分式及其基本性质课件

谈一谈
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：，；；，
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样的两类？
分母不含字母
分母含字母
知识点1 分式的概念
定义
一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，分母必须含有字母.分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商.
12.1 分式第1课时
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.知道分式的概念，发展符号感.2.经历由类比、猜想获得分式基本性质的过程，发展学生的合情推理能力.
学习重难点
掌握分式的概念.
理解并掌握分式的基本性质.
难点
重点
问题导入
1.一项工程，甲施工队5天可以完成。甲施工队每天完成的工程量是多少？3天完成的工程量又是多少？如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？b（b<a）天完成的工程量又是多少？2.已知甲、乙两地之间的路程为m km。如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各为多少？
分式的基本性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点2 分式的基本性质
分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
做一做
分式
随堂练习
1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）
2.当x取何值时，下列分式有意义？
3.
（3）（4）（5）
拓展提升
B
归纳小结
分式
分式的概念
例题解析
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式.
归纳：

知1－导
问题 1 有两块稻田，第一块是4 hm2，每公顷收水稻
10500 kg，第二块是3 hm2，每公顷收水稻9000 kg， 这两块稻田平均每公顷收水稻_______kg.
知1－导
如果第一块是m hm2，每公顷收水稻a kg，第二 块是n hm2，每公顷收水稻b kg，则这两块稻田平均每 公顷收水稻________kg.

A．x≠1
B．x＝1
C．x≠－1
D．x＝－1
导引：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求
解．根据题意得：x－1≠0，解得：x≠1.故选A.
总结
知2－讲
求分式有意义时字母的取值范围，一般是构 造分母不等于0的不等式，求使分式的分母不等 于0的字母的值.
知2－练
(1)分式与分数的相同点是：情势相同，都有分子
和分母；不同点是：分式中分母含有字母．
(2)分式与整式的不同点是：整式的分母不含有字
母；分式的分母含有字母．
易错警示：认为分母含有π的式子是分式．
知1－讲
例1
下列各式：－3a2，x＋2
2
，2 x x
，a＋2b π＋2
，3，x2＋xy
中，
哪些是分式？哪些是整式？
a＋1
x 2－1
2 (中考·常德)若分式 x＋1 的值为0，则 x＝____1____．
知3－练
3
分式
x＋a 3x－1
中，当x＝－a时，下列结论
正确的是( C )
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠－ 1 时，分式的值为零
3
D．若a≠ 1 时，分式的值为零
3
知3－练
分式值为零的条件及求法： (1)条件：分子为0，分母不为0. (2)求法：①利用分子等于0，构建方程．②解方

【知识技能类作业】
选做题：
0.4x＋2
5.不改变分式的值，把分式
中分子、分母各项的系数化成
4x＋20
0.5x－1
整数为_5__x_－__1_0_．
课堂练习
x 2－8x y＋16y2
6.分式
约分后的结果为( B )
x 2－16y 2
x ＋4y
x－4y
x ＋4y
A．
B．
C．
D．－8x y
x －4y
x＋4y
4y
课堂练习
【综合实践类作业】
7.先化简，再求值：
（1）x
2
- 4xy 4 (x -2y)3
y2，其中x=
-2
，y
=
3
.
（2）a2 ab
-93bb22，其中a=
-4
，b=
2.
课堂练习
【综合实践类作业】
解：（1）x2
- 4xy 4y (x - 2y)3
2
(x - 2y)2 (x - 2y)3
1， x - 2y
（2） x
2
x2 -9 6x
9
解：（1）-1255aa2bb2cc3
- 5abc 5ac2 5abc 3b
- 5ac2 3b
（2） x
2
x2 -9 6x
9
(x 3)(x -3) (x 3)2
x -3 x 3
新知讲解
【总结归纳】 分式的约分的一般方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公 因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的 最低次幂的乘积； （2）若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因 式并约去.

