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运筹学5-单纯形法

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运筹学单纯形法的计算步骤

运筹学单纯形法的计算步骤

b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4

运筹学-第一章-单纯形法基本原理

运筹学-第一章-单纯形法基本原理
初始基本可行解：
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
0
0
0
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
的左边变成一个单位矩阵，
b (b1 a1 j ,.,bl 1 al 1 j , , bl 1 al 1 j ,.,bm am1 j , ) ( x1 , x2 ,..., xl 1 , x j , xl 1 ,..., xm )
X
(1)
T
与X
( 0)
是相邻的基可行解。
M M bm 0 L
M M
M M
L 1 am,m1 L L 00
M , M amn m
bi 其中： i a kj 0 a kj
j c j ci aij c j z j
单纯形法的计算步骤
例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
xi0 aij 0, aij 0,取值无限，

运筹学第5章 单纯形法

运筹学第5章 单纯形法

0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法

单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4

3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1

运筹学5-单纯形法

运筹学5-单纯形法

保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2

单纯形法的计算步骤

单纯形法的计算步骤

运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0

运筹学教程 第五章 单纯形法(2表格形式)

运筹学教程 第五章 单纯形法(2表格形式)
0 5 1 0 0 6 2 0 1 0 1 1 0 0 1
r2 ÷ 6
b
15 24 5
x1 = 4 x2 = 0 x3 = 15 x4 = 0 x5 = 1
P P P P P 1 2 3 4 5
b
P 1
P2
P3
P4
P5
b
0 5 1 0 0 1 1/ 3 0 1 / 6 0 1 1 0 0 1
元数a 元数a21决定了从一个基可行解到相邻基可行解 的转移去向，取名主元 的转移去向，取名主元
§5.2单纯形法的表格形式
第3步:迭代。 步
1.确定入基变量 确定入基变量 2.确定出基变量 确定出基变量 3.用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 用入基变量替换出基变量， 用入基变量替换出基变量 得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。 并画出一个新的单纯形表。
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
zj σj= cj -zj
? 0
z = c 3 × b1 + c 4 × b2 + c 5 × b3 = 0 × 15 + 0 × 24 + 0 × 5 = 0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 0 2 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5

物流运筹学单纯形法

物流运筹学单纯形法

如何确定出基变量（可以按照下述方法来理解） 当x2定为入基变量后，必须从x3 、 x4 、 x5中换出来一个，并保 证其余的变量在新可行解中还都是非负，即： x3≥0 、 x4 ≥0 、 x5 ≥0
因为x1 仍为基变量， 所以将x1=0，带入约 束条件，得到：
4 x2 x3 360 5 x2 x4 200 s.t . 10x2 x5 300 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
需要解决的问题： (1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优？判断标准是什么？
1.5.1单纯形法原理
单纯形法步骤
确定初始基本可行解
检验其 是否为最优
是
停
主要工作： 最优性检验
否 寻找更好的 基本可行解
主要工作： 1、基变换（将原来的基换成新的基） 2、修正单纯形表，得到新的基本可行解
基变量的 价值系数 基变量
基本 可行解
CB
0 0 0
XB
X3 X4 X5 机会成本行 σj
7 B b 360 200 300
-1
12 X2 4 5 10 0 12
0 X3 1 0 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0
0 X5 0 0 1 0 0
X1 9 4 3 0 7
θ
90 40 30
因为基变量的检验数σ1和σ2都大于0，所以当前解不是最优。需要变换可行 基，寻找新的解。即原来的非基变量x1 、x2，要有一个被换为基变量，基变 量中也要有一个被换为非基变量，以确定新的基、新的解。
0
0
0
主元列 （确定入基变量）
主元行 （确定 出基变 量）
主元素

