分式的意义及性质

分式知识点总结分式是数学中一个重要的概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。

下面我们来对分式的相关知识点进行一个全面的总结。

一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，因为除数不能为 0。

如果分母的值为 0，那么这个分式就没有意义。

例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 ，3/π 因为分母中不含有字母，所以它们不是分式。

二、分式有意义、无意义和值为 0 的条件1、分式有意义的条件：分母不为 0，即B ≠ 0。

2、分式无意义的条件：分母为 0，即 B ＝ 0。

3、分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0，即 A ＝ 0 且B ≠ 0。

例如，对于分式 x ／（x 1），当x 1 ≠ 0 ，即x ≠ 1 时，分式有意义；当 x 1 ＝ 0 ，即 x ＝ 1 时，分式无意义；当 x ＝ 0 且x 1 ≠ 0 ，即x ＝ 0 时，分式的值为 0 。

三、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C ，A/B ＝ A÷C/B÷C （C 为不等于0 的整式）例如：将分式 2x ／ 3y 的分子分母同时乘以 2，得到 4x ／ 6y ，分式的值不变。

利用分式的基本性质，可以进行分式的约分和通分。

四、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公约数。

2、字母：取分子和分母相同字母的最低次幂。

例如：对分式 6x ／ 9x²进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公约数是 3，相同字母 x 的最低次幂是 x，约分后得到 2 ／ 3x 。

分式知识概要1．分式的意义及其基本性质（1）定义：整式A 除以整式B ，可以表示B A 的形式，如果除式B 中含有字母，式中BA就叫做分式. 在理解分式的概念时，注意以下三点：①分式的分母中必然含有字母；②分式的分母的值不为0； ③分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开. （2）有理式：整式和分式统称为有理式. （3）分式有意义和分式无意义的条件：①分式有意义的条件：分式的分母不为0；②分式无意义的条件：分式的分母为0. 分式有无意义与分母有关，与分子无关. 如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义. （4）分式的值为0条件：分式的值为0时，必须满足分式的分子为0，同时分式的分母不能为0. 注意是“同时”. （5）分式的基本性质：分式的分子和分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，即)0(≠⨯⨯=M MB M A B A . 分式的分子和分母同除一个不等于零的整式，分式的值不变，即)0(≠=M MB M A BA . （6）约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.（7）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式，这个过程叫做通分.最简公分母：几个分式中各分母的所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式分母的最简公分母. （8）最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫做最简分式.2. 分式的运算（1）分式乘除法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.即：ca dbcd a b ⋅⋅=⋅. 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.即：ca db dc a b cd a b ⋅⋅=⨯=÷.（2）分式乘方运算法则：分式的乘方是把分式的分子、分母分别乘方.即：)()(为正整数n ba b a n nn =.（3）分式的加减法运算法则：同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减.即：mba mb m a ±=±. 异分母分式相加减时，先进行通分化为同分母后，在进行加减运算.即：bdbcad bd bc bd ad d c b a ±=±=±. （4）分式的四则混合运算：分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式.例题精讲【例1】 在下列式子中那些是整式，那些是分式？xx a a y x y x xy y x y x y x x 222,1,5,53,81,7,32,3,,3--+--+-π【例2】 （1）当x 取何值时，分式22123x x x -+-有意义？（2）当x 取何值时，分式22123x x x -+-无意义？【例3】 当x 为何值时，下列分式的值为零？31(1)2x x +； 4(2)4x x --； 223(3)7x x ++； 2225(4)210x x -+.板块一 分式的意义和性质【例4】 填空：（1）4(0)2346xy x xy y=≠++； （2）12252-=-x x x xy.【例5】 将下列分式中各项系数化为整数，且分式为最简分式.（1）ts t s -+12.03.04.0 ； （2）y x yx 31432132-+.【例6】 约分：（1）932--x x ； （2）mab ab ba bm a 22229933--.【例7】 通分：（1）b a c c b a 22103,54； （2）23,631,1222+++-++a a aa a a a .【巩固练习】1．3a 、4x x -、2x y -、1a 、1p π+、32a b +、2335ab c 中分式有____________.2．当x 取什么值时，下列分式有意义；当x 取什么值时，下列分式无意义？（1）xx ||-1； （2）21||x +； （3）x x -52.3．当x 为何值时，分式9632+--x x x 的值为零？4．填空（1）22(0)x yx y x y x y +=+≠--； （2）nmnmn m =-2.5．将分式中各项系数化为整数，且分式为最简分式：22226.0411034.0n m n m -+.6．当x 取何值时，分式01xx ≥+.【例8】 计算：（1）32436b a a b -⎛⎫⎪⎝⎭ ； （2）223563y xz y z x -÷； （3）2221()m n m n m n m n m n -+÷+-- ；（4）222343243x x x x x x --++-+； （5）()22222x xy y x y xy y xy y ++++÷ .【例9】 计算：（1）226242a a a a +--++； （2）2224()2x y x x y y x y x y --+-+-；板块二 分式的运算（3）21163629a a a a ++--+-； （4）2221113256712x x x x x x ++++++++；（5）2411241111x x x x +++-+++； （6）()()()()()11111223x x x x x x +++-----…()()199100x x +--.【例10】 化简求值：（1）先化简再求值：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭，其中3x =. （2）若()211a -=，求11111a aa-+++的值.【巩固练习】1．化简：（1）234222841()()()2112x x x x x x x x ---+÷⋅++++ ； （2）2121x x -+211x -+-212x x --；（3）44414312x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-÷- ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （4）22211111211a a a a a a a ⎡⎤-+⎛⎫--÷⎢⎥ ⎪--+-⎝⎭⎢⎥⎣⎦ .2．化简2222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-+÷+⎢⎥++-+⎣⎦，并求当1a =-，2b =时，代数式的值.3．已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y +⋅--+的值.课后作业1． 下列各式中，__________________是分式，____________________是.(1)a b 2. (2) 2a+b . (3) －x x -+41. （４）a+a b . (5) πa . (6) 21xy+x 2y (7) 242+-x x2． 当 时，分式18-x 没有意义；当 时，分式1051+-x x 有意义.3． 当 时，分式xx 5-的值0.4． 当 时，分式16+x 的值与分式5)1(++x x x 的值互为倒数.5． 直接写出化简结果： （1）=y x xy2164 ； （2）=++)()(b a b b a a ；（3）=--2)(y x y x ；（4）=-+22y x ayax ；（5）=++-1681622x x x ；（6）=+-6292x x . 6． 已知13x x+=，求：（1）221x x +；（2）441x x +的值.7．2112632(9)xx x x -++-- ； 22213(1)69x x x x x x x -+÷-∙+++8．先化简，再求值：(1) 2221321131a a a a a a -++-++-,其中a=2；（2）xx x x x x 4)223(2-∙+--,其中x=21-；。

