出使A ′B 2＋BE ′2取得最小值时点E ′的坐标．②当A ′B ＋BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标(直接写出结果即可)．(第17题)【解析】 (1)∵点A (－2，0)，点B (0，4)， ∴OA ＝2，OB ＝4.∵∠OAE ＝∠OBA ，∠EOA ＝∠AOB ＝90°， ∴△OAE ∽△OBA ，∴OA OB ＝OE OA ，即24＝OE 2， 解得OE ＝1，∴点E 的坐标为(0，1)．(第17题解)(2)①如解图，连结EE ′.由题设知AA ′＝m (0＜m ＜2)，则A ′O ＝2－m .在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2＝A ′O 2＋BO 2，得A ′B 2＝(2－m )2＋42＝m 2－4m ＋20. ∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′＝AA ′. ∴∠BEE ′＝90°，EE ′＝m . 又∵BE ＝OB －OE ＝3，∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2＝E ′E 2＋BE 2＝m 2＋9.∴A ′B 2＋BE ′2＝m 2－4m ＋20＋m 2＋9＝2m 2－4m ＋29＝2(m －1)2＋27. 当m ＝1时，A ′B 2＋BE ′2可以取得最小值，此时，点E ′的坐标是(1，1)．②如解图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′＝BE ＝3，连结A ′B ′.易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′＝BE ′，∴A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋B ′A ′.当点B ，A ′，B ′在同一条直线上时，A ′B ＋B ′A ′最小，即此时A ′B ＋BE ′取得最小值． 此时有△AB ′A ′∽△OBA ′，∴AA ′OA ′＝AB ′OB ＝34，∴AA ′＝37AO ＝37×2＝67，∴EE ′＝AA ′＝67，即点E ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫67，1.18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式．(2)点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．(第18题)【解析】 (1)将A (－2，0)，B (4，0)两点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3(a ≠0)， 得⎩⎨⎧4a －2b －3＝0，16a ＋4b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝38，b ＝－34. ∴抛物线的表达式为y ＝38x 2－34x －3.(2)设运动时间为t (s)，由题意可知：0<t <2. 如解图①，过点Q 作QD ⊥AB ，垂足为D .(第18题解①)易证△OCB ∽△DQB ，∴OC DQ ＝BC BQ. ∵OC ＝3，OB ＝4，BC ＝OC 2＋OB 2＝5，AP ＝3t ，PB ＝6－3t ，BQ ＝t ， ∴3DQ＝5t，∴DQ ＝35t .∴S △PBQ ＝12PB ·DQ ＝12(6－3t )·35t ＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910.∴当运动1 s 时，△PBQ 的面积最大，最大面积为910. (3)如解图②，设点K ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，38m 2－34m －3，连结CK ，BK ，过点K 作KL ∥y 轴交BC 于点L .(第18题解②)由(2)知，S △PBQ ＝910.∵S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，∴S △CBK ＝94.设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋n . ∵直线BC 过点B (4，0)，C (0，－3)， ∴⎩⎨⎧4k ＋n ＝0，n ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝34，n ＝－3.∴直线BC 的表达式为y ＝34x －3，∴L ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，34m －3，∴KL ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34m －3－⎝ ⎛⎭⎪⎫38m 2－34m －3＝32m －38m 2.∴S △CBK ＝S △KLC ＋S △KLB ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －38m 2·m ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －38m 2·(4－m )＝12·4· ⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －38m 2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －38m 2＝94， 解得m 1＝1，m 2＝3.∴点K 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－278或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－158.(第19题)19．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点A ，B 分别落在坐标轴上，O 为原点，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，8)．