江苏省2012届高考数学二轮复习：第12讲 直线与圆的方程及应用

江苏2019高考数学二轮专项练习：第12讲直线与圆的方程及应用第12讲直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)、小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等、圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题、1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能依照直线的倾斜角求出直线的斜率、2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能依照问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系、3.能依照斜率判定两条直线平行或垂直、4.了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标、5.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离、6.掌握圆的标准方程与一般方程，能依照问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化、7.能依照直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能依照圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题、1.与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________、2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________、3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，那么实数m＝________.4.在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，那么实数c的取值范围是________、【例1】圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程、【例2】如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)、△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N.(1)假设⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2)假设直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3)是否存在如此的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，假设存在，求如今⊙N 的标准方程；假设不存在，说明理由、【例3】圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3)探究AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关，假设无关，请求出其值；假设有关，请说明理由、【例4】椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2，2)，设椭圆E 的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455.(1)求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2)假设M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，关于圆O 上的任意一点N ，有MNNQ 为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上、1.(2017·安徽)假设直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，那么a 的值为________、2.(2017·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为________、3.(2017·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，那么直线l 的斜率为________、4.(2017·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，假设|MN|≥23，那么实数k 的取值范围是________、5.(2017·福建理)直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)假设以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)假设直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由、6.(2017·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度、(2017·南京三模)(本小题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.①求⊙M 的方程；②当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？假如存在，求出定直线l 的方程；假如不存在，说明理由、解：(1)设P(x ，y)，那么直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝yx －4.(2分) 由题意知y x ＋4·y x －4＝－14，即x 216＋y24＝1(x ≠±4)、 因此动点P 的轨迹方程是x 216＋y 24＝1(x ≠±4)、(4分)(说明：没有范围扣1分)(2)①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，因此线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.(6分)设M(a,2a ＋3)(a ＞0)，那么⊙M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r 2.因此⊙M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.(10分)②假设存在定直线l 与动圆M 均相切、当定直线的斜率不存在时，不合题意、 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立、(12分)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1r ＋b －3＝r 1＋k 2， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2. 因此⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12＝1＋k 2，k －2b －3＝0，b －32＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b＝3.因此存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切、(16分)第12讲直线与圆的方程及应用1.实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________、 【答案】 52.圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0(k ∈R 为常数)的位置关系是________、 【答案】相交3.假设直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，那么b 的取值范围是________、 【答案】[1－22，3]解析：此题考查数形结合思想.曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或1－22，因为是下半圆故可得b ≠1＋22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.4.圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点、(1)假如|AB|＝423，求直线MQ 的方程； (2)求动弦|AB|的最小值、 解：(1)设Q(q,0)，因为M(0,2)，因此|MQ|＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA|＝r ＝1，从而在Rt △AMQ 中，|AQ|＝|MQ|2－|MA|2＝q 2＋4－1＝q 2＋3. 又由题意和对称性可得，Rt △AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB|＝223. 