运筹学1.4单纯形法的步骤(精)

第二阶段：以第一阶段的最优解(不含人工变量)为初 始解，以原目标函数为目标函数。
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.

4 x1 2 x1

x2

2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2

3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11

4 2
x1 x1

x2

2
x3 x3

（1）确定换入基的变量（确定进基变量）。 只要非基变量的检验数大于零，都可以作为换入变量。但是，当有一个以 上检验数大于零时，人们习惯选择检验数最大的变量 xk 作为换入变量。
k max j j 0
j


（2）确定换出基的变量（确定出基变量）。 如果选择 xk 作为换入变量，则按下面的规则确定换出基的变量 xl ：
4)计算检验数。 计算检验数可采用两种方法：一是利用计算检验数的公式（见表1）；另一种是 把检验数行当作一个约束方程，与其它行一样，用消元法进行计算。
(cj－zj) ′ = (cj－zj) － (alj / alk ) ·(ck－zk)
表2 cj CB c1 ： cl ： XB x1 ： xl ： b b1 ： bl ： c1 x1 1 ： 0 ： … … … … cl xl 0 ： 1 ： … … … … cm xm 0 ： 0 ： … … … … cj … xj a1j ： alj ： … ck xk … … … … cn xn a1n ： aln ：
1 … ﹣ a1k / alk ： 0 … ： 1/ alk
… a1j －a1k· alj /alk ： alj /alk
： ： cm xm (cj－zj)
：
：
：
：
1
：
… amj －amk· alj /alk … (cj－zj)
：
0
bm －amk· bl /alk 0 … ﹣ amk / alk …
（1）当所有的检验数都 ≤ 0 时，新基可行解X（1）的目标函数值小于X（0）的 目标函数值，这说明，目前的基可行解（顶点）就是最优解。
（2）当所有的检验数都 ≤ 0 时，又有某一个非基变量的检验数等于零，表明新 基可行解与原来的基可行解有相同的目标函数值，则问题具有无穷多最优解。

b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题

上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0

单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。

它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。

本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。

步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。

线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。

决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。

步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。

标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。

如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。

步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。

它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。

初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。

2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。

3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。

步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。

基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。

2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。

3. 剩余的变量作为非基变量。

步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。

计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。

2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。

步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。

如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。

运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0

运筹学单纯形法各个步骤详解1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个听起来有点高深莫测，但其实特别有意思的东西——运筹学的单纯形法。

别看它名字复杂，其实它就是解决线性规划问题的绝招，像一把钥匙，打开了优化的宝藏。

想象一下，如果你有一大堆资源，要把它们分配到不同的地方，听起来就像玩拼图一样。

好了，废话不多说，咱们直接进入正题！2. 单纯形法的基本概念2.1 线性规划的起源首先，线性规划是啥？简单来说，它就是在一系列限制条件下，想要最大化或最小化某个目标函数。

这听起来像是在做一场抉择，你得在各种选择中找到最优解。

有点像在超市里，看到一堆零食，犹豫不决，最后只能选那包最爱吃的，既美味又划算。

2.2 单纯形法的基本思路而单纯形法就是解决这个问题的武器。

它的核心思想很简单，跟追求完美一样，咱们要一步步地朝着最优解迈进。

想象你在爬山，每一步都在找那个最容易走的路，直到你站在山顶，俯瞰整个美景，啊，真是太棒了！3. 单纯形法的步骤3.1 初始化那么，怎么开始呢？首先，咱们得把问题转化为标准形式。