分式的基本性质课件
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份

的分子，B叫做分式的分母.
(1)分式与分数的相同点是：形式相同，都有分 子和分母；不同点是：分式的分母含有字母． (2)分式与整式的不同点是：整式的分母不含有
字母；分式的分母含有字母．
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式. x3 x 3 ab 1 2 2 x 2, ,5x , , , , . 5 3x 2 x y 4 x
由于x＋3是分式的分母，因此x＋3≠0.
所以x≠－3.
总 结
求分式有意义时字母的取值范围，一般是根据分 母不等于0构造不等式，求使分式的分母不等于零的 字母的取值范围，与分子的取值无关．
1 在什么情况下，下列各分式无意义？
2 x 3 ab , , . x 3x 2 x y
2 x 2 使分式 无意义的x满足的条件是( x2
x2 1 【中考· 温州】若分式 的值为0，则x的 x3
值是( A．－3 ) B．－2 C．0 D．2 x 1 2 当分式 的值为0时，x的值是( ) x2 A．0 B．1 C．－1 D．－2
知识点
3
分式的基本性质
分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的数， 其值不变.如
2 2 2 10 10 10 , . 3 3 2 100 100 10
B．1
C．－1
D．±1
导引：分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，
由此条件解出x即可．由x2－1＝0，得x＝±1.
当x＝1时，x－1＝0， 故x＝1不合题意；
当x＝－1时，x－1＝－2≠0，
所以x＝－1时分式的值为0.
总 结
分式的值为零必须同时满足两个条件：分子为零
且分母不为零，两者缺一不可．
1．在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义； 当分母的值为0时，分式无意义．

例5 约分：
a2 (1)
b2 ；
ab
(2)
4 －x2
y2 x2 4 xy
4
y2
.
知3－讲
导引：先将分式的分子、分母分解因式，再约分．
a2 b2 解：(1) a b
a ba b ab
a b.
4 y2 x2 (2) －x2 4 xy 4 y2
x2 4 y2 x2－4 xy 4 y2
x 2y x 2y x 2y 2
x 2y. x 2y
总结
知3－讲
当分式的分子、分母是多项式且能分解因式时， 应先分解因式，再约分．
知3－练
1
已知
2ab2 4a2b
，则分子与分母的公因式是(
)
A．4ab B．2ab C．4a2b2 D．2a2b2
x 2－y2 2 化简 y－x 2 的结果是( )
A．－1 B．1
xy C. y－x
b (1) 2x
by y 0 ; 2 xy
ax (2)
bx
a. b
b 解：(1)因为y≠0，所以 2x
(2)因为x≠0，所以
ax bx
by 2x y ax x bx x
by ; 2 xy a. b
知1－讲
总结
知1－讲
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有 意义的情况下才能应用．应用时要注意是否符合两 个“同”：一是要同时作“乘法”或“除法”运算； 二是“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的 整式．
5.1.2 分式的基本性质
1 课堂讲授 2 课时流程
分式的基本性质 分式的符号法则 约分 最简分式
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升

性质能对分式如何变形？
当堂训练
1.下列各式：
①
2
3
m＋n
x＋2
;② 2 ; ③
;④
，
5x
5
a＋1
x＋3
其中是分式的是
①②④
（填序号）.
当堂训练
x
2.当x取什么值时，分式
无意义（ A ）
2x−1
1
A. x =
2
1
B. x =﹣
2
C. x = 0
D. x = 1
第十二章
分式和分式方程
12.1 分式
第1课时 分式及其基本性质
单元内容结构图
学习目标
1．经历分式概念的建立过程，发展符号感。
2．理解分式有意义的条件及分式值为零的条件.
3．经历由类比、猜想获得分式的基本性质的过程，发展
学生的合情推理能力。
导入新课
1.一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的
探究新知
学生活动一 【大家谈谈】
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：
1 3 1 b n
m
, ; , ; ,
5 5 a a m n＋
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样
的两类？
探究新知
A
定义：一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，
B
其中，A，B都是整式，且B含有字母 . A叫做分式
的分子，B叫做分式的分母.
巩固练习
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式 .
x＋3
x−3
ab 1 2
2
x－2，
，5x ，
，
， ， .
5
3x＋2 x−y 4 x