由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3，解得q ＝±5，因此Q(±5，0)， 将M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x ±5y 25＝0. (2)由(1)知，利用等面积法得12|AB|·q 2＋4＝q 2＋312|AB|＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4，从而当q ＝0时，动弦|AB|取到最小值 3.5.(2017·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上、圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A(29,0)、(1)求圆弧C 2的方程； (2)曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？假设存在，指出有几个如此的点；假设不存在，请说明理由；(3)直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离、解：(1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)、 那么线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)， 令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)、 又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，因此圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)、(2)假设存在如此的点P(x ，y)，那么由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169－13≤x ≤5，解得x ＝－70(舍)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29，解得x ＝0(舍)，综上知，如此的点P 不存在、(3)因为EF ＞r 2，EF ＞r 1，因此E 、F 两点分别在两个圆弧上、设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，因此EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2， 即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，因此点O 到直线l 的距离为 1 6154. 基础训练1.π32.x －2y ＝0或x ＋y －3＝03.3或－3 34.(－13,13)解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c|13＜1，c 的取值范围是(－13,13)、 例题选讲例1解：由题意可设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，那么由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，因此a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，因此有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.例2点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题、 解：(1)圆心M(－1.1)、∴圆M 方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2， ∴直线CD 方程为x ＋y －a ＝0. ∵⊙M 与直线CD 相切，∴圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得：a ＝±2(舍去负值)、∴直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2)直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2.∴圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2.∵直线AB 截⊙N 所得弦长为4，∴22＋(2)2＝a22.∴a ＝±23(舍去负值)、∴⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3)存在、由(2)知，圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立，∴当且仅当圆N 半径a2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2.如今，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.变式训练m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围； (2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？什么原因？点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离.直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，那么垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可、解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，∵|m|≤12(m 2＋1)，∴|k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立、∴斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)不能、由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.由|k|≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而假设l 与圆C 相交，那么圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.因此l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧、例3(1)证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，那么k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.显然圆心(0,3)在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2)解：①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意、②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，因为PQ ＝23，因此CM ＝4－3＝1，那么由CM ＝|－3＋k|k 2＋1＝1，得k ＝43.因此直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0.从而所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3)解：∵CM ⊥MN,∴AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →. ①当l 与x 轴垂直时有N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－53，∴AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53， 又AC →＝(1,3),∴AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，那么由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，那么AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k .因此AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.综上，可知AM →·AN →的值与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →·AN →＝－5. 变式训练直线m 的方程为x ＋y －1＝0，⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2－2y －3＝0，⊙C 关于直线m 的对称的⊙D 与直线l 相交于A 、B 两点，假设在⊙D 上存在点P 使得OP →＝OA →＋OB →＝λa ，又知a ＝(－1,2)、(1)求⊙D 的方程；(2)求点P 的坐标； (3)求直线l 的方程、解：(1)⊙C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，设D(a ，b)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b ＋12－1＝0，b －1a －1＝1，∴a ＝0，b ＝0，∴⊙D 方程为x 2＋y 2＝5.