这就像把一个繁杂的图案简化成几何图形，让它看起来更清晰。

要把不等式转换为等式，添加松弛变量，这样就可以把问题整理得干干净净。

3.2 构建初始单纯形表接下来，咱们构建初始单纯形表。

这个表就像一本菜单，上面列出了所有可能的选择和它们的成本。

每个变量都有自己的“价格”，而咱们的目标就是尽量少花钱，最大化收益。

想想你逛街时，总是想着要花最少的钱买到最好的东西，嘿，这就是单纯形法的精神！3.3 寻找基变量和入基变量然后，咱们得找出“基变量”和“入基变量”。

基变量就像在舞台上表演的演员，而入基变量就是准备加入的“新人”。

在这个过程中，咱们得判断哪个新人能让整个表演更精彩。

如果找对了，舞台瞬间就能变得熠熠生辉，若是找错了，哎呀，那可就尴尬了。

3.4 更新单纯形表一旦找到了合适的入基变量，咱们就得更新单纯形表。

这一步就像在调味，添加新的元素，让整体味道更加丰富。

运筹学单纯形表法详细步骤概述运筹学是一门研究最优决策问题的学科，它通过数学建模和优化方法，寻找最佳解决方案。

运筹学的单纯形表法是一种常用的线性规划求解方法，通过构造单纯形表，逐步迭代求解最优解。

本文将详细介绍运筹学单纯形表法的步骤和算法原理。

单纯形表法步骤单纯形表法的基本思想是通过构造单纯形表，逐步迭代优化目标函数的值，直到找到最优解。

第一步：标准化线性规划问题将线性规划问题转化为标准型，使得约束条件为等式形式，目标函数为最小化形式。

标准型的形式如下：Minimize C1x1+C2x2+⋯+C n x nSubject to A11x1+A12x2+⋯+A1n x n=b1A21x1+A22x2+⋯+A2n x n=b2…A m1x1+A m2x2+⋯+A mn x n=b mx1,x2,…,x n≥0第二步：构造初始单纯形表根据线性规划问题的标准型，构造初始单纯形表。

初始单纯形表由约束系数矩阵、目标系数向量、约束条件向量和松弛变量构成。

约束系数矩阵的形式为：A=[A11A12...A1n100 0A21A22...A2n010 0⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮A m1A m2...A mn000 (1)]目标系数向量的形式为：C=[C1C2…C n000…0]约束条件向量的形式为：B=[b1b2…b m]第三步：确定初始解和基变量根据初始单纯形表，确定初始解和基变量。

基变量是与单位矩阵的列向量对应的变量，它们的取值为约束条件向量的值。

第四步：计算单纯形表中的各项值根据初始解和基变量，计算单纯形表中的各项值。

包括各变量的价值系数、约束条件的值，以及各松弛变量的值。

第五步：检查最优解检查单纯形表中目标系数行是否存在负数。

如果存在负数，则继续迭代；如果都为非负数，则找到最优解。

第六步：确定入基变量在目标系数行中选择最小的负数，确定进入基变量。

第七步：计算离基变量根据进入基变量，计算离开基变量。

离开基变量是通过计算变量的约束条件值除以进入基变量的列中对应的非零元素，找到最小的非负数所在行，确定离开基变量。

（2）写出初始基本可行解 ）写出初始基本可行解——
根据“ 用非基变量表示基变量的表达式” 根据 “ 用非基变量表示基变量的表达式 ” ， 非基变量取0 算出基变量， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。 初始基本可行解。 2、建立判别准则： 建立判别准则： （1）两个基本表达式的一般形式 LP限制条件中全部是 LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 限制条件中全部是“ 类型约束， 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述： 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述 ：
2、处理人工变量的方法： 处理人工变量的方法：
（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负 在约束条件中人为地加入非负 的人工变量， 的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构 成单位阵。 成单位阵。 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 目标函数中， 在目标函数中，给人工变量前面添上一个绝对 值很大的负系数M>>0 迭代过程中， 值很大的负系数 -M （ M>>0 ） ， 迭代过程中 ， 只要基变量中还存在人工变量， 只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不 可能实现极大化——惩罚！ 惩罚！ 可能实现极大化 惩罚
σj =cj −zj =cj −∑ a c
i= 1
m
' n+i ij
（2）最优性判别定理
若 X = (0,0,L0,b ,b ,Lb ) 是对应于基B的基本 是对应于基B , , 可行解， 的检验数， 可行解，σ j 是非基变量 x (j0) 的检验数，若对 于一切非基变量的角指标j 于一切非基变量的角指标j，均有 σ j ≤0，则 X(0)为最优解。 为最优解。
最优性判别定理； 最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理 有限最优解”

《单纯形法计算步骤》 PPT课件
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二

形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。

单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的迭代算法。

它是由美国数学家George Dantzig在1947年提出的。

单纯形法的目标是通过不断地沿着一些方向逼近最优解，最终找到使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。