运筹学单纯形法计算步骤

运筹学单纯形法计算步骤

检验数>0
确定主行
确定主列 21
表3：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
2 1 000
0
15/2 0 0 1 5/4 -15/2
2 1
7/2 3/2
1 0
0 1
0 0
1/4 -1/4
-31/检/22 验数<=0
0 0 0 -1/4 -1/2
22
思考:
一般主列选择正检验数中最大者对应的 列,也可选择其它正检验数的列.以第2列
Page 34
单纯形法的解的情况
单纯形法求解线性规划问题，解的情况也 有四种：
唯一最优解：上面的情况，所有的检验数都小 于等于0，并且非基变量的检验数都小于零
无穷多解：所有的检验数都小于等于0，至少 有一个非基变量的检验数为0
无界解：如果某imp>0，而且对应列中所有的 系数都小于等于0，这时，变量可以增长到无 穷大，线性规划问题有无界解
230 0 0
最小的值对应 的行为主行
0
8
1 21 0 0 4
0
16 4 0 0 1 0 —
0
12 0 4 0 0 1 3
23
正检验数中最大者对 应的列为主位向量 换出 换入
表2：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
2
0
2
1
0
16 4
3
3
0
2
正检验数中最大者对 应的列为主列
单纯形表结构
2
主元
1 C0 0 0
— 24/6 5/1
检验数
10
用单纯形表求解例1
第一章 线性规划与单纯形法
11

运筹学第五章 目标规划

运筹学第五章 目标规划

第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。

当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。

无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。

目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。

在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。

（2）模型特征。

目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。

1）正、负偏差变量,i i d d +-。

正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。

因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。

2）硬约束和软约束。

硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。

我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。

3）优先因子与权系数。

一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。

运筹学_单纯形法_的应用举例

运筹学_单纯形法_的应用举例

(x11+x21+x31)≤100
(x12+x22+x32)≤100
(x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
11
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
x21 x22 x23 x24 250000 产量约束为飞机汽油2的产量：
PV p j v j可得有关蒸汽压力的约束条件： 由物理中的分压定律，
n
2.85 x11 1.42 x12 4.27 x13 18.49 x14 0
同样可得有关辛烷数的约束条件16.5 x11 2.0 x12 4.0 x13 17.0 x14 0 为： 7.5x 7.0 x 13.0 x 8.0 x 0

运筹学 (单纯形法原理)

运筹学 (单纯形法原理)

x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5 x4 = 16 – 4x1 x2 = 3 –1/5 x5
x3 = 6 – 2 θ ≥0 x4 = 16 – 4 θ ≥0 x2 = 3 ≥0
即：
x1 = θ =min{6/2，16 /4 ，~}=3 相应地有：
x3 = 6 – 2 × 3 =0 x4 = 16 – 4 × 3=4 x2 = 3
xni bi aij x j
j 1
n
（i 1, 2,L , m）
3.代入目标消去基变量，得到非基变量xj的检验数 j
Z c j x j cni xni
j 1 i 1
n Z c j x j cni b a x i ij j j 1 i 1 j 1 n m
b1 M M M 0 .1L bi M M M 0 0L 1 bm
表格单纯形法
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn cn1 xn1 cnm xnm
标准型：

a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 , x 2 , , x n , x n 1 , , x n m 0
m
cni bi (c j cni aij ) x j
i 1 j 1 i 1
m
n
m
j cj zj
n j 1
Z Z 0 (c j z j ) x j Z 0 j x j

运筹学基础及应用第五版胡运权第一章

运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
问题的提出 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)