动点M 从点O 出发，沿OA 向终点A 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N 从点A 出发，沿AB 向终点B 以每秒53个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M ，N 运动的时间为t (s)．(1)当t ＝3时，直接写出点N 的坐标，并求出经过O ，A ，N 三点的抛物线的表达式．(2)在此运动过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．(3)当t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？【解析】 (1)由题意，得A (6，0)，B (0，8)，则OA ＝6，OB ＝8，AB ＝10. 当t ＝3时，AN ＝53t ＝5＝12AB ，即N 是线段AB 的中点，∴点N (3，4)．设抛物线的表达式为y ＝ax (x －6)，则4＝3a (3－6)，∴a ＝－49.∴抛物线的表达式为y ＝－49x (x －6)＝－49x 2＋83x .(2)过点N 作NC ⊥OA 于点C .由题意，得AN ＝53t ，AM ＝OA －OM ＝6－t ，∴NC ＝NA ·sin ∠BAO ＝53t ·45＝43t ，∴S △MNA ＝12AM ·NC ＝12×(6－t )×43t ＝－23(t －3)2＋6(0＜t ＜6)，∴当t ＝3时，△MNA 的面积有最大值，最大值为6. (3)在Rt △NCA 中，AN ＝53t ，NC ＝43t ，∴AC ＝AN ·cos ∠BAO ＝t ，∴OC ＝OA －AC ＝6－t ，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－t ，43t .∴MN ＝（6－t －t ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43t 2＝529t 2－24t ＋36. 又∵AM ＝6－t ，AN ＝53t (0＜t ＜6)，∴当MN ＝AN 时，529t 2－24t ＋36＝53t ，即t 2－8t ＋12＝0，解得t 1＝2，t 2＝6(舍去)；当MN＝MA时，529t2－24t＋36＝6－t，即439t2－12t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝10843；当AM＝AN时，6－t＝53t，解得t＝94.综上所述，当t＝2或94或10843时，△MAN是等腰三角形．20．如图①，已知在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连结PQ，设运动时间为t(s)(0≤t≤4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥BC?(2)设△AQP的面积为S(cm2)，当t为何值时，S取得最大值？并求出最大值．(3)是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．(4)如图②，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．(第20题)【解析】(1)∵AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴由勾股定理逆定理，得△ABC为直角三角形，∠C为直角．∵BP＝2t，∴AP＝10－2t.∵PQ∥BC，∴APAB＝AQAC，即10－2t10＝2t8，解得t＝209.∴当t＝209时，PQ∥BC.(2)过点P 作PD ⊥AC 于点D ，则PD ∥BC ，∴AP AB ＝PD BC ，即10－2t 10＝PD 6，解得PD ＝6－65t . ∴S ＝12AQ ·PD ＝12×2t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫6－65t ＝－65t 2＋6t ＝－65⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋152，∴当t ＝52时，S 取得最大值 ，最大值为152cm 2.(3)假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP ＝12S △ABC ，而S △ABC ＝12AC ·BC ＝24 cm 2，∴此时S △AQP ＝12 cm 2.由(2)可知，S △AQP ＝－65t 2＋6t ，∴－65t 2＋6t ＝12，化简，得t 2－5t ＋10＝0.∵Δ＝(－5)2－4×1×10＝－15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．(4)假设存在某时刻t ，使四边形AQPQ ′为菱形，则有AQ ＝PQ ＝BP ＝2t . 过点P 作PD ⊥AC 于点D ，则有PD ∥BC ， ∴AP AB ＝PD BC ＝AD AC ，即10－2t 10＝PD 6＝AD 8，解得PD ＝6－65t ，AD ＝8－85t ， ∴QD ＝AD －AQ ＝8－85t －2t ＝8－185t .在Rt △PQD 中，由勾股定理，得QD 2＋PD 2＝PQ 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8－185t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫6－65t 2＝(2t )2，化简，得13t 2－90t ＋125＝0，解得t 1＝5(舍去)，t 2＝2513，∴t ＝2513... . …. word. … 由(2)可知，S △AQP ＝－65t 2＋6t ， ∴S 菱形AQPQ ′＝2S △AQP ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－65t 2＋6t ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65×⎝ ⎛⎭⎪⎫25132＋6×2513＝2400169(cm 2)． ∴存在时刻t ＝2513，使四边形AQPQ ′为菱形，此时菱形的面积为2400169 cm 2.。