(2)由题意可知P(－λ，2λ)，∵P 在圆D 上，∴λ2＋4λ2＝5，∴λ＝±1. ∴P(－1,2)或P(1，－2)、(3)∵OP →＝OA →＋OB →，P 、A 、B 均在圆上，∴OP ⊥AB ，∠AOB ＝120°，∴圆心D 到直线AB 的距离是52.当P 的坐标为(－1,2)时，k l ＝12，设直线l 的方程是x －2y ＋c ＝0，d ＝|c|5＝52， ∴c ＝±52，由图形位置可知c ＝52，如今直线l 的方程是2x －4y ＋5＝0. 同理可知，当P 坐标为(1，－2)时，直线l 的方程是2x －4y －5＝0.例4(1)解：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c2⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，故椭圆E 的方程为x 28＋y24＝1，∵A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB 方程为x ＋2y －4＝0，那么O 到AB 距离为45， ∴圆O 的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝⎛⎭⎪⎫12×252＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)证明：l 的方程为x ＝4，∴M 点坐标为M(4，t)、 在圆O 上任取一点N(x 0，y 0)，定点Q(x ，y)、 ∵NM 与NQ 的比值为常数且Q 不同于M ， ∴NQ 2＝λNM 2，λ>0且λ≠1，λ为常数，即(x 0－x)2＋(y 0－y)2＝λ[(x 0－4)2＋(y 0－t)2]，∴x 02＋y 02－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 02＋y 02－8x 0－2y 0t ＋16＋t 2)，将x 02＋y 02＝4代入上式，那么－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λy 0t ＋(20＋t 2)λ， 由于N 是圆O 上任意一点，因此⎩⎪⎨⎪⎧x －4λ，①y ＝4λ，②x 2＋y 2＋4＝20＋t 2λ，③将①②代入③得(16＋t 2)λ2－(20＋t 2)λ＋4＝0∴(λ－1)[(16＋t 2)λ－4]＝0，∵λ≠1，∴λ＝416＋t 2，即存在一个定点Q(不同于点M)，使得关于圆O 上的任意一点N ， 均有MN NQ 为定值，又16＋t 2＝4λ代入③得x 2＋y 2＝4λ，因此有x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故点Q 在圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的定圆上、高考回忆1.1解析：此题考查直线与圆的位置关系，属容易题、2.102解析：由题意AC 为径，设圆心为F ，那么FE ⊥BD ，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，故F(1,3)，由此易得：AC ＝210，又k EF ＝2，因此BD 的方程为y ＝－12x ＋1，F 到BD 的距离为|－12＋1－3|52＝5，由此得BD ＝25，因此四边形ABCD 的面积为12AC ·BD ＝12×25×210＝10 2.3.1或1774.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M ，圆心(2,3)到此直线距离为d ，因此由4－d 2≥(3)2d ≤1，又d ＝|2k －3＋3|1＋k 2≤1，∴k 2≤13，∴－33≤k ≤33.5.点拨：本小题要紧考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、解：(解法1)(1)依题意，点P 的坐标为(0，m)，因为MP ⊥l ，因此0－m2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 因此直线l ′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0，Δ＝42－4×4m ＝16(1－m)、①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切、②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切、综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切、 (解法2)(1)设所求圆的半径为r ，那么圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)同解法1.6.点拨：(1)动点M 通过点P 与圆相联系，因此把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入圆的方程即可；(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，能够求解，也能够利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算、解：(1)设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x p ，x p )，∵点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|， ∴x p ＝x ，且y p ＝54y ，∵P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1， 即C 的方程是x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1得：x 225＋x －3225＝1，化简得x 2－3x－8＝0，∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.。

2012高考真题分类汇编：直线与圆1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。

故选A.4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞【答案】D【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。

2012高考真题分类汇编：直线与圆1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k,直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是 （1）相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(,定点到圆心的距离21<=d ,即定点在圆内部,所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心,选C.2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ,则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1=a 时,直线1l ：02=+y x ,直线2l ：042=++y x ,则1l //2l ；若1l //2l ,则有012)1(=⨯-+a a ,即022=-+a a ,解之得,2-=a 或1=a ,所以不能得到1=a 。

故选A.4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则（ ） A.l 与C 相交 B. l 与C 相切 C.l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能 【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ,易知圆心为)0,2(半径为2,圆心到点P 的距离为1,所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞ 【答案】D【解析】圆心为)1,1(,半径为1.直线与圆相切,所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （,即2)2(1n m mn n m +≤=++,设z n m =+,即01412≥--z z ,解得,222-≤z 或,222+≥z 6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 ▲ .【答案】43。