运筹学答案_第_5_章__单纯形法

运筹学答案_第_5_章__单纯形法
b、有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量 取零。
c、（4，6，0，0，－2） d、（0，10，－2，0，－1） e、不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
3、解：a、
迭代次数 基变量
cB x1
x2 x3
x4 x5
x6
b
6 30 25 0 0 0
s1
0 3 1 0 1 0 0 40
第 5 章 单纯形法
1、解：表中 a、c、e、f 是可行解，a、b、f 是基本解，a、f 是基本可行解。
2、解：a、该线性规划的标准型为： max 5 x1＋9 x2 s．t．0.5 x1＋x2＋s1＝8 x1＋x2－s2＝10 0.25 x1＋0.5 x2－s3＝6 x1，x2，s1，s2，s3 ≥0.
6、解：a、有无界解 b、最优解为（0.714，2.143，0），最优值为－2.144。
7、解：a、无可行解 b、最优解为（4，4），最优值为 28。 c、有无界解 d、最优解为（4，0，0），最优值为 8。
பைடு நூலகம்
0
s2
0 0 2 1 0 1 0 50
s3
0 2 [1] －1 0 0 1 20
xj cj－xj
0
0
00
0
6
30*
25
0
0
00 0
b、线性规划模型为： max 6 x1＋30 x2＋25 x3 s．t．3 x1＋x2＋s1 = 40 2 x1＋x3＋s2= 50 2 x1＋x2－x3＋s3＝20 x1，x2，x3，s1，s2，s3 ≥0
c、初始 解的基为（s1， s2， s3），初始解为（ 0，0，0，40，50，20）， 对应的目标函数值为 0。

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法

解：本例中，A

1 2
2 1
1 0
10，A 中的2阶可逆子阵有
1
B 1

0
10，其相应的基向量为P3
,
P 4
,
基变量为x
3
,
x
，X
4
1
x 3 ; x 4
1
B 2

2
21,
其相应的基向量为P 1
,
P 2
,
基变量为x
1
,
x
2
,
X
2
x 1 。 x 2


a21
a22

a2n



am1
am2

amn

的秩为m，用Pj表示A中第j列的列向量，即
由此，矩阵A可表示为A=[P1 P2 … Pn]
（2）基矩阵与基变量
基矩阵(基)：设A是m×n阶约束系数矩阵（m≤n）,秩 为m。 A=（ P1,P2,…,Pn ）,则A中m阶可逆子阵 B=（ P1,P2,…,Pm ）为线性规划的一个基。其余部 分称为非基矩阵，记为N
3. 寻找更好的基可行解（基变换）
由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行
解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因
此，本步骤也称为基变换。
进基
基变换的原则
改善：z 可行：B

b
z
0
变换的方法：（ P ,, P ,, P ,, P ）
出基
进基 保证“改善” 令 0对应的P 进基；
二、单纯形法的步骤
单纯形法是一 种迭代的算法，它 的思想是在可行域 的角点——基本可 行解中寻优。由于 角点是有限个（为 什么？），因此， 算法经有限步可终 止。