几何动态问题【1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．CM B（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．2. 如图，在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9，点E 是CD 上的一个动点(E 不与D 重合)，过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F(当E 运动到C 时，EF 与AC 重合巫台)．把△DEF 沿EF 对折，点D 的对应点是点G ，设DE=x ， △GEF 与梯形ABCD 重叠部分的面积为y 。

(1) 求CD 的长及∠1的度数；(2) 若点G 恰好在BC 上，求此时x 的值；(3) 求y 与x 之间的函数关系式。

并求x 为何值时，y 的值最大?最大值是多少?(第25题图)F【3】如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时声母OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．（1）四边形的形状是 ，当α=90°时，BP PQ的值是 ． （2）①如图2,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时,求BP PQ的值; ②如图3,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积． （3）在四边形OA B C 旋转过程中,当000180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=12BQ ？若存在，请直接写出点P 的坐标；基不存在，请说明理由．。

初中数学中考复习动态型问题（动点动线动面）专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．4、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动4个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A．7 B．1 C．0 D．﹣15、如图，正方形ABCD边长为4个单位，两动点P、Q分别从点A、B处，以1单位/s、2单位/s的速度逆时针沿边移动．记移动的时间为x（s），△PBQ面积为y（平方单位），当点Q移动一周又回到点B终止，则y与x的函数关系图象为（）A． B．C． D．6、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7、如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π8、如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD的延长线上移动时，则△PBD的外接圆的半径的最小值为（）A．1 B．C．D．9、如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动（到达点C后停止），若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t （s）之间函数关系的大致图象是图2（）A．B．C．D．10、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．11、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定12、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．13、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．14、已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）二、填空题15、如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s， V Q=1cm/s，当点P到达点B时， P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___ s时，△PBQ为直角三角形.16、如图，AO OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF.等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为_________．17、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．18、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．19、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．20、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，－1），（2，－1），（2，0），…，则点的坐标是.21、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为cm．（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．22、如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，⊙P的半径为1cm，且OP=4cm，如果⊙P 以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒后⊙P与直线CD相切．三、解答题24、如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。

中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分真题精讲【例1】(2010，密云，一模)如图，在梯形A BCD中，AD II BC , AD =3 , DC =5 , BC =10，梯形的高为 4 .动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动•设运动的时间为t (秒).(1 )当M N II AB时，求t的值；(2)试探究：t为何值时，△M NC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间,就本题而言，M , N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

5，8所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程,自然得出结果。

【解析】解：（1）由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE II AB 交BC 于E 点,角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）10 —2t t50 .解得t 10—35 17 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=CN 这两种情况。