第9讲 直线与圆历年高考分析：综合近年来的高考试卷可以看出，高考对解析几何的考查要求也有了很大的变化，其中对直线方程、圆的方程的考查要求加强了.近几年高考对圆锥曲线的考查仍然势头不减，在填空题中有1～2道，另外还有一道涉及直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识的综合性解答题.预测在2014年的高考题中：(1)如果解答题中没有涉及直线与圆的综合问题，则在填空题中必定出现直线与圆的较难问题，反之会考查直线与圆的基本问题如直线方程的求解，简单位置关系的判断.(2)在解答题中，由于直线方程和圆的方程均为C 级要求，可能出现以椭圆或抛物线为背景的直线与圆的综合问题如定点问题、最值问题等.例1：若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________.例2：若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________． 解析：化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.例3：“a ＝－1”是“直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直”的________条件．解析：若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a ×3＋(2a －1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1. 故a ＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件．例4：(2013·南京期初调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为________．解析：由题意可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，b >0，则|3－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1或b ＝－7(舍去)．则r ＝ 2.例5：设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．[解析] 由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋a 2＝2a 2解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.例6：(2012·泰州期末)过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，则r 1r 2＝________. 解析：由题意得，满足与x 轴，y 轴都相切的圆的圆心在第一象限， 设圆心坐标为(a ，a )，则半径r ＝a ， ∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2， 又C (3,4)在此圆上，∴将C 的坐标代入得(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，整理得a 2－14a ＋25＝0， ∵r 1，r 2分别为a 2－14a ＋25＝0的两个解，∴r 1r 2＝25.例7：(2012·盐城二模)过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为________．解析：过圆心O 向AC ，BD 引垂线，则构成一个正方形，则O 到AC ，BD 距离为1，则AC ＝BD ＝23，则四边形ABCD 的面积为6.例8：过点P ()12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________．解析：验证知点P ()12，1在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CP 垂直，由圆的方程，圆心C (1,0) ∵k CP ＝1－012－1＝－2，∴k ＝12.∴l 的方程为y －1＝12()x －12，整理得2x －4y ＋3＝0.典例1：(1)经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是________．(2)一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________． [解析] (1)∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.(2)取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )．则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝5.∴B (3,5)．联立方程，得⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4.∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)， 整理得x －2y ＋7＝0.(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线方程可设为Bx -Ay ＋C 2＝0. (2)两点关于直线l 对称时，两点的中点在l 上，且两点连成的直线与l 垂直．典例2：已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题可知，设圆心的坐标为(a,0)(a >0)，设圆C 的半径为|a －1|，圆心到直线l 的距离为|a －1|2，根据勾股定理可得，⎝⎛⎭⎫|a －1|22＋(2)2＝|a －1|2，解得a ＝3或a ＝－1(舍去)，所以圆C 的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为x ＋y －3＝0.本题考查求圆的方程的基本方法：待定系数法，求解时可结合圆形利用圆的几何性质建立关于参数的方程求解．典例3：(2012·南通三模)若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是________．解析：设点P (x 1，y 1)满足x 1－y 1－2＝0，点Q (x 2，y 2)满足x 2－y 2－6＝0， 两式相加得，点M (x 0，y 0)，轨迹是直线x 0－y 0－4＝0.则y 0＝x 0－4，代入(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，得(x 0－2)2＋(x 0－2)2≤8，解得0≤x 0≤4，所以x 20＋y 20＝x 20＋(x 0－4)2＝2(x 0－2)2＋8∈[8,16]．典例4：已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM u u u u r ＝OA u u u r ＋OB uuu r(O为坐标原点)，则实数k ＝________.解析：结合图形可知，当A ，B ，M 均在圆上时，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离等于1.即d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0.典例5：在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________． 解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故EF ＝5，∴BD ＝210－52＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.典例6：(2012·南通一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1. (1)若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． [解] (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.因为直线l 被圆C 2截得的弦长为65，而圆C 2的半径为1，所以圆心C 2(3,4)到l ：kx －y ＋k ＝0的距离为|4k －4|k 2＋1＝45.化简，得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.所以直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0或3x －4y ＋3＝0. (2)①证明：设圆心C (x ，y )，由题意，得CC 1＝CC 2，即x ＋12＋y 2＝x －32＋y －42，化简得x ＋y －3＝0，即动圆圆心C 在定直线x ＋y －3＝0上运动． ②圆C 过定点，设C (m,3－m )， 则动圆C 的半径为1＋CC 21＝1＋m ＋12＋3－m 2.于是动圆C 的方程为(x －m )2＋(y －3＋m )2＝1＋(m ＋1)2＋(3－m )2. 整理，得x 2＋y 2－6y －2－2m (x －y ＋1)＝0.由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－6y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1＋322，y ＝2＋322或⎩⎨⎧x ＝1－322，y ＝2－322.所以定点的坐标为⎝⎛⎭⎫1－322，2－322，⎝⎛⎭⎫1＋322，2＋322.本题考查直线与圆的综合问题，第(2)小题中的①实际上是求圆心的轨迹方程．②是考查圆中的探索性问题，解决方法一般是先假设结论成立，然后进行推理，若推出矛盾则否定结论，不出现矛盾则肯定结论．典例7：在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)， 与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.典例8：(2012·泉州五校质检)已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，圆心C 在第二象限，半径为 2.(1)求圆C 的方程；(2)是否存在直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)由x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，得()x ＋D22＋()y ＋E 22＝D 2＋E 2－124，∴圆C 的圆心C 的坐标为C ()－D 2，－E 2，半径R ＝D 2＋E 2－122，由R ＝2，得D 2＋E 2－122＝2，故D 2＋E 2＝20.