分式的性质一、分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看符合分式概念的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．二、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．三、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．四、分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．五、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．六、最简分式最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数．七、约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------分式的意义和性质分式的意义和性质一、分式的概念 1、用 A、 B 表示两个整式， AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。

分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3、（1）分式：，当 B=0 时，分式无意义。

（2）分式：，当 B0 时，分式有意义。

（3）分式：，当时，分式的值为零。

（4）分式：，当时，分式的值为 1。

（5）分式：1 / 10，当时，即或时，为正数。

（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时或时，为非负数。

二、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：（M 为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。

三、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

分式1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

5.任何一个不等于零的数的零次幂等于16.正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：; （3）积的乘方；（4）同底数的幂的除法：；（5）商的乘方；7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． 8.科学记数法：把一个数表示成na10×的形式（其中101<≤a，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是1−n 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 第十七章反比例函数 1.定义：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

第17讲分式的意义及基本性质模块一：分式的意义1、分式的概念两个整式、B相除，即A B÷时，可以表示为AB．如果B中含有字母，那么AB叫做分式，叫做分式的分子，B叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点：（1）分式的分母中必然含有字母；（2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．例如：分式1211mx x=+--，当1111A B C D时，分式有意义；当1D时，分式无意义．3、分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3xx +，(42)n +，()3n n ≥，52a ．【例2】 x 为何值时，分式2141x x ++无意义？【例3】 x 为何值时，分式2132x x -+有意义？【例4】 当x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）1x x+；（2）211x x -+；（3）33x x --．【例5】 x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？模块二：分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m ÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．2、约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．3、如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式．【例6】 填空：（1）()2ab b a = ；（2）()32x x xy x y=++；（3）()2x y x xyxy ++=；（4）()222x y x y x xy y +=--+．【例7】 不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数：（1）232645x x x x --+-； （2）23721x x x -+-+-．【例8】 化简：（1）2232x x x-+； （2）22x yx y +- ；（3）23326a a a--；（4）22222m mn n m n-+-．【例9】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？（1）2222x y x y +-（2）3323x y（3）223x y xy-【例10】 下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．（1）22444x x x -+- ；（2）()()6334a a b b a --．1. （2022秋·上海·七年级校考期末）如果分式32xyx y-中的x 、y 的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大到原来的2倍C ．扩大到原来的4倍D ．扩大到原来的6倍2. （2022秋·上海·七年级校考阶段练习）若()()121x x x x -++的值为0，则x 的值一定不是（ ）A ．1-B ．2-C ．0D ．13. （2022秋·上海闵行·七年级校考期末）分式2421x x --中x的取值范围是（ ）A ．2x ≠B ．2x ≠-C ．12x = D ．12x ≠4. （2022秋·上海普陀·七年级校联考期末）下列对于分式1x x+的变形，其中一定成立的是（ ） A ．121x x x x ++=+ B ．221x x x x x ++=C ．1212x x x x ++= D ．11x x x+= 5. （2022秋·上海·七年级校考阶段练习）如果将分式23x yxy-中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A ．不变B ．扩大到原来的9倍C ．缩小到原来的13D ．扩大到原来的3倍6. （2022秋·上海闵行·七年级校考期末）下列各式是最简分式的是（ ） A ．1625xB ．22x y xC ．22x y x y +-D ．222132x x x x -+-+7. （2022秋·上海·七年级校联考期末）分式423xyx y+中，当x 和y 分别扩大3倍时，分式的值（ ）A ．扩大9倍B ．扩大6倍C ．扩大3倍D ．不变8. （2022秋·上海·七年级校联考期末）若分式||22x x --的值为零，则x 的值是（ ） A ．±2B ．2C ．﹣2D ．09. （2022秋·上海·七年级校联考期末）要使分式32xx -+有意义，则x 的取值范围是_________． 10. （2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果分式262x x x--+无意义，那么分式231-+x x 的值为______． 11. （2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）当x =______时，分式()()2226x x x x +---的值为零；12. （2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）1x =时，分式23x x a+-无意义，则a =_______．13. （2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）若分式33x x -+的值为0，则x 的值为_______． 14. （2022春·上海·七年级开学考试）分式2314a b 、316a b的最简公分母是______． 15. （2022秋·上海·七年级期末）化简：2232x x x -=-+______．16. （2022秋·上海·七年级校考阶段练习）若分式aba b+中的a 和b 都扩大到10a 和10b ，则分式的值扩大__________倍17. （2022秋·上海闵行·七年级校考期末）计算：11111x y x y ----+-．18. （2022秋·七年级单元测试）约分(1)2244a b ab -(2)22222a ab a b ab -- 19. （2022秋·上海·七年级阶段练习）对于正数x ，规定：()1xf x x =+． 例如：11(1)112f ==+，22(2)213f ==+，111212312f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+． （1）填空：()3f =________；13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______；1(4)4⎛⎫+= ⎪⎝⎭f f _________；（2）猜想：1()⎛⎫+= ⎪⎝⎭f x f x _________，并证明你的结论；（3）求值：111(1)(2)(2019)(2020)202020192⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f ff f f f ．1. 当3x =时下列各式中值为0的是（ ）A ．299x x -- B ．13x - C ．266x x -- D ．33x x +- 2. 代数式3459258，，，，-+-b x x y x y a 中，分式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 化简：2562a a a ++=+____．4. 已知230x y +=，代数式2222x xy y x xy y +-=-+__________． 5. 化简：22x y ax bx ay by--+-6. 阅读下面的解题过程： 已知：2113x x =+，求241x x +的值． 解：由2113x x =+知x ≠0，所以213x x+=，即x +1x =3． 所以421x x +=x 2+21x=（x +1x）2﹣2=32﹣2=7．故241x x +的值为17．该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：21315x x x =-+，求2421x x x ++的值．。