《动态几何问题》专题突破训练（附答案）1．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 以5cm /s 的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿射线AC 以5cm /s 的速度运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动；连接PQ ，设∠APQ 与∠ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（t ＞0）．（1）直接写出AC = cm ；（2）当点A 关于直线PQ 的对称点A '落在线段BC 上时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）若M 是PQ 的中点，N 是AB 的中点，当MN 与BC 平行时，t = ；当MN 与AB 垂直时，t = ．2．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当4AP =时，求 tan EBP ∠；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长A-，点3．如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点(8,0)()C BC交y轴于点.D动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度3,4终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：BE=________，OF=________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．4．在∠ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作∠ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．5．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造∠EFM和∠HAM全等，进而可得∠DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）猜想图1中DM、EM的数量关系，位置关系．（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论（“成立”或“不成立”）拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求∠PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使∠PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．8．如图，∠O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，∠ABC 的外角平分线AP 交∠O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长；（3）若∠ABC 为非锐角三角形，求PA •AE 的最大值．9．如图1，已知∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 在AB 边的延长线上，且CD ＝AB ．（1）求BD 的长度；（2）如图2，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD 相交于点E ，求DE 的长度；②连接A'D 、BD'，若旋转过程中A'D ＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'，若点M 为AC 的中点，点N 为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围．10．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5PA =，4PB =，3PC =，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．（1）求点P 与点Q 之间的距离；（2）求BPC ∠的度数；（3）求ABC 的面积ABC S．11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2/cm s 和1/cm s ，FQ BC ⊥，分别交AC ，BC 于点P 和Q ，设运动时间为()04ts t <<．（1）连接EF ，若运动时间t =_______s 时，EF =；（2）连接EP ，当EPC 的面积为23cm 时，求t 的值；（3）若EQP ADC ∽△△，求t 的值．12．如图，边长为ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，其延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ AP =；（2）设AP x =，CE y =，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）试问当P 点运动到何处时，PB PE +的值最小，并求出此时CE 的长．（画出图形，直接写出答案即可）13．已知：O 是ABC ∆的外接圆，且,60,AB BC ABC D =∠=︒为O 上一动点． （1）如图1，若点D 是AB 的中点，求DBA ∠的度数．（2）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为点E ．①如图2，若点D 在AB 上．求证CD DE AE =+．②若点D 在AC 上，当它从点A 向点C 运动且满足CD DE AE =+时，求ABD ∠的最大值．14．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由15．如图，在平面直角坐标系中，点C 在x 轴上，90,10cm,6cm OCD D AO OC CD ︒∠=∠====．（1）请求出点A 的坐标．（2）如图（2），动点P Q 、以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发，点P 沿OA AD DC 、、运动到点C 停止，点Q 沿CO 运动到点O 停止，设P Q 、同时出发t 秒． ①是否存在某个时间t （秒），使得OPQ △为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．②若记POQ △的面积为()2cm y ，求()2cm y 关于t （秒）的函数关系式． 16．已知，点O 是等边ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC ．（∠）如图1所示，已知150AOB ∠=︒，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ．①求DAO ∠的度数：②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；（∠）设AOB α∠=，BOC β∠=．①当α，β满足什么关系时，OA OB OC ++有最小值？并说明理由；②若等边ABC 的边长为1，请你直接写出OA OB OC ++的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作∠O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）则∠DPF 是 三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将∠EFP 沿PF 翻折，得到∠QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．18．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD AO =．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且60EOF ∠=︒．（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若75OEB ∠=︒，求证：AD BE =；（2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若75OFB ∠=︒，试说明AF 与BE 的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将OEF 沿OE 所在直线翻折至OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若()20AD a a =>，则当PQ 最短时，求PF 之长．19．如图，在∠ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝34AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，∠BPD与∠CQP是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边∠CQP？20．如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∠BPQ与∠ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，∠BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ∠CP，求t的值．