解
x2 -2xy+ x2 - y2
y2
=(
x
( +
x- y)2 y)( x -
y)
=
xx+
y y
.
当x=5， y=3时，
x- y x+ y
=
5- 3 5+3
=
2 8
= 14.
练习
1. 填空：
(1)
1- x 6- x2
=
(
x -1 x2-6
)；
(2)
x y
=
(
2x2 y 2xy2
)；
(3)
2 x +1
分式
5x 经过约分后得到 x2 -3x
5 x-3
，其分
子与分母没有公因式.
像这样，分子与分母没有公因式的分式叫作 最简分式.
例4 约分：
（1） 24ab3 ； （2） a2 -2a .
4ab2
a2 -4a+4
分析 约分的前提是要先找出分子与分母的公因式.
解
（1）
24ab3 4ab2
= 4ab2· 6b 4ab 2
=
(
2(xx2--11))；
(4)
y2 2xy
=
(
y 2x
)；
( 5 ) (x+21x)+(x2-1)= (
2 x-1
)； ( 6 )
xx(2x--yy2)= (
x x+y
).
2. 约分：
(1)
18a 2b 3 12a 3b 2
；
3b 2a
(2)
8 x( 6 y(
xy-
y) x)

2x
x
2
5x
2
,
25
3x
x
2
2
5x
25
.
典型例题
a
b
与 2
例题6 通分： 2
2
x y
x xy
(x+y)(x-y)
x(x+y)
解：最简公分母是x(x+y)(x-y)
a
x
2
y
2
b
x
2
a
( x y)( x y)
b
xy
x( x y )
ax
x( x y)( x y)
b( x y )
x( x y)( x y )
探究新知
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值
不变.
上述性质可以用式子表示为：
A
AC A
AC

,
（C 0）
.
B
BC B
B C
其中A,B,C是整式.
典型例题
例题1 填空：
看分母如何变化，想分子如何变化.
看分子如何变化，想分母如何变化.
3
x
（）
1

D． 3
5 −2+3
−0.2−1
5．不改变分式的值，将分式
中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系
−0.3+0.5
数都是最小的正整数，正确的是（ A ）
A．
2+1
3−5
2−10
3+5
B．
2+10
3+5
C．
D．
2+10

x
A．
2x 1
3x 1
C．
x2
1 B． 2x 1
D．x2 2x2 1
会根据实9.际1 问分题式列及分其式基本性质
例6 加工一批零件，甲、乙两人合作需a小时完成，甲单独完 成需b小时，则乙的工作效率是__1a_－__1b___．
6、列式表示下列各量： （1）某村有n个人，耕地40公顷，人均耕地面积 为_____________公顷； （2）△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD为_______； （3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均速度 为____千米/时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少 用t小时，它的平均车速为____千米/时.
船从甲地顺江而下到
乙地需 s h. ab
船从乙地返回甲地需 s h. ab
归纳小结
A 1.分式 B 有意义的条件是__________．
2.分式 A 无意义的条件是__________． B A
3.分式 B 值为0的条件是_____________．
4.分式
A B
值为正的条件是_____________．
的值为正.
练习
(1)当x _____ 时,分式 2 有意义. 3x
(2)当x _____ 时,分式 x 有意义. x 1
(3)当b _____ 时,分式 1 有意义. 5 3b
(4)当x、y满足关系______时,分式 x y 有意义. x y
5、下列各式中，无论x取何值，分式都有
意义的是（ ）
(3) x 5 ； x2 1
(4) x 6 ． 2x 3
变式练习 若把题目要求改为：“当x取何 值时下列分式无意义？” 该怎样做？
2.x为何值时，分式 x 2 有意义？ x3

x x2
y y2
1 = 1(x y) = x y x y ( x y)( x y) x2 y2
③
1 x2
y2
,
x2
1
xy
分析：取各分母的所有因式的最高次幂的积作
公分母，即最简公分母
解：
x2
1
y2
(x
1 y)( x
, y)
x2
1
xy
1 x(x
y)
最简公分母：x( x y)( x y)
等于零的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式表示为： A A C , A A C（C 0）. B BC B BC 其中A,B,C是整式.
典例精析 例1 填空：
看分母如何变化，想想分一想子：如（何1）变中化. 看分子如何变化，想为分什么母不如给何出变x 化.
≠0,而（2）中却 给出了b ≠0?
当堂练习
1.下列各式成立的是（ D ）
A.
c ba
c ab
C.
c ba
c ab
B.
c ab
c ab
D. c c
ba ab
2.下列各式中是最简分式的（ B ）
A. a b ba
B. x2 y2 x y
C. x2 4 x2
D.
x y x2 y2
3.若把分式
y的
x y
x
和y
都扩大两倍,则分式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小 公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的 最高次幂.
练一练 找最简公分母:
(1) 3 与 b ； 2a2 3ac
(2)
3 2a2b
与
ab ab2c