①∵圆C 关于直线x ＋y －1＝0对称，∴圆心C ()－D 2，－E2在直线x ＋y －1＝0上， ∴－D 2－E2－1＝0，故D ＋E ＝－2，②由②式，得E ＝－2－D ，代入①式，得D 2＋(－2－D )2＝20，即D 2＋2D －8＝0，解得D ＝－4或D ＝2. ∵圆心C ()－D 2，－E2在第二象限， ∴－D2<0，解得D >0.∴D ＝2，E ＝－2－2＝－4.∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. (2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，设为a ， 由(1)知圆C 的圆心C (－1,2)，当a ＝0时，直线l 过原点，设其方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 若直线l ：kx －y ＝0与圆C 相切，则|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6，此时直线l 的方程为y ＝(2±6)x ，即(2±6)x －y ＝0； 当a ≠0时，直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，若直线l ：x ＋y －a ＝0与圆C 相切，则|－1＋2－a |1＋1＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝－1或a ＝3.此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. 综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为(2±6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.专题技法归纳：1．直线与圆的基本量如k ，a ，b ，r 的求解，一般是用方程法，建立方程时要结合图形，计算要力求准确． 2．直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法主要是几何法，要掌握求切线长、弦长等问题． 3．直线与圆的综合问题中主要是数学思想方法的运用和含多个字母的代数式的化简．课后练习(九)1．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________． 5 2．(2013南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN 23≥，则直线的斜率k 的取值范围是______． [0，3/4]3．(2012·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，直线l ：x ＋y －4＝0.点B (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x －1＝0的动点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，则线段DE 的最大值是________．解析：线段DE 的最大值等于圆心(1,0)到直线AD ：x －y ＋2＝0的距离加半径即为522.4．(2012·徐州四市)平面直角坐标系中，已知点A (1，－2)，B (4,0)，P (a,1)，N (a ＋1,1)，当四边形P ABN 的周长最小时，过三点A ，P ，N 的圆的圆心坐标是________．解析：∵AB ，PN 的长为定值， ∴只要求P A ＋BN 的最小值．P A ＋BN ＝a －12＋9＋a －32＋1，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3，－1)距离之和，当三点共线，即a ＝52时，其和取得最小值．线段PN 的中垂线方程为x ＝3，线段P A 的中垂线方程为y ＋12＝－12()x －74，交点()3，－98即为所求的圆心坐标．5．已知A (－2,0)，B (0,2)，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0(k 是常数)上的两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．解析：因为M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，故圆心()－k 2，0在直线x －y －1＝0上，则－k2－1＝0，解得k ＝－2，则圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.又直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，则圆心(1,0)到直线AB 的距离为d ＝|1＋2|2＝322.所以圆上的点到直线AB 的最大距离为1＋322，所以△P AB 面积的最大值为S ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫1＋322＝12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2. 6．(2014苏北四市联考)已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H e ． (1)若直线l 过点C ，且被H e 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C e 的半径r 的取值范围．解：(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以ABC ∆外接圆圆心(0,3)H 221310+圆H 的方程为22(3)10x y +-=． …………………………………………………………4分 设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以2(10)13d -．当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即3x =为所求；…………………………………6分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为2(3)y k x -=-，则23131k k +=+，解得43k =， 综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=． ……………………………………………8分 (2)直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤，因为点M 是线段PN 的中点，所以(,)22m x n yM ++，又,M N 都在半径为r 的圆C 上， 所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩…………………10分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r --++-++≤≤,…………12分又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立． 而()2101210f m m m =+－在[0，1]上的值域为[325，10]，所以2325r ≤且2r 10≤9．……15分又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <.故圆C 的半径r 的取值范围为．。

2012高考真题分类汇编：直线与圆1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。

故选A.4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞【答案】D【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。