专题09分式的意义及基本性质（2个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.分式的意义知识点2.分式的基本性质【方法二】实例探索法题型1.分式的概念题型2.求分式的值题型3.分式有无意义的条件题型4.分式值为零的条件题型5.分式的基本性质题型6.分式的约分题型7.最简分式【方法三】差异对比法易错点忽略分母不为0的条件【方法四】成果评定法【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.分式的意义【方法二】实例探索法题型1.分式的概念1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x ，，a 2﹣b 2，，中，分式有（）A ．1个B ．2个C．3个D ．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式．故选：B ．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．【解答】解：，，，中，是分式的有：，共2个．【点评】此题主要考查了分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．题型2.求分式的值3．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为．【分析】根据题意知道a≠±1，化简这个分式，根据分式的值是整数，a是整数，求出符合题意的a的值，求和即可．【解答】解：∵a2﹣1≠0，∴a≠±1，∴＝＝，∵分式的值是整数，a是整数，∴a﹣1＝±1，±2，∴符合题意的a＝2，0，3，∴2+0+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了分式，根据分式的值是整数，a是整数，得到a﹣1＝±1，±2是解题的关键．4．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于．【分析】将a＝﹣2代入分式求值．【解答】解：当a＝﹣2时，＝＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查求分式的值，熟练掌握求分式的值的方法是解决本题的关键．5．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是．【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．【解答】解：∵分式的值大于零，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．【点评】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．题型3.分式有无意义的条件6．（2022春•杨浦区校级月考）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式有意义的条件判断即可．【解答】解：A选项，当m＝﹣1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；B选项，m＝﹣3时，分式没有意义，故该选项不符合题意；C选项，m＝3时，分式没有意义，∵m＜2，∴分式一定有意义，故该选项符合题意；D选项，m＝1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．7．（2022·上海宝山·七年级期末）如果分式21xx+-有意义，那么x的取值范围是________．【答案】1x≠【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列不等式求解即可．【详解】解：由题意得：10x-≠，解得：1x≠．故答案为：1x≠．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件“分母不为零”是解答本题的关键．8．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当x ﹣2y ≠0时，即x ﹣2≠0分式有意义，解得x ≠2，故答案为：x ≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．题型4.分式值为零的条件9．（2022·上海普陀·七年级期末）当x ＝3时，下列各式值为0的是（）A ．43x-B ．293x x -+C ．33x x +-D ．239x x --【答案】B【分析】将3x =代入分式，然后根据分式有意义的条件（分母不能为零）和分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）进行分析判断．【详解】解：A.当3x =时，30x -=，原分式没有意义，故此选项不符合题意；B.当3x =时，290x -=，30x +≠，原分式的值为0，故此选项符合题意；C.当3x =时，30x -=，原分式没有意义，故此选项不符合题意；D.当3x =时，290x -=，原分式没有意义，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）是解题关键．10．（2021秋•浦东新区校级期中）如果分式的值为0，那么x 的值为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴|x |﹣1＝0且x +1≠0，解得：x ＝1．故选：B ．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键．11．（2022·上海·七年级期末）若分式293x x --的值为零，则x ＝_______．【答案】-3【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x 2-9=0，x -3≠0，解出x 即可．12．（2022·上海宝山·七年级期末）已知分式2aba b+的值为25，如果把分式2aba b+中的,a b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（）A．25B．45C．65D．42513．（2022·上海·七年级期末）把分式22x y-中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值…（）A．不变B．扩大到原来的2倍C．扩大到原来的4倍D．缩小到原来的1214．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式B ．如果将分式中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C ．单项式23ab 是5次单项式D ．若3m ＝5，3n ＝4，则3m ﹣n ＝【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义即可求出答案．【解答】解：A 、若A 、B 表示两个不同的整式，则不一定是分式，故A 不符合题意．B 、如果将分式中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B 不符合题意．C 、单项式23ab 是2次单项式，故C 不符合题意．D 、若3m ＝5，3n ＝4，则3m ﹣n ＝，故D 符合题意．故选：D ．【点评】本题考查分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义，本题属于基础题型．题型6.分式的约分15．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（）A ．＝x 3B ．＝x +yC ．＝D ．＝﹣【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．【解答】解：A .＝x 4，故此选项不符合题意；B .的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；C .的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；D .＝＝﹣，正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．16．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）约分：分式3bab b=+________．17．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据最简分式的定义计算判断．【解答】解：A 、＝，所以A 选项不符合；B 、＝，所以B 选项不符合；C 、＝＝，所以C 选项不符合；D 、为最简分式，所以D 选项符合．故选：D ．【点评】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．【方法三】差异对比法易错点忽略分母不为0的条件18.当x 取何值时，分式2212x x x -+-的值为0？【答案】x=－1；【解析】依题得221020x x x ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩，解得1112x x x =-⎧⎨≠≠-⎩或且，所以1x =-.求解此类题目，最易忽略分母不能为零的情况！19.当x 为何值时，下列分式的值为零：⑴4|1|5+--x x ⑵225(1)(5)x x x ---【解析】⑴6x =；⑵5x =-；易错点：忽略分母不为零的条件【方法三】成果评定法一．选择题（共6小题）1．（2022秋•闵行区校级期末）分式中x 的取值范围是（）A ．x ≠2B ．x ≠﹣2C ．D ．【分析】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2x ﹣1≠0，∴x ≠．故选：D ．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．2．（2023秋•普陀区校级期中）如果分式的值为零，那么x 、y 应满足的条件是（）A ．x ＝1，y ≠2B ．x ≠1，y ＝﹣2C ．x ＝1，y ≠﹣2D ．x ≠1，y ＝2【分析】根据分子为0，分母不为0时，分式的值为0，得方程求解即可．【解答】解：由于分式的值为0，所以解得，x ＝1，y ≠﹣2故选：C ．【点评】本题考查了分式值为0的条件．解决此类问题，容易只考虑分子为0，而忽略分母不等于0的条件．3．（2022秋•上海期末）如果分式的值为零，那么x 等于（）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．0【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的值即可．【解答】解：∵的值为零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．4．（2022秋•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是（）A．+3B．C．﹣+5D．【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；D．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，分母中含有字母的代数式，叫分式．5．（2022秋•上海期末）分式中，当x和y分别扩大3倍时，分式的值（）A．扩大9倍B．扩大6倍C．扩大3倍D．不变【分析】根据分式的基本性质化简即可．【解答】解：＝＝＝4，∴分式的值扩大3倍，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．6．（2022秋•浦东新区校级期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．【解答】解：A、原式＝＝x+2，不符合题意；B、原式＝＝，不符合题意；C、原式＝＝x+y，不符合题意；D、原式为最简分式，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．二．填空题（共19小题）7．（2022秋•上海期末）要使分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣2．【分析】分式有意义时，分母不等于零．【解答】解：当分母x+2≠0，即x≠﹣2时，分式有意义．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．8．（2022秋•青浦区校级期末）如果分式的值为零，那么x＝﹣2．【分析】根据分式值为零的条件可得2﹣x≠0，且x2﹣4＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣4≠0且x2﹣4＝0，解得：x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．9．（2021秋•黄浦区期末）当x＝0时，分式的值为零．【分析】令2x＝0，且x+3≠0即可解出结果．【解答】解：由题意可得：，解得：x＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟知分式的值为零时要满足的条件是解题的关键．10．（2021秋•金山区期末）分式中字母x的取值范围是x≠．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0即可算出答案．【解答】解：∵2x﹣3≠0，∴x≠；故答案为：x≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，解题关键：分式有意义的条件为分母不为0．11．（2022秋•浦东新区校级期末）对于分式，如果x＝1，那么y的取值范围是y≠﹣4．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当4x+y≠0时，即4+y≠0分式有意义，解得y≠﹣4，∴y的取值范围是y≠﹣4，故答案为：y≠﹣4．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．12．（2022秋•宝山区校级期末）当x＝1时，分式的值为零．【分析】直接利用分式的值为零可得分子为零进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零，∴x﹣1＝0，2﹣x≠0，解得：x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．13．（2022秋•宝山区校级期末）当x＝﹣1时，分式的值为0．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0且（x﹣1）（3x+4）≠0，解得：x＝±1且x≠1，，∴x＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．14．（2022秋•宝山区期末）如果分式有意义，则x的取值范围是x≠±1．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：|x|﹣1≠0，解得：x≠±1，故答案为：x≠±1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．15．（2022秋•宝山区期末）化简：＝．【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质约分即可．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了约分，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．16．（2021秋•宝山区期末）化简：＝a+3．【分析】先将原式分子部分进行因式分解，再进行约分即可解答．【解答】解：＝＝a+3．故答案为：a+3．【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握用十字相乘法进行因式分解是解题关键．17．（2022秋•宝山区校级期中）正整数a与b满足正整数，则b＝18或2．【分析】根据题意可求出b﹣1的值，从而可求出b的值．【解答】解：由题意可知：a与b是正整数，∴b﹣1＝17或1，∴b＝18或2，故答案为：18或2．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确求出b﹣1的值，本题属于基础题型．18．（2022秋•奉贤区期中）当a＝2时，代数式的值为2．【分析】将a＝2代入代数式求解即可．【解答】解：将a＝2代入，得原式＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了求分式的值，熟练掌握求代数式值的方法是解题的关键．19．（2022秋•徐汇区期末）x＝1时，分式无意义，则a＝2．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得当x＝1时，分母x2+x﹣a＝0，∴1+1﹣a＝0，解得，a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．20．（2022秋•静安区期中）如果＝，那么＝5．【分析】根据已知条件求得x＝3y，然后代入求值．【解答】解：∵，∴x＝3y，原式＝，故答案为：5．【点评】本题考查分式的求值，利用等式的性质求得x＝3y是解题关键．21．（2022秋•静安区校级期中）已知2x+3y＝0，代数式＝﹣．【分析】将x＝﹣y代入，再化简运算即可．【解答】解：∵2x+3y＝0，∴x＝﹣y，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查分式的值，熟练掌握分式的化简运算，将x＝﹣y整体代入所求的代数式进行化简是解题的关键．22．（2022秋•虹口区校级期中）如果分式无意义，那么分式的值为7．【分析】根据分式无意义的条件：分母为0，列出x的方程求得x的值，再代入所求代数中进行计算便可．【解答】解：∵分式无意义，∴2+x＝0，解得x＝﹣2，∴＝＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了分式的无意义的条件，求分式的值，关键根据分式无意义列出x的方程．23．（2022秋•静安区期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为零；（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠﹣3；（3）当a＝0时，分式的值为﹣1．你所写的分式为（答案不唯一）．【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不等于零；（3）将a＝0代入后，分式的分子、分母互为相反数．【解答】解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；根据（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠﹣3，可知当a＝﹣3时，分式的分母等于零；根据（3）当a＝0时，分式的值为﹣1，可知把x＝0代入后，分式的分子、分母互为相反数．综上可知，满足条件的分式可以是：，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为0是解题的关键．24．（2022秋•虹口区校级月考）若分式中的a和b都扩大到10a和10b，则分式的值扩大10倍．【分析】根据分式的基本性质代入化简即可．【解答】解：＝＝，所以把分式中的a和b都扩大到10a和10b，那么分式的值扩大10倍．故答案为：10．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．25．（2022秋•徐汇区期末）当x＝﹣1时，分式的值为零．【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得分式的值为零．【解答】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣1＝0，x﹣1≠0．解得x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，要求掌握．分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0．。