21．如图1，在正方形ABCD 中，4AB m =，点P 从点D 出发，沿DA 向点A 匀速运动，速度是1/cm s ，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 方向，向点B 匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、CP 、CQ ，设运动时间为()(02)t s t <<．()1是否存在某一时刻，使得//PQ BD 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ()2设PQC △的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；()3如图2，连接AC ，与线段PQ 相交于点M ，是否存在某一时刻t ，使QCM S ：4PCM S =：5？若存在，直接写t 的值；若不存在，说明理由．22．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度 由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为∠ABC 面积的326； （3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG∠AC 于点G ． （1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．（1）求k 、b 和m 的值；（2）求ADC ∆的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使BCE ∆的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，清说明理由．25．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．26．正方形ABCD 和等腰Rt DEF △共顶点D ，90DEF ∠=︒，DE EF =，将DEF 绕点D 逆时针旋转一周．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，若2AD =，求AE 的长；（2）如图2，M 为BF 中点，连接AM 、ME ，探究AM 、ME 的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）条件下，连接DM 并延长交BC 于点Q ，若22AD DE ==，在旋转过程中，CQ 的最小值为_________．27．综合与探究 如图，抛物线245y x bx c =++经过点()0,4A ，()10B ,，与x 轴交于另一点C （点C 在点B 的右侧），点()P m n ,是第四象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的函数解析式及点C 的坐标；（2）若APC △的面积为S ，请直接写出S 关于m 的函数关系表达式，并求出当m 的值为多少时，S 的值最大？最大值为多少？（3）是否存在点P ，使得PCO ACB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现：（1）如图1，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作等边∠ABD 和等边∠ACE ，连接BE ､CD ，请你完成作图并证明BE =CD ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ､BG ，则线段CE ､BG 有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，AD =3，BD =5，求CD 的长．参考答案1．（1）3；（2）38t =；（3）当305t <≤时，210S t =；当315t <≤时，215309S t t =-+-；（4）38；58．2．（1）4y x x =-．定义域为25x <≤；（2）34；（3）4或53+ 3．（1）5－t ，2t ；（2）3t =或133t =；（3）53t =或910t = 4．（1）90°；（2）①α＋β＝180°；②点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．5．（1）DM∠EM ，DM ＝ME ；（2）结论成立；（3）成立；拓展应用： 6．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）3；（3）点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）7．（1）60BD CE ，＝；（2）45CEB BD ∠︒＝，；（3）CE 的长为或48．（1）①证明；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80.9．（1）﹣（2）；②45°或225°；（3）﹣＋310．（1）4PQ =；（2）150BPC ∠=︒；（3）9ABC S =． 11．（1）23；（2）2；（3）212．（1）见解析；（2）2(06)y x x =+<<；（3）P 位置如图所示，此时PB PE +的值最小，6CE =-13．（1）30DBA ∠=；（2）①；②当点D 运动到点I 时ABI ∠取得最大值，此时30ABD ∠=．14．（1）334y x =-；（2）①证明；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 15．（1）(8,6)A ．（2）①存在，40 s 9t =或者50 s 9t =．②233(010)10S t t t =-+<<． 16．（1）①90°；②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2+OB 2=OC 2，证明；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值．证明；②线段OA+OB+OC17．(1)等腰直角;(2)①当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；．18．（1）证明；（2）2AF BE =；（3）.2FP a =19．（1）BPD CQP ≌；（2）60︒（3）4320．（1）1或3241；（2）23或89或6457；（3）329-；（4）78． 21．()1存在，43t =；()2228(02)S t t t =-+<<；()3存在，1t = 22．（1）13cm ；（2）t=2或92s ；（3）存在，15637t =或16938t =s23．（1）y 12=-x 212-x+3；（2）)9108，P(32-，218)；（3）存在，Q 1(，+3)，Q 2(﹣1，2)24．（1）12k =，4b =，2m =；（2）6；（3存在，8(7E ，0)；（4）存在，6-4或2．25．（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）d =26．（1）AE =（2）AM ME =，AM ME ⊥；（3）227．（1）2424455x x y -+=；点C 的坐标为（5，0）；（2）当m ＝52时，S 的值最大，最大值为252；（3）存在点P ，使得使得∠PCO ＝∠ACB ．点P 的坐标为（2，－125）. 28．（1）；（2）CE=BG ；（3）CD=4。

动态几何常见题型——以动点为载体，探求存在性的问题例1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。

动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。

设运动的时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．练习：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．P 是AB 边上的一个动点（异于A 、B 两点），过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP ＝x ． （1）在△ABC 中，AB ＝_________；（2）当x ＝_________时，矩形PMCN 的周长是14；（3）是否存在x 的值，使得△P AM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．A B Q P DN A C P M B例2. 如图：二次函数y =﹣x 2 + ax + b 的图象与x 轴交于A （-21，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．练习:如图，在直角坐标系xO y 中，Rt △OAB 和Rt △OCD 的直角顶点A ，C 始终在x 轴的正半轴上，B ，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC ＝CD ，OD ＝2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于E ，当点B 位置变化时，Rt △OAB 的面积恒为21． 试解决下列问题：（1）填空：点D 坐标为____________；（2）设点B 横坐标为t ，请把BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简； （3）等式BO ＝BD 能否成立？为什么？ （4）设CM 与AB 相交于F ，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论．A C B。