第12讲 直线和圆的方程【考点梳理】一、直线与方程 1.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在. (2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k ＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d 三、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：【解题方法和技巧】1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2.已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.3.判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．4.求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．【考点剖析】【考点1】直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）“21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值； ③221a b +>； ④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞. 正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题3．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）直线2380ax y -+=与直线10x y --=垂直，则=a ______． 4．（2022·上海·高三专题练习）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________5．（2022·上海·高三专题练习）求直线2x =-10y -+=的夹角为________.6．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线22145x y Γ-=：的左右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与Γ的左、右支分别交于点P 、Q （P 、Q 均在x 轴上方）．若直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F 的面积为则k =___________． 三、解答题7．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()22x x f x -=-.（1）设()()()112212,,,A x y B x y x x ≠是()y f x =图象上的两点，直线AB 斜率k 存在，求证：0k >；（2）求函数()()()22224x xg x mf x m R -=+-∈在区间0,1上的最大值.【考点2】直线的方程一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）若点1(,)M a b和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c ，则A ．点P 和Q 都不在直线l 上B ．点P 和Q 都在直线l 上C ．点P 在直线l 上且Q 不在直线l 上D ．点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上2．（2022·上海·高三专题练习）如下图，直线l 的方程是（ ）A 330x y -B 3230x y -C 3310x y --=D ．310x -=3．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,14．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是公比为()1q q ≠，首项为a 的等比数列，n S 是其前n 项和，则点()1,n n S S +（ ）A ．一定在直线y qx a =-上B ．一定在直线y ax q =+上C ．一定在直线y ax q =-上D ．一定在直线y qx a =+上二、填空题5．（2022·上海奉贤·二模）构造一个二元二次方程组()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，使得它的解恰好为1112x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩，要求(),0f x y =与(),0g x y =的每个方程均要出现x ，y 两个未知数．答：________.6．（2022·上海·高三专题练习）在△ABC 中，3AC =，4AB =，5BC =，P 为角平分线AT 上一点，且在△ABC 内部，则P 到三边距离倒数之和的最小值为________7．（2022·上海·高三专题练习）已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是()3,2d =-，则直线l 的点方向式方程是___________.8．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点1,0A 且法向量为()2,1n =的直线l 的一般式方程是______．【考点3】两直线的位置关系一、单选题1．（2021·上海市七宝中学模拟预测）“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题2．（2022·上海徐汇·二模）已知m ∈R ，若直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，则m =______________．3．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则=a ______.4．（2022·上海宝山·二模）已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a =+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为__．5．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）若直线1:210l ax y a ++-=与直线2:230l x ay a ++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为______．【考点4】直线与圆的位置关系一、单选题1．（2022·上海·模拟预测）设集合(){}222Ω(,)()4,x y x k y kk k =-+-=∈Z ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上：（ ） A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立2．（2022·上海·高三专题练习）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题3．（2022·上海·模拟预测）设直线系:(1)cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ-+-=≤≤，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，使其所有边均在M 中的直线上； ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）4．（2022·上海·高三开学考试）已知点P 是直线3420x y +-=上的点，点Q 是圆22(1)(1)1x y +++=上的点，则PQ 的最小值是___________.5．（2022·上海·高三专题练习）若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为________.6．（2022·上海·高三专题练习）过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______.7．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，过点(3,)P a -作圆2220x y x +-=的两条切线，切点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ．若21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-=，则实数a 的值等于____________． 8．（2022·上海·y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．9．（2021·上海·高三专题练习）过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为,A B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为______．10．（2022·上海交大附中高三期中）圆C 的圆心C 在抛物线22y x =上，且圆C 与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于P 、Q 两点，若9OC OA ⋅=（O 为坐标原点），则PQ =______．11．（2022·上海·高三专题练习）已知圆221:1x y ω+=，圆222:4x y ω+=，P 为1ω上的动点，M ､N 为2ω上的动点，满足MN =PM PN ⋅的取值范围是___________.12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________．三、解答题13．（2022·上海·模拟预测）如图，由半圆()22200，+=≤>x y r y r 和部分抛物线()()2100y a x y a =-≥>，合成的曲线C 称为“羽毛球开线”，曲线C 与x 轴有AB 、两个焦点，且经过点()23.，(1)求a r 、的值；(2)设()02N ，，M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点、、P A Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．14．（2022·上海·高三专题练习）某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=.（1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？【考点5】圆与圆的位置关系一、单选题1．（2020·上海·高三专题练习）已知,x y R ∈，且2220x y x ++<，则（ ）． A ．