学好分式三步走：1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零2．分式的基本性质，约分，通分3．分式的加、减、乘、除、乘方运算1．分式的概念，分式何时有意义，何时值为零①分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且B ≠0 。

②分式有意义(或分式存在)的条件：分式的分母不等于零即 B ≠0 。

③分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。

即当A ＝0且B ≠0时，0AB =。

【例1】 ⑴若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( )⑵分式211x x --的值为0，则x 的值为( )2．分式的基本性质，约分，通分①分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

()0A A M A MM B B M B M ÷==÷×≠×②利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式。

③通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式。

为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。

【例2】 ⑴化简222a b a ab -+的结果为( )分 式⑵化简2244xy y x x --+的结果为( )3．分式的加、减、乘、除、乘方运算分式的乘法 a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法 a c a d a d b d b c b c ⋅÷=⋅=⋅分式的乘方 nnn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同分母分式相加减 a b a bc c c ±±=异分母分式相加减 acadbc ad bcb d bd bd bd ±±=±=0指数幂 01(0)a a =≠ 负整数指数幂 1p p a a -= (a ≠0，且p 为正整数)【例3】 化简22226211296x x x x x x x x -++++÷--+-思想方法吐血大总结：1．分式是否有意义、何时值为零以及基本性质都和分数相近。