单纯形法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.标准化问题：将线性规划问题转化为标准化形式。

标准化的目的是将原问题转化为一个等价问题，使得约束条件全部为等式，且目标函数的系数都为非负数。

2.设置初始解：选择一个初始可行解作为起始点。

起始点可以通过代入法求解出来，或者通过其他启发式算法得到。

初始可行解需要满足所有约束条件，即满足等式以及非负性约束。

3.检验最优性：计算当前解的目标函数值，并检验这个值是否是最优解。

如果当前解是最优解，算法终止；否则，进入下一步。

4.选择进入变量：从目标函数的系数中选择一个可以增大（最大化问题）或减小（最小化问题）目标函数值的变量作为进入变量。

选择进入变量的策略可以有多种，例如最大增益法或者随机选择法。

5.计算离基变量：选择一个出基变量并将其移出基变量集合。

离基变量的选择通常采用最小比率法，即选择使得约束条件最紧张的变量。

6.更新解：通过求解一个新的线性方程组来计算新的解，更新基变量集合和非基变量集合。

由于每次只有一个变量进基，一个变量出基，将保持可行解的性质。

7.转到步骤3：重复步骤3-6，直到找到最优解。

单纯形法的关键在于选择进入变量和离基变量，以及求解线性方程组。

进入变量的选择决定了算法在解空间中的方向，而离基变量的选择决定了算法沿着哪个方向逼近最优解。

在实际应用中，单纯形法往往需要进行大量的迭代计算，因此效率可能不是很高。

为了提高效率，可以采用一些改进的单纯形法，例如双线性法、内点法等。

总结起来，单纯形法是一种基于迭代的算法，通过每次选择一个进入变量和一个离基变量来逐步逼近最优解。

虽然它的计算复杂度较高，但是在实践中仍然是一种很受欢迎的求解线性规划问题的方法。

运筹学单纯形法例题求解过程摘要：一、运筹学单纯形法概述二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解最优解三、例题求解过程1.题目描述2.化为标准型3.建立初始单纯形表4.迭代计算四、总结正文：一、运筹学单纯形法概述运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它的主要思想是通过不断迭代，逐步优化基变量的值，从而求得问题的最优解。

单纯形法可以有效地解决具有如下特点的问题：目标函数线性，约束条件线性，变量非负。

二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定基变量，即在约束条件方程组中，选择一部分变量作为基变量，用于表示其他变量。

通过寻找或构造单位矩阵的方法，可以确定基变量，从而求出初始基本可行解。

2.编制初始单纯形表基于初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。

单纯形表包含了基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件系数和检验数等信息，用于描述问题的基本情况。

3.判断基本可行解是否为最优解通过检验数cj-zj 来判断基本可行解是否为最优解。

如果所有非基变量的检验数cj-zj<0，说明已经达到最优解，计算停止。

如果存在cj-zj>0，但所有cj-zj>0 所在列对应的所有aij<0，说明无最优解，计算停止。

如果至少存在一个cj-zj>0，并且所对应的所有j 列中至少有一个aij>0，说明没有达到最优解，需要继续迭代求解。

4.迭代求解最优解在迭代过程中，首先需要确定换入变量，即选择最大检验数对应的非基变量。

然后，利用特定公式计算出换出变量，即在基变量中选择一个与换入变量对应的变量进行替换。

接着，生成新的单纯形表，将换入变量和换出变量进行置换后，调整新基变量对应的矩阵为单位矩阵。

最后，重新计算检验数和目标函数值，返回第二步，直至找到最优解。

三、例题求解过程假设有一个线性规划问题，目标函数为MINfx1x2Mx4Mx6，约束条件为：3x1 + 4x2 ≤ 122x1 + 3x2 ≤ 10x1, x2 ≥ 0首先，将约束条件化为标准型：3x1 + 4x2 + s1 = 122x1 + 3x2 + s2 = 10x1, x2 ≥ 0然后，建立初始单纯形表：| 基变量| 非基变量| 目标函数系数| 约束条件系数| 检验数| ---------------------------------------------------------------------行1 | x1 | s1 | -3 | -4 | -12 |行2 | x2 | s2 | -4 | -3 | -10 |行3 | x1 | x2 | 0 | 0 | 0 | 行4 | s1 | x2 | 0 | 3 | 0 | 行5 | s2 | x1 | 0 | 2 | 0 | 根据初始单纯形表，可以得到初始基本可行解为：x1 = 0, x2 = 0接下来，判断基本可行解是否为最优解：c1 = -12, c2 = -10, c3 = 0, c4 = 0, c5 = 0由于c3、c4 和c5 都小于等于0，所以基本可行解不是最优解，需要继续迭代求解。

X2
Q4 3 2 1
0
x1+2x2 =8 4x1=16
Q3
4x2=12
Q2
Q1
X1
1
2
3
4
解: 首先:将该问题化成标准形
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x2 x3 8
s.t
.
4 4
x1 x2

x4 x5
16 12
xj 0, j 1, 2 ,, 5
基向量、非基向量、基变量、非基变量： 称pj(j=1,2,…,m）为基向量，其余称为非基向量； 与基向量pj(j=1,2,…,m）对应的xj称为基变量，其全体写成 XB=（x1，x2，…，xm）T；否则称为非基变量，其全体经常写 成XN。
基解：对给定基B,设XB是对应于这个基的基变量 XB=(x1，x2，…，xm)T； 令非基变量xm+1=xm+2=…=xn=0， 由（2）式得出的解X=（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 称为基解。
(xi0 aij )Pi Pj b
(5)
i 1
由(5)式可以找到满足约束方程的另一个点X(1),其中是点X(1)的第j 个坐标值
X (1) x10 - a1j xm0 - amj 0 0
j
要使X(1)是一个基本可行解,则要求 xi0 - aij 0
§3 单纯形法（Simplex Method）
线性规划问题的最优解，可以从基可行解中找到 图解法有局限性； 枚举法计算量大；
§3.1 单纯形法的引入
例子：求解线性规划问题
max z 2x1 3x2
x1 2x2 8