22680x y x +++< B ．22680x y x +++> C ．22430x y x +++<D ．22430x y x +++>2．（2022·上海·高三专题练习）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞D ．(25,9)(11,)--+∞3．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知圆C ：25cos 35sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），与圆C 关于直线0x y +=对称的圆的普通方程是（ ）. A ．22(3)(2)25x y ++-= B ．22(2)(3)25x y -++= C ．22(3)(2)5x y ++-= D ．22(3)(2)5x y ++-=二、填空题4．（2020·上海·高三专题练习）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦长为8，则m =________.三、解答题5．（2020·上海·高三专题练习）求经过两圆221:410C x y x y ++++=与222:2210C x y x y ++++=的两个交点且半径最小的圆的方程.【真题模拟题专练】一、单选题1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知平面直角坐标系中的直线12:l y x =、2:2=-l y x .设到1l 、2l 距离之和为12c 的点的轨迹是曲线1C ，到1l 、2l 距离平方和为22c 的点的轨迹是曲线2C ，其中12,0c c >.则1C 、2C 公共点的个数不可能为（ ）A ．0个B ．4个C ．8个D ．12个2．（2022·上海闵行·二模）已知直线:1x yl a b+=与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足ab 的l 有（ ） A ．40条B ．46条C ．52条D ．54条3．（2022·上海市实验学校模拟预测）直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，是MN 等于（ ）A ．B ．4C ．D ．8二、填空题4．（2022·上海奉贤·二模）若关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数a 满足的条件是________.5．（2022·上海静安·二模）直线l 的方向向量a ()1,1=-，且经过曲线22cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩的中心，则直线l 的方程为__________.6．（2022·上海浦东新·二模）直线11x tl y t =+⎧⎨=-⎩：（t 为参数，t R ∈）的斜率为________． 7．（2022·上海松江·二模）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且4PM MF =，则直线OM 斜率的最大值为_______．8．（2022·上海黄浦·二模）设t ∈R ，直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为____________．9．（2022·上海静安·二模）双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离是__________.10．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．11．（2022·上海市光明中学模拟预测）设有直线30l kx y l +-=：，的倾斜角为α．若在直线l 上存在点A 满足2OA =，且tan 0α<，则k 的取值范围是____________．12．（2022·上海虹口·二模）设R a ∈，R k ∈，三条直线1l ：250ax y a --+=，2l ：340x ay a +--=，3l ：y kx =，则1l 与2l 的交点M 到3l 的距离的最大值为_________.13．（2022·上海崇明·二模）已知平面直角坐标系中的点10,n A n ⎛⎫⎪⎝⎭、20,n B n ⎛⎫- ⎪⎝⎭、12,02n n C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，*n ∈N ．记nS 为n n n A B C 外接圆的面积，则lim n n S ∞→________．14．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若圆222:O x y r +=上有且只有两点到直线:34150x y l +-=的距离为2，则圆的半径r 的取值范围是_______.15．（2022·上海黄浦·二模）已知复数z 满足||1z =，则|2|z -的最大值为___________．16．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是_______．17．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||23AB =，则||CD =__________．18．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知P 点为圆1O 与圆2O 公共点，圆2221:()()O x a y b b -+-=+1，圆2222:()()O x c y d d -+-=+1 ，若8,a cac b d==，则点P 与直线l ：34250x y --=上任意一点M 之间的距离的最小值为_________．19．（2022·上海市七宝中学模拟预测）设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是____．20．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数22()(4)2f x x b a x a b =+--+-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是______．21．（2022·上海徐汇·二模）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线：3440x y ++=的距离d =三、解答题22．（2022·上海·模拟预测）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，直线:20l x y +-=，Γ下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为())122,0,2,0F F .(1)2a =，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；(2)直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一内角余弦值为35，求b ；(3)在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使126PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值.23．（2022·上海奉贤·二模）椭圆22468x y +=上有两点()8,A A y 和(),4T T x -，0,0A T y x ><．点A 关于椭圆中心O 的对称点为点B ，点(),2P t t -()0t ≠在椭圆内部，1F 是椭圆的左焦点，2F 是椭圆的右焦点． (1)若点P 在直线AT 上，求点P 坐标；(2)是否存在一个点P ，满足2123PF PF -=P 坐标，若不存在请说明理由； (3)设AOP 的面积为1S ，BTP 的面积为2S ，求12S S 的取值范围．24．（2022·上海崇明·二模）已知双曲线22:4x y Γ-=，双曲线Γ的右焦点为F ，圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且经过坐标原点O ，圆C 与双曲线Γ的右支交于A 、B 两点． (1)当OFA 是以F 为直角顶点的直角三角形，求OFA 的面积； (2)若点A 的坐标是(5,1)，求直线AB 的方程；(3)求证：直线AB与圆222+=相切．x yc>为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在原点O 25．（2022·上海·模拟预测）已知直线:0-=(0)l x c处发现了北偏东60︒海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜.（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船，则O，A之间的最远距离是多少海里？。

2012高考真题分类汇编：直线与圆1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。

故选A.4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞【答案】D【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1)1()1(|2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即01412≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。