分式(基础)知识讲解分式的概念和性质（基础）研究目标】1.理解分式的概念，能够求出使分式有意义、分式无意义、分式值为零的条件。

2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算。

要点梳理】要点一、分式的概念分式是由两个整式相除得到的商式，其中分母中含有字母。

分数是整式，不是分式。

分数的分子、分母中都不含字母。

分式与分数是相互联系的，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a/πx^2y是整式而不能当作分式。

要点二、分式有意义、无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零。

2.分式无意义的条件：分母等于零。

3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。

要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质。

用式子表示是：A/M ÷ B/M = A/B，其中M是不等于零的整式。

在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。

要点四、分式的变号法则在变形后，字母x的取值范围可能变大了。

对于分式中的分子、分母和分式本身的符号，只要改变其中任何两个，分式的值不变；但改变其中任何一个或三个，分式的值会变成原分式的相反数。

要点解释：根据分式的基本性质，我们可以得出上述结论。

同时，根据有理数除法的符号法则，我们可以知道，分式与分子、分母同号，结果为正；异号，结果为负。

分式的符号法则在分式的运算中非常重要。

要点五、分式的约分和最简分式与分数的约分类似，我们可以利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。

要点解释：约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式。

分式概念及意义分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。

分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。

（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。

（3）分式：，当时，分式的值为零。

（4）分式：，当时，分式的值为1。

（5）分式：，当时，即或时，为正数。

（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时或时，为非负数。

三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。

四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

2、约分的理论依据是分式的基本性质。

3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。

例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。

第十章 第1讲 分式知识精要(一)分式的意义 1.分式的概念两个整式B A 、相除，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么BA叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.当B 为非零常数时，BA是整式，整式和分式统称为有理式.分式有无意义的条件：由于分式的分母表示除数，而除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义.或者说当0=B 时，分式BA没有意义.2.分式的值分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，注意是“同时”. (二)分式的基本性质 3.分式的基本性质分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式，分子的值不变，即 N B NA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 其中N M 、为整式，且000≠≠≠N M B 、、. 4.约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程，叫做分式的约分. 5.最简分式如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外)，那么这个分式叫做最简分式.化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数，相同因式的最低次幂。

如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分。

化简分式时，要将分式化成最简分式或整式。

6.通分利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。

经典题型精讲 (一)分式的意义例1.下列代数式中，哪些是分式?哪些是整式?21x +π，3122+-+x x x ，y x 322-，y x y x +-23，y x x -2，532+m .例2.当x 取什么值时，下列分式有意义?(1)23+x x (2)34-x (3)3422++x x x (4)43622-+-x x x (5)2432+-x x (6)121--+x x例3.分式22yx yx +-有意义的条件是( ) A .0≠xB .0≠yC .0≠x 或0≠yD .0≠x 且0≠y例4.当x 为何值时，下列分式的值为零?(1)22+-x x (2)392--x x (3)65)32(222+---x x x x (4)1322--+x x x例5.(1)当21-=a 时，求分式1242-+a a 的值.(2)若y x 43=)0(≠y ，求2222y y x -的值.(3)已知432zy x ==，且0≠xyz ，求分式222z y x zx yz xy ++++的值.例6.(1)当x ___________时，分式652-+-x x x 有意义； (2)当x ___________时，分式4162+-x x 的值为0；(3)当x ___________时，分式122+-x x 的值为负数； (4)当x ___________时，分式122--x x 的值为正数.例7.设32<<x ，则=+--+--xxx x x x 3322_________．例8.已知054222=++-+y x y x ，则=+xy 14_________．例9.某种长途电话的收费如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元。

分式的意义及性质分式是一种特殊的数学表达式，用于表示一个数与另一个数之间的比例关系。

分式通常由一个分子和一个分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。

分子和分母可以是整数、变量或者是一个完整的代数表达式。

1.分式表示两个数的比例关系。

例如，分式1/2表示1和2之间的比例关系，即1比2小一半。

2.分式能够表示一个整体被等分为若干份，并表示其中的一部分。

例如，分式1/3表示一个整体等分为3份，而1表示其中的一份。

3.分式可以用于表示一个数相对于另一个数的百分比。

例如，分式2/5表示一些数相对于5的总数而言，占了其中的2份。

分式的性质：1.分式具有乘除结合律。

例如，(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)，(a/b)÷(c/d)=(a×d)/(b×c)。

2.分式可以化简为最简形式。

即将分子与分母进行约分，使它们没有共同的因子。

3.分式可以互化为带分数或者小数形式。

例如，分式2/3可以互化为带分数2/3=0.6666...或小数形式2/3≈0.674.分式可以进行加减运算。

对于相同分母的分式，可以直接将分子相加或相减，分母不变；对于不同分母的分式，可以通过通分后再进行运算。

5.分式可以进行乘除运算。

两个分式的乘积等于分子相乘，分母相乘；两个分式的除法等于分子相除，分母相除。

分式在数学中具有广泛的应用，尤其是在代数学和实数学中。

它们可以用于解方程、表示比例、表示百分比、计算平均数等。

分式的意义和性质的理解对于数学的学习和应用具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解数与数之间的关系，并运用到实际的问题中去。