简述单纯形法步骤单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法，它通过不断迭代来逐步逼近最优解。

下面将以简述单纯形法步骤为标题，详细介绍单纯形法的具体步骤。

1. 构建初始单纯形表单纯形法的第一步是构建初始单纯形表。

将线性规划问题的约束条件和目标函数转化为矩阵形式，并引入松弛变量，得到初始单纯形表。

初始单纯形表由约束系数矩阵、决策变量系数矩阵、右侧常数向量以及目标函数系数矩阵组成。

2. 检验是否达到最优解在初始单纯形表中，通过计算每个基变量的单位贡献值来检验是否达到最优解。

单位贡献值等于目标函数系数与对应基变量列的乘积之和减去目标函数系数。

如果所有单位贡献值均小于等于0，则达到最优解，算法结束。

否则，进入下一步。

3. 确定入基变量和出基变量在初始单纯形表中，选择单位贡献值最小且小于0的列所对应的非基变量作为入基变量。

然后，通过计算各行的比值，选择使得比值最小的行所对应的基变量作为出基变量。

4. 更新单纯形表在确定了入基变量和出基变量后，需要对单纯形表进行更新。

首先，将出基变量所在列归一化为1，然后通过高斯消元法将其他列元素消为0，得到新的单纯形表。

5. 转至步骤2经过更新后的单纯形表还不能达到最优解，需要再次进行检验。

重复步骤2至步骤4，直到所有单位贡献值均小于等于0，达到最优解为止。

6. 解读单纯形表当单纯形法得到最优解时，可以通过解读单纯形表来获得最优解的数值。

在单纯形表的最后一行，可以得到最优解的目标函数值。

而在单纯形表的非基变量列中，可以得到各个决策变量的取值。

单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过不断迭代来逐步逼近最优解。

它的基本思想是通过选择合适的入基变量和出基变量，来更新单纯形表，使得目标函数值不断减小，最终达到最优解。

在实际应用中，单纯形法被广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。

总结一下单纯形法的步骤：首先，构建初始单纯形表；然后，检验是否达到最优解；接着，确定入基变量和出基变量；然后，更新单纯形表；最后，转至步骤2，直到达到最优解。

• 当第一阶段中目标函数的最优值＝0，即人工变量＝0， 则转入第二阶段；若第一阶段中目标函数的最优值不等于 0，即人工变量不等于0，则判断原问题为无解。
• 第二阶段：将第一阶段计算所得的单纯形表划去人工变量 所在的列，并将目标函数换为原问题的目标函数作为第二 阶段的初始单纯形表，进行进一步的求解。
14
s.t.
32x1x133xx2 22
x3 x3
100 120

x1, x2 , x3 0
cj
40 45 25 0 0
CB XB bi x1 x2 x3 x4 x5 θ
0 x4 100 2 [ 3 ] 1
1
0
100/3
0 x5 120 3 3 2 0 1
40
σj
40 45 25
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
Max W= -x6 - x7
x1+ x2+ x3+x4
取值
xj无约束 令xj = xj′- xj″
xj ≤ 0 令 xj′= - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
bi < 0
约束条 件两端 同乘以
-1
等式或不等式
≤
=
≥
加松 弛变 量xs
加入 人工 变量
xa
减去 剩余 变量xs
加入 人工 变量xa

问题：本例的A中一共有几个基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？
——Cm个。 n
（3）基本解与基本可行解
当A中的基B取定后，不妨B设表示中的前m列，则可记
A=（B N）,相应地 X= (XB XN)T
约束中的 AX=B
可表示为
B
N
XB XN

b,
即 BB X NN X b
①将目标函数转化为求极大型，即得
②对第一个约束添加松弛变量x4≥0，得 ③对第二个约束减去剩余变量x5≥0，得 ④对自由变量x3，令
原规划化为标准型：
练习3： minZ=x1+2x2-3x3
x1+x2+x3 ≤9 -x1-2x2+x3 ≥2 3x1+x2-3x3=5 x1≤0，x2≥0， x3无约束
解：本例中A， 12
2 1
1 0
10，A中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向P量3 , P为4 ,基变量为 x 3 ,
x
，X
4
B1
x3 ; x4
1
B 2
2
21,
其相应的基向量P为 , P
1
2
,
基变量为x , 1
x
2
,
X
B2
x1 。 x2
k
j
j
k
令 l m i i ni
(B 1b)

i
(B 1P)
ki
(B 1P) ki
0 对应 P l出 的 基
称作检验比。 i
以例1为例，可按上述单纯形法的步骤求出其最 优解，其大致的过程如下。

2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3