(整理)单纯形法 的名字意义

(整理)单纯形法 的名字意义

单纯形法的名字意义？单纯形算法是Dantzig 于1948年首先提出的解决线性规划问题的算法，单纯形是作者名字的音译。

运筹学单纯形法中，为什么检验数小于等于零才有最优解？？对于线性规划问题标准型，最优性判别条件所有检验数均小于等于零。

如果是求最小问题，则最优性判别条件是所有检验数均大于等于零。

检验数是用非基变量表示基变量，带入目标函数的表达式中得来的非基变量的系数。

它的含义是对应非基变量如果取得一个大于零的值时，能给目标函数增大的量为该值的检验数倍。

对最大化问题，如果检验数均小于等于零，意味着再进行迭代，也不能使目标函数增大了。

最小化问题，同理！单纯形编辑词条编辑摘要摘要单纯形，即是单形，是由对称要素联系起来的一组晶面的总合。

换句话说，单形也就是藉对称型中全部对称要素的作用可以使它们相互重复的一组晶面。

目录1基本内容2推导3延伸-几何单形编辑本段基本内容单纯形是代数拓扑中最基本的概念。

考虑实数域的n维向量空间 R^n, 设a_0,a_1,e_2,...,e_n 是一组向量，使得{a_1-a_0,a_2-a_0,...a_}线性无关。

设E={p=s_0a_0+s_1a_1+s_2a_2+...+s_na_n| s_0+s_1+...s_n=1}，点集E就称为一个n维单纯形。

1维单纯形就是线段；2维单纯形就是三角形；三维单纯形就是立体三角形。

人们希望能够把一个拓扑对象剖分成许多个小的单纯形，要求任何两个相邻的单纯形相交的公共部分仍是一个单纯形－－这种剖分称为（曲）单纯剖分。

在曲面情形，就是熟知的三角剖分。

单纯剖分是研究代数拓扑的基本手段，由此可以构造一系列拓扑不变量，如欧拉示性数。

它是研究同调论的基本工具。

编辑本段推导素的作用，必可以导出一个单形的全部晶面。

可以设想，不同的对称型可以导出不同单形；在同一对称型中原始晶面与对称要素的相对位置不同，也可以导出不同的单形来。

编辑本段延伸-几何单形一个对称型中，只可能有一种一般形，晶类即以其一般形的名称来命名(参看晶体分类)。

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n! 基本解的数目不超过 C m!n m !
m n
解的集合： 解空间
非 可 行 解
可 行 解
基 本 可 行 解
最 优 解
基 本 解
(2) 解的基本性质
判别可行解为基可行解的准则
定理1 线性规划问题的可行解是基可行解的充要 条件是它的非零向量所对应的列向量线性无关.
线性规划问题的基本定理:定理2和定理3
X1
X(1)
单纯形法小结： 单纯形法是这样一种迭代算法——如下图… 当Zk中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基本可 行解Xk即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
X1
保持可行性
X2
保持可行性
X3
保持可行性
...
保持可行性
Xk
保持单调增
保持单调增
保持单调增
保持单调增 ...
Z1
Z2
Z3
Zk
当Zk 中非基变量的系数全为负值时，这时的基本可 行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
BX B b NX N
X B B 1b B 1 NX N
B 1b B 1 NX N X X N
令 则
XN 0
B 1b X 0
定义 在约束方程组(2) 中，对于 一个选定的基B，令所有的非基变 量为零得到的解，称为相应于基B 的基本解。
第五章 单纯形法
1. 线性规划问题的解 2 单纯形法 3 求初始基的人工变量法
1.线性规划问题的解
Max
(1) 解的基本概念
Z CX AX b X 0
1 2 3
s.t
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系 数矩阵A(假定 m n)的任意一个 m m 阶的 非奇异(可逆)的子方阵B(即 B 0 )，称 为线性规划问题的一个基阵或基。
X2
X2 X2
30/
2 2 2
60/
24/
X2 = min ( 30/2 , 60/2 , 24/2 ) =12 X2 ：进基变量， X5 ：出基变量。
B2=( P3 P4 P2 )
Z= 0 + 40 X1 + 50 X2
X3 + 2X2 = 30 - X1 2X2 = 24 - X5 X4 + 2X2 = 60 - 3X1
3) bi’> 0( I = 1 , 2,…,m ),即X(0)为非退化的基可行解。
则从X(0)出发，一定能找到一个新的基可行解X(1)，使得 CX(1) > CX(0) 。
(5) 单纯形表
将线性规划问题典式中各变量及系数填写在一张 表格中，该表即为单纯形表。
cj CB 0 基 xn+1 c1 x1 a11 c2 x2 a12 … … … cn xn a1n 0 xn+1 1 0 … 0 S b1
(2)" ∵ 15>0
∴ X(3)不是
(3)" 选X5从0↗， X3 =0
X1=6 +X5 0
X4= 18 -2X5 0
X2=12-1/2 X5 0
X5=min( 18/2 , 12/1/2 ) =9 X5进基， X4出基。
B4=(P1 P5 P2 ) Z=975- 35/2X3 - 15/2X4 X1= 15 + 1/2X3 - 1/2X4
+X5 =24
解：(1)、确定初始可行解 B = ( P3 P4 P5 ) = I Z = 0 + 40X1 + 50X2
X3 = 30 - ( X1 + 2X2 )
X4= 60 - ( 3X1 + 2X2 )
X5 = 24
令X1 = X2 =0
- 2 X2
X(1) =(0, 0, 30, 60, 24)T
定理2 线性规划问题有可行解,则它必有基可行解.
定理3 若线性规划问题有最优解,则一定存在一个 基可行解是它的最优解.
几点结论