1 / 19一、分式的意义与基本性质： 1、分式的概念：两个整式、B 相除，即A B ÷时，可以表示为AB．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式，叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点： （1）分式的分母中必然含有字母； （2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．例如：分式1x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义．3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 4、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m ÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 二、分式的乘除：1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：A C ACB D BD ⋅=．2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即nn n A A B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭．3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为：A C A D ADB D BC BC ÷=⋅=．4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 【注意】分式的意义、性质及综合计算1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算． 三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2、异分母的分式加减法法则：（1） 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2） 异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简． 四、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．一、选择题1. 代数式中分式有（）A 、6个B 、4个C 、3个D 、2个【答案】C 【解析】x x 21+，112+-x x ，y 3是分式．【总结】本题主要考查分式的概念．2. 下列判断中，正确的是（） A 、分式的分子一定含有字母B 、只要分式的分子为零，则分式的值为零C 、2x x 不是分式而是整式D 、只要分式的分母为零，则分式必无意义【答案】D【解析】考查分式的概念．3. 以下分式化简：（1）；（2）；（3）； （4）．其中错误的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，42226131x x x x ++=--x a ax b b +=+22x y x y x y +=++22x y x y x y-=-+【答案】C【解析】（1）（2）（3）都是最简分式，不能化简． 【总结】本题主要考查最简分式的概念以及如何化简分式．4. 不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）A 、10B 、9C 、45D 、90【答案】D【解析】找5，10，3，9的最小公倍数．【总结】本题主要考查分式的基本性质．5. 分式1a b +、222a a b -、bb a -的最简公分母是（）A 、()()()22a b a b b a +-－ B 、()()22a b b a +－ C 、()()22a b b a -－D 、22a b -【答案】D【解析】考察最简公分母的定义．6. 化简：222m n m mn -+的结果是（ ）A 、2m n m -B 、m n m-C 、m nm+ D 、m nm n-+【答案】B【解析】()()()222=m n m n m n m nm mn m m n m +---=++．【总结】本题主要考查分式的约分．7. 已知：25，a b ab +==-，则a bb a +的值等于（ ） A 、25-B 、145- C 、195- D 、245-【答案】B【解析】()222222101455a b ab a b a b b a ab ab +-+++====--．【总结】本题一方面考查异分母分式的加法，另一方面考查整体代入思想的运用．8. 在下列各式中：①222mn a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭；②42528m n an a b bm -⋅；③2222m nb ab a ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222mn a ab m ÷．相等的两个式子是（ ）A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【答案】B【解析】①22224224mn m n a b a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；②4223524288m n an m n a b bm a b -⋅=-；③2222222224242244m nb m n b m n ab a a b a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； ④2222222232222mn a mn m m n ab m ab a a b ÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的约分．9. 计算22222662x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是（） A 、13x x --B 、19x x +-C 、2219x x --D 、2213x x ++【答案】C 【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=⋅==--+--++-+--．【总结】本题主要考查分式的除法运算，注意要先分解因式．10. 化简：2129m -＋23m +的结果是（ ） A 、269m - B 、23m - C 、23m + D 、2269m m +-【答案】B 【解析】2129m -＋()()2222323212239993m m m m m m m -+=+==+----． 【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算．11. 计算22222a b a b a ba b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭的结果是（ ）A 、1a b- B 、1a b+ C 、a －b D 、a ＋b【答案】B【解析】22222a b a b a b a b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭()()()()()2222a b a b a b a b a b a b a b ab ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦()()22ab a b a b a b ab -=⨯+-1a b=+． 另：本题也可以利用乘法分配律，不用先算括号里面的也可以计算．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意按照运算法则进行计算．12. 已知2519970x x --=，则代数式()()222112x x x ---+-的值为（ ）A 、1999B 、2000C 、2001D 、－2【答案】D【解析】()()222112x x x ---+-22442112x x x x x -+-+-+=-242x x -+=-()222x x --=-2=-．【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x 的取值并无关系．二、填空题 13. 分式()()()()1221x x x x +---有意义的条件是_________．【答案】2≠x 且1≠x ．【解析】考察分式有意义的条件是分母不为0．14. 桶中装有液体纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为__________升． 【答案】aa 324-． 【解析】4升中含药百分比为aa 324-． 【总结】本题主要考查的是含药量的问题，与浓度有关，可以选择性的讲解．15. 当x =_________时，分式231x x --的值等于1．【答案】2．【解析】132-=-x x ，∴2=x ．【总结】当分式的值为1时，在分式有意义的背景下，说明分子与分母相等． 16. 若13x x +=，则221x x+=______．【答案】7．【解析】2222112327x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭．【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，它们的平方和等于和的平法减2．17. 若269a a -+与1b -互为相反数，则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】32． 【解析】∵269a a -+与1b -互为相反数，∴26910a a b -++-=，即()0132=-+-b a ，∴3=a ，1=b ．∴()22123a b a b a b a b b a ab a b ab --⎛⎫-÷+=⋅== ⎪+⎝⎭． 【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念． 18. 当x _______时，分式1111x++有意义．【答案】1-≠x 且2-≠x ．【解析】∵01≠+x 且0111≠++x ，∴1-≠x 且2-≠x ．【总结】本题主要考查分式有意义的条件．19. 当x _______时，分式211xx++的值为零．【答案】2-=x ．【解析】由题意，得：02=+x 且0≠x 且011≠+x，所以2-=x ． 【总结】本题主要考查分式值为零的条件．20. 已知：222222M xy y x yx y x y x y --=+--+，则M =_________．【答案】2x ．【解析】因为()()()22222222x y xy y x x y x y x y x y --+=-+--，所以2M x =．【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时， 分子也相等．21. 若223a b ab +=，则3332211b b a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭的值等于_____________． 【答案】21． 【解析】3332211b b a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭333333322a b b a b b a b a b a b a b ⎛⎫--⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3333a b a ba b a b +-=⋅-+()()()()2222a b a b ab a ba ba b a b ab ++--=⋅+-++2222a b ab a b ab +-=++33ab ab ab ab -=+12=． 【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．22. 已知对任意x 有324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+，则A =_______，B =______，C =______．【答案】1；-1；-1．【解析】因为222(3)()(1)1+3(1)(3)A Bx C A x x Bx C x x x x x x x +++++-+=-+-++3()()(3)23A B x A B C x A C x x ++-++-=+-，又324231+3x A Bx C x x x x x ++=++--+所以0134A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩， 解得111A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时， 分子也相等．三、计算题23. 将下列分式化为最简分式： （1）222a ab a b +-； （2）2239m m m --；（3）2223332ab b a b ab b +++．【答案】（1）b a a -；（2）3+-m m ；（3）ba +3． 【解析】（1）()()()222a ab a ab aa b a b a b a b ++==-+--；（2）()()()22339333m m m m m m m m m --==--+-+；（3）()()()()22223223333322b a b b a b ab b a b ab b a bb a ab b b a b +++===++++++．【总结】本题主要面考查分式的约分．24. 计算：（1）；（2）．【答案】（1）b ad 52；（2）ax103． 【解析】本题考查分式的乘法．22635a b cdc ab --⋅21285xyx y a÷25. 计算：（1） ；（2）2241222a a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭．【答案】（1）1-x x ；（2）a1． 【解析】（1）原式=()()11112-=-+⋅+x xx x x x x ；（2）原式=()()()()aa a a a a a a a a 12122221242=+⋅--+=+⋅--． 【解析】本题主要考查分式的除法运算． 26. 计算：（1）21639a a-+-； （2）231326629x x x-++--．【答案】（1）31-a ；（2）()()332-+x x x ．【解析】（1）原式=()()()()()()31333336333-=-++=-++-+-a a a a a a a a a ；（2）原式=()()()()()()()()()()()33233243326332333233-+=-+=-++-+++-+-x x xx x x x x x x x x x x ．【解析】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意最终结果一定要化到最简．27. 计算：（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-； （2）222221211()(22x x x x x x x x --+÷÷---+．【答案】（1）2；（2）xx -22．【解析】（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-2211x x x x+-÷()()()()223321(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+-- 2=；（2）222221211()(22x x x x x x x x--+÷÷---+()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-． 【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．28. 计算：（1） 22221244n m m n m n m mn n --+÷--+； （2）322114221x x x x x x ⎛⎫+--+⋅ ⎪-++⎝⎭．【答案】（1）nm n+3；（2）44223+-+x x x ． 【解析】（1）原式()()()2122m n m n n m m n m n +--=+÷--()()()2212m n n mm n m n m n --=+⋅-+-21m n m n -=-+3nm n =+；（2）原式322214142121x x x x x x x x +---=⋅+⋅-+++ ()()()()()()()()2112211222121x x x x x x x x x x x x x +-++-+-+-=⋅+⋅-+++()()()()21212x x x x x =-+++--32244x x x =+-+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．29. 计算：（1） ； （2）．【答案】（1）()()()()2423-++-x x x x ；（2）22+-a a ． 【解析】（1）原式()()()()()()2232444322x x xx x x x x -+-=⋅⋅+--+-()()()()3242x x x x -+=+-；（2）原式()()()()()211221112a a a a a a a -++-=⋅⋅+-+2222a aa a --=-=++．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．30. 已知a ，b ，x ，y 是有理数，且()20x a y b -++=，求代数式：2222a ay bxb a ax by b x y a b +-+++-÷++的值．【答案】21． 【解析】由题意得：a x =，b y -=．所以2222a ay bx b a ax by b x y a b +-+++-÷++()222222a ab ba b a a b b a b a b+⋅--++--=÷-+()()2222a b a b a ba b a b a b+--+=÷-+()()()22a b a b a b a b a b -+=⋅-+-12=． 【总结】本题一方面考查非负数的特性，另一方面考查分式的除法运算．31. 计算：()()221111a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-÷-⎢⎥ ⎪+-⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦【答案】222b a a-．【解析】原式()()()()()()()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤--+--+=÷⎢⎥⎢⎥+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()2242a b a b abb a b a b +--=⋅-+- 2222963441644x x x x x x x x -+-++÷⋅---22214(1)441a a a a a a --÷+⋅++-()()2a a b a b =+-222aa b =-．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意有括号时先算括号里面的．32. 计算：222211113256712920x x x x x x x x +++++++++++【答案】5642++x x ． 【解析】原式()()()()()()()()111112233445x x x x x x x x =+++++++++++1111111112233445x x x x x x x x =-+-+-+-++++++++1115x x =-++()()415x x =++2465x x =++．【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算，注意裂项法的运用．33. 计算：2222x z y x y zx xy xz yz x xy xz yz +-++--+-+++．【答案】222yx y-． 【解析】原式()()()()x z x y x y x z x x y z x y x x y z x y ++-+++=--+-+++()()()()x z x y x y x zx z x y x z x y ++-+++=-+-++1111x y x z x z x y ⎛⎫=+-+ ⎪-+++⎝⎭11x y x y =--+()()2y x y x y =-+222y x y =-．【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意裂项法的运用．34. 计算：222211a b a ba b a b a ab b a ab b -++---+++-+．【答案】4666ab a b -．【解析】原式222211a b a ba b a ab b a b a ab b -+=-+--+++-+()()()()()()2222222222a ab b a b a ab b a b a b a ab b a b a ab b ++---+-+=+-+++-+333333ab aba b a b =--+()()()()3333333333ab a b ab a b ab a b +--=-+4666ab a b=-．【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意立方差和立方和公式的运用， 2233()()a b a ab b a b ±+=±，立方差和立方和有些学校不讲，请选择运用．四、解答题35. 为何值时，分式无意义？【答案】41-=x ．【解析】考查分式无意义的条件是分母为0．36. 求下列各分式有意义的条件：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0≠x ；（2）3-≠x ；（3）b a ≠2，且0a ≠，0b ≠． 【解析】考查分式有意义的条件是分母不为0．37. 当为何值时，下列分式的值为0？ （1）；（2）；（3）288xx +；（4）224216136x x x x --++【答案】（1）1-=x ；（2）21=x ；（3）0=x ；（4）7=x 或3-=x ． 【解析】分式值为0的条件是分子为0且分母不为0．38. 若，的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ （1）；（2）22x yx y -+；（3）22239x y x+．【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的31；（3）扩大为原来的3倍．【解析】考查分式的基本性质．x 2141x x ++1x 33x +2a b a b +--x 1x x+213x x -+x y x y x y+-39. 求下列各组分式的最简公分母：（1），，； （2），，．【答案】（1）()()2117-+a a ；（2）()()()215++-x x x ． 【解析】考查最简公分母的定义．40. 把下列各式通分． （1），，；（2），，．【答案】（1）z y x z xy y x 33221204583-=-，z y x y yz x 332312050125=，zy x x z xy 332312018203-=-；（2）()()()()()11111122+--+=-+x x x x x x x x ，()()()2221111-+-=-x x x x x x x ，()()()221112122-++=+-x x x x x x x ．【解析】考查分式的基本性质．41. 求代数式的值：236214422x x x x x x +-÷-+++-，其中6x =-．【答案】14-．【解析】原式()()23221222x x x x x ++=⋅---+3122x x =---22x =-， 当6x =-时，原式21624==---．【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意符号的变化．277a -2312a a a -+211a -2145x x --232xx x ++22310x x x --238x y -3512x yz 3320xy z -1(1)x x x +-21x x -2221x x -+42. 已知：250m n -=，求下式的值：11n m n m m m n m m n ⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭．【答案】187-． 【解析】∵250m n -=，∴25=n m ． ∴52=m n ，35=-n m m ，75=+n m m ．∴原式=18735241547552135521-=÷-=⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．【总结】本题主要考查分式的性质，也可以先对所求值的分式进行化简再求值．43. 已知21610x x --=，求331x x-的值．【答案】4144．【解析】∵21610x x --=，∴161=-xx ．∴331x x -2211++1x x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211=+2+1x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2=1616+3⨯=4144．【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．44. 已知：0a b c ++=，8abc =，求证：1110a b c++<．【答案】证明略，见解析．【解析】∵0=++c b a ，∴()()022222=+++++=++ac bc ab c b a c b a ．即2222220a b c ab ac bc +++++=．∴2221()2ab ac bc a b c ++=-++．∵8abc =， ∴a 、b 、c 均不为零．∴2221111=()016bc ac ab a b c a b c abc ++++=-++<． 【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．45. 已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若21010a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），求分式22222a ab b ab a b+++的值．【答案】990109． 【解析】找规律可知：10=a ，99=b ．所以()()2222221099109990990a b a ab b a b ab a b ab a b ab +++++====++．【总结】本题是一道规律题，解题时注意总结．46. 已知2210a a +-=，求222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭的值．【答案】1．【解析】原式()()2212242a a a a a a a ⎡⎤--+=-⋅⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦()2224242a a a a a a a --++=⋅-+()12a a =+212a a =+． 又2210a a +-=，所以原式=1．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面考查整体代入思想的运用．47. 已知1abc =，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值．【答案】1．【解析】因为1abc =，所以a 、b 、c 均不为零．所以原式1a b cab a abc bc b ac c abc =++++++++11111b c b bc bc b c b=++++++++ 1111b bc b bc bc b bc b =++++++++11b bcb bc ++=++1=．【总结】本题综合性较强，要善于发现每一项的特征，从而利用代入法求出结果．48. 已知a 、b 、c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，那么abcab bc ca ++的值是多少？ 【答案】61． 【解析】∵13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+， ∴3=+ab b a ，4=+bc c b ，5=+cac a ． ∴311=+b a ，411=+c b ，511=+c a ， ∴121112=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a ． ∴6111=++cb a ． ∵6111=++=++cb a abc ac bc ab ，∴16abc ab bc ca =++．【总结】本题主要考查对分式之间的关系，要善于总结．49. 若111122229999199991A +=+，222233339999199991B +=+，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >．【解析】设11119999a =，则2+1=1a A a +，23+1=1a B a +．则B A -2322323+1+12=11(1)(1)a a a a a a a a a -+-=++++223(1)(1)(1)a a a a -=++． 又111199991a =>，所以10a ->．所以0A B ->，所以A B >．【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大 小．50. 设10x y z a b c a b c x y z ++=++=，，求222222x y z a b c ++的值．【答案】1．【解析】设m a x =，n b y =，t c z=．∵1x y za b c ++=， ∴1=++t n m ．∵0=++zcy b x a ，∴0111=++tn m ，∴0=++mntmnmt nt ，∴0=++mn mt nt ．∴()()222222222222101x y z m n t m n t mn nt mt a b c++=++=++-++=-=． 【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用．。