若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点); 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点); 若线性规划问题有最优解,则最优解必可在基可行解 (极点)上达到;
B N I b
- C B B -1 B -1
B-1
-CB B-1
- C B B -1b -1 B b
B-1b
CBB-1b
I
0
B-1N
CN -CB B-1N
CB
CN
0
0
对应I 式的单纯形表—— I 表(初始单纯形表)
价值系数cj 基系数 0 基 Xs
CB XB B B 0 CB CB



线性规划问题的基可行解(极点)的个数是有限的,不会 m C 超过 n 个.
上述结论说明:
线性规划的最优解可通过有限次运算在基可行解中获得.
2 单纯形法
(1)单纯形法的引入

例1 Max Z=40X1 +50X2
X1 +2X2 +X3 3X1 +2X2 2X2 X1 … X5 0 +X4 =30 =60
- z C B X B C N X N 0X s 0 BX B NX N IX s b
1 CB 0 B CN N


0 0 1 CB I b 0 I
CN B -1 N
0 B -1
0 -1 B b
1 0 C N C B B -1 N -1 0 I B N
定义 在基本解中，若该基本解满足非负约束， 即 X B B 1b 0 ，则称此基本解为基本可行解，简 称基可行解；对应的基B称为可行基。
基本解中最多有m个非零分量。
个。 定义 在线性规划问题的一个基本可行解中，如果 所有的基变量都取正值，则称它为非退化解，如 果所有的基本可行解都是非退化解。称该问题为 非退化的线性规划问题；若基本可行解中，有基 变量为零，则称为退化解，该问题称为退化的线 性规划问题。
XB Z CX C B C N X CB X B CN X N N C B B 1b B 1 NX N C N X N


C B B b C B B NX N C N X N
-1 -1
C B B - 1b C N C B B 1 N X N


(3) 最优性判别定理
在线性规划问题的典式中，设 X(0)=(x1,x2,…,xm,0,…,0) 为对应于基B 的一个基可行解，若有
j 0 ( j = m+1 , m+2 , … , n )
则X(0)是线性规划问题的最优解，基B为最优基。
证：设X为线性规划问题的一个可行解，必有 X 0 ，当 j 0， 则 X 0 Z*=CX(0) = Z(0) Z(0) + X =CX 故X(0)为线性规划问题的最优解。
a11 a 21 A a m1
a12 a 22
a1m a2m
a1m1 a 2 m 1 a mm1
a1m 2 a2m 2 a mm 2
a m 2 a mm
a1n a2n a mn
a1n a2 n amn
T
非 基 向 量
x2 xm
X N xm 1 xm 2 xn
非基变量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基变量
A B N
AX b
XB B N X b N
XB X X N
XB X X N
BX B NX N b
z CX AX b X 0
Max z C B X B C N X N 0X s BX B NX N IX s b s .t X B , X N , X s 0
Max Z C B B 1b C N C B B 1 N X N X B B 1 NX N B 1b s .t X B 0 , X N 0
(4) 基可行解改进定理
在线性规划问题的典式中，设
X(0)=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
为对应于基B 的一个基可行解，若满足以下条件： 1) 某个非基变量的检验数 k > 0 ( m+1 k n );
2) aik ( i = 1,2,…,m )不全小于或等于零，即至少有一个 aik > 0 ( 1 k m );
CN XN N N 0 CN CN
0 XS I I 0 0 0
S b b 0 0 S
θ
zj 检验数σj
迭代
价值系数cj 基系数 CB 基 XB CB XB I I 0 CB 0
对应B 式的单纯形表—— B 表 CN XN B-1 N -1 B N CN -CB -1 B-1N CB B N CN -CB B-1N 0 XS -1 B-1 B -1 -CB B CB B-1 -CB B-1 S B-1-1 b B b CBB-1b S-CBB-1b θ
X5= 9 + 3/2X3 - 1/2X4
X2= 15/2 -3/4X3 + 1/4X4 令X3 =X4 =0 X(4) =(15, 15/2 , 0, 0 ,9 )T Z(4) =975
X2 X(2) X(3)
B
(6,12)
(0,12) A (15,7.5)
X(4) C
(0,0) 0
D
Z=40X1+50X2