分式的意义和性质分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。

分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。

分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。

一、分式的意义：1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。

例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。

2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。

例如，$\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。

3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。

例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。

这种表示方法在计算中特别有用。

4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。

例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75二、分式的性质：1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。

例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。

对于正的分式，分母越大，分数越小。

例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。

2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的数。

例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。

约分可以简化计算，并且使得分式更加简洁。

5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新的分式。

例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。

倒数的意义是将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。

总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。

分式的意义及性质编稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳目标认知学习目标1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。

2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。

重点分式的意义及其基本性质。

难点分式的变号法则。

知识要点梳理要点一：分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

其中A叫做分子，B叫做分母。

要点诠释：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。

如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。

（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。

例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。

要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件1、分式有意义的条件是分式的分母不为0；2、分式无意义的条件是分式的分母为零；3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。

要点诠释：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。

（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。

如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。

（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。

（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。

例如在分式中隐含着，即这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。

要点三：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。

要点诠释：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+1≠0。

（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。

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学科数学课题名称分式的意义与基本性质1、分式的概念与意义：
（1）A、B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为A
B
的形式，如果B中含有字母，那么我们把式
子A
B
（B≠0）叫分式，其中A叫分子，B叫分母。

（2）关于分式概念的两点说明：
①分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本
区别。

②分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。

（3）分式的值为零
分式的意义与基本性质
例8、将下列各组分式进行通分。

（1） 223a ，1
6ab
（2）
244x -，21(x 2)x -+ （3）123x +，232x - ，225
49
x x +-
答案：（1）
223a 246b a b = 16ab 26a a b =
（2）24
4x -2(x 2)(x 2)(x 2)x +=-+ 21(x 2)x -+2(x 1)(x 2)(x 2)(x 2)--=-+
（2） 123x +23(23)(2x 3)x x -=+- 232x -2(23)(23)(2x 3)x x -=+- 2
2549x x +-25(23)(2x 3)x x +=+-
1、根据分式的基本性质，分式
a
a b
--可变形为（ ）。

分式的性质及意义分式是数学中一种特殊的表达形式，由分子和分母组成，分子与分母都可以是数或者代数式。

1.分式的值是唯一的：分式所代表的数值是确定的，不会因为分式写法的不同而改变。

2.分式的分母不能为零：分母不能为零，因为除数不能为零。

3.分式的约分：分式可以通过约分化简为最简形式，即分子和分母没有相同的因子。

4.分式的乘法和除法：两个分式相乘时，可以将分子和分母分别相乘；两个分式相除时，可以将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，并将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。

5.分式的加法和减法：两个分式相加时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相加，分母保持不变；两个分式相减时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相减，分母保持不变。

分式的意义：1.分数的意义：分式可以用来表示一个整体被划分成若干等份中的一份。

分母表示整体被划分的份数，分子表示被划分的份数中的一份。

例如，1/2表示一个整体被划分为两份中的一份。

2.比值的意义：分数也可以表示两个数的比值。

分子表示比例中的前一个数，分母表示比例中的后一个数。

例如，2/3表示两个数的比值为2：33.量的意义：分数可以用来表示一定数量的其中一种东西。

分子表示具体的量值，分母表示这个量与单位的关系。

例如，1/4表示一个量的值为1，单位为4个。

4.分式的运算意义：分式的运算可以用来解决实际问题，如分数的相加减、相乘除等运算可以用来求解各种问题，如物品的比例增减、人员的比例关系等。

分式在日常生活中的应用非常广泛，如：1.厨房中的食谱：食谱中经常用到分数，如“1/2杯糖”、“3/4勺盐”等，用来表示食材的量。

2.比例关系：比值经常用到分数的形式，例如比例尺上的比例关系就是使用分数表示的。

3.金融中的利率：利息的计算中用到的年利率、月利率等都可以看作分数的形式。

4.化学中的配方：不同化学物质的配方中经常使用到分数，如“2:1”的配方比例表示两个